Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-Humánez Universidad Sergio Arboleda

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1 UN ENFOQUE GEOMÉTRICO DEL TEOREMA DE SHARKOVSKII Eduardo Martínez y Prmtvo Acosta-Humánez Unverdad Sergo Arboleda Oscare.martnez@correo.usa.edu.co prm@ma.usergoarboleda.edu.co A contnuacón se presenta cómo la geometría de las uncones prmtvas permte evdencar los comportamentos peródcos y establecer relacones de tpo genealógco entre períodos relaconados por el Teorema de Sharkovsk resultado undamental en stemas dnámcos dscretos y de manera partcular en la dnámca mnmal.. PRELIMINARES La dnámca combnatora encuentra su génes en el artículo Co-estenca de cclos de transormacones contnuas en un ntervalo de Oleksandr Mkalovch Sharkovsk. Esta rama de los stemas dnámcos estuda las relacones algebracas y combnatoras de uncones de en con dnámca mnmal. En este conteto las permutacones pueden ser utlzadas para descrbr órbtas mnmales (prmaras). Por tal razón para el estudo de la dnámca combnatora se reueren algunas dencones del álgebra y de los stemas dnámcos.. Sobre stemas dnámcos Para comprender la dnámca mnmal es necesaro establecer prevamente las dencones de órbta punto jo punto peródco y a manera de nocón el caos (ver Devaney 00; Alseda Llbre y Murewcz 00). Dencón... (Órbta): La órbta de es el conjunto de puntos ( ) ( ) y se denota como (). S es un homeomorsmo denmos la O + órbta de O( ) como el conjunto de puntos () para n Î y la órbta haca atrás de O - ( ) como el conjunto de puntos - ( ) - ( ). Dencón... (Punto jo y peródco): El punto se dce jo para ( ) es peródco de período n n ( ). El menor entero potvo n ue cumpla esta gualdad se denomna período prmo de. El conjunto de puntos Martínez E. y Acosta-Humánez P. (0). Un enoue geométrco del Teorema de Sharkovsk. En P. Perry (Ed.) Memoras del 0º Encuentro de Geometría y sus Aplcacones (pp. 77-8). Bogotá Colomba: Unverdad Pedagógca Naconal. n

2 peródcos de período n se denomna Pern ( ). El conjunto de todas las teracones de un punto peródco orman una órbta peródca. Por ejemplo en la uncón ( ) los puntos - 0 y son puntos jos. De manera mlar la uncón g ( ) - tene puntos jos en - y los puntos 0 y - orman una órbta peródca de período. S ben es certo ue el comportamento caótco de una uncón se establece a través de trantvdad topológca dependenca senble y dendad de sus puntos peródcos los períodos de una uncón permten entender tambén el comportamento caótco de una uncón (este resultado se derva del Teorema de Sharkovsk o del resultado encontrado por L y Yorke sobre el período ) (ver Block y Coppel 98)... Sobre álgebra y combnatora Dencón... (Permutacones): S X es un conjunto no vacío una permutacón de X es una byeccón a : X X. Llamamos al conjunto de todas las permutacones de X como S X. S X {... n } se acostumbra denotar al conjunto de permutacones de X como S n. Dencón... (Partcón): Se dene la partcón de un ntervalo como el conjunto { Î : "... } Pn + + n -. Dencón... Partcón de un ntervalo Estas dencones son necesaras para establecer el conjunto de Permutacones asocado a una uncón y el orzamento entre conjuntos de permutacones concepto necesaro para dar una nterpretacón algebraca al Teorema de Sharkovsk. Dencón... (Conjunto de permutacones): El conjunto de permutacones de una uncó n denotado por Perm ( ) está dendo de la guente manera: Una permutacó n ÎPerm ( ) y sólo este una partcón P n tal ue ( ) donde ( ) Î P n. Es decr ( ) 78

3 Perm ( { : ( ) Î P } ) ( ) ( ) n. Dencón... Conjunto de permutacones de Dencón (Forzamento): Sean h ÎSn P y P dendos como P { : Î Perm ( )} Ph { g: h ÎPerm ( g) }. uerza a h ( h ) y sólo P Ì. h P. DINÁMICA COMBINATORIA Un apartado mportante de los stemas dnámcos es auel ue corresponde al estudo del comportamento caótco. Prevamente establecmos la pobldad de acercarnos a dcho comportamento a través de órbtas peródcas. Veremos como el Teorema de Sharkovsk relacona (uerza) la estenca de órbtas peródcas y cómo estas pueden ser estudadas a través de graos de Markov y uncones prmtvas... Teorema de Sharkovsk En marzo de 9 se publcó el artículo Coestence o cycles o a contnuous map o the lne nto tsel. En este artículo Sharkovsk dene una relacón de orden para los números enteros potvos ( p ) en la ue h p h la estenca de un cclo de orden h mplca la estenca de uno de orden (ver Sharkovsk 9; Stean 977; Murewcz 99). Teorema... (Orden de Sharkovsk): La relacón denda prevamente ( p ) transorma el conjunto de los enteros potvos en un conjunto ordenado de la guente manera: p p 7p 9p p... p p p... p p p... p p p p. Teorema... Orden de Sharkovsk h Esto uere decr ue al encontrar un cclo de orden n en una uncón esten en ella cclos de orden m con np m. Los graos de Markov son utlzados para estudar la estructura de las órbtas peródcas. Estos descrben a la órbta peródca a través de las relacones estentes entre las partcones ue la denen y sus magnes (ver Bernhardt 98; Acosta-Humánez 008). 79

4 Dencón... (Grao de Markov). Sean... n - tales +Î ue + y ÎPerm ( ). El Grao de Markov (tambén conocdo como grao drgdo) de y tene n - vértces Estrá una lecha de k a n Í ( ). l l+ k k+ y sólo [ ] [ ] S ben es certo ue el teorema de Sharkovsk establece la estenca de órbtas peródcas y garantza la estenca de nuevos períodos a partr de períodos conocdos no es tarea ácl encontrar uncones contnuas de en con dchos comportamentos (el lector puede tratar de encontrar una uncón contnua con un punto de período 0 por ejemplo). Las uncones prmtvas permten encontrar ejemplos de uncones con comportamentos peródcos a partr de una órbta establecda. Su construccón está nsprada en las uncones ue Sharkovsk utlzó para la demostracón de su teorema. Dencón... (Funcón Prmtva): Dada una permutacón uncón prmtva asocada está denda de la guente manera: ( ) ( k) ( k); ( ) ( tk + ( - t)( k + ) ) t ( k) + ( - t) ( k + ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( n) > n ; donde k... n y 0 t. Dencón... Funcón prmtva asocada a Î Sn la.. Aplcacón al análs de órbtas A contnuacón aplcaremos los graos de Markov y las uncones prmtvas para nterpretar el Teorema de Sharkovsk. Dada una permutacón estableceremos su uncón prmtva y a través de ella su grao de Markov (ver Acosta-Humánez y Martínez sometdo a conderacón) para así poder evdencar en ella el Teorema de Sharkovsk. Ejemplo... Conderemos la permutacón ç. La uncón prmtva asocada es: æ è ö ø 80

5 8 ( ) î í ì ³ Ejemplo... Funcón prmtva asocada a ø ö ç è æ Y su gráca es: Fgura. Gráca de uncón prmtva asocada a ø ö ç è æ Los ntervalos para construr el Grao de Markov de y son: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].Se puede ver ue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Fgura. Grao de Markov asocado a ø ö ç è æ

6 Gracas a estas representacones es poble evdencar por ejemplo la estenca de: un punto jo en una órbta de segundo orden en y y una órbta de orden en y. æ è Ejemplo... Veremos a contnuacón un ejemplo en el ue el grao de Markov y la uncón prmtva nos permtrán conocer comportamentos no contemplados en el teorema de Sharkovsk y encontrar ue una uncón es caótca. Conderemos la permutacón h ç. La uncón prmtva asocada g es: g ( ) ì + í - î ³ æ Ejemplo... Funcón prmtva g asocada a h ö ç è ø Y su gráca es: ö ø æ ö Fgura. Funcón prmtva g asocada a h ç è ø Los ntervalos para construr el grao de Markov de g y h son: [ ] [ ] [ ] [ ]. Se puede ver ue: ( ) ( ) y ( ) U U. 8

7 æ ö Fgura. Grao de Markov asocado a h ç è ø y Gracas a estas representacones es poble evdencar la estenca de una órbta de orden en. S ben es certo ue el Teorema de Sharkovsk permte armar a partr de h la estenca de órbtas de período y el grao de Markov permtó hallar una órbta de período y por ende la estenca de órbtas de todos los períodos. REFERENCIAS Acosta-Humánez P. (008). Genealogía de permutacones mples de orden una potenca de dos. Revsta Colombana de Matemátcas () -. Acosta-Humánez P. y Martínez E. Smple permutatons wth order n+. (Sometdo a conderacón). Alseda Ll. Llbre. y Murewcz M. (00). Combnatoral dynamcs and entropy n dmenon one. Sngapur: World Scentc Publshng. Bernhardt C. (98). Smple permutatons wth order a power o two. Ergodc Theory and Dynamc Systems Block L. y Coppel W. (98). Dynamc n one dmenon. Nueva York USA: Sprnger Verlag. Devaney R. (00). An ntroducton to chaotc dynamcal systems. Colorado USA: Westvew Press. Murewcz M. (99). Thrty years ater Sharkovsk s theorem. En Ll. Alseda. Llbre F. Balbrea y M. Murewcz (Eds.) Proceedngs o the Conerence Thrty years ater Sharkovsk s theorem: New perspectves. Sngapur: World Scentc. Sharkovsk A. (9). Coestence o cycles o a contnuous map o the lne nto tsel Ukran Math. Z -7. 8

8 Stean P. (977). A theorem o Sharkovsk on the estence o perodc orbts o contnuous endomorphsms o the real lne. Communcatons n Mathematcal Phycs