Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Escuel Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 1. Septiembre de 2003 Problems básicos 1.1. Exprésense los siguientes cmpos vectoriles en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics: A = r B= y x 2 + y 2 u x x + x 2 + y 2 u y C =2ρzu ρ (ρ 2 z 2 )u z D = r tg θ u θ 1.2. Descríbnse ls superficies equipotenciles de los siguientes cmpos esclres ) φ = A r b) φ = r 2 c) φ = A r + r 2 d) φ = r 2 /A r donde A es un vector constnte y r es el vector de posición Si φ = φ(u), conu = u(x, y, z), demuéstrese que φ = dφ du u Encuéntrese φ si ) φ =ln r, b) φ = r n, c) φ =1/ r r Demuéstrese que el volumen limitdo por un superficie cerrd τ viene ddo por τ = 1 r ds 3 con r el vector de posición respecto un origen rbitrrio. τ 1.5. Hállese el vlor de l integrl AdS con A =cotgθu r u θ y l superficie de integrción un esfer de rdio R centrd en el origen Demuéstrese que si φ es un función que depende de x, y y z trvés de un ciert función u, entonces 2 φ = d2 φ du 2 ( u)2 + dφ du 2 u Aprtirdequí, clcúlese el lplcino de un función φ(r), que depende sólo de l distnci l origen. Pruébese que éste puede tmbién escribirse de ls siguientes forms 2 φ(r) = 1 d 2 (rφ) r dr 2 2 φ(r) = 1 ( d r 2 r 2 dφ ) dr dr 1.7. Demuéstrese que si r es el vector de posición y B un cmpo vectoril rbitrrio (B )r = B (B ) r =0 (B ) r = 2B Igulmente, pr el cso prticulr en que B represente un vector constnte, demuéstrese que (B r) =B (B r) =0 (B r) =2B

2 Cmpos Electromgnéticos Sen φ y A un cmpo esclr y uno vectoril, respectivmente, que dependen de l posición trvés de l combinción r r, esto es φ = φ(r r ) A = A(r r ) Demuéstrese que se cumplen ls identiddes siguientes φ = φ 2 φ = 2 φ A = A A = A donde el operdor represent l derivción respecto ls componentes de r Se define l función delt de Dirc en tres dimensiones como quell distribución que verific δ(r) =0 (r 0) δ(r) dτ =1 con l últim integrl extendid todo el espcio. Prúebese que: () ( ) r r 3 =4πδ(r) (b) ( ) 2 1 = 4πδ(r r 0 ) r r Hállese el lplcino del cmpo vectoril A = r n r Clcúlese el grdiente y el lplcino de l función φ =2z 2 x 2 y 2 en coordends crtesins, ciĺındrics y esférics. Compruébese que los resultdos son independientes del sistem de coordends elegido. Problems de nivel medio Hállese el flujo del cmpo A = r trvés de l superficie del triángulo limitdo por los vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1). (Sugerenci: pĺıquese el resultdo del problem 1.4) El cmpo de velociddes de un sólido puede escribirse como v(r) =v 0 + ω r con v 0 y ω constntes. Determínense ls fuentes esclres y vectoriles de este cmpo Determínese l divergenci y el rotcionl del cmpo vectoril A = ρ 2 cos ϕ u ρ + ρ 2 sen ϕ u ϕ emplendo coordends crtesins, ciĺındrics y esférics.

3 Cmpos Electromgnéticos De ls siguientes expresiones ) ( φ) b) ( φ) c) ( φ) d) ( φ) e) ( A) f) ( A) g) ( A) h) ( A) i) ( φ) j) ( A) k) ( )A l) (A )φ m) (φ ) A n) (A ) A o) (A )A p) (A ) A (donde φ es un cierto cmpo esclr y A uno vectoril) indíquense cuáles no tienen sentido. De ls que tienen sentido, señálense ls que son idénticmente nuls. De ls que no son nuls, clcúlese su vlor pr los cmpos φ = xyz A = x 2 u x + xzu y xyu z Hállese el ángulo sólido subtendido desde el origen de coordends por un disco horizontl de rdio R situdo un ltur h sobre el origen: () Utilizndo coordends ciĺındrics (b) Usndo coordends esférics (Sugerenci: En lugr del disco empléese otr superficie que subtiend el mismo ángulo sólido) De los siguientes cmpos, indíquese cules son solenoidles, cuáles son irrotcionles y cuáles rmónicos () A = yzu x + xzu y + xyu z (b) B = ρu ϕ (c) C = ru r ρu ρ (d) D =2r 2 3ρ 2 (e) E = z/cos θ (f) F = r sen θu ϕ + yu x ρ cos ϕu y

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5 Escuel Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 2. Octubre de 2003 Problems básicos 2.1. Un electroscopio mide l crg por l desvición ngulr de dos esfers idéntics conductors, suspendids por cuerds islntes de mss desprecibles y longitud l. Cd esfer tiene un ms m y estásometidlgrveddg. Ls crgs pueden considerrse como puntules e igules entre sí. Hállese l ecución que lig el semiángulo θ con el vlor de l crg totl Q depositd en ls esfers. Supóngse que l ms de cd esfer es m =10 4 kg y l longitud del cble del que penden es 20 cm. Admítse simismo que los ángulos de desvición puede medirse como mucho con un precisión de 1. Cuál es l crg mínim que puede medirse con este prto? Y l crg máxim? 2.2. Eltuboderyosctódicos de un osciloscopio consiste en un hz de electrones que son emitidos por un cátodo con velocidd horizontl v 0 = v 0 u x. Estos electrones psn entre dos plcs prlels, seprds un distnci b, entre ls cules existe l tensiónquesepretendemedir,deformque el cmpo eléctrico entre ells tiene el vlor V/bu z. Ests plcs tienen un longitud w. A un distnci L del fin de ls plcs se encuentr un pntll, sobre l cul inciden los electrones. Clcúlese l ltur del punto de impcto en función de l tensión plicd y los restntes prámetros del sistem. Cómo se consigue que el hz de electrones brr l pntll y no se muev sólo verticlmente? 2.3. Sen dos crgs puntules q 1 y q 2, situds l primer en el origen de coordends y l segund en u z.demuéstrese que existe un punto en que el cmpo eléctrico se nul. Hállese l posición de tl punto, teniendo en cuent ls diferentes posibiliddes en cunto signos y mgnitudes de ls dos crgs. Existe lgún cso en que no hy punto de cmpo nulo? 2.4. Se disponen siete crgs igules en los vértices de un octógono regulr situdo en el plno xy, con centro el origen, quedndo vcío el octvo vértice, situdo en r = u x. Cuánto vle el cmpo eléctrico en el centro del octógono? Y en los demás puntos del eje z? 2.5. Dos ĺınes infinits con densidd de crg λ y λ se colocn prlelmente un distnci 2 un de l otr. Hállese: () El cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Hállese el potencil eléctrico tomndoel origen decoordendscomo referenci. Demuéstrese que ls superficies equipotenciles son cilindros rectos y hállese el centro y el rdio en función del potencil V. V z y x v 0 w L Problem 2.2 Problems 2.5

6 Cmpos Electromgnéticos 2.2 (c) Considérese el ĺımite en que 0, λ con λ b =cte. A quétiendeelcmpo eléctrico en este ĺımite? Y el potencil? 2.6. Se considern dos plnos prlelos, seprdos un distnci. Uno de ellos, situdo en x = /2 posee un distribución de crg uniforme σ 0, mientrs que l del otro es σ 0. Hállese el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. Asimismo, determínese el cmpo pr el cso de tres plnos prlelos entre sí y equiespcidos un distnci. El centrl posee un densidd de crg superficil 2σ 0, mientrs que los otros dos l tienen de σ 0 cd uno Hállese el cmpo eléctrico en todos los puntos del eje de un nillo de rdio R sobre el cul hy un densidd de crg uniforme λ. A prtir de este resultdo, clcúlese el cmpo credo por un coron circulr de rdios R 1 y R 2 (R 1 <R 2 ), sobre l cul hy un densidd de crg uniforme σ 0, en los puntos de su eje. AquesereducesiR 1 0? YsiR 2? Considérese en prticulr el comportmiento en ls proximiddes de z = Se tienen dos esfers del mismo rdio, crgds uniformemente, un de ells con densidd de crg +ρ y l otr con densidd de crg ρ. Dichs esfers se colocn de form que sus centros distn un cntidd, menor que el rdio de ls esfers, por lo cul intersecn como se ve en l figur. () Clcúlese el cmpo eléctrico en l zon de intersección. (b) Hállese l expresión del cmpo eléctrico en puntos exteriores ls dos esfers y lejdos de ls misms. (c) En el ĺımite ρ, 0, conρ b =cteclcúlese l densidd de crg superficil que prece en l esfer resultnte Se tienen dos crgs puntules de vlor q situds en los puntos ±(/2)u y. Hállese el flujo del cmpo eléctrico trvés de un triángulo con vértices en los puntos u x, u y y u z Hállese el potencil credo por dos crgs q 1, q 2 situds un distnci un de l otr. Demuéstrese que l superficie equipotencil V =0es un esfer Se tiene un esfer con un densidd de crg uniforme ρ 0,derdioR y centro el origen, en l que se h horddo un cvidd, tmbién esféric, de rdio R/2 y centro un punto situdo un distnci R/2 del centro de l esfer de rdio R. Hállese el trbjo necesrio pr trer un crg desde el infinito hst el origen de coordends (centro de l esfer de crg) Hállese los momentos monopolr (crg) y dipolr de ls siguientes distribuciones de crgs. Descríbse el cmpo y el potencil eléctrico grn distnci de ls misms: () Dos crgs de vlor +q en los puntos ±u z (b) Tres crgs positivs +q en los puntos u x, u y, u z y tres negtivs q en u x, u y, u z. z q q y R 2 R 1 x Problem 2.7 Problem 2.8 Problem 2.9

7 Cmpos Electromgnéticos 2.3 (c) Un vrill verticl de longitud L, centrd en el origen, con densidd de crg uniforme λ. (d) L mism vrill con un distribución de crg λ = kz. (e) Un superficie esféric sobre l cul hy un distribución de crg σ s = σ 0 cos θ. (f) L mism superficie con distribuciones σ s = σ 0 cos 2 θ, σ s = σ 0 sen θ y σ s = σ 0 sen θ cos φ (g) Un esfer con densidd de crg ρ = ρ 0 cos θ Cutro crgs puntules se sitún en los vérticesdeuncudrdodeldo. Dos de ells, situds en vértices dycentes, son de vlor +q, mientrs que ls otrs dos vlen q. Clcúlese el trbjo pr reunir est distribución de crgs. Supóngse que un de ls crgs positivs se intercmbi con l negtiv situd en el vértice opuesto, qué trbjo hy que relizr pr est operción? Si l crg positiv se permut con l negtiv situd en el vértice vecino, cuál será en este cso, el trbjo relizdo? Clcúlese l energí libre electrostátic de: () Un crg Q distribuid uniformemente sobre l superficie de un esfer de rdio R. (b) Un crg Q distribuid uniformemente en el volumen de un esfer de rdio R (c) Cuál de ls dos configurciones posee un menor energí lmcend? Cómo se interpret este resultdo si se us l integrl de l densidd de energí ε 0 E 2 /2? (d) El llmdo rdioclásico delelectrón seobtiene describiendoest prtícul como un pequeñ esfer de rdio, crgd uniformemente en su superficie. Suponiendo que l energí electrostátic lmcend en el sistem equivle l ms del electrón de cuerdo con l ley E = mc 2,hállese el vlor numérico del rdio que debe tener el electrón. Repítse hor el cálculo pr el cso de un protón. Es lógico el resultdo que se obtiene? Problems de nivel medio Enelmodelotómico de Bohr, el estdo fundmentl del átomo de hidrógeno consiste en un protón en el centro del átomo, y un electrón describiendo órbitscirculresderdio 0 en torno l núcleo. () Hállese l fuerz que el protón ejerce sobre el electrón y l celerción de éste. (b) Clcúlese l velocidd orbitl del electrón. Compárese est velocidd con l de l luz. (c) Determínese el periodo orbitl del electrón y l velocidd ngulr. (d) Compárese l fuerz eléctric con l fuerz grvittori protón-electrón. Dtos: Crg del protón y del electrón: ±e = ± C;msdelprotón: m p = kg; ms del electrón: m e = kg; rdio de Bohr: 0 = m; k e = 1/(4πε 0 )= Nm 2 /C 2 ; velocidd de l luz c = m/s; constnte de grvitción universl: G = Nm 2 /kg 2. q z R q Q x ' R y Problem 2.16 Problem 2.17 Problem 2.18

8 Cmpos Electromgnéticos Se dispone de tres crgs, un de vlor Q y ls otrs dos de vlor q. Ests crgs se ensrtn en un nillo circulr de rdio R sobre el cul pueden deslizr libremente. Determínese l ecución pr los ángulos del triángulo que formn ls tres crgs. Cuál es l solución pr los csos Q q, Q = q y Q q? Hállese el cmpo credo por un segmento rectiĺıneo de longitud L dotdo de un densidd de crg λ. A prtir del resultdo nterior, clcúlese el cmpo eléctrico en culquier punto del eje que ps por el centro de un poĺıgono regulr de N ldos de potem R y densidd de crg λ. A qué tiende el resultdo cundo N? En el plno xy se encuentr un distribución de crg linel, formndo medio nillo circulr, de rdio R y con un distribución de crg no uniforme dd por λ = λ 0 cos ϕ ϕ (0,π) () Hállese el potencil y el cmpo eléctrico en los puntos del eje z. (b) Si en el punto r 0 = u z se coloc un dipolo puntul de vlor p 0 = p 0 u z, quefuerzejerceel nillo sobre este dipolo? (c) Suponiendo de nuevo sólo el nillo, demuéstrese que, pr puntos lejdos, el cmpo del nillo se comport como el de un dipolo, cuál serí el vlor y l orientción de dicho dipolo? Dos plnos se encuentrn crgdos uniformemente con densiddes de crg +σ 0 y σ 0 y se cortn formndoun ángulo recto. Encuéntrese el cmpo eléctrico y ls ĺınes de cmpo en todoslos puntos del espcio Se tiene un distribución de crg uniforme ρ 0, que ocup un volumen ciĺındrico de rdio R y longitud infinit. En este cilindro se h horddo un hueco esférico, tmbién de rdio R. Se tom como eje z el del cilindro y origen de coordends el centro del hueco. () Hállese el cmpo eléctrico en el interior del hueco. (b) Clcúlese el potencil eléctrico en el hueco, tomndo como origen de potencil el centro del hueco. (c) Clcúlese el trbjo pr mover un crg q desde el punto Ru z l punto Ru x, lo lrgo de un rco de circunferenci sobre l superficie del hueco Se tienen cutro posibles cmpos eléctricos. En l región r<r, vienen ddos por ls expresiones ( E 1 = E r ) cos θu r + E 0 (9 r ) R R 8 sen θu θ E 2 = E 0 cos θu r + E 0 sen θu θ ( E 3 =2E 0 cos θu r 2E 0 sen θu θ E 4 = E 0 6 r ) ( R 4 cos θu r + E r ) sen θu θ R mientrs que en l región r>rtodos vienen ddos por l mism expresión E =2 E 0R 3 r 3 cos θu r + E 0R 3 r 3 sen θu θ () Indíquese cules pueden ser cmpos electrostáticos. (b) Pr los csos posibles, clcúlense ls densiddes de crg que producen los cmpos Se tienen dos discos plásticos de rdio 1 cm y espesor desprecible, sobre los cules se distribuyen de mner uniforme crgs de +1 nc y 1nCrespectivmente. Estos discos se disponen prlelmente en z = ±/2. Determínese () El vlor proximdo de l diferenci de potencil entre los centros cundo l distnci = 1 mm

9 Cmpos Electromgnéticos 2.5 (b) El vlor proximdo del voltje si = 1m. (Pr ello deben tenerse en cuent tnto el potencil que un disco cre en su propio centro como el que un disco cre en el otro). (c) Determínese exctmente l diferenci de potencil entre los centros pr culquier vlor de. Compárese el resultdo con los dos nteriores. Cuánto es, proximdmente, el error cometido en el primer prtdo? Y en el segundo? Se tiene un dipolo puntul p 1 = pu z sobre el cul situmos el origen de coordends. Se coloc un segundo dipolo de l mism mgnitud, pero diferente orientción, en el punto u z. () Hállese l fuerz y el pr que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este está orientdo como p 2 = pu z. (b) Clcúlese el vlor numérico de est fuerz si los dos dipolos son moléculs de gu (p = C m) situds un distnci de 1nm. (c) Repítse el cálculo si p 2 = pu x Supóngse que se sitú un crg puntul q en l posición u x y un crg q 2 en u y. Quévlor debe tener q 2 pr que, l trer un crg q 3 desde el infinito l punto u x no se relice trbjo? Suponiendo que se d el cso nterior, cuál debe ser el vlor de q 3 pr que l trer un crg q 4 = q desde el infinito l punto u y tmpoco se relice trbjo? Supuesto que se h construido l configurción nterior, qué trbjo se debe relizr pr intercmbir ls posiciones de ls crgs q 3 y q 4? Un modelo de átomo es el constituido por un crg puntul positiv q, situd en el centro de un nube esféric de rdio y con densidd de crg uniforme ρ 0. () Hállese el cmpo y el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio (supóngse el origen de coordends en el centro del átomo). Téngse en cuent que el átomo es globlmente neutro. (b) Supóngse que se coloc un crg puntul q 1 en el interior de l nube, en el punto r 1 = (/2)u z. Cuáles el trbjo pr mover est crg desde este punto l r 2 = (/2)u z lo lrgo de un semicircunferenci? Cuál serí el trbjo si en lugr de un crg puntul tenemos un dipolo que movemos lo lrgo de l mism curv, siendo su orientción en todo momento p = pu z? Y si su orientción es en todo momento p = pu x? z q y 0 x Problem 2.25

10 Cmpos Electromgnéticos 2.6 Problems de mplición Descríbse el movimiento de un crg puntul q, demsm, situd en cd uno de los cmpos eléctricos siguientes: () Un cmpo uniforme E 0 (b) Un cmpo oscilnte de bj frecuenci E = E 0 cos(ωt). (c) El cmpo de otr crg puntul, Q situd en el origen. Distíngnse los csos según el signo de Q. (d) El cmpo producido por un nube de crg esféric, de rdio R y densidd ρ, suponiendo que l crg q permnece en todo momento en el interior de l nube Sen dos crgs, ±q situds en posiciones u z, sobre el eje z. Pr un ĺıne de cmpo rbitrri, hállese l relción entre el ángulo que form con el eje, en su punto de prtid y l distnci este mismo eje cundo ps por el plno z =0.(Sugerenci: Empléese l ley de Guss, plicd un tubo de cmpo.) Se tiene un superficie esféric huec, de rdio R, sobre l cul hy un distribución de crg σ s, no uniforme. No hy más crg en el sistem. () Pruébese que el potencil en el centro de l esfer es V = 1 Q 4πε 0 R siendo Q l crg totl de l distribución. (b) Pruébese que el cmpo eléctrico en el centro de l esfer es E = 1 4πε 0 siendo p el momento dipolr de l distribución. p R 3

11 Escuel Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 3. Noviembre de 2003 Problems básicos 3.1. Se tiene un cubo hueco de predes conductors, cinco de ls cules se encuentrn puests tierr, mientrs l sext está un potencil V. Cuánto vle el potencil en el centro del cubo? Por qué? Cuánto vldrí si cd cr estuvier un potencil distinto? Y si en vez de un cubo se trtr de un tetredro? Cómo se extiende el resultdo l cso de un esfer con un ciert distribución de potencil sobre su superficie? 3.2. En un sistem de tres conductores se conocen los coeficientes de cpcidd C ij. Si dos de los conductores se unen medinte un hilo conductor idel, cuánto vle l mtriz del nuevo sistem de dos conductores en función de los coeficientes de cpcidd ntiguos? 3.3. En un esfer metálic de rdio R se hn hecho dos cviddes, tmbién esférics, de rdio R/2. Concéntrics con cd un de estos huecos se hlln sends esfers metálics de rdio R/4. Nohy más conductores en el sistem. Supóngse que l esfer exterior se encuentr isld y descrgd, mientrs que ls interiores se encuentrn tensión V 0 y 0, respectivmente. Cuál es l crg en cd conductor? Y el potencil? Hállese l energí lmcend en el sistem Hállese l cpcidd por unidd de longitud de un cble coxil formdo por dos conductores ciĺındricos concéntricos de rdios y b (b >). Supóngse que se construye un condensdor coxil formdo por un núcleo interior ciĺındrico de rdio, rodedo de un cortez ciĺındric concéntric de rdio b (que se puede colocr un tensión V ), envuelt su vez por un blindje exterior, tmbién ciĺındrico y concéntrico de rdio c, tmbién puesto tierr. Cuál es l cpcidd por unidd de longitud de este sistem? 3.5. Se un sistem de tres esfers lineds y equiespcids. En este sistem, qué coeficientes de potencil son igules entre sí? Cuáles diferentes? Admítse que p 11 = p 22, y que inicilmente en l esfer centrl hy un crg Q, estndo ls otrs dos descrgds. Suponiendo que l esfer centrl se conect lterntivmente l esfer 1 yl 3. Cómo quedn ls crgs después de l primer conexión 1-2? y después de l conexión 2-3? cómo quedrá después de infinits conexiones? V 0 1=1' 2' 3 2 Problem 3.1 Problem 3.2 Problems 3.3 y 3.18

12 Cmpos Electromgnéticos Cundo se plic un cmpo eléctrico uniforme E 0 = E 0 u z un esfer conductor de rdio, se produce un seprción entre crgs positivs y negtivs. De est form, el cmpo totl en el exterior (incluyendo el debido l propi esfer) equivle l sum del cmpo plicdo más el cmpo de un dipolo puntul, situdo en el centro de l esfer. () Hállese el vlor del momento dipolr equivlente ls crgs de l esfer. (b) Clcúlese l densidd de crg sobre l superficie esféric. (c) Determínese el vlor de l presión electrostátic sobre el conductor. Si l esfer fuer de un mteril fluido (gu, por ejemplo), cómo tenderí deformrse? 3.7. Se tiene un sistem formdo por cutro conductores esféricos de rdio, cuyos centros están situdos en los vértices de un tetredro regulr de rist b. Supóngse que, en este sistem C 11 =4C, C 12 = C. 1. Cuánto vlen los demás coeficientes de cpcidd e inducción en este sistem? 2. Supóngse que inicilmente uno de los conductores lmcen un crg Q, mientrs que los otros tres están descrgdos. Cuánto vle el potencil de cd conductor? Y l energí lmcend? 3. Si en el sistem nterior los cutro conductores se conectn todos entre sí, cunto vlen l crg, el potencil y l energí electrostátic? Problems de nivel medio 3.8. Considérese el sistem de conductores de l figur. Está formdo por cutro conductores, de los cules el 1 y el 2 son simétricos con el 4 y el 3, respectivmente. En este sistem, qué coeficientes de cpcidd e inducción son nulos? Cuáles positivos? Cuáles negtivos? Cuáles igules entre sí? Supóngse que medinte finos hilos conductores se conect el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4. Cómo qued l nuev mtriz de cpciddes prtir de l mtriz del sistem originl? 3.9. Pruébese que, ddo un sistem de conductores, siempre se verific C ii > 0 C ij 0 (i j) p ij > 0 i, j p ii p ij j En qué cso se cumple p ii = p ij con j i? Considérese l disposición de l figur, constituid por cutro plcs cudrds formndo ángulos rectos. El ldo de ls plcs es b y l distnci l centro es. Desprecindo efectos de borde (esto, es, dmitiendo que ls ĺınes de cmpo son rcos de circunferenci), determínense l mtriz de cpciddes del sistem. Es posible hllr los coeficientes de potencil? b c Problem 3.4 Problem 3.5 Problem 3.8

13 Cmpos Electromgnéticos Se tiene un sistem formdo por tres conductores cúbicos de rist b, tl como indic l figur. L distnci entre dos cubos consecutivos es b, l mism que los sepr de un conductor exterior que rode completmente los tres conductores. Este conductor exterior se encuentr permnentemente tierr. () Hállese l crg y el potencil de cd conductor cundo los cubos lterles se encuentrn un tensión V 0, y el cubo centrl lmcen un crg Q 0. (b) Supóngse que, prtiendo de l situción nterior, se desconectn los cubos lterles, sin descrgrlos, y se conect el centrl uno de los lterles, cuánto vlen entonces ls crgs y los potenciles en cd conductor? Despréciense los efectos de borde Un condensdor rel puede estr formdo por dos fins tirs metálics de ncho w =0.5cm y longitud l =2m. Entre ls dos tirs se intercl tirs de ppel dieléctrico (cuy permitividd es 2 veces l del vcío) de espesor =0.1mm. El conjunto se enroll formndo un espirl, si bien, l hor de hllr l cpcidd, puede desprecirse el efecto de l curvtur y considerr el sistem como compuesto de plnos prlelos. Hállese proximdmente el vlor de l cpcidd del condensdor indicdo (recuérdese que ls lámins metálics tienen dos crs). L cpcidd de un condensdor relleno de dieléctrico es nálog l del vcío, sustituyendo ε 0 por l permitividd del mteril. L lámin de dieléctrico sólo puede soportr cmpos eléctricos inferiores un cierto umbrl. Por encim de este cmpo máximo slt un chisp y se perfor el condensdor, destruyéndose. Si el cmpo de ruptur pr el ppel es de 6MV/m, hállese el voltje máximo que puede soportr el condensdor, sí como l crg máxim que puede lmcenr Lruptur dieléctric se produce cundo el cmpo eléctrico entre dos conductores super un vlor crítico, sltndo un chisp en el vcío, o quemndo el dieléctrico que pued hber en medio. Un situción en l que puede producirse l ruptur es l siguiente. Supóngnse dos plcs metálics plns de sección S 0 situds prlelmente un distnci un de l otr. L plc inferior se encuentr tierr y l superior un potencil V 0. () Sobre l plc inferior se encuentr depositd un chp (que podemos suponer pln y de espesor desprecible) de sección S. Hállese l crg que se deposit en l chp. (b) Supóngse que est chp se sepr de l plc inferior, quedándose isld, y se cerc l superior (mnteniéndose siempre prlel mbs). Cundo se hll un distnci x de l plc inferior, cuál es su tensión? Cuánto vle el cmpo eléctrico entre l chp y l plc superior? b b Problem 3.10 Problem 3.11

14 Cmpos Electromgnéticos 3.4 (c) Si el cmpo pr que se produzc l chisp es E 0, cuál es l posición x en l cul se produce l chisp? (d) Cundo se produce l chisp, l tensión de l chp ps ser V 0, cuánto vrí en ese proceso l crg lmcend en l chp? Y l crg lmcend en l plc superior? Despréciense los efectos de borde Se tienen tres superficies ciĺındrics metálics concéntrics. de rdios R, 2R y 6R. L longitud de ls tres superficies, h, es mucho myor que su rdio, por lo que pueden desprecirse los efectos de borde. Inicilmente, el cilindro exterior se encuentr puesto tierr. El intermedio está isldo, pero lmcen un crg Q 2. El interior, tmbién isldo, lmcen un crg totl Q 1. Hállese el potencil eléctrico en todos los puntos con r<6r, z<h. Supóngse que, sin tocr los otros dos cilindros, el cilindro interior se conect un generdor que fij su tensión en V 0, qué crg se cumul en este cilindro? A qué potencil se pone el cilindro intermedio? Supóngse el sistem de l figur, formdo por un esfer metálic de rdio R, inicilmente descrgd; un cortez de rdio 2R (concéntric con l nterior) sobre l cul hy depositd un crg Q, distribuid uniformemente; y un cortez metálic, tmbién concéntric, de rdio 4R,que inicilmente se hll sin crg. De l esfer interior sle un cble que puede dejrse desconectdo, conectrse l cáscr exterior o conectrse tierr (potencil cero). () Determínese el potencil l que se encuentr cd un de ls esfers en el momento inicil. (b) Admítse que el interruptor se ps l posición A, conectndo los dos conductores. Hállese l nuev distribución de crgs y potenciles. (c) Si hor el interruptor se ps de l posición A lb, de form brupt, cuánto vlen los nuevs crgs y potenciles? (d) Repítnse los prtdos (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubier psdo en primer lugrlposición B ydehíla. El posible cmpo eléctrico credo por los hilos puede considerrse desprecible Se tiene el sistem de l figur, formd por un cortez esféric (conductor 1 ) de rdio interior b y exterior c. En su interior hy dos conductores prácticmente semiesféricos ( 2 y 3 ), de rdio y seprdos un pequeñ distnci w. Desprecindo los efectos de borde, () Hállense los coeficientes de cpcidd e inducción del sistem. V 0 Q S 0 S x A B Problem 3.13 Problem 3.15

15 Cmpos Electromgnéticos 3.5 (b) Determínense los potenciles que se ponen estos conductores cundo lmcenn crgs Q 1, Q 2 y Q 3, respectivmente. En qué cso es nulo el potencil de l cortez exterior? Supóngse un superficie esféric conductor elástic. Inicilmente, est superficie posee rdio R 0 y lmcen un ciert cntidd de ire, un presión igul l exterior (que es l tmosféric). Si se deposit un ciert cntidd de crg sobre l superficie, l repulsión entre crgs provoc un presión que dilt l esfer, disminuyendo l presión interior (de cuerdo con l ley de los gses ideles). () Hállese l ecución que lig el rdio de l esfer con l crg lmcend. (b) Supóngse que l crg es pequeñ, de form que R = R 0 + R ( R R 0 ). Hállese, en primer proximción, el vlor de R. (c) Clcúlese el vlor de R pr el cso de Q =1µC y R 0 =1cm Dto: p 0 = 1 tm = P En l configurción del problem 3.3, imgínese que no se conocen los coeficientes de cpcidd e inducción del sistem. Suponiendo potenciles V 1, V 2 y V 3 en los diferentes conductores, hállese el cmpo eléctrico en todo el espcio y, prtir de éste, l energí lmcend en el sistem. Conocid ést, determínense los coeficientes C ij. Supóngse hor que, medinte un hilo idel, se conectn ls dos esfers interiores, cuál es l nuev expresión pr l energí? Y pr los coeficientes de cpcidd? Problem de mplición Como generlizción del problem 3.2, supóngse que se tiene un conjunto de N conductores isldos, con crgs Q i. En un momento ddo se conectn dos de ellos por un hilo idel, produciéndose un redistribución de crgs. Los conductores se vuelven desconectr. Ls nuevs crgs en cd conductor son proporcionles ls ntigus en l form Q = M Q Hállese l relción entre l mtriz M y l de coeficientes de cpcidd, C, que relcion ls crgs con los potenciles 1 c 2 3 b w Problem 3.16

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17 Escuel Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 4. Diciembre de 2003 Problems básicos 4.1. Se tiene un crg puntul de vlor q situd un distnci de un plno conductor puesto tierr. Por detrás del plno no hy nd. () Clcúlese l fuerz que el plno ejerce sobre l crg puntul. (b) Hállese l energí necesri pr trer l crg desde el infinito hst el punto que ocup. (c) cómo cmbin los resultdos si l otro ldo del plno hy un crg q 1 situd un distnci b del mismo? Supóngse que ls dos crgs no están en l mism perpendiculr l plno Se coloc un crg puntul de vlor q un distnci r 0 del centro de un esfer metálic conductor de rdio R. L esfer está conectd un generdor que fij su potencil en V. Determínese l distribución de potenciles y cmpos en el sistem. Cómo se comport el sistem grndes distncis del mismo? Hállese l fuerz que l esfer ejerce sobre l crg puntul en función de l distnci entre ést y el centro de l esfer. Cuál es l energí necesri pr trer l crg q desde el infinito hst un distnci r 0 del centro de l esfer? Repítse el problem pr el cso en que l esfer, en lugr de estr potencil constnte, se encuentre isld y lmcene un crg Q. Considérese, en prticulr, el cso Q =4πε 0 RV Si en lugr de un esfer, disponemos de un hueco metálico esférico, puesto potencil V,enel interior del cul se ubic un crg q un distnci r 0 del centro, cuál es el cmpo eléctrico en el interior del hueco? Cuánto vle l fuerz sobre l crg q? Problems de nivel medio 4.4. Supóngse que tenemos un crg puntul q situd frente un esquin formd por dos semiplnos conductores puestos tierr. Hállese () El potencil en todos los puntos del espcio. (b) L fuerz sobre l crg q. R q q b q V r 0 Problems 4.1 y 4.11 Problem 4.2 Problem 4.4

18 Cmpos Electromgnéticos 4.2 (c) l energí necesri pr trer l crg desde el infinito hst su posición finl. (d) Si los semiplnos, en lugr de cortrse ortogonlmente, formn un ángulo α. vlores de α existe solución sencill por el método de ls imágenes? Pr qué 4.5. Hállese el potencil en todos los puntos del espcio cundo frente un plno conductor puesto tierr se hll un dipolo puntul de vlor p. Clcúlese el trbjo necesrio pr trer este dipolo desde el infinito hst su posición finl Elcmpoeléctrico credo por un bnd de espesor b crgd uniformemente por un densidd ρ 0,es ρ 0 b u z z> b 2ε 0 2 ρ 0 z E = u z b ε 0 2 <z< b 2 ρ 0b u z z< b 2ε 0 2 suponiendo el plno z =0como el centrl de l bnd. Admítse que el comportmiento eléctrico de un nube tmosféric puede describirse como un cp como l nterior, cuyo extremo interior se encuentr un ltur h del plno de tierr. () Hállese el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio. (b) Clcúlese l diferenci de potencil entre el suelo y el extremo superior de l nube. (c) Un prtícul de grnizo puede modelrse como un pequeñ esfer de rdio, que trvies l nube y ce l suelo. Al psr por l nube, se llev tod l crg que encuentr por el cmino. Si suponemos que l prtícul prte del punto más lto de l nube, hállese l fuerz eléctric sobre ell cundo se encuentr un ltur c (c <h) 4.7. Se tienen dos ĺınes infinits prlels, situds prlelmente l eje z y sobre los puntos x = ±, y =0.Ambsĺınes poseen un densidd de crg uniforme +λ () Hállese l fuerz que se ejerce sobre un segmento de longitud L de un de ls ĺınes. (b) Supóngse que en x =0se coloc un plno infinito conductor puesto tierr. Cuál es entonces el vlor de l fuerz? (c) Cómo qued el prtdo nterior si el plno se coloc sobre l rect x = y? 4.8. Supóngse un superficie esféric metálic, de rdio R, isld y descrgd. En el exterior de l esfer se tiene un crg q 2 un distnci r 2 del centro. En el hueco interior hy un crg q 1 un distnci r 1 (r 1 <R<r 2 ) y sobre l rect que une el centro con q 2. () Hállese el potencil en todos los puntos del espcio. c h b q b q r 1 q 2 1 r 2 c Problem 4.6 Problem 4.8 Problem 4.9

19 Cmpos Electromgnéticos 4.3 (b) Cuánto vle l fuerz sobre cd un de ls crgs? Y sobre l superficie esféric? (c) Hállese l expresión proximd, hst el segundo orden de proximción, pr el potencil eléctrico en un punto r muy lejdo de l esfer Se dispone de un esfer metálic, de rdio, conectd tierr. Rodendo est esfer, se encuentr un delgd cortez esféric, tmbién metálic, de rdio b. Est cortez está isldy descrgd. En el exterior existe un crg puntul q, situd un distnci c del centro de ls esfers. Determínese el potencil eléctrico en todos los puntos del espcio y l fuerz que ctú sobre l crg puntul Dos crgs puntules de l mism mgnitud q y signo opuesto se encuentrn situds un distnci 4R. () Cuál es l fuerz sobre cd un de ells? Y l energí necesri pr reunirls? (b) Entre ls crgs se introduce un esfer metálic, isld y descrgd, de rdio R, consu centro en el punto medio entre ls crgs. L fuerz sobre cd crg, ument o disminuye? cuál es su nuevo vlor? cuánto vle l fuerz sobre l esfer? (c) En el proceso nterior, cmbi l energí del sistem? Cuánto? (d) Como cmbin los resultdos si en vez de dos crgs opuests tenemos inicilmente dos crgs igules y del mismo signo? Problems de mplición El método de ls imágenes pr un crg frente un plno conductor suele presentrse pelndo l teorem de unicidd. Sin embrgo, puede demostrrse constructivmente. Pr ello, sígse el siguiente esquem () Enúnciense ls ecuciones y condiciones de contorno pr este problem. Supóngse el plno conductor en z =0y l crg puntul en u z (b) Cunto vle el cmpo en el semiespcio z<0? (c) Este cmpo es l sum del de l crg puntul más el de l crg superficil precid en el plno. Según esto, cuánto vle el cmpo de est crg superficil en z<0? (d) Cuánto vle el cmpo debido l crg superficil en z>0? Aqué equivle este cmpo? (e) Hállese l densidd de crg superficil prtir de l discontinuidd en l componente norml del cmpo eléctrico. Cuánto vle l crg totl inducid sobre el plno? Se tienen dos cilindros metálicos infinitmente lrgos, del mismo rdio, situdos prlelmente, estndo sus ejes un distnci 2b (b >). Los cilindros están potencil ±V 0, respectivmente. () Hállese el cmpo y el potencil en el espcio exterior los cilindros (b) Clcúlese l fuerz por unidd de longitud que cd cilindro ejerce sobre el otro. (c) Cómo cmbi el problem si en lugr de dos cilindros tenemos un cble ciĺındrico situdo prlelmente frente un plno de tierr?

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21 Escuel Superior de Ingenieros Ingenierí de Telecomunicción Cmpos Electromgnéticos Cmpos Electromgnéticos. Boletín 5. Febrero de 2004 Problems básicos 5.1. Un modelo muy simplificdo de átomo es quél que consider l núcleo como un crg puntul +q y los electrones como un distribución esféric uniforme de rdio en torno l mismo. Supóngse que un átomo de este tipo se coloc en presenci de un cmpo externo uniforme E 0. Cuál es el momento dipolr inducido en el átomo por l seprción de los centros de crg? Supóngse que l seprción entre centros de crg es pequeñ. Cuál es l seprción entre los centros de crg? Compárese est cntidd con el rdio del propio átomo. Supóngse que tenemos un gs monotómico (un gs noble) con un densidd de N átomos por unidd de volumen. Cuáles serán l susceptibilidd y l permitividd de este gs? Estímense sus vlores pr el helio, que posee crg q C, y rdio m, con un densidd de N m 3. El vlor de l permitividd del vcío es ε /36π F/m Se tiene un esfer dieléctric de rdio R polrizd uniformemente con P = P 0 =cte. Hállese, por integrción direct el potencil en todos los puntos del espcio. Cuáles son los vlores de E, D y P dentro y fuer de l esfer? Sugerenci: Explótese l similitud con el problem del cmpo debido un esfer crgd uniformemente en volumen Se tiene un esfer de rdio R, centrd en el origen, compuest de un mteril con un polrizción dd por l expresión, en coordends ciĺındrics, P = A (ρu ρ zu z ) Hállese l distribución de crgs equivlente y el potencil eléctrico en el centro de l esfer Entre dos plcs metálics conductors plns y prlels un distnci d = + b se colocn dos dieléctricos de permitividdes ε 1 y ε 2 y espesores y b respectivmente, tl como muestr l figur. Hállese l cpcidd de este condensdor y constrúyse el circuito equivlente Repítse el problem nterior suponiendo que l interfz que sepr los dieléctricos es perpendiculr ls plcs. Se podrí resolver un problem similr pero con cutro dieléctricos, tl como muestr l figur? Cuál serí el circuito equivlente? V 0 V 0 V 0 b b Problem 5.4 Problem 5.5

22 Cmpos Electromgnéticos El cmpo eléctrico en el exterior de un dieléctrico tiene por módulo 100 V/m y form un ángulo π/6 con l norml l superficie. El cmpo en el interior del medio form un ángulo π/3 con l norml. Hállese: () L permitividd reltiv del medio. (b) El módulo del cmpo en el interior del mteril. (c) L densidd de crg de polrizción en l fronter. (d) El slto en l componente tngencil de D. Problems de nivel medio 5.7. Un electrón (crg e = C,msm e = kg) se coloc 3nm de un átomo de polrizbilidd α =10 40 F m 2.Hállese el momento dipolr inducido en el átomo y l fuerz resultnte sobre el electrón. Qué celerción dquiere el electrón? En que dirección? 5.8. Un cortez esféric de rdio interior y exterior b está hech de dieléctrico polrizdo según l ley No hy más crgs en el sistem P = k r u r () Clcúlense ls densiddes de crg de polrizción en el sistem. Cuánto vle l crg totl de polrizción? (b) Hállense los cmpos D y E en todo el espcio. (c) Determínese el vlor del potencil eléctrico en todo el espcio Muchos mteriles dieléctricos presentn lo que se conoce como sturción, lo que quiere decir que l polrizción lcnz un máximo. En un mteril de este tipo el comportmiento se puede proximr medinte l gráfic de l figur. L polrizción crece linelmente con el cmpo eléctrico hst un vlor máximo P 0 = ε 0 χe 0. Supongmos que en el centro de un esfer de rdio de mteril sí se coloc un crg puntul q. Cuál es l distribución de los cmpos E, D y P en todo el espcio? Cuánto vle l densidd de crg de polrizción? Y l crg totl de polrizción? Cuál serí el vlor de l crg de polrizción si el dieléctrico no se sturse, esto es, si P = ε 0 χe siempre? Supóngse que el espcio entre dos plcs metálics plns y prlels de sección S y seprds un distnci se llen de un mteril cuy polrizción present sturción, como l del problem nterior. Determínese l relción Q V pr este dispositivo. Es esto un condensdor? P P 0 E=100 V/m 0 E Problem 5.6 Problems 5.9 y 5.10 E 0 E

23 Cmpos Electromgnéticos Se tienen dos plcs metálics de superficie S situds prlelmente y seprds un distnci d. Entre ells se coloc un dieléctrico con un permitividd vrible que v como ε(z) =ε 1 +(ε 2 ε 1 ) z d donde z es l coordend perpendiculr ls plcs. Hállense los cmpos D, E y P en todos los puntos entre ls plcs cundo entre ésts hy estblecido un voltje V 0. Cuál es l densidd de crg de polrizción (tnto superficil como de volumen)? Despréciense los efectos de borde Sobre un plc metálic pln, de sección S (que supondremos en z =0), se coloc un cp de dieléctrico de permitividd ε 1 con espesor. Sobreestcpsesitú un lámin metálic, de sección S 0 <S, el resto de l superficie se dej libre y descrgdo. Se superpone un segund cp de dieléctrico de permitividd ε 2 y espesor b. Porúltimo, el sistem se cierr con un segund lámin metálic de sección S. () Si ls plcs inferior, intermedi y superior se colocn, respectivmente, potenciles V 1, V 2 y V 3, Cuánto vle l crg (libre) lmcend en cd conductor? Despréciense totlmente los efectos de borde (suponiendo E = Eu z ) y los posibles cmpos exteriores l sistem. (b) Supóngse que l plc inferior se sitú tierr, mientrs que l superior se dej isld y descrgd. Si l plc intermedi se encuentr un tensión V, qué crg prece en l plc inferior? Y en l intermedi? (c) Si, en l situción nterior se desconectn los generdores y se conect l plc inferior l superior, como se redistribuyen ls crgs? (d) Cómo vrí l energí lmcend en el sistem en el proceso nterior? Se construye un recipiente ciĺındrico, con bses perfectmente conductors de sección S, seprds un distnci, y predes perfectmente dieléctrics, de espesor desprecible. El interior se llen hst l mitd con un ĺıquido dieléctrico y permitividd ε. El resto se dej vcío. El recipiente se coloc en un principio con ls bses dispuests horizontlmente. En est posición, se crg hst que l diferenci de potencil entre ls plcs es V 0. Acto seguido se bre el circuito y, sin descrgr ls plcs, el recipiente es girdo 90 lrededor de un eje horizontl. Cuál es l nuev diferenci de potencil entre ls plcs? Cómo vrí l energí lmcend? Despréciense los efectos de borde y l influenci de ls predes Se tienen dos superficies ciĺındrics conductors concéntrics entre ls cules se colocn dieléctricos tl como muestrn ls figurs. Cuáles son ls cpciddes y cuáles los circuitos equivlentes? Repítse el problem pr el cso de que l figur represente esfers concéntrics. b c c Problem 5.14

24 Cmpos Electromgnéticos Se tiene un condensdor esférico, formdo por dos superficies metálics de rdios y b. Pr mntenerl en su posición, l esfer centrl está sujet por dos cuñs dieléctrics sólids, de permitividd ε 1.Lscuñs tienen form de sectores esféricos, vliendo el semiángulo θ 0 = π/3 pr ls dos cuñs. El resto del espcio entre ls esfers qued vcío. () Hállese l cpcidd de este condensdor. (b) El hueco entre ls cuñs y ls esfers se llen hst l mitd con un ceite dieléctrico de permitividd ε 2. L cpcidd del sistem, ument o disminuye? Cuánto? (c) Supóngse que el sistem, ntes de llenrse de ceite, se crgó poniendo l esfer exterior tierr y l interior tensión V 0. Acto seguido se desconectó l esfer interior. Después se llenó de ceite, cuánto vle el nuevo potencil de l esfer interior? (d) Al introducir el ceite, cuánto vrí l energí lmcend? Supóngse que se tiene un esfer de rdio R un mteril dieléctrico (de permitividd ε) lrededor de l cul hy vcío. En puntos lejdos de l esfer hy impuesto un cmpo eléctrico uniforme E 0.Hállese el potencil eléctrico y los cmpos eléctricos en el interior y el exterior de l esfer. Sugerenci: El cmpo eléctrico dentro de l esfer es uniforme. resultdo del problem 5.2. Sbiendo esto, pĺıquese el Problems de mplición Elmétodo de ls imágenes puede extenderse lgunos problems de dieléctricos. Considérese que el semiespcio z<0 se encuentr lleno de un mteril de permitividd ε, mientrs que en z>0 tenemos el vcío. Supóngse que un ltur z = se encuentr un crg puntul q. Setrtde hllr el potencil en todos los puntos del espcio. Pr ello, sígse el procedimiento siguiente. () Divídse el espcio en dos regiones, z>0 y z<0 (b) Pr cd uno de los semiespcios, supóngse que el potencil puede escribirse como el de l crg q, más el de un crg fictici. Est crg estrá en el otro semiespcio, un distnci de l interfz. (c) A prtir de ls condiciones de slto en l interfz, hállense los vlores de ests crgs ficticis. (d) Cuánto vle l crg de polrizción en l interfz? (e) Cuál es el vlor de l fuerz sobre l crg rel? Es tríd o repelid por el dieléctrico? 0= /3 0 q 1 b Problem 5.15 Problem 5.17

25 Escuel Superior de Ingenieros Cmino de los Descubrimientos s/n Sevill Cmpos Electromgnéticos. Boletín 6. Mrzo de 2004 Problems básicos 6.1. Se tiene un cble de cobre de 1mm 2 de sección, por el cul circul un corriente de 1 A. Determínese l velocidd medi de los electrones en est corriente, sícomoelnúmero de electrones que trviesn un sección del cble en l unidd de tiempo. Dtos: Densidd de ms del cobre ρ m =8.96 g/cm 3. Peso tómico P = g/mol. Número de Avogdro N A = átomos/mol Un nube esféric de crg (compuest de un distribución de crgs puntules flotndo en el vcío) se encuentr en expnsión, creciendo el rdio de l esfer como R(t) =R 0 + vt. L crg totl de l nube, Q 0, se encuentr distribuid en todo momento de form uniforme en el volumen de l esfer. A prtir de l ley de conservción de l crg, clcúlese l densidd de corriente de conducción en l nube. Puede suponerse que J = J(r)u r y que est densidd no es infinit en el centro de l esfer. Clcúlese el cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio Hállese l resistenci entre los extremos de un bloque de conductor óhmico en form de rco semicirculr de sección cudrd, El rdio medio es b y el ldo de l sección es. Aquésereduce el resultdo si b? 6.4. Supóngse se sumergen dos conductores perfectos en un mteril de permitividd ε y conductividd σ. Si se plic entre ellos un diferenci de potencil constnte V 0 l corriente que lleg uno de ellos vle I 0. Cuál será l corriente si el voltje vrí como V 0 cos ωt? 6.5. Entre dos plcs plns y prlels, perfectmente conductors, de sección S, y seprds un distnci se encuentr un medio resistivo, de permitividd ε y conductividd σ. Entre ls plcs hy estblecid un tensión V 0. () Hállese l corriente que circul entre ls plcs y l crg lmcend en cd un, sí como l energí lmcend en el sistem. (b) En t =0se desconect el generdor. Determínese l evolución de l crg en ls plcs prtir de ese momento. (c) Hállese l energí disipd en el medio durnte el proceso de descrg del condensdor. (d) Descríbse el comportmiento del sistem medinte un circuito equivlente. b V 0 Problem 6.3 Problem 6.5

26 Cmpos Electromgnéticos Un esfer de rdio se despolriz según l ley P(r,t)=ke λt ru r Determínense ls densiddes de crg de polrizción, sí como l densidd de corriente de polrizción. Se verific l ley de conservción de l crg pr ρ p y σ p? Problems de nivel medio 6.7. L conductividd del cobre vrí con l tempertur como σ = σ 0 1+α(T T 0 ) donde σ 0 = S/m, α =0.0039( C) 1, T es l tempertur mbiente y T 0 un tempertur de referenci (normlmente T 0 =20 C) l cul se h medido σ 0. Se hce psr un cble de cobre de rdio =0.5mm trvés de l pred de un hbitción, de espesor b =30cm. El cble v y vuelve del interior de l hbitción l clle. Ls longitudes del pequeño rco exterior y del cierre interior son desprecibles. L tempertur interior de l hbitción puede suponerse constnte e igul T int =22 C, mientrs que l exterior vrí desde T ext =5 C en invierno T ext =40 C en verno. L tempertur lo lrgo de l pred vrí linelmente como función de x desde l tempertur interior (en x =0) l exterior (en x = b). () Cuánto vle l resistenci del cble como función de l tempertur exterior? Cuál es su vlor en verno? Y en invierno? (b) Teniendo en cuent el efecto Joule, podrí usrse este dispositivo como termómetro, conectándolo un fuente de tensión de, por ejemplo 1V, y midiendo l corriente resultnte? Por qué? Y si se emple un tensión de 0.1mV? (c) En este último cso, si l precisión del mperímetro es de 1mA, cuál es el mínimo intervlo de temperturs medible? 6.8. L resistividd del ire en l tmósfer decrece exponencilmente con l ltur como σ 1 = r = r 1 e α 1z + r 2 e α 2z + r 3 e α 3z donde i r i (10 12 Ω m) α i (km 1 ) El cmpo eléctrico en zons despejds de l superficie de l Tierr vle E 0 = 100 V/m. Este cmpo es prácticmente constnte y v siempre en l dirección verticl. A prtir de estos dtos hállese () El vlor delcmpo eléctrico pr un punto situdo entre l superficie de l Tierr y l ionosfer (z = 100 km). (b) L diferenci de potencil entre l superficie y l ionosfer. (c) L distribución de crgs en l tmósfer. (d) L corriente totl que lleg l superficie de l Tierr. (e) L potenci necesri pr mntener est corriente estcionri (f) Estímese el tiempo que trdrí l tmósfer en descrgrse si no existier un mecnismo generdor

27 Cmpos Electromgnéticos Entre dos plcs metálics plns y prlels, de sección S y seprds un distnci, se encuentr un medio óhmico no homogéneo, cuy resistividd (invers de l conductividd) vrí con l posición como r = r 1 + r 2 r 1 z siendo r 1 y r 2 constntes, y z l coordend perpendiculr ls plcs (situds en z =0yz = ). L permitividd del mteril es homogéne y vle ε. Entre ls plcs hy estblecid un tensión constnte V 0. Pr este sistem, determínese () Los cmpos J, E y D entre ls plcs. (b) Ls densiddes de crg libre en el sistem. (c) L resistenci del elemento. (d) L energí lmcend y l potenci disipd en el sistem. Despréciense los efectos de borde Entre dos plcs metálics plns y prlels, de sección S y seprds un distnci, se encuentrn cutro medios dieléctricos con pérdids, como indic l figur. Cd medio llen un volumen con l mitd de espesor y de sección que el sistem completo. Entre ls plcs hy estblecid un diferenci de potencil estcionri, V 0. () Clcúlese, prtir de los cmpos en ls diferentes regiones, l potenci disipd en los medios óhmicos. (b) Hállese l energí lmcend en este dispositivo. (c) Cuánto vlen ls densiddes de crg libre en el sistem? Considérese el sistem de l figur, formdo por dos semiesfers metálics de rdio yquedistn un cntidd w. Rodendo los dos csquetes se encuentr un cortezesféric, tmbién metálic, de rdio interior b y exterior c. Supóngse que el espcio entre los conductores está relleno de un mteril de permitividd ε y conductividd σ, mientrs que el exterior de l cortez está vcío. () Clcúlese l mtriz de conductncis del sistem, cómo se relcion con los coeficientes de cpcidd? (b) Determínense ls corrientes que circuln en el sistem y ls crgs lmcends en los conductores cundo un csquete está potencilv, el otro está tierr, y l cortez no se encuentr conectd ningún generdor. (c) Pr l situción nterior, clcúlense l energí lmcend en el sistem y l potenci disipd en el mismo. S/2 /2 c b V 0 w Problem 6.10 Problem 6.11

28 Cmpos Electromgnéticos Un vrill de hierro (σ = S/m) derdio =2mmy longitud h =10cmtrvies dos rndels de luminio (σ = S/m) de rdio interior y exterior b =1cm, con espesor c =1mm. Ls rndels se colocn h/4 de los extremos. El conjunto es introducido dentro de un tubo de cobre (σ = S/m), de rdio b y espesor e =1mm. L longitud del tubo es tmbién h. El sistem qued como en l figur. () Supóngse que se mide l resistenci entre los extremos del tubo de cobre, cuál será el resultdo? (b) Cuánto vle l resistenci medid entre los extremos de l vrill de hierro? (c) Cómo cmbin los resultdos si ls rndels se lejn entre sí, cercándose los extremos? Sugerenci: Clcúlese previmente l resistenci de un coron circulr suponiendo potenciles distintos en sus rdios interior y exterior L cíd de un ryo puede modelrse como un pulso de corriente de intensidd I 0 que, durnte un tiempo muy corto incide sobre el suelo. () Admitiendo que l corriente se distribuye por el suelo en tods direcciones por igul como J = J(r)u r y no se produce cumulción de crg en ningún punto, hállese l densidd de corriente en función de I 0 y l distnci l punto de impcto. (b) Si l conductividddel suelo esσ,hállese el cmpo eléctrico y el potencil eléctricoenelsuelo. Supóngse que en el infinito el potencil se nul. (c) Un niml, como un vc, puede modelrse como un resistenci R en prlelo con el suelo con los puntos de contcto un distnci y + b del punto de impcto. A prtir del resultdo nterior, hállese l diferenci de potencil entre ls pts de l vc, l corriente que circul por ell y l potenci disipd. (d) Clcúlese el vlor numérico pr el cso en que I 0 =50kA, σ =10 2 S/m, =10m, b =2m y R =50Ω. (e) Considérense ls dos situciones siguientes: Un hombre ndndo (con b =1m, l distnci entre los pies) y un hombre prdo (b =20cm, l longitud del pie). En cul de los dos csos será myor l descrg eléctric? Los primeros sistems de distribución de corriente pr iluminción ern en serie, con tods ls bombills conectds en serie y l fuente puest l voltje necesrio. Los sistems ctules son csi siempre en prlelo. Supóngse que se dese clculr qué sistem es el más económico en términos de l disipción de energí en el cble. Un clle mide L =1kmyls frols están seprds un distnci =50m, funcionndo cd un V 0 = 240 V y con un potenci P 0 = 500 W. L resistenci del hilo de cobre es mucho menor que l de ls bombills, de form que l hor de hllr ls corrientes en cd rm no es necesrio considerrl ( l hor de hllr ls pérdids sí). Supóngse que el sistem trbj con corriente continu. h/4 c I 0 b R b e J h Problem 6.12 Problem 6.13