Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Tecnología Electrónica

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1 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Cuesiones eóricas ( punos, iempo recomendado: 40 min). Discuir la veracidad o falsedad de las siguienes afirmaciones relaivas a converidores CC - CC (se exige comenzar la respuesa con Verdadero o Falso, según proceda, seguido del razonamieno necesario). a) a ensión de salida de un converidor Flyback que opera en Modo de Conducción Coninuo (MCC) depende de la poencia que esá enregando a la carga. b) a disminución de la poencia, que la carga le demanda a un converidor CC CC, puede producir que el converidor llegue a operar en Modo de Conducción Disconinuo (MCD).. ra un ciclo de rabajo (D) y resisencia de carga dados, qué parámeros de diseño podemos ajusar en un converidor CC - CC para cumplir con un requisio especificado de rizado máximo en la ensión de salida del converidor? Qué efeco iene sobre ese rizado cada uno de esos parámeros?. Discuir la veracidad o falsedad de las siguienes afirmaciones relaivas al conrol PWM de inversores (se exige comenzar la respuesa con Verdadero o Falso, según proceda, seguido del razonamieno necesario): a) os dos parámeros básicos de gobierno del PWM son los índices de modulación de ampliud y frecuencia. Con el primero se conrola la ampliud de la ensión de salida del inversor y con el segundo su frecuencia. b) ra conrolar un inversor rifásico se necesian res ondas de referencia desfasadas 0º enre sí y oras res ondas poradores ambién desfasadas 0º enre sí. 4. Apare de aumenar la garanía de suminisro que proporciona ípicamene la red elécrica, qué oros beneficios repora el uso de sisemas de alimenación ininerrumpida (SAI s)? Página de 7

2 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Solución Cuesiones Cuesión a) a ensión de salida de un converidor Flyback que opera en Modo de Conducción Coninuo (MCC) depende de la poencia que esá enregando a la carga. FASO: a ensión de salida de un converidor Flyback que opera en Modo de Conducción Coninuo (MCC) depende exclusivamene de la ensión de enrada, del ciclo de rabajo y de la relación de ransformación del ransformador. Dicha ensión, que puede deerminarse aplicando la igualdad volios x segundo a la ensión de la inducancia magneizane del ransformador, viene dada por la expresión (). D VO = VE n () D b) a disminución de la poencia, que la carga le demanda a un converidor CC CC, puede producir que el converidor llegue a operar en Modo de Conducción Disconinuo (MCD). VEDADEO: al y como se represena en la figura, omando como ejemplo el converidor reducor, la disminución de la corriene cedida a la carga hará disminuir el valor medio de la corriene que circula por la inducancia del converidor. I I I MCC FOEA MCC-MCD MCD I I 0 I0 I I O Figura MCC FOEA MCD I < i I = I O I > I O Cuando la corriene de carga, I O, sea inferior al rizado de la corriene en la inducancia, el converidor operará en Modo de Conducción Disconinuo. = I O Página de 7

3 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Cuesión ra un ciclo de rabajo (D) y resisencia de carga dados, qué parámeros de diseño podemos ajusar en un converidor CC - CC para cumplir con un requisio especificado de rizado máximo en la ensión de salida del converidor? Qué efeco iene sobre ese rizado cada uno de esos parámeros? a capacidad del condensador de filrado (C) y la frecuencia de conmuación (f). En algunos converidores, además, ambién influye la inducancia de la bobina de filrado (). Esos parámeros influyen en el rizado en idénico senido: cuano más elevados son ano más reducido es el rizado. Cuesión a) os dos parámeros básicos de gobierno del PWM son los índices de modulación de ampliud y frecuencia. Con el primero se conrola la ampliud de la ensión de salida del inversor y con el segundo su frecuencia. FASO. Es ciero que con m a se conrola la ampliud de la onda de salida, pero no que con la frecuencia de la onda poradora (el numerador de m f ) se consiga efeco alguno sobre la frecuencia de la primera. Es la frecuencia de la onda de referencia (denominador de m f ) la que deermina la de la onda de salida. b) ra conrolar un inversor rifásico se necesian res ondas de referencia desfasadas 0º enre sí y oras res ondas poradores ambién desfasadas 0º enre sí. Cuesión FASO. Sólo se necesia una onda poradora. Apare de aumenar la garanía de suminisro que proporciona ípicamene la red elécrica, qué oros beneficios repora el uso de sisemas de alimenación ininerrumpida (SAI s)? Fundamenalmene mejoran la calidad y la esabilidad de la onda de CA que ofrecen a la carga respeco de la que ofrece la red de CA. Especialmene miigan perurbaciones ales como las flucuaciones de frecuencia y ensión, los microcores o la conaminación armónica a los que an propensa es normalmene la red comercial de CA. Página de 7

4 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Problema ( punos, iempo recomendado: 50 min) El circuio de la figura es un converidor CC-CC con aislamieno que presena una inducancia de valor muy elevado, pudiéndose despreciar el rizado de la corriene que por ella circula. El ransformador presena res devanados, siendo el número de espiras de cada arrollamieno, y. a inducancia magneizane del ransformador visa desde el devanado primario presena un valor de 40 µh. Ve + i E + v - i S D D i D C + v - C O O + V O _ DAOS: = 40 = 0 = 0 O =, Ω + v GS - S i v GS 8 µs µs COO Figura eniendo en cuena la ensión de conrol del MOSFE S (v GS ), que se represena ambién en la figura, y para un valor de la ensión de enrada V E = 60 V, se pide:. Indicar que ipo de converidor es el represenado en la figura. Exise alguna opología sin aislamieno galvánico, del cual el converidor de la figura pueda considerarse un derivado?. Deerminar el valor de la ensión de salida V O y ambién el valor de la corriene media en la inducancia.. epresenar gráficamene las formas de onda de: v, v, i m, i, i S, i E. Es imprescindible acoar las formas de onda pedidas, indicando los valores más significaivos de corriene, ensión y iempo. OA: i m es la corriene que circula por la inducancia magneizane del ransformador visa desde su devanado primario. 4. Deerminar el valor medio de la corriene de enrada. 5. Deducir el valor máximo del ciclo de rabajo con el que puede operar correcamene ese converidor. Qué componene limia el ciclo de rabajo y por qué?. Página 4 de 7

5 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Solución Problema Aparado : El circuio represenado en el enunciado es un converidor Forward. a opología Forward se puede considerar derivada del converidor reducor y es una de las versiones con aislamieno de ese úlimo converidor. a ensión que aparece en bornes del diodo de libre circulación D C es idénica a la que aparece en el reducor aunque muliplicada por la relación de ransformación del ransformador. Por ano, a efecos de la salida y de la carga que a ésa se conece, la inducancia presena un funcionamieno idénico al que presena la correspondiene inducancia en el converidor reducor. El ransformador simplemene eleva o reduce la ensión de enrada cuando conduce el MOSFE y la rama formada por D y el arrollamieno erciario de, de espiras, sirve exclusivamene para desmagneizar el núcleo de. Aparado : El valor de la inducancia es muy elevado, en consecuencia se puede despreciar el rizado de la corriene que por ella circula y se puede asegurar que la casi oalidad del rizado de la ensión en bornes del diodo de libre circulación D C cae en dicha inducancia, presenando la ensión de salida, V O, sólo componene coninua o valor medio. eniendo en cuena que el valor de la inducancia es muy elevado, dicha inducancia operará en Modo de Conducción Coninuo (MCC). Po ano, aplicando la igualdad volios por segundo a la ensión en la inducancia, v, se obiene el valor de la ensión de salida, que viene dada por la expresión (). VE VO D = VO ( D) () y despejando de (), se obiene: VO = VE D () uméricamene, la ensión de salida que se obiene es: 0 V O = 60 V 0,8 = V (4) 40 Si el converidor esá operando en régimen permanene, por el condensador C O circula una corriene cuyo valor medio es nulo. En esas condiciones, el valor medio de la corriene que circula por la inducancia, i, y el valor medio de la corriene por la carga son idénicas. Ese valor viene dado por (5): VO i = IO = (5) O y numéricamene: V i = IO = = 0A (6),Ω Página 5 de 7

6 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Aparado : En la figura se represenan las formas de onda pedidas. v GS 8 µs µs os valores que acoan las formas de onda se obienen como sigue: v v i m 8 V V O 60 V A V E V O V 4 µs V E 0 V A ensión en el primario del ransformador, v. Aplicando la igualdad volios x segundo a la ensión v se obiene: VE D = VE D (7) y de aquí: 0 D = D = 0,4 0µ s = 4µ s (8) 40 Corriene por la induc. magneizane de, i m. El valor de pico viene dado por (8): VE D 60V 8µ s Ip = = = A (8) m 40µ H Corriene por el diodo D, i. El valor de pico viene dado por (9): 40 Ip = Ipm = A = 4A (9) 0 i i S 4 A A Corriene por el MOSFE, i S. El valor debido a la carga viene dado por (0): 0 is = IO = 0A = 5A (0) _ c arg a 40 El valor máximo de la corriene que proviene de la que circula por la inducancia magneizane de : ( i ) Ip A = () S m pico m = _ 5 A Corriene de enrada, i E. i E A A 5 A Durane la conducción del MOSFE, la corriene de enrada y la que circula por ese inerrupor son idénicas. Cuando el MOSFE se abre, la corriene de enrada coincide con la que circula por el diodo. Por ano, el riángulo A de i E, en la figura, es exacamene igual al riangulo que represena la forma de onda de la corriene i. B El proceso de magneización desmagneización de la inducancia magneizane, m, del ransformador 4 A es un proceso no disipaivo, en el cual no se consume o disipa poencia. Por ano, el valor medio de la Figura corriene que se absorbe de la fuene de enrada durane la magneización de m (riángulo A de i E ) ha de ser igual al valor medio de la corriene que se cede a la fuene de enrada, cuando el núcleo magnéico de se desmagneiza a ravés de D. Ese úlimo valor medio es el valor medio del riángulo B de i E. Por ano las áreas A y B de i E son iguales. Página 6 de 7

7 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Aparado 4: El valor medio de la corriene de enrada puede obenerse de dos formas: Aplicando el balance de poencia enrada - salida VO IO VE ie = VO IO ie = () V y numéricamene: v 0A i E = = A 60V E Calculando el valor medio de la corriene i E represenada en la figura. ie = is _ carg a D + Ipm D Ip D () que numéricamene: i E = 5 A 0,4 + A 0,4 4A 0, = A + 0,4A 0,4A = A Como se verifica ambién numéricamene, la suma de los dos úlimos érminos de () es nula, ya que, al y como se describió en el aparado anerior, el proceso de magneización desmagneización de la inducancia magneizane, m, es un proceso no disipaivo, en el cual no se consume o disipa poencia y en consecuencia las áreas A y B de i E son iguales. eamene, ese proceso el proceso de magneización desmagneización de, m, del ransformador no conribuye al valor de la corriene media i E, que sólo depende de la poencia de carga para una ensión de enrada y salida dadas, al y como indica (). Aparado 5: El componene que limia el ciclo de rabajo es el ransformador. ra que el converidor Forward opere correcamene se debe permiir que el flujo del ransformador o lo que es igual la corriene por su inducancia magneizane enga un periodo nulo anes de que comience un nuevo ciclo de conmuación. De esa forma se asegura que el ransformador no se saura y en consecuencia se debe cumplir (4): D + D < (4) donde D. es la duración de la eapa de desmagneización del ransformador. Aplicando la igualdad volios x segundo a la ensión v, expresión (7) ya calculada en el aparado, se obiene (5): V E D = VE D D = D (5) y combinando (5) y (4) se obiene: D + D = D + < D < + uméricamene D < 0,67 para que no saure el ransformador. (6) Página 7 de 7

8 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Problema ( punos, iempo recomendado: 50 min) El chopper de la figura se emplea para conrolar un moor de CC (esquema elécrico represenado en figura 4) que acciona un ascensor a velocidad consane ano en el ascenso como en el descenso. Dicha velocidad de desplazamieno verical supone, para el moor, una velocidad angular de 0 rpm. El ascensor cuelga de una polea, en cuyo lado opueso pende un conrapeso. a masa del conrapeso es ligeramene superior a la del ascensor vacío (>), pero, cuando se carga ese úlimo, la relación de pesos se inviere (<). En vacío (sin pesos), el moor hace girar a la polea a derechas (senido horario) si se excia aplicando el poencial posiivo en el erminal A y el negaivo en el B. Ve 400V D A M B A M B D 4 A = Ω = 4 H E B = K. I M E = K. K =,6755 V/ rpm K = 6.m / A Figura Figura 4 Se pide:. Deducir, para cada uno de los modos de operación que se indican, el funcionamieno de la máquina elécrica (ejemplo: moor giro a derecha, freno giro a izq. ec.) a) Ascensor vacío en elevación b) Ascensor cargado en elevación c) Ascensor vacío en descenso d) Ascensor cargado en descenso. Dibuje la ensión v AB que se debe aplicar al moor para cada modo de operación. Deducir el ciclo de rabajo considerando que ése se define como el iempo en que el moor permanece conecado a la fuene respeco del periodo de conmuación. ra obener ese valor, se conoce como dao el valor del módulo del par que ha de proporcionar el moor: Operación Ascensor vacío en elevación 40 Ascensor cargado en elevación 00 Ascensor vacío en descenso 40 Ascensor cargado en descenso 00 = Módulo del par moor [.m] Página 8 de 7

9 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad. Deerminar, dibujando en los correspondienes oscilogramas, las señales de conrol v GS para cada uno de los cuaro MOSFE ( a 4 ) para que el moor opere adecuadamene en cada uno de los modos de operación. Indique que diodo opera en cada uno de esos modos. 4. Deerminar para el modo de operación b) (ascensor cargado en elevación): a) a poencia decida por el eje b) a poencia cedida por la fuene c) Se cumple el balance de poencias?. Es necesario incluir algún oro érmino de poencia? abla : Series de Fourier 0 < x < π f ( = π < x < 0 f( 4 sen( sen( sen( π 5 -π 0 π π - x 0 0 < x < β f ( = β < x < π β 0 π β < x < π f( β β 4 cos( β ) sen( cos( β ) sen( cos(5 β ) sen( π 5 4 π n cos = ( n β ) 0 π π - β β x f ( = sen( π < x < π 4 cos( cos(4 cos( π π π f( 0 π π x Página 9 de 7

10 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Solución Problema Aparado : El peso del ascensor en vacío () y el peso del conrapeso () producen, en la polea, unos pares a y c respecivamene. El par que ejerce la máquina elécrica ( M ) debe equilibrar, en odos los casos, la diferencia enre los pares a y c para que el ascensor se desplace con velocidad consane. De no ser nulo el par resulane, la polea presenaría una ciera aceleración angular. Por ano en odos los casos, debe cumplirse: c+a+ M = 0 (7) En (7) no se ha considerado el signo de cada par, ése se le asignará en cada caso: Ascensor vacío en elevación Figura 5 El peso del conrapeso es mayor que el del ascensor en vacío, por ano el par de la máquina debe sumarse a a para obener el equilibrio (ver figura 5). Considerando posiivos aquellos pares de senido horario, se cumple: -c+a+ M = 0 Por ano y según la figura 5, la máquina elécrica se compora como freno girando a izquierdas. Freno, ya que el par se opone a la velocidad de giro del roor. En la abla se resume el funcionamieno de la máquina elécrica, para los cuaro modos de operación, indicando el senido del par de la máquina y la velocidad del roor. ASCESO VACÍO E EEVACIÓ ASCESO CAGADO E EEVACIÓ abla ASCESO VACÍO E DESCESO ASCESO CAGADO E DESCESO -c+a+ M = 0 -c+a- M = 0 -c+a+ M = 0 -c+a- M = 0 < 0 y M > 0, I > 0 < 0 y M < 0, I < 0 > 0 y M > 0, I > 0 > 0 y M < 0, I < 0 Freno a izquierda Moor a izquierda Moor a derecha Freno a derecha Página 0 de 7

11 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Aparado : a velocidad del roor supone una fuerza conraelecromoriz (FCEM) que viene dada, en módulo, por la expresión (8). V E = k =,6755 0rpm = 0V (8) rpm Por oro lado, con independencia del ipo de funcionamieno de la máquina elécrica, la ensión media en el moor se relaciona con la corriene y la FCEM (de valor E), según la expresión (9). v = V = Ve D = I E (9) AB M + De (9) se puede despejar el valor del ciclo de rabajo necesario para cada caso: I + E D = (0) Ve Es imporane ener en cuena, que la ensión Ve ha de ser considerada negaiva en el caso que deba serlo el valor medio de la ensión en el moor. Es decir, en el modo de operación que requiera V M < 0, Ve ha de ser considerada negaiva. A coninuación, en las ablas a 6 se presenan los disinos modos de operación de la máquina así como la ensión v AB que el chopper debe proporcionar. ambién se recoge el valor de la corriene y el ciclo de rabajo con el que opera el chopper. Ascensor vacío en elevación: Freno girando a izquierdas D D I E + V M - 4 V E abla E < 0 I> 0 V M < 0 V M < E D < E / V E Semicond. D. 4 (-D). D. D iempo conducción v AB -400V D=0,46 D. V M =-85V 40 m I = = = 5A K m 6 A Ω 5A 0V D = = 0,46 400V Página de 7

12 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Ascensor cargado en elevación: Moor girando a izquierdas abla 4 D + V M - D E< 0 I M E I< 0 4 V E V M < 0 V M > E D > E / V E Semicond.. D 4 (-D). D. iempo conducción v AB -400V D=0,69 D. V M =-76V 00 m I = = = 75A K m 6 A Ω ( 75A) 0V D = = 0,69 400V Ascensor vacío en descenso: Moor girando a derecha abla 5 V E i BA D + V M - D E > 0 I M E 4 I> 0 V M > 0 V M > E D > E / V E Semicond. D iempo conducción D. (-D). 4. v AB D. 400V V M =6V D=0,54 40 m I = = = 5A K m 6 A Ω 5A + 0V D = = 0,54 400V Ascensor cargado en descenso: Freno girando a derecha abla 6 V E i BA D I E + V M - D 4 E > 0 I< 0 V M > 0 V M < E D < E / V E Semicond. iempo conducción D D. (-D). D 4. v AB 400V D. D=0, V M =4V 00 m I = = = 75A K m 6 A Ω ( 75A) + 0V D = = 0, 400V Página de 7

13 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Aparado : En la abla 7 se represena cada modo de operación indicando la señal de disparo de cada MOSFE y los diodos que conducen. ASCESO VACÍO E EEVACIÓ: FEO GIADO A IZQUIEDAS abla 7 ASCESO CAGADO E EEVACIÓ: MOO GIADO A IZQUIEDAS D I + V M - D E 4 V E iempo Semicond. conducción D. 4 (-D). D. D D I + V M - D E 4 V E iempo Semicond. conducción. D 4 (-D). D. v GS_ v GS_ v GS_ v GS_4 v AB -400V D=0,46 D. V M =-85V E < 0 I> 0 V M < 0 V M < E D < E / V E v GS_ v GS_ v GS_ v GS_4 v AB -400V D=0,69 D. V M =-76V E< 0 I< 0 V M < 0 V M > E D > E / V E ASCESO VACÍO E DESCESO: MOO GIADO A DEECHA ASCESO CAGADO E DESCESO: FEO GIADO A DEECHA V E i BA D I M + V M - D E 4 iempo Semicond. conducción D D. (-D). 4. V E i BA D I + V M - D E 4 iempo Semicond. conducción D D. (-D). D 4. v GS_ v GS_ v GS_ v GS_4 v AB D. 400V V M =6V D=0,54 E > 0 I> 0 V M > 0 V M > E D > E / V E v GS_ v GS_ v GS_ v GS_4 v AB 400V D. D=0, V M =4V E > 0 I< 0 V M > 0 V M < E D < E / V E Aparado 4: ra el modo de operación ASCESO CAGADO E EEVACIÓ se iene: Poencia cedida por el eje: P EJE = E I = 0 V 75A = 5075kW () Poencia cedida por la fuene: PGE = VE ie = VE I D = 400 V 75A 0,69 = 0700W () Poencia de pérdidas en el cobre: P Cu = I = Ω 75A = 565W () Balance de Poencia. Se verifica que: PGE = PEJE + PCu 0700 W = 5075W + 565W (4) Página de 7

14 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Problema ( punos, iempo recomendado: 40 min) El inversor que se muesra en la figura 6 se conrola por desplazamieno de fase (ver señales de conrol en la figura 7) para alimenar, a 50 Hz y a ravés de una fuene primaria de CC de 400 V, un horno elécrico indusrial, cuyo comporamieno es asimilable al de una carga -, con =5 Ω y =0 mh. Dicho horno ha de producir una poencia calorífica regulable enre y 0 KW. D Ve D 4 4 Figura 6 Figura 7 α Se pide:. Obener la expresión general de la poencia producida por el horno en función del desplazamieno de fase (α). Se sugiere consular la abla de Series de Fourier que se adjuna en la página 4.. Deerminar el rango aproximado del desplazamieno de fase necesario para proporcionar el rango de poencias requerido. Se sugiere para ello aproximar la expresión obenida en el aparado anerior por el primero de sus érminos solamene.. Dibujar, para un desplazamieno de fase cualquiera comprendido en el rango, las ondas de corriene en la carga y en la fuene. Se sugiere analizar para cada inervalo la forma de onda de corriene de una carga - a la que se aplica ensión coninua. 4. Sobre las ondas del aparado anerior, acoar los inervalos de conducción de los semiconducores, indicando cuales de ellos conducen en cada caso. Página 4 de 7

15 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Solución Problema 4 Aparado : Al ser la onda de salida no senoidal y la carga no resisiva pura, necesiaremos obener las corrienes armónicas para, a parir de ellas, obener la poencia oal como suma de las poencias producidas por cada una de ellas. a descomposición armónica esá disponible en la página 9. ra idenificar la onda de las allí presenadas que se corresponde con la que produce el inversor, basa con obener esa úlima a parir de las pauas de conmuación presenadas en el enunciado (ver figura 8): 4 α v s Figura 8 Observamos claramene que es la segunda de las ondas de la abla la que se corresponde con nuesra V s (). Sin embargo es necesario ener en cuena que: α β = Por ano, lo que, uilizando valores eficaces (las expresiones de la abla dan valores de pico), enemos que las ampliudes armónicas vienen dadas por (5): 4Ve α V n = cos n (5) nπ as corrienes armónicas son las resulanes del cociene de esas ensiones armónicas y la impedancia que, para cada frecuencia, presena la carga: Página 5 de 7

16 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Z n = + j = + j( π 50n) Ω (6) 4Ve α 4Ve α cos n cos n Vn nπ nπ In( α) = = = (7) Zn + j(π 50n) ((π 50n ) + ) Como el único elemeno de la carga que consume poencia es la resisencia, la poencia oal será igual a la suma que la disipación por efeco Joule provocada por cada armónico en ese elemeno, eso es: Aparado : 8Ve α cos n P( α ) = P ( α) = I ( α) = ( W ) (8) n n n=,,5,... n=,,5,... n=,,5,... + ( nπ ) ( π 50n) Haciendo uso de la simplificación propuesa, eso es, conservando sólo el érmino de n= del sumaoria anerior, la expresión de la poencia quedaría: 8Ve α cos π ( + ( π 50) ) P P( α ) ( W ) α Arccos (9) + ( ) π 50 8Ve π Desplazamieno de fase requerido para la poencia mínima, KW: 5 ( ) 0 ( ) cos + π α P = KW Arc =, π ( ) º Desplazamieno de fase requerido para la poencia máxima, 0 KW: ( 5 ( ) ) 0 0 ( 0 ) cos + π α P = KW Arc = 8,6º π El rango es, por ano: 8,6º < α <,8º Página 6 de 7

17 Deparameno de ecnología Elecrónica Examen Sepiembre 004 Elecrónica Indusrial II º Ingeniería écnica en Elecricidad Aparado : v s i s 4 D D i fuene CC Aparado 4: Figura 9 Ver acoaciones en oscilogramas del aparado anerior (Figura 9). Página 7 de 7