Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 4. Febrero de El estudio de ls propieddes dieléctrics de los gses puede servir pr medir el tmño de los átomos. Pr ello, supong que se model un átomo de número tómico Z como compuesto de un crg puntul Ze (el núcleo) y un nube esféric uniforme, con volumen τ (los electrones). Si un átomo de este tipo se le plic un cmpo externo uniforme E 0, cuánto vle el momento dipolr inducido en el átomo por l seprción de los centros de crg? Pr un gs monotómico (un gs noble) con un densidd de N átomos por unidd de volumen, cuánto vldrá l susceptibilidd y l permitividd? Experimentlmente se comprueb que el helio en condiciones normles tiene un permitividd reltiv ε r = , mientrs que pr el neón ε r = , yprelrgón ε r = Según esto, cuál es el tmño de un átomo de cd uno de estos gses nobles? 4.2. Se tiene un esfer dieléctric de rdio R polrizd uniformemente con P = P 0 =cte. () Hlle, por integrción direct el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Cuáles son los vlores de E, D y P dentro y fuer de l esfer? (c) Cuánto vlen ls densiddes de crg equivlentes l polrizción? 4.3. Entre dos plcs metálics plns y prlels, de sección S y seprds un distnci, se encuentr un dieléctrico que present polrizción remnente, de form que en él P = P 0 siendo P 0 un vector uniforme, en l dirección perpendiculr ls plcs. El dieléctrico es perfectmente islnte. Deprtmento de Físic Aplicd III () Inicilmente ls plcs están descrgds. Si se conectn medinte un voltímetro, cuánto medirá éste? (b) Supong que ls dos plcs se conectn medinte un hilo conductor, cuánt crg se lmcen en cd plc metálic? 4.4. Clcule cómo cmbin los resultdos del problem 4.3 si l polrizción del dieléctrico no es constnte, sino que depende del cmpo como P = P 0 + ε 0 χ e E 4.5. Se tiene un esfer de rdio R, centrd en el origen, compuest de un mteril con un polrizción rdil P = P 0 u r () Clcule l distribución de crgs equivlente est polrizción. (b) Determine los cmpos D y E en todo el espcio Entre dos plcs metálics conductors plns y prlels un distnci d = + b se colocn dos dieléctricos de permitividdes ε 1 y ε 2 y espesores y b respectivmente, tl como muestr l figur. Hlle l cpcidd de este condensdor y construy el circuito equivlente.

2 Cmpos Electromgnéticos Repit el problem nterior suponiendo que l interfz que sepr los dieléctricos es perpendiculr ls plcs. Se podrí resolver un problem similr pero con cutro dieléctricos, tl como muestr l figur? Cuál serí el circuito equivlente? 4.8. El cmpo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y form un ángulo π/6 con l norml l superficie. El cmpo en el interior del medio form un ángulo π/3 con l norml. Hlle: () L permitividd reltiv del medio. (b) El módulo del cmpo en el interior del mteril. (c) L densidd de crg de polrizción en l fronter. (d) El slto en l componente tngencil de D L ruptur dieléctric se produce cundo el cmpo eléctrico entre dos conductores super un vlor crítico, sltndo un chisp en el vcío, o quemndo el dieléctrico que pued hber en medio. Un situción en l que puede producirse l ruptur es l siguiente. Supong dos plcs metálics plns de sección S situds prlelmente un distnci un de l otr. L plc inferior se encuentr tierr y l superior un potencil V 0. () Sobre l plc inferior se encuentr depositd un chp (que podemos suponer pln y de espesor desprecible) de sección S 0. Hlle l crg que se deposit en l chp. (b) Supong que est chp se sepr de l plc inferior, quedándose isld, y se cerc l superior (mnteniéndose siempre prlel mbs). Cundo se hll un distnci x de l plc inferior, cuál es su tensión? Cuánto vle el cmpo eléctrico entre l chp y l plc superior? (c) Si el cmpo pr que se produzc l chisp es E 0, cuál es l posición x en l cul se produce l chisp? (d) Cundo se produce l chisp, l tensión de l chp ps ser V 0, cuánto vrí en ese proceso l crg lmcend en l chp? Y l crg lmcend en l plc superior? Deprtmento de Físic Aplicd III Desprecie los efectos de borde. V 0 V 0 V 0 b b Problem 4.6 Problem 4.7

3 Cmpos Electromgnéticos Un cortez esféric de rdio interior y exterior b está hech de dieléctrico polrizdo según l ley No hy más crgs en el sistem P = k r u r () Clcule ls densiddes de crg de polrizción en el sistem. Cuánto vle l crg totl de polrizción? (b) Hlle los cmpos D y E en todo el espcio. (c) Determine el vlor del potencil eléctrico en todo el espcio Sobre un plc metálic pln, de sección S (que supondremos en z =0), se coloc un cp de dieléctrico de permitividd ε 1 con espesor. Sobreestcpsesitú un lámin metálic, de sección S 0 <S, el resto de l superficie se dej libre y descrgdo. Se superpone un segund cp de dieléctrico de permitividd ε 2 y espesor b. Porúltimo, el sistem se cierr con un segund lámin metálic de sección S. Si ls plcs inferior, intermedi y superior se colocn, respectivmente, potenciles V 1, V 2 y V 3, Cuánto vle l crg (libre) lmcend en cd conductor? Desprecie totlmente los efectos de borde (suponiendo E = Eu z ) y los posibles cmpos exteriores l sistem Unmedioestrtificdo es quel cuys propieddes dependen de l ltur z. Un mteril de este tipo se coloc entre dos plcs conductors plns y prlels, seprds un distnci. L permitividd del mteril vrí de ε 1 ε 2 en l form ε 1 ε 2 ε(z) = ε 1 z + ε 2 ( z) Si se plic un diferenci de potencil V 0 entre ls plcs, () Cuánto vlen los cmpos D, E y P en todos los puntos del mteril? (b) Cuál es l densidd de crg de polrizción (tnto superficil como de volumen)? (c) Hlle l energí lmcend en el sistem Deprtmento de Físic Aplicd III Desprecie los efectos de borde. V 0 E=100 V/m S ( z) b S 0 Problem 4.8 Problem 4.11 Problem 4.12

4 Cmpos Electromgnéticos El espcio entre dos plcs metálics circulres de 26 cm de diámetro, situds prlelmente un distnci 2 mm está vcío. Entre ls plcs se estblece un diferenci de potencil de 20 V () Cuánto vle l energí lmcend en el sistem? (b) Supong que, un vez crgdo el condensdor se desconect l fuente y se introduce entre ls plcs un lámin de metcrilto (ε r =3.3) de 2 mm de espesor. Cuánto cmbi l energí lmcend en el sistem? Cómo se explic l diferenci? (c) Suponiendo que el proceso nterior se hubier efectudo sindesconectr l fuente, cuál serí en ese cso l vrición en l energí? Cuánto trbjo relizrí l fuente de tensión? Se construye un recipiente ciĺındrico, con bses perfectmente conductors de sección S, seprds un distnci, y predes perfectmente dieléctrics, de espesor desprecible. El interior se llen hst l mitd con un ĺıquido dieléctrico y permitividd ε. El resto se dej vcío. El recipiente se coloc en un principio con ls bses dispuests horizontlmente. En est posición, se crg hst que l diferenci de potencil entre ls plcs es V 0. Acto seguido se bre el circuito y, sin descrgr ls plcs, el recipiente es girdo 90 lrededor de un eje horizontl. Cuál es l nuev diferenci de potencil entre ls plcs? Cómo vrí l energí lmcend? Desprecie los efectos de borde y l influenci de ls predes Se tiene un condensdor esférico, formdo por dos superficies metálics de rdios y b. Pr mntenerl en su posición, l esfer centrl está sujet por dos cuñs dieléctrics sólids, de permitividd ε 1.Lscuñs tienen form de sectores esféricos, vliendo el semiángulo θ 0 = π/3 pr ls dos cuñs. El resto del espcio entre ls esfers qued vcío. Hlle l cpcidd de este condensdor Supóngse que se tiene un esfer de rdio R un mteril dieléctrico (de permitividd ε) lrededor de l cul hy vcío. En puntos lejdos de l esfer hy impuesto un cmpo eléctrico uniforme E 0. Hlle el potencil eléctrico y los cmpos eléctricos en el interior y el exterior de l esfer. Sugerenci: El cmpo eléctrico dentro de l esfer es uniforme. Sbiendo esto, plique el resultdo del problem 4.2. Deprtmento de Físic Aplicd III 0= / V 1 b Problem 4.14 Problem 4.15

5 Cmpos Electromgnéticos Un esfer metálic de rdio R se encuentr isld y lmcen un crg Q. L esfer se encuentrenelvcío. () Indique l energí lmcend en el sistem (b) Supong que, sin descrgr l esfer, est se recubre con un cp de espesor de un dieléctrico de permitividd ε. Determine l nuev energí lmcend en el sistem. Cómo se explic el cmbio en l energí? (c) Si en lugr de un esfer isld y descrgd tenemos un esfer conectd un generdor que fij su potencil en un vlor V 0, cuál es l energí ntes y después del recubrimiento? Cómo se interpret el cmbio en este cso? En un sistem formdo por dos esfers metálics concéntrics de rdios y c, entre ls cules se encuentrn dos medios dieléctricos, con un interfz ecutoril, existe un fuerz de trcción entre los electrodos, que está usente si solo hy un medio dieléctrico que llene todo el espcio entre ls plcs. Se trt de clculr est fuerz. () Determine l densidd de crg libre en l superficie del electrodo interior. (b) Hlle el vlor del cmpo eléctrico en los mismos puntos. (c) L fuerz sobre un elemento de superficie conductor es df = 1 2 σ le ds Integrndo est fuerz elementl, determine l fuerz net sobre el electrodo interior. Hci donde v dirigid? Cuál es el origen de est fuerz? (d) De form nálog, clcule l fuerz sobre el electrodo exterior. Se verific l tercer ley de Newton? Deprtmento de Físic Aplicd III c Problem 4.18

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7 Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 5. Febrero de Por el interior de un tuberí ciĺındric de rdio fluye un ĺıquido con un velocidd, dependiente de l distnci l eje, ρ, como ( ) v = v 0 1 ρ2 2 u z El ĺıquido posee un densidd de crg uniforme ρ 0, de form que l densidd de corriente es J = ρ 0 v. En el exterior del tubo no hy corriente. () Clcule l intensidd de corriente que trvies un sección por l tuberí. (b) Si se dese que por l superficie del tubo circule un corriente superficil K, deformquel corriente totl se nul, cuánto debe vler K? 5.2. Hlle l velocidd de rrstre de los electrones en un cble de plt de 0.5 mm 2 de sección por el cul circul un corriente de 100 ma Un nube esféric de crg (compuest de un distribución de crgs puntules flotndo en el vcío) se encuentr en expnsión, creciendo el rdio de l esfer como R(t) =R 0 + vt. L crg totl de l nube, Q 0, se encuentr distribuid en todo momento de form uniforme en el volumen de l esfer. A prtir de l ley de conservción de l crg, clcule l densidd de corriente de conducción en l nube. Puede suponerse que J = J(r)u r y que est densidd no es infinit en el centro de l esfer. Clcule el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Se un tubo ciĺındrico, de rdio interior y exterior b, y longitud L, de un mteril de conductividd σ. Clcule l resistenci eléctric () Entre ls dos bses. (b) Entre l cr interior y l exterior. Deprtmento de Físic Aplicd III 5.5. Entre los distintos tipos de cble empledos en l industri, se encuentr el de luminio revestido de cobre. Está formdo por un núcleo de luminio de rdio (supong =2mm), rodedo por un cp de cobre, de rdio exterior b (se b =3mm). () Clcule l resistenci de cble de est clse de longitud L =10km. (b) Determine l corriente que circul por cd metl cundo se plic un diferenci de potencil V 0 = 100 V l cble nterior. b b A V 0 L L Problem 5.4 Problem 5.5 Problem 5.6

8 Cmpos Electromgnéticos Pr determinr l conductividd σ del suelo se mide l corriente entre dos electrodos clvdos en tierr y sometidos un ciert diferenci de potencil. () Supong en primer lugr sólo un electrodo hemisférico de rdio, perfectmente conductor, puesto un potencil V 1 respecto puntos muy lejdos. En el estdo estcionrio, determínese l distribución de potencil en el suelo. Admítse que el potencil depende exclusivmente de l distnci l centro del electrodo. A prtir de este resultdo, clcúlese l resistenci entre el electrodo y el infinito. Supóngse que el suelo posee conductividd igul en todos sus puntos. (b) Supong hor dos electrodos del tipo nterior, del mismo rdio, y muy lejdos entre sí. Si se conectn por el ire medinte un cble idel y un fuente de continu de tensión V 0, qué corriente circul de un electrodo l otro? (c) Si pr un tensión de 100 V entre dos electrodos de 10 cm de rdio se mide un corriente de 0.63 A, cuánto vle l conductividd del suelo? 5.7. L resistividd del ire en l tmósfer decrece exponencilmente con l ltur como donde σ 1 = r = r 1 e α 1z + r 2 e α 2z + r 3 e α 3z i r i (10 12 Ω m) α i (km 1 ) El cmpo eléctrico en zons despejds de l superficie de l Tierr vle E 0 = 100 V/m. Este cmpo es prácticmente constnte y v siempre en l dirección verticl. A prtir de estos dtos hlle () El vlor delcmpo eléctrico pr un punto situdo entre l superficie de l Tierr y l ionosfer (z = 100 km). Deprtmento de Físic Aplicd III (b) L diferenci de potencil entre l superficie y l ionosfer. (c) L distribución de crgs en l tmósfer. (d) L corriente totl que lleg l superficie de l Tierr. (e) L potenci necesri pr mntener est corriente estcionri (f) Estime el tiempo que trdrí l tmósfer en descrgrse si no existier un mecnismo generdor 5.8. Trs un rotur de un cble de cobre (de resistividd r 1 ) de sección S y grn longitud, se procede unir los dos pedzos medinte un solddur. Como consecuenci de l presenci de óxido l resistividd del cble ument hst un vlor r 2 en un región lrededor del punto de contcto, pudiéndose describir mtemáticmente según l ley r(x) =r 1 + r 2 r 1 1+(x/) 2 () Clcule el umento de l resistenci totl del cble. Apĺıquese l cso S = 1mm 2, r 1 = Ω m, r 2 = Ω m, =2mm. (b) Si l potenci máxim por unidd de volumen que soport el hilo ntes de fundirse es p = 700 W/m 3, determine l intensidd de corriente máxim que puede circulr por el cble ntes de l solddur y después de ell.

9 Cmpos Electromgnéticos Se tiene un sistem de cutro electrodos tl como se indic en l figur. Uno de ellos (electrodo 0 ) es un prism cudrdo hueco de ldo interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentr siempre tierr. En su interior se encuentrn tres conductores perfectos. El electrodo 1 es un prlelepípedo de ldos 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos 2 y 3 son sendos prisms cudrdos de ldo 20 mm y ltur 50 mm. l distnci entre superficies conductors vecins es de 1 mm. Todo el espcio entre los distintos electrodos (pero no el exterior l conductor 0) se encuentr lleno de un mteril óhmico de conductividd σ =10 4 S/m () Teniendo en cuent l pequeñez reltiv de ls diferentes distncis clcule, proximdmente, l mtriz de coeficientes de conductnci en este sistem. (b) Hlle ls corrientes que llegn los conductores 1, 2 y 3, cundo se encuentrn conectdos generdores que fijn sus tensiones en V 1 =10V, V 2 =20Vy V 3 = 10 V. (c) Pr l configurción nterior, clcule l potenci disipd en el sistem. (d) Si el electrodo 2 se encuentr tensión V 0 = 100 V, el 1 se dej desconectdo y el 3 se pone tierr, cuáles son ls corrientes que llegn cd conductor y ls tensiones de cd uno? Y si tmbién se desconect el 3? Se tiene un circuito impreso en form de H de un mteril de conductividd σ, concutro terminles, un de ls cules se encuentr permnentemente tierr. Los brzos de l H y el tbique centrl poseen longitud b. Los cutro brzos tienen nchur, ( b) mientrs que el trmo centrl posee nchur 2, según indic l figur. El espesor de tod l pist es c. () Determine l mtriz de los coeficientes de conductnci, G ij, correspondiente los tres terminles libres. Desprecie l pequeñ contribución de ls esquins donde confluyen los brzos. (b) A prtir de l mtriz nterior, clcule ls conductncis G ij y elbore un circuito equivlente l sistem de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios. (c) Determine l potenci consumid en l pist cundo el terminl 1 se encuentr potencil V 0 y los otros tierr. (d) En l configurción nterior se cort l conexión tierr del electrodo 2. En el nuevo estdo estcionrio, se consume más o menos potenci que ntes de l desconexión? Cuánto? Deprtmento de Físic Aplicd III Se tiene un modelo de circuito integrdo formdo por un pist con ls dimensiones indicds en l figur. L pist es de grfito (σ = S/m). El espesor de l pist vle d =1mmen tods prtes. L nchur de cd segmento rectiĺıneo es =4mm, slvo el centrl, que tiene un nchur de 2mm. Tods ls fuentes y conexiones exteriores son ideles (sin resistenci). 0 43mm Profundidd: 50mm mm b 1 b mm 20mm 1mm 2 Problem 5.9 Problem 5.10

10 Cmpos Electromgnéticos 5.4 () Inicilmente el interruptor A está bierto. Clcule el vlor proximdo de l corriente que entr por el electrodo 1, cundo el electrodo 1 está un tensión de 0.5V y el electrodo 4 está tierr. (b) Cuánto vle proximdmente l potenci disipd en el sistem en l situción nterior? (c) Supong que se cierr el interruptor A. Cómo cmbi l corriente que entr por el electrodo 1? Y l potenci consumid? (d) En l situción del prtdo nterior, cuánto vle proximdmente l densidd de corriente en cd trmo recto del circuito? Y l potenci disipd por unidd de volumen? Como modelo idel de generdor supong el siguiente sistem: un esfer de rdio de conductividd σ 1 se encuentr inmers en un medio de conductividd σ 2 que se extiende hst el infinito. En el interior de l esfer ctú un fuerz no electrostátic por unidd de crg E = E 0 u z,constnte y uniforme. () Escrib ls ecuciones y condiciones de slto pr l densidd de corriente, el cmpo y el potencil eléctrico en todo el espcio. (b) Sbiendo que en el interior de l esfer el potencil es de l form yenelexteriordeell clcule ls constntes A y B. φ 1 = Ar cos θ φ 1 = B r 2 cos θ (r <) (r >) (c) Hlle l potenci desrrolld por el cmpo eléctrico en el interior y el exterior de l esfer. (d) Considerndo que l corriente es l que trvies el plno ecutoril de l esfer (z =0, r<) determine l fuerz electromotriz, l resistenci intern y l extern del circuito equivlente. (e) A qué tienden los resultdos cundo σ 1 σ 2? Y cundo σ 1 σ 2? Entre dos plcs plns y prlels, perfectmente conductors, de sección S, y seprds un distnci se encuentr un medio resistivo, de permitividd ε y conductividd σ. Entre ls plcs hy estblecid un tensión V 0. Deprtmento de Físic Aplicd III () Hlle l corriente que circul entre ls plcs y l crg lmcend en cd un, sí comol energí lmcend en el sistem. (b) En t =0se desconect el generdor. Determine l evolución de l crg en ls plcs prtir de ese momento. A mm 4mm 60mm 2mm 4mm 30mm 30mm 0 30mm 4mm 1 V 0 =5V Espesor: 1mm Problem 5.11

11 Cmpos Electromgnéticos 5.5 (c) Hlle l energí disipd en el medio durnte el proceso de descrg del condensdor. (d) Describ el comportmiento del sistem medinte un circuito equivlente Entre dos plcs plns y prlels seprds un distnci + b se coloc un cp de espesor de un medio de permitividd ε y conductividd σ. El resto del espcio lo ocup un cp de espesor b vcí. En el instnte t =0se conect un diferenci de potencil V 0. () Cuánto vlen E, D y J inmeditmente después de conectr el potencil? (b) Cuánto vlen un tiempo lrgo después de que se hy estblecido? (c) Cuánto vlen en culquier instnte? Unmedioóhmico de permitividd ε, conductividd σ y sección S/2 rellen prcilmente el espcio entre dos plcs plns y prlels perfectmente conductors, mbs de sección S y seprds un distnci. L otr mitd del espcio entre ls plcs qued vcío. Inicilmente el sistem se hll en estdo estcionrio, con un diferenci de potencil V 0 entre ls plcs () Determine los cmpos E, J y D en el sistem, sí como ls densiddes (volumétrics y superficiles) de crg libre y de polrizción. (b) Clcule l energí eléctric lmcend y l potenci que sedisip en el sistem en este estdo estcionrio. En t =0se desconect el generdor, quedndo el circuito bierto (c) Determine los cmpos E, J y D y ls distribuciones de crg en el sistem cundo, psdo un tiempo lrgo, se lcnz de nuevo un estdo estcionrio. (d) Determine l evolución temporl de estos cmpos y crgs pr todo t>0. (e) Cuánt energí se disip en el proceso? Entre dos plcs metálics, plns y prlels, de sección S, y seprds un distnci, se encuentr un medio óhmico de permitividd ε y conductividd σ. Deprtmento de Físic Aplicd III Ambs plcs están conectds sendos generdores de tensión vrible. () Inicilmente mbs plcs se encuentrn tierr. Entonces, l tensión de l plc 1 se vrí grdulmente de 0 V 0 en un tiempo T como V 1 (t) =V 0 t/t. Determine l corriente que lleg est plc durnte este tiempo. (b) Pr el periodo nterior, clcule l energí disipd en el medio óhmico, sí como l energí portd por el generdor en este intervlo. Coinciden ests dos cntiddes? Si no lo hcen, qué se debe su diferenci? V 0 t=0 ε σ=0 0 ε, σ V 0 Problem 5.14 Problem 5.15

12 Cmpos Electromgnéticos 5.6 (c) Un vez que l plc 1 se encuentr tensión V 0, el potencil de l plc 2 comienz elevrse hst el mismo vlor, requiriendo de nuevo un periodo T pr lcnzr el vlor ĺımite. Cuánt corriente lleg l plc 1 durnte este intervlo? Y l plc 2? (d) Durnte este segundo periodo, cuánt energí se disip en el medio? Cuánt port cd generdor? Se verific el blnce energético? Dos esfersmetálics, perfectmente conductors, de rdio, se encuentrn muy lejds l un de l otr (de form que no se influyen entre sí). Ls dos esfers se encuentrn conectds medinte un cble de resistenci R. Un de ls esfers se encuentr conectd un generdor de tensión V 0, trvés de un interruptor que inicilmente se encuentr bierto. Ambs esfers están inicilmente descrgds. () Supong que el interruptor se cierr durnte un periodo de tiempo muy corto (el imprescindible pr que se crgue l esfer conectd él) y se vuelve brir. Justo trs este intervlo cómo es l distribución de crgs y potenciles en ls esfers? Cuánto vle l energí electrostátic lmcend en el sistem? (b) Si se dej trnscurrir un periodo de tiempo lrgo, cómo qued l distribución de crgs y potenciles? Cuál es l energí electrostátic lmcend en el sistem en el estdo finl? (c) Determine l evolución en el tiempo de ls crgs y potenciles en cd esfer, sí como l corriente que circul por el cble. (d) Hlle l energí disipd en el cble durnte el periodo trnsitorio y verifique que se stisfce el blnce energético. (e) Supong hor que, en el proceso nterior, el generdor no se desconect, sino que se dej permnentemente conectdo l primer esfer. En ese cso, cómo vrí l crg en cd esfer? Y l corriente por el cble? Y l energí disipd y l energí lmcend? Un esfer de rdio se despolriz según l ley P(r,t)=ke λt ru r Deprtmento de Físic Aplicd III Determine ls densiddes de crg de polrizción, sí como l densidd de corriente de polrizción. Se verific l ley de conservción de l crg pr ρ p y σ p? Supong que se sumergen dos conductores perfectos en un mteril de permitividd ε y conductividd σ. Si se plic entre ellos un diferenci de potencil constnte V 0 l corriente que lleg uno de ellos vle I 0. Cuál será l corriente si el voltje vrí como V 0 cos ωt? Supong que en los problems 5.13, 5.14 y 5.15 y 5.17, en lugr de un señl esclón plicmos un tensión ltern V = V 0 cos(ωt). Pr cd un de ests configurciones: () Cuánto vle l corriente que lleg l elemento? Cuál es l impednci del sistem? Y el circuito equivlente? (b) Cunto vle l energí portd por el generdor en un periodo? En qué se emple est energí?

13 Escuel Técnic Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 6. Abril de Un prtícul de ms m y crg q se mueve en el interior de un cmpo mgnético uniforme B = B 0 u z.silprtícul se hll inicilmente en el origen y moviéndose con velocidd v = v 0. Cuál es l tryectori posterior? Cuál es l posición en un instnte de tiempo t? 6.2. Dos crgs puntules igules +q se mueven con l mism celeridd v de form que en un instnte se encuentrn situds en r 1 = 0 y r 2 = u x, respectivmente. Si ls dos crgs se mueven con velociddes pequeñs v = vu z, clcule el vlor proximdo de l fuerz eléctric y de l fuerz mgnétic que ejerce cd crg sobre l otr. Cuál es l proporción entre ests dos fuerzs? Cómo cmbin ests fuerzs si se cmbi el signo de un de ls crgs, el sentido de un de ls velociddes, o mbs coss l vez? Clcúlese el vlor de ests fuerzs si v 1 = vu z, v = vu x. Se verific l tercer ley de Newton? 6.3. Un espir pln de form irregulr se coloc de form que prte de ell se encuentr en un cmpo mgnético uniforme B (en l figur el cmpo ocup l región sombred y punt perpendiculrmente l plno de l espir). Por l espir circul un corriente I. Pruebe que l fuerz mgnétic net sobre l espir es F = IBs, donde s es l cuerd subtendid. Generlice este resultdo pr el cso de que l form de l región ocupd por el cmpo mgnético se tmbién irregulr. En qué dirección punt l fuerz? 6.4. Clcule el cmpo mgnético credo en todos los puntos del espcio por un segmento de longitud L por el cul circul un corriente continu I. () A prtir del resultdo nterior, clcule el cmpo mgnético debido un hilo rectiĺıneo de longitud infinit por el cul circul un corriente I. (b) Por l espir de form irregulr de l figur circul un corriente I. Hlle el vlor del cmpo en el punto P. Deprtmento de Físic Aplicd III 6.5. Un ĺıne de lt tensión trifásic está formd por tres hilos prlelos coplnrios, seprdos un distnci, por los cules circuln ls corrientes I 1 = I 0 2 ( cos(ωt) ) 3sen(ωt) I 2 = I 0 cos(ωt) I 3 = I 0 2 siendo ω l frecuenci de oscilción, que se consider muy bj. B ( cos(ωt)+ ) 3sen(ωt) b v v I s q q P I Problem 6.2 Problem 6.3 Problem 6.4 β

14 Cmpos Electromgnéticos 6.2 () Clcule l circulción, como función del tiempo, del cmpo mgnético B lo lrgo de un contorno rectngulr de bse 3 y ltur perpendiculr l plno de los hilos y que rode los tres. (b) Clcule el vlor del cmpo mgnético en el plno de los hilos. (c) Hlle l fuerz sobre un segmento de longitud L del hilo centrl, como función del tiempo. Cuánto vle l fuerz máxim? Clcule su vlor numérico pr el cso =1m, L =1m, ω = 100π s 1, I 0 =2kA Un espir rectngulr de ldos y b, recorrid por un corriente I 1, es coplnri con un conductor rectiĺıneo, por el que circul un corriente I 2. L distnci del centro de l espir l hilo es d. Hlle l fuerz que prece entre el hilo y l espir Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del eje de un espir circulr de rdio por l cul circul un corriente continu I Un disco de rdio lmcen un crg Q distribuid uniformemente en su superficie. El disco gir con velocidd ngulr ω lrededor de su eje. Clcule el cmpo mgnético en los puntos de dicho eje En el plno z =0se encuentrn dos nillos coplnrios concéntricos, de rdios y b (b >). Por el nillo interior circul un corriente I 0. () Hlle l corriente I 1 que debe circulr por el nillo exterior pr que el cmpo mgnético en el centro de los nillos se nule. (b) Clcule el cmpo mgnético en todos los puntos del eje del sistem. (c) Hlle el cmpo en todos los puntos del espcio lejdos de los nillos. (d) Supong que b =2 y que nos situmos un ltur z =10. Cuál es el error reltivo cometido l proximr el vlor excto del cmpo por l proximción dipolr? Un solenoide de rdio, ltur h y n espirs por unidd de longitud, puede proximrse por un distribución de corriente superficil sobre un cilindro. Deprtmento de Físic Aplicd III () Hlle el vlor K equivlente que por ls espirs circule un corriente I. (b) Emplendo l ley de Ampère, clcule el cmpo producido por el solenoide, si h. (c) Medinte integrción direct, hlle el cmpo mgnético en los puntos del eje del cilindro si h es finito. Estudie el ĺımite h Sobre un cilindro de rdio y longitud infinit fluye un corriente superficil de densidd uniforme K. Hlle el cmpo mgnético en todos los puntos del espcio. z I I 1 2 b h I Problem 6.6 Problem 6.9 Problem 6.10

15 Cmpos Electromgnéticos Por el interior de un tuberí ciĺındric de rdio fluye un ĺıquido con un velocidd, dependiente de l distnci l eje, ρ, como ( ) v = v 0 1 ρ2 2 u z El ĺıquido posee un densidd de crg uniforme ρ 0, de form que l densidd de corriente es J = ρ 0 v. En el exterior del tubo no hy corriente. () Hlle el cmpo mgnético que se produce tnto en el interior de l tuberí como en el exterior de ell. (b) Clcule l fuerz que el cmpo mgnético ejerce sobre un crg q quesemueveconel ĺıquido, un distnci /2 del eje Clcule el momento mgnético de l espir en form de cudrilátero del problem 6.4 y de l espir tridimensionl de l figur, formd por seis rists de un cubo Por un cble verticl muy lrgo, se hce circulr un corriente I 0. Un pequeño imán (equivlente undipolomgnético m), de peso Mg, se suspende de un hilo idel, de longitud l, cuyo punto de sujeción se encuentr un distnci del cble. El imán está sujeto por su punto centrl, de form que puede orientrse libremente. En que dirección puntrá el imán? Clcúlese l fuerz mgnétic sobre el imán, cundo se encuentr un distnci x del cble. Hlle l ecución pr el ángulo que el hilo form con l verticl Sobre un mes horizontl se colocn dos brújuls (equivlentes dipolos mgnéticos) igules, de form que sus centros distn un cntidd. Ls dos brújuls pueden girr en el plno horizontl. Considerndo que l intercción brújul-brújul es mucho myor que l cción del cmpo mgnético terrestre, ordene ls cutro configurciones de l figur de menor myor energí. Cómo se orientrán ls brújuls? Se tiene un pequeño imán, modelble como un dipolo mgnético puntul de momento mgnético m 0 = m 0 u z, situdo un ciert ltur z sobre el eje de un espir circulr de rdio por l que circul un corriente eléctric continu de intensidd I 0. Deprtmento de Físic Aplicd III Clcule l fuerz que l espir ejerce sobre el dipolo, y l que el dipolo produce sobre l espir. Se verific l tercer ley de Newton? () (b) I l m (c) (d) Problem 6.13 Problem 6.14 Problem 6.15

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