Parte 3. 6 Prof. C. Di Bartolo - Febrero de 2007

Transcripción

1 6 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de 2007 Prte figur muestr un lmre muy lrgo por el cul circul û y I un corriente constnte I, y dos rieles encim de los cules se puede mover un rr de metl cuy resistenci es. os rieles están hechos de un mteril cuy resistenci es desprecile. os extremos de los rieles (en x = 0) están hechos con x un trozo del mismo mteril. i v Hlle el flujo mgnético Φ(x) trvés del rectángulo limitdo por los rieles y l rr en l posición x. Si l rr se mueve con velocidd v = vû x (v > 0) hlle l corriente que ps trvés de l rr y especifique en qué sentido circul û z û x 11. Un cilindro de rdios 1 y 2 de longitud infinit tiene densidd volumétric de crg D constnte. El cilindro está rotndo lrededor de su eje centrl con velocidd ngulr ω. ω Determine el cmpo mgnético producido por el cilindro en todos los puntos del espcio. 1 2 Supong que l derivd de l velocidd ngulr respecto l tiempo es constnte, dω=dt = A =cte. Clcule el cmpo eléctrico en l región huec r < 1. NOTA. Tome ls línes de cmpo eléctrico como circunferencis centrds en el eje del cilindro. 12. figur muestr un espir rectngulr que está sliendo de un región donde existe un cmpo mgnético externo B = Bj estcionrio y uniforme. espir tiene ms M, ldos y, resistenci, inductnci desprecile, y se mueve con un velocidd vrile v = kti, donde t es el tiempo y k un constnte positiv Clcule l corriente inducid en l espir e indique su sentido. Hlle l fuerz mgnétic y l fuerz extern que ctún sore l espir Clcule l potenci desrrolld por l fuerz extern y l potenci disipd en form de clor. B v(t) j k i

2 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de j 13. espir rectngulr de l figur se lej con rpidez v de l corriente rectilíne Por el hilo recto circul un corriente I y l espir tiene resistenci. Supong desprecile el efecto del cmpo electromgnético inducido. I k v i Clcule l corriente inducid en l espir y diuje su sentido. 14. espir de l figur es pln, tiene superficie S, resistenci y está girndo en torno l eje z con velocidd ngulr constnte W. espir se encuentr en un región donde existe un cmpo mgnético uniforme y constnte B = B x i + B y j + B z k. W z Clcule l corriente inducid en l espir Señle en el diujo su dirección. Considere desprecile l utoinductnci de l espir 15. Un espir cdef tiene l form dd en l figur e prte cd está formd por 3 lmres rectos en el plno xy y l prte def lo mismo pero en el plno xz. Todos los trmos f rectos tienen longitud l. Un cmpo mgnético B, siempre prlelo l plno yz tiene mgnitud constnte B y rot lrededor del eje x. El ángulo θ que form con el eje y está ddo por Wt d donde t es el tiempo. x Encuentre el flujo trvés de l espir Encuentre l corriente I(t) en l espir, si su resistenci es. NOTA. Supong desprecile el efecto del cmpo mgnético inducido. x z y B θ = Wt c y 16. Un rr de longitud gir con un frecuenci ngulr ω constnte en un cmpo uniforme B como muestr l figur Clcule l f.e.m. entre los dos extremos de l rr ω B θ

3 8 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de Un lmre metálico de ms m y resistenci se desliz sin fricción sore dos rieles seprdos un distnci d y con resistenci desprecile. Perpendiculr ls vís existe un cmpo mgnético uniforme. pil proporcion un fuerz electromotriz constnte 0. Supong que el lmre est inicilmente en reposo. û x I B 0 d Clcule, en función del tiempo, l velocidd del lmre y l corriente que lo trvies x 18. Un cle rígido de form semicirculr de rdio r rot con un velocidd ngulr uniforme ω lrededor del eje PQ, en un cmpo mgnético B = B 0 cos(ωt)k (sliendo de l hoj), siendo B 0 un constnte positiv Considerremos tiempos t tles que 0 < t < π=(4ω). Desprecie l utoinductnci B P r k j i Q Clcule l fuerz electromotriz inducid en el circuito. Pr el instnte t hg un figur y muestre en ell el sentido de l fuerz electromotriz. Si l resistenci de todo el circuito es, clcule el tiempo que dee trnscurrir pr que l corriente eléctric vlg l mitd de l corriente máxim

4 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de Prte figur muestr un espir rectngulr que está sliendo con velocidd constnte v = vj de un región donde existe un cmpo mgnético externo B = Bi uniforme y estcionrio. espir tiene utoinductnci, resistenci y ldos de longitud g y h. k B i j v h Clcule l corriente inducid en l espir si inicilmente no circul corriente por ell Indique su sentido. 20. Un cilindro muy delgdo de longitud infinit y rdio tiene un densidd superficil de crg constnte σ y rot lrededor de su eje centrl con velocidd ngulr ω = Kt, donde t es el tiempo y K un constnte conocid Especifique lgún sistem de coordends y hlle el vector cmpo eléctrico en el interior del cilindro. û z En el interior del cilindro se coloc un espir circulr, de resistenci, utoinductnci, y rdio ( < ), perpendiculr l eje del cilindro y con centro sore dicho eje. Hlle l corriente inducid en l espir e indique si su sentido es igul o es opuesto l del giro del cilindro. Supong que pr t = 0 l corriente inducid es cero. ν 21. Un cilindro muy delgdo de longitud infinit y rdio m tiene un crg eléctric uniformemente distriuid en su superficie, de densidd longitudinl λ C/m y rot lrededor de su eje con frecuenci ν revoluciones/s. =2 Encuentre l utoinductnci de un trozo de longitud H. P H Si ν = At donde A es constnte y t es el tiempo, encuentre el cmpo eléctrico inducido un distnci =2 del eje, pr t > 0. NOTA. s línes de cmpo eléctrico son circunferencis centrds en el eje del cilindro. g ω

5 10 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de Un circuito está compuesto de dos cilindros coxiles de longitud infinit El cilindro interno tiene un espesor desprecile y un rdio de 0,5 m. El cilindro externo tiene rdios 1,0 m y 2,0 m. Un corriente de 3 A entr por el cilindro interno y regres por el externo con un distriución uniforme. Clcule l energí lmcend por unidd de longitud en el cmpo mgnético, y l utoinductnci por unidd de longitud del circuito. NOTA. Supong que los cilindros son de longitud H!. 3A 1,0 m 0,5 m 2,0 m 3A 23. Considere un emoindo de N vuelts muy pretds en form de toroide hueco con rdio interno y sección rectngulr de ldos y ( figur muestr sólo l mitd del emoindo). Por el emoindo circul un corriente i. Clcule el cmpo mgnético dentro del toroide. (3 Puntos) Clcule l energí mgnétic lmcend en el cmpo. (4 Puntos) Hlle l utoinductnci del toroide. (3 Puntos) i 24. En un plno se encuentr un espir rectngulr de ldos y c, un distnci de un lmre infinito recto que llev un corriente I(t). utoinductnci y l resistenci de l espir son conocids. corriente I(t) en el lmre induce en l espir un corriente en sentido ntihorrio dd por i(t) = Dt, donde D es un constnte positiv conocid I(t) i(t) c Encuentre, en términos de I(t), l fuerz electromotriz inducid en l espir por l corriente del lmre. Hlle en términos de i, l f.e.m. inducid en l espir por su propi corriente. Si en t = 0esI = 0, clcule I(t) en términos de cntiddes conocids y del tiempo. 25. Un espir conductor pln tiene un resistenci de 2 Ω, un utoinductnci de 1 H y un superficie circunscrit de 300 cm 2. corriente en l espir es cero cundo repentinmente se enciende un cmpo mgnético uniforme perpendiculr l mism Entonces se oserv que l corriente en l espir ument en 3 A cd segundo. Clcule B l co de 2 segundos. k I

6 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de espir conductor pln de l figur tiene resistenci, utoinductnci, y circunscrie un superficie S. Perpendiculr l espir existe un cmpo mgnético uniforme que vrí con el tiempo y que inicilmente es igul cero. En el conductor se induce un corriente I(t)=4t 2 A. Clcule el vector cmpo mgnético en función de t. k I

7 12 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de 2007 Prte 5 I 3 I En el circuito de l figur encontrr ls corrientes en los siguientes instntes: 3 1 inmeditmente después de cerrr S. mucho tiempo después del instnte 2 I 2 justo después de rir S luego del instnte S S Se cierr el interruptor S 1, y después de mucho tiempo se re l mismo tiempo que se cierr el interruptor S 2. Tome este instnte como t = 0. Pr t 0 hlle S 2 l corriente en el inductor. los instntes pr los cules l energí en el inductor es l mitd de su vlor finl. 29. En el circuito de l figur cd condensdor tiene un energí lmcend U y sus plcs superiores están crgds positivmente. C 1 = C 2 = C. S 2 S 1 El interruptor S 1 se cierr hst que l energí del condensdor C 1 disminuy 2U =3 por primer vez. A continución se cierr el interruptor S 2 l mismo tiempo que se re S 1. Tomremos este instnte como t = 0. C 1 C 2 Hlle l corriente que circul por el inductor en t = 0 y señle su sentido. Clcule l crg en el condensdor C 2 y l corriente en l inductnci pr t En el circuito de l figur el interruptor S llev cerrdo un tiempo muy lrgo. uego, en un instnte que tomremos como t = 0, se re el interruptor. Hlle l corriente en el inductor t = 0. Clcule l corriente en el inductor pr t 0. Hlle los instntes en los cules l energí en el inductor es l curt prte de su vlor finl. S 12

8 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de El circuito de l figur llev funcionndo un tiempo muy lrgo. uego, en un instnte que tomremos como t = 0se cierr el interruptor S. Tome 1 = 12volt, 2 = 6volt, 1 = 2Ω, 2 = 1Ω y = 0:1H. Hlle l corriente en el inductor justo ntes de cerrr S. Clcule ls corrientes en ls resistencis pr t > 0. Determine los tiempos (t > 0) pr los cules l energí en el inductor es l centésim prte de su vlor finl. 1 S 2 2 1

9 14 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de 2007 Prte En el circuito de l figur son conocidos ls impedncis complejs Z 1, Z 2 y Z 3, el vlor pico 0 de l fuente y su frecuenci ω. I Z 2 I 1 I 2 Hlle ls corrientes complejs I, I 1 e I 2. Clcule ls diferencis de tensión complejs V V ; V V c ; V V c. Z 1 Determine l corriente rel I 1 (t). c Z 3 d. Pr el circuito d determine l corriente complej y l corriente rel I 1 (t). e. Pr el circuito e clcule ls corrientes reles I 1 (t) e I 2 (t) y l potenci promedio disipd por 2. I I 2 2 I 1 I 2 I 1 I circuito d. C circuito e. 2 I En el circuito de l figur ls fuentes tienen fse inicil nul, frecuenci ngulr ω y sus sentidos y vlores pico ( 1 y 2 ) están indicdos. s impedncis complejs Z 1, Z 2 y Z 3 son conocids. Hlle ls corrientes complejs I 1, I 2 e I 3 en términos de Z 1, Z 2, Z 3, 1 y 2. 1 Z 2 I 3 Z 3 Z 1 Sólo pr est prte del prolem supong que ω = 1000 rd/s, 1 = 50 V, 2 = 25 V, el elemento Z 1 es un inductor con = 3 mh, Z 2 es un cpcitor con C = 1mF,yZ 3 es un resistenci con = 2 Ω. 1. Hlle l potenci medi suministrd por Hlle l diferenci de potencil complej V = V V y l correspondiente diferenci de po- I 1

10 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de tencil rel V (t) entre los mismos puntos. 34. Pr el circuito de l figur clcule l impednci complej equivlente. el vlor pico de l diferenci de potencil V V. l potenci medi disipd por cd resistenci y l potenci medi suministrd por el generdor. 1 = 10 Ω, 2 = 3 Ω, = 1 mh, C = 50 µf, = 0 cos(ωt), 0 = 50 V, ω = 4000 rd/s. 35. Pr el circuito de l figur hlle I 1 I C I 3 ls corrientes complejs I 1 e I 2 y l impednci complej del circuito. l diferenci de potencil rel V (t) entre los puntos y (V (t) =V V ). = 20 Ω, = 0;2H, C = 0;25 mf, = 0 cos(ωt), 0 = 200 V, ω = 100 rd/s. 36. En el circuito ls impedncis complejs Z 1, Z 2 y Z 3 son conocids, y tmién son conocidos el vlor pico 0 de l fuente y su frecuenci ω. Pr el circuito hlle ls corrientes complejs I 1, I 2 e I 3. Pr el circuito hlle I 1 (t) y V 2 (t). I 1 C I 1 I 2 Z 1 Z 2 Z 3 Pr el circuito c hlle l potenci promedio disipd en l resistenci I 1 circuito I 2 I 3 I 2 I 3 I 1 I 2 I 3 C C circuito circuito

11 16 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de 2007 Soluciones Prte φ B = µ 0 Ixln(=)=2π i = µ 0 Ivln(=)=2π Prte i(t) = Bhv i = µ 0σKπ 2 E = µ 0λA 4 U =H µ 0I 2 = 4π 1 e t ; sentido ntihorrio E = µ 0σKρ 2 ˆμ θ ; ˆμ θ = ˆμ z ˆμ ρ 1 e t= ; sentido opuesto l del giro = µ 0π 2 H ˆμ θ ; ˆμ θ = ˆμ z ˆμ ρ con ˆμ z hci l derech» ln(2) : =H µ 0 = π» ln(2) 9 12

12 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de B(ρ;ϕ;z) = µ 0Ni 2πρ ûϕ ; con û ϕ = û z û ρ I = µ 0C 2π ln µ 0N 2 = 2π ln + U µ 0N 2 i 2 + = ln 4π + i = di dt ; I = di dt ; en sentido ntihorrio en sentido ntihorrio 2πD t 2 µ 0 Cln t Bj 2seg = 600k tesl 26. B = 4t3 3S 4t2 k S Prte I 1 = I 2 = I 1 = I 2 = I 3 = 0 ( )

13 18 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de I 3 = I 1 = 0 I 2 = I 3 I 3 = I(t) = 1 2e t=2 t 2 = ln[2(2 p 2)] 29. con ω 1=p C Q = I 1 = I = r 2U 3 sentido ntihorrio r 8CU ωt 3 cos π r 8U + ; I = ωt 6 3 sen π + 6 I(t) = t = ln 3 I 12 = (jndo) e 2t= (jndo) I = 2 mpere y t = 2 ln(50) (sentido horrio) 6 8e 20t=seg mpere ; (hci l izquierd) t = 1 20 ln I 2 = 18mpere ; (jndo) 40 seg y t 1 = ln 40 seg 27

14 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de Prte d. e. I = I 1 + I 2 I 1 = 0 Z Λ 1 =jz 1j 2 I 2 = 0 (Z 2 + Z 3 ) Λ =jz 2 + Z 3 j 2 V V = 0 Z 2 (Z Λ 2 + ZΛ 3 )=jz 2 + Z 3 j 2 V V c = 0 V V c = 0 Z 3 (Z Λ 2 + ZΛ 3 )=jz 2 + Z 3 j 2 I 1 (t) = 0 jz 1 j 2 fel(z 1)cos(ωt)+Im(Z 1 )sen(ωt)g I 1 = 0i ω 1 I 1 (t) = 0 ω 1 sen(ωt) I (t) = cos(ωt) I 2 (t) = 1 2 f 2cos(ωt)+ωsen(ωt)g 2 +(ω)2 potenci promedio disipd por 2 = [ 2 2 +(ω)2 ] 33. I 1 = 1(Z 2 + Z 3 )+ 2 Z 3 Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 I 2 = 2(Z 1 + Z 3 )+ 1 Z 3 Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z I 1 = 1 Z 2 2 Z 1 Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 P 1 = 250 wtt V V = ( i)volt V (t) =30 p 10cos(ωt + ArcTg(1=3))volt =[ 90cos(ωt)+30sen(ωt)]volt 34. Z 5 = (7 i)ω 2

15 20 Prof. C. Di Brtolo - Ferero de 2007 jv V j = p 1220Volt ' 34:9Volt P 1 = 40wtt ; P 2 = 30wtt P fuente = 70wtt : 35. I 1 =(2 + 4i)mpere ; I 2 =(5 5i)mpere ; Z =(28 + 4i)Ω V (t) =20 p 10cos(ωt + ArcTg(1=3))volt =[60cos(ωt) 20sen(ωt)]volt 36. I 1 = (Z 2 + Z 3 ) 0 Z 2 ; I 2 = Z 3 0 Z 2 ; I 3 = Z 2 0 Z 2 ; con Z2 Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 + Z 2 Z 3 I 1 (t) = 0jCω 2 1j p r 2 cos(ωt 0(Cω 2 1) + α) = r 2 [(Cω 2 1)cos(ωt) ωsen(ωt)] con V 0ω 2 (t) = r 2 [ωcos(ωt)+(cω 2 1)sen(ωt)]» r 2 (ω) (1 Cω 2 ) 2 ω ; α = ArcTg (Cω 2 1) P = 2 0 2[ 2 ω (1 CW 2 ) 2 ]