CEDE. Ramón Antonio Rosales Álvarez Jorge Alexander Bonilla Londoño INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA

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1 APUNTES DE CLASE CEDE ISSN INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Ramón Antono Rosales Álvarez Jorge Alexander Bonlla Londoño 3 OCTUBRE DE 006 CEDE Centro de Estudos sobre Desarrollo Económco Facultad de Economía Unversdad de los Andes

2 APUNTES DE CLASE CEDE ISSN INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Ramón Antono Rosales Álvarez Jorge Alexander Bonlla Londoño 3 OCTUBRE DE 006 CEDE

3 Sere Apuntes de clase Cede ISSN: Octubre de , Unversdad de los Andes Facultad de Economía Cede Carrera 1 No. 18 A 10, Bloque C Bogotá, D. C., Colomba Teléfonos: , ext. 400, 049, 474. nfcede@unandes.edu.co Edcones Unandes Carrera 1 No. 19 7, edfco Aulas 6, A. A Bogotá, D. C., Colomba Teléfonos: , ext. 133, Fax: ext nfedun@unandes.edu.co http//edcones.unandes.edu.co Edcón, dseño de cuberta, preprensa y prensa dgtal Procedtor Ltda. Calle 1 No. 7 A 05. Bogotá, D. C. Colomba Teléfonos: 0475, 0 476, Fax: ext. 10 procedtor@etb.net.co Impreso en Colomba Prnted n Colomba El contendo de la presente publcacón se encuentra protegdo por las normas nternaconales y naconales vgentes sobre propedad ntelectual, por tanto su utlzacón, reproduccón, comuncacón públca, transformacón, dstrbucón, alquler, préstamo públco e mportacón, total o parcal, en todo o en parte, en formato mpreso, dgtal o en cualquer formato conocdo o por conocer, se encuentran prohbdos, y sólo serán líctos en la medda en que se cuente con la autorzacón preva y expresa por escrto del autor o ttular. Las lmtacones y excepcones al Derecho de Autor, sólo serán aplcables en la medda en que se den dentro de los denomnados Usos Honrados (Far use), estén preva y expresamente establecdas; no causen un grave e njustfcado perjuco a los ntereses legítmos del autor o ttular, y no atenten contra la normal explotacón de la obra.

4 INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA * RAMÓN ANTONIO ROSALES ÁLVAREZ ** JORGE ALEXANDER BONILLA LONDOÑO *** Resumen La econometría es una de las mportantes aplcacones de la estadístca matemátca, y una herramenta fundamental en la nvestgacón económca, el dseño y análss de polítca. El presente documento desarrolla para aquellos que ncan el estudo de la economía, los elementos teórcos báscos sobre la modelacón econométrca. Se aborda el modelo clásco de regresón lneal y sus supuestos, y la manera de efectuar hpótess. Este documento se consdera un desarrollo prelmnar para la posteror ncacón en temas más avanzados de econometría. Palabras claves: análss de correlacón, mínmos cuadrados ordnaros, modelo econométrco, pruebas de hpótess. Clasfcacón JEL: C01, C10 y C0. * Este documento hace parte de las notas de clase del curso Métodos Cuanttatvos para las especalzacones de Economía, Economía Socal, Economía del Resgo y la Informacón, y de Evaluacón Socal de Proyectos de la Facultad de Economía Unversdad de Los Andes. ** Ph. D. en Economía Agrícola, Profesor Asocado de la Facultad de Economía de la Unversdad de Los Andes. Bogotá, Colomba. Correo electrónco: rrosales@unandes.edu.co. *** Magíster en Economía y Magíster en Economía del Medo Ambente y de los Recursos Naturales, Profesor Instructor de la Facultad de Economía. Unversdad de Los Andes. Bogotá, Colomba. Correo electrónco: jobonll@unandes.edu.co.

5 INTRODUCTION TO ECONOMETRICS Abstract Econometrcs s one of the most mportant applcatons to the mathematcal statstcs and a fundamental tool n the economc research and n the desgn and analyss of economc polcy. The present document develops the basc theory concepts of the econometrc modelng for those that begn the study of economcs. The specfcaton, assumptons, estmaton, hypothess testng and predctons for the classcal regresson model are the prncpal topcs presented n ths text. The concepts, the tools and ther applcatons developed n ths document are relevant for tacklng many practcal problems n today s world and for the ntroducton n advanced econometrc courses. Key words: correlaton analyss, least squares estmaton, econometrc model, hypothess tests. JEL classfcaton: C01, C10 y C0

6 TABLA DE CONTENIDO 1. LA MODELACIÓN Y LA ECONOMETRÍA Métodos Cuanttatvos de la Economía Defncones de la Econometría Objetvo de la Econometría El Procedmento Econométrco El Modelo El Modelo Económco El Modelo Econométrco Elementos que componen el Modelo Clasfcacón de las Varables Clasfcacón de las Ecuacones Clasfcacón de los Modelos ORGANIZACIÓN DE DATOS Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Objetvos de la Estadístca Dvsones de la Estadístca Poblacón y Muestra Parámetros Poblaconales y Estadístcos Muestrales Meddas de Tendenca Central y de Dspersón Métodos y Dagnóstcos Gráfcos Ejerccos de computador ANALISIS DE CORRELACION Dagrama de Dspersón Coefcente de Correlacón Lneal Pruebas de Hpótess Ejerccos de computador REGRESION SIMPLE LINEAL Y NO LINEAL Objetvo del análss de regresón Funcón de regresón muestral y poblaconal Supuestos del modelo de regresón Método de estmacón de mínmos cuadrados ordnaros Varanzas y errores estándar de los estmadores Intervalos de confanza Pruebas de hpótess Predccón El Coefcente de Determnacón Modelos de regresón smple no lneal en las varables Ejerccos de Computador REGRESION MULTIPLE LINEAL Y NO LINEAL Expresón del modelo en forma matrcal Supuestos del modelo Método de estmacón de mínmos cuadrados ordnaros Matrz de varanzas y covaranzas de los estmadores Pruebas de hpótess Coefcente de determnacón ajustado ( R ) Intervalos de confanza Modelos de regresón múltple no lneal en las varables Ejerccos de Computador INCUMPLIMIENTO DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO Multcolnealdad

7 6.. Heteroscedastcdad Autocorrelacón Error de especfcacón No Normaldad de los errores Ejerccos de computador INTRODUCCIÓN A VARIABLES CUALITATIVAS Regresón con varables ndependentes cualtatvas Regresón con varable dependente cualtatva

8 INTRODUCCIÓN El curso de Econometría hace parte del área de métodos cuanttatvos en economía y se consttuye en una herramenta mportante en la nvestgacón económca, el dseño y análss de polítca. El contendo y el desarrollo del curso son a nvel ntroductoro y su nterés es la aplcacón de los conceptos teórcos. El curso busca proporconarle al estudante las bases ncales para el manejo de los métodos y modelos econométrcos, los elementos necesaros para el manejo de la nformacón, análss de resultados e nterpretacón de las saldas del computador, y famlarzarlo en sus aplcacones, tales como la nvestgacón y la evaluacón de meddas de polítca. El documento se encuentra dvddo en sete seccones. La prmera presenta la defncón de la econometría, sus objetvos, el concepto del modelo y su caracterzacón. La segunda trata de la organzacón de datos y la estadístca descrptva. La seccón tres aborda los aspectos báscos del análss de correlacón. La seccón cuatro presenta el modelo formal de regresón lneal smple. La qunta seccón muestra el modelo de regresón lneal múltple. La sexta seccón presenta la teoría relaconada con el ncumplmento de los supuestos del modelo. La seccón sete efectúa una ntroduccón al análss transversal de regresón con varables ndependentes cualtatvas y de varable dependente cualtatva. Al fnal del documento se ncluye un anexo que desarrolla el procedmento general de manpulacón de datos en el paquete econométrco Evews LA MODELACIÓN Y LA ECONOMETRÍA 1.1. Métodos Cuanttatvos de la Economía. Los métodos cuanttatvos de la economía comprenden tres áreas: a) Análss Matemátco y Álgebra Lneal; b) Programacón Lneal y Análss de Insumo- Producto y c) Econometría. 5

9 La nvestgacón econométrca se ncó con el análss estadístco de la Demanda por Cournout (1838) y Marshall (1890). Posterormente Tnbergen en 1939 hzo su aporte a la econometría medante el estudo del análss de los cclos económcos. Sn embargo, en el perodo de la econometría comenza su desarrollo con los trabajos de la Comsón Cowles. La hpótess básca es: "los datos económcos se generan por sstemas de relacones que son, en general estocástcos, dnámcos y smultáneos". La econometría hoy en día es una herramenta muy mportante para el análss y comportamento de los fenómenos económcos. Su desarrollo ha sdo acelerado debdo a la dnámca que han mostrado los adelantos en el análss matemátco, en métodos estadístcos y de computacón. 1.. Defncones de la Econometría Dado que en la econometría se asocan la Teoría Económca, las Matemátcas y la Estadístca, dferentes defncones han sdo planteadas por los autores, en las que se tratan de relaconar estas tres áreas del conocmento. G. Tntner: la econometría consste en la aplcacón de la teoría económca matemátca y de los métodos estadístcos a los datos económcos para establecer resultados numércos y verfcar los teoremas. W.C. Hood y T.C. Koopmans: la econometría es una rama de la economía donde la teoría económca y los métodos estadístcos se fusonan en el análss de los datos numércos e nsttuconales. T. Havellmo: el método de la nvestgacón econométrca ntenta, esencalmente, unr la teoría económca y las medcones reales, empleando la teoría y la técnca de la nferenca estadístca como un puente. 6

10 Estas tres defncones nos ndcan que la econometría es cuanttatva y que está en estrecho contacto con la realdad. R. Frsch: la econometría a pesar de nutrrse de la Teoría Económca, de las Matemátcas y de la Teoría Estadístca, no es n "Estadístca Económca", n "Teoría Económca", n "Economía Matemátca". O. Lange: la econometría es la cenca que trata de la determnacón, por métodos estadístcos, de leyes cuanttatvas concretas que rgen la vda económca. Esta combna la Teoría Económca con la Estadístca Económca y trata de dar, por métodos matemátcos y de nferenca, una expresón concreta a las leyes generales establecdas por la teoría Objetvo de la Econometría El objetvo de la econometría es expresar la teoría económca en térmnos matemátcos, verfcar dcha teoría por métodos estadístcos, medr el mpacto de una varable sobre otra, predecr los sucesos futuros, o proveer recomendacones de la polítca económca El Procedmento Econométrco El análss econométrco nvolucra las sguentes etapas prncpales: 1. Especfcacón del modelo: consste en usar la teoría, leyes o hpótess partculares económcas, para nvestgar las relacones entre varables y agentes de la economía.. Estmacón del modelo: trata de la utlzacón de nstrumentos auxlares como las matemátcas y la estadístca para estmar el modelo objetvo. 3. Verfcacón del modelo: en esta etapa se efectúa la nterpretacón económca del modelo estmado y se realzan pruebas estadístcas. La fase de 7

11 verfcacón tene un papel muy mportante dado que examna s la expresón cuantfcada puede utlzarse adecuadamente con base en la teoría económca. 4. Predccón: el modelo obtendo puede ser utlzado para la predccón y el desarrollo de muchas aplcacones. Pueden surgr nuevos resultados teórcos, y generarse mplcacones de polítca económca a partr de las conclusones del modelo El Modelo Un modelo es una representacón smplfcada de la realdad. Los nvestgadores y los profesonales de dversas áreas del conocmento trabajan con éstos esquemas, los cuales les permten estudar el comportamento de un fenómeno de nterés. A. Rosenblueth se refró a los modelos centífcos de la sguente manera: "la construccón de modelos para los fenómenos naturales es una de las tareas esencales de la labor centífca. Mas aún, se puede decr que toda la cenca no es sno la elaboracón de un modelo de la naturaleza. La ntencón de la cenca y el resultado de la nvestgacón centífca, es obtener conocmento y el control de alguna parte del Unverso" El Modelo Económco Se denomna modelo económco a cualquer conjunto de supuestos que descrben una economía o parte de una economía. En este sentdo, la teoría económca puede entenderse como la formulacón y análss de modelos cuanttatvos. Esta esquematzacón requere un planteamento partcular de las nterrelacones entre las varables que ntervenen en el fenómeno de estudo. Las característcas mínmas que debe satsfacer un modelo económco son las sguentes: 1. Que represente un fenómeno económco real. 8

12 . Que la representacón sea smplfcada, y 3. Que se haga en forma matemátca. Al defnr un modelo económco como un conjunto de relacones matemátcas (usualmente ecuacones) que expresan una teoría económca, no se exge necesaramente la especfcacón concreta del tpo de funcón que relacona las varables nvolucradas. Un ejemplo de un modelo económco es: ( X, X, ) Y f, (1) 1! X k donde Y cantdad producda; X cantdad del -esmo nsumo, 1,,,k. Aunque esta ecuacón, denomnada funcón de produccón, no presenta una estructura muy partcular del arreglo de las varables X sobre Y, expresa de forma general la relacón entre el producto y los nsumos, y que son las cantdades utlzadas de factores las que determnan la magntud producda, y no lo contraro. Para establecer una forma concreta de la especfcacón de un modelo se debe precsar el tpo de relacón que exste entre las varables económcas. Un ejemplo de ello es una representacón lneal: Y β " + + β X + β X + β X k k () Está relacón puede ser correcta. Sn embargo, cuando no se conoce s el nsumo X es determnante en forma lneal sobre Y, puede ocurrr error de especfcacón. Tambén se debe resaltar que este modelo hace énfass en un número relatvamente pequeño de varables mportantes cuya nterrelacón se puede expresar adecuadamente en un modelo matemátco. 9

13 1.7. El Modelo Econométrco El modelo econométrco es el modelo económco que contene las especfcacones necesaras para su valdacón empírca. Es usual concebr el modelo econométrco como un modelo conformado por una parte determnístca y una parte aleatora o térmno de error. El modelo econométrco para el ejemplo expuesto en la ecuacón () tomaría la forma: Y β + β X + β X + " + β X k k + ε (3) donde β + + β X + β X + " β X k k es la parte determnístca y ε es el termno de error o componente estocástco. Los modelos econométrcos por consderar un térmno aleatoro en su estructura, hacen parte de los modelos probablístcos. Una dferenca fundamental entre los modelos económcos y los modelos econométrcos, es que los prmeros son sempre valdos, dado que han sdo establecdos por la teoría económca y solo persguen la expresón general de ella. Por otro lado, los modelos econométrcos, reflejan el estado de las cosas o de una stuacón específca y aunque tene sus bases en la teoría económca sus resultados pueden cambar de un estudo a otro. Los modelos econométrcos se prueban a través del uso sstemátco de la nformacón estadístca. Un modelo econométrco permte la nferenca estadístca a partr de los datos recoplados, por lo cual éste debe ncorporar los elementos aleatoros que se suponen ntervenen en la determnacón de las observacones. Estas últmas pueden consttuyen una muestra s la aleatoredad de los datos es garantzada. 10

14 Exsten dferentes razones por las cuales los modelos econométrcos deben consderar el térmno de error, destacándose como las más mportantes las sguentes: a) Datos: en muchos casos el grado de control que se puede tener sobre las varables de nterés es bajo. Adconalmente, aunque se desea obtener los verdaderos valores de las varables, se debe aceptar que puede exstr certo error en la medcón. Un ejemplo típco ocurre cuando las personas encuestadas por dferentes motvos revelan un ngreso dferente al real y dcha varable se ncorpora al modelo. Otro caso semejante sucede cuando se le pregunta al agrcultor sobre la cantdad de fertlzante que aplcó por hectárea a su cultvo en la cosecha pasada; éste dado que no se acuerda de dcha magntud, provee un dato que dverge del real. b) Número de varables: el nvestgador sempre tene restrccones para nclur todas las varables que explcan un fenómeno. Por un lado, no cuenta con completa nformacón, y por otro, aunque dsponga de demasada nformacón su formulacón es extremadamente compleja que dfculta su nterpretacón. Por lo tanto, el procedmento se basa en nclur aquellas varables más relevantes, dejando fuera del modelo aquellas poco sgnfcatvas. No obstante, el nvestgador es conscente de que al no poder nclur todas las varables ncurre en certo margen de error al efectuar la estmacón. c) Dsponbldad de nformacón: muchas veces cuando el nvestgador quere nclur una varable mportante en el modelo se encuentra con la lmtacón de cómo cuantfcarla. Un ejemplo de ello es la varable habldad ; se conoce que ésta teórcamente afecta el salaro; sn embargo el nvestgador tene que conformarse con nclur otra varable o nformacón adconal que sea semejante y la descrba de manera aproxmada. 11

15 d) Forma funconal: un nvestgador puede postular que la relacón entre las varables de un modelo es de tpo lneal; no obstante, otro nvestgador podría formular una especfcacón funconal dstnta, por ejemplo cuadrátca. Esta es otra fuente de error en la elaboracón del modelo, pues no se puede tener total certeza sobre su forma funconal aún cuando la teoría señale algunas drectrces para corregrlo. De acuerdo con lo anteror un procedmento sugerdo para llevar a cabo la formulacón de un modelo econométrco es el sguente: 1) Delmtar el fenómeno de estudo; ) Tener clardad sobre el objetvo del modelo; 3) Selecconar las varables relevantes; 4) Establecer las relacones entre las varables, y 5) Con base en el objetvo planteado, estructurar una especfcacón y estmar el modelo usando la nformacón y base de datos de las varables Elementos que componen el Modelo Los elementos que componen el modelo son: las varables, las ecuacones y los parámetros. Una varable es una característca de una poblacón que puede tomar dferentes valores. Solo son de nterés aquellos valores de la varable que tenen un sgnfcado económco. Por ejemplo las varables: preco, produccón, ngreso, y cantdad de nsumo utlzado tenen regón económcamente factble en los números reales postvos. Una ecuacón es una gualdad conformada por una expresón matemátca que establece relacones entre varables. La ecuacón contene no solo las varables de nterés sno tambén los coefcentes que afectan estas msmas. A estas últmas magntudes se les denomna parámetros desde el enfoque estadístco, los cuales en un modelo lneal actúan como factores de ponderacón de cada varable explcatva y 1

16 mden el efecto de las fluctuacones de estas varables sobre la varable dependente. Los parámetros cumplen un papel muy mportante en el modelo, ya que sobre estos el nvestgador formula pruebas de hpótess. Al observar la ecuacón (3), el coefcente que no acompaña nnguna varable ndependente se le conoce como constante paramétrca o ntercepto; en algunos casos su magntud no tene nterpretacón económca Clasfcacón de las Varables Desde el punto de vsta económco las varables se pueden clasfcar como varables endógenas y exógenas. Las varables endógenas son aquellas cuyos valores se determnan o calculan dentro del modelo. En contraste, las varables exógenas se caracterzan por que sus valores están determnados fuera del modelo. Tambén exsten otras clasfcacones de las varables; desde el enfoque de nferenca estadístca: varables aleatoras dscretas y contnuas, y de acuerdo con su rol en expresón matemátca: varables dependentes e ndependentes, explcadas o explcatvas. Otro grupo de varables lo consttuyen las varables predetermnadas. A este pertenecen las varables exógenas con o sn rezago (o retardo) y las endógenas rezagadas. Una denomnacón adconal son las varables esperadas o de expectatvas, las cuales son gran utldad en la formulacón de modelos dnámcos Clasfcacón de las Ecuacones Bajo la perspectva económca las ecuacones se pueden clasfcar de la sguente forma: a) Ecuacones de comportamento: Son aquellas que reflejan el comportamento de los dstntos agentes económcos (consumdores, productores, nversonstas, etc.). Las ecuacones de comportamento son las que mayor aporte teórco le 13

17 hacen a los modelos. Ejemplos de ecuacones de comportamento son: la demanda, la oferta, la nversón, el consumo, el ahorro, etc. b) Ecuacones tecnológcas: El ejemplo típco de una ecuacón tecnológca es la funcón de produccón, la cual refleja el estado de la tecnología de un sector ó de un país. c) Ecuacones nsttuconales: Reflejan un mandato o voluntad del goberno o de los estamentos que toman las decsones en un país. Ejemplo de ecuacones nsttuconales son: oferta monetara, mpuestos, subsdos, etc. d) Ecuacones de defncón: Son ecuacones o dentdades matemátcas y económcas váldas por defncón. Generalmente son relacones contables y la mayoría de los ejemplos de este tpo de ecuacones se encuentran en las cuentas macroeconómcas. Una ecuacón de defncón es actvo pasvo + captal, o la ecuacón de dentdad macroeconómca del Producto Naconal Bruto para una economía con tres sectores. e) Ecuacones de equlbro: Estas garantzan que el modelo tenga solucón. Ejemplos de estas ecuacones son: oferta gual a demanda, o ahorro gual a nversón Clasfcacón de los Modelos Según la cobertura económca o subdscplna, los modelos pueden ser mcroeconómcos o macroeconómcos. De acuerdo con el número de varables ndependentes, los modelos se dvden en smples y múltples. S se consdera el número de ecuacones se tenen modelos unecuaconales y multecuaconales. Con base en el perodo de tempo, los modelos pueden ser estátcos o dnámcos. Al relaconar el número de varables endógenas con el número de ecuacones, los modelos se dvden en completos o ncompletos. 14

18 . ORGANIZACIÓN DE DATOS Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.1. Objetvos de la Estadístca La estadístca es el lenguaje unversal de la cenca, tanto en sus ramas físcas como socales. La estadístca es un nstrumento formal que utlzado de manera rgurosa y con precsón, permte descrbr resultados y adoptar decsones respecto a lo que estos evdencan empírcamente. La estadístca en su aplcacón sgue el método centífco y se defne como la cenca de recolectar, clasfcar, descrbr e nterpretar datos numércos, es el lenguaje unversal de la cenca y el estudo de los fenómenos aleatoros. Dentro de sus objetvos fundamentales se encuentra la estmacón de una o más característcas desconocdas de una poblacón, la realzacón de nferencas y pruebas de hpótess. Se consdera fundador de la estadístca a Godofredo Achenwall, economsta alemán ( ), quen sendo profesor de la unversdad de Lepzg, escrbó sobre el descubrmento de una nueva cenca que llamó estadístca (palabra dervada de Staat que sgnfca goberno) y que defnó como el conocmento profundo de la stuacón respectva y comparatva de cada estado. Desde su aparcón la estadístca se ha enrquecdo contnuamente con los aportes de matemátcos, flósofos y centífcos. La teoría general de la estadístca es aplcable a cualquer campo centífco del cual se toman observacones. El estudo y aplcacón de los métodos estadístcos son necesaros en todos los campos del saber, sean estos de nvel técnco o centífco. Las prmeras aplcacones de la estadístca fueron los temas de goberno, luego las utlzaron las compañías de seguros y los empresaros de juegos de azar; posterormente los comercantes, los ndustrales, los educadores, etc. En la actualdad resulta dfícl ndcar profesones que no utlcen la estadístca. 15

19 .. Dvsones de la Estadístca La estadístca puede dvdrse amplamente en dos áreas: estadístca descrptva o deductva y estadístca nferencal o nductva. La estadístca descrptva es aquella en la que la mayoría de la personas pensan cuando escuchan la palabra "estadístca". Esta es el área de la estadístca dedcada a la recoleccón, presentacón, y descrpcón de datos numércos, cuyas conclusones sobre los msmos no van más allá de la nformacón que estos proporconan. Por otro lado, la nferenca estadístca es el método y conjunto de técncas que se utlzan para obtener conclusones más allá de los límtes del conocmento aportado por los datos; en otras palabras, busca obtener la nformacón que descrbe y caracterza una poblacón a partr de los datos de una muestra..3. Tpos de Varables En estadístca cuando se recopla nformacón, los datos se regstran por medo de la observacón o medcón de una varable aleatora que provene de la realzacón de un expermento. La varable se llama aleatora, debdo a la exstenca de dstntos resultados posbles del expermento y que no hay certeza total de que al efectuarlo uno de los resultados se obtenga sempre con una probabldad del 100%. Por lo tanto, el hecho que una varable tome un valor partcular es consderado un evento aleatoro. Aún, cuando las observacones resultantes no sempre son numércas en algunos expermentos, estas pueden cuantfcarse asgnándoles números que ndquen o representen una categorzacón. Por esta razón, el nterés se centra generalmente en varables que pueden representarse numércamente. Exsten dos tpos de varables aleatoras: dscretas y contnuas. Las prmeras son aquellas cuyo número de valores que pueden tomar es contable (ya sea fnto o 16

20 nfnto) y pueden arreglarse en una secuenca que corresponde uno a uno con los enteros postvos; mentras las segundas toman valores dentro de un ntervalo de recta de los números reales. S se tenen dos varables aleatoras, por ejemplo: el número de hjos por famla y el consumo de energía eléctrca; la prmera, se encuentra dentro del grupo de varables aleatoras dscretas, y la segunda, dentro del conjunto de varables aleatoras contnuas..4. Poblacón y Muestra El concepto de poblacón y muestra es muy mportante en la nferenca estadístca, por lo que es convenente presentar su defncón: Poblacón: Es la coleccón completa de ndvduos, objetos o meddas que tenen una característca en común. La poblacón debe defnrse cudadosamente en cada estudo centífco de acuerdo con el nterés y objetvo de la nvestgacón. Muestra: Es un subconjunto de la poblacón; es decr, ella se compone de algunos de los ndvduos, objetos o meddas de una poblacón. La muestra es obtenda con el propósto de nvestgar, a partr del conocmento de sus característcas partculares, las propedades de toda la poblacón. Por ello, es prmordal la seleccón de una muestra representatva de la poblacón. Es necesaro formalmente enfatzar en la aleatoredad de la muestra, es decr sobre la manera de selecconar los elementos de la poblacón que conformarán la muestra. La palabra aleatoredad para este caso consste en garantzar que cada elemento de la poblacón tenga la msma probabldad de ser elegdo. Se consdera que una muestra es más efcente, cuando proporcona la mayor nformacón útl al menor costo. Los conceptos anterores pueden tratarse en el sguente ejemplo: Suponga que se desea conocer el consumo promedo por hogar de energía eléctrca en la cudad de 17

21 Bogotá. Para este caso, la poblacón corresponde a todos los hogares de la cudad, mentras que la muestra estará consttuda por aquellos hogares que pueden ser selecconados de manera aleatora, como un grupo representatvo de todos los que habtan en Bogotá..5. Parámetros Poblaconales y Estadístcos Muestrales El térmno parámetro es utlzado para referrse a una característca desconocda de la poblacón, que desea estmarse o evaluarse a través de una prueba de hpótess, y que descrbe total o parcalmente su funcón de probabldad o funcón de densdad de probabldad. Por otro lado, el estadístco es una medda numérca de una característca poblaconal obtenda a partr de una muestra. Cabe anotar que los estadístcos son fundamentales en la realzacón de nferencas. El valor promedo y la varanza son ejemplos de tales meddas..6. Meddas de Tendenca Central y de Dspersón Las meddas de tendenca central se encuentran dentro de las meddas numércas que se emplean comúnmente para descrbr conjuntos de datos. La tendenca central de un conjunto de datos es la dsposcón de éstos para agruparse, ya sea alrededor del centro o de certos valores numércos. A este grupo de meddas pertenecen la meda, la medana y la moda. Exsten otro tpo de meddas numércas denomnadas meddas de dspersón, cuyo objetvo es explorar la varabldad de los datos, es decr qué tan dspersas son las observacones en un conjunto de datos. Dentro de estas meddas se encuentran: la varanza, la desvacón estándar, el recorrdo o rango, entre otras..7. Métodos y Dagnóstcos Gráfcos. Los datos en los expermentos son recoplados ncalmente sn agrupar, para 18

22 luego, según el nterés del nvestgador presentarlos agrupados, en forma de clases o ntervalos. Es mportante tener en cuenta que las fuentes de nformacón prmara y secundara pueden almacenar sus datos sn agrupar o como datos agrupados. Con base en lo anteror, es relevante conocer el procedmento de cálculo de las meddas numércas para ambos casos. Las expresones algebracas que descrben la forma de obtener las meddas de tendenca central y de dspersón se muestran en la Tabla No. 1. Con los datos agrupados de una varable aleatora es posble construr hstogramas de frecuencas, los cuales pueden ser comparados con las representacones gráfcas de dstrbucones de probabldad ya conocdas de varables aleatoras. En la mayoría de los casos, estos hstogramas se comparan con la dstrbucón normal, donde por nspeccón es posble dentfcar sesgos o apuntamentos en la dstrbucón. 19

23 0 TABLA No. 1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN. Medda Numérca Datos sn agrupar Datos agrupados Meda! n x n x 1! k n x f x 1, donde! k f n 1 Donde f es la frecuenca absoluta de la clase, para todo 1,,,k clases o ntervalos. Medana Valor central de la dstrbucón (el 50% de los datos se encuentran por encma de este valor). ( m ) f j c L Medana + Donde L es el límte nferor de la clase donde se encuentra la medana, f m es la frecuenca de esa clase, c es la longtud de ese ntervalo y j es el número de observacones en esta clase necesaras para completar un total de n/. Moda Valor más frecuente Casos: Punto medo de la clase con frecuenca más alta. El promedo de los puntos medos de las clases consecutvas con frecuencas guales más altas. Puntos medos de las clases no consecutvas con frecuencas guales más altas. Medda Numérca Datos sn agrupar Datos agrupados Varanza ) ( ) ( 1 1! n x x s n ó " # $ % & '!! n n x x s n n " " # $ % % & '!! n n x f x f s k k Desvacón Estándar 1) ( ) ( 1! n x x s s n ó " # $ % & '!! n n x x s s n n " # $ % & '!! n n x f x f s s k k Recorrdo o Rango Max-mn.

24 .8 Ejerccos de computador Consdérese el sguente conjunto de datos hpotétcos de un estudo de demanda: TABLA No.. DATOS HIPOTÉTICOS EN EL ESTUDIO DE DEMANDA DEL BIEN X. Donde: DX: es la demanda del ben X PX: es el preco del ben X PZ: es el preco del ben Z PW: es el preco del ben W I: es el ngreso No. de DX PX PZ PW I Obs ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE DISPERSION Y NORMALIDAD DX PX PZ PW I Mean Medan Maxmum Mnmum Std. Dev Sum Observatons

25 3. ANALISIS DE CORRELACION 3.1. Dagrama de Dspersón Una prmera aproxmacón con el fn de detectar algún tpo de relacón entre dos varables (X y Y), consste en ubcar los pares de valores de en un plano cartesano hasta conformar la nube de puntos. Un dagrama de dspersón es la representacón gráfca de todos los pares de valores en sstema de ejes de coordenadas. El dagrama de dspersón no es un método estadístco como tal, más ben estaría dentro de los llamados métodos de "nspeccón prelmnar", sn embargo, es una manera smple de vsualzar s exste alguna posble relacón entre las varables. El dagrama de dspersón puede presentar dferentes formas, tales como las que se presentan en las fguras sguentes: La fgura a) muestra una posble relacón lneal drecta entre las varables; mentras,

26 la fgura b) señala una relacón lneal de tpo nversa. Las fgura c) y d) revelarían posbles relacones cuadrátcas entre las varables, exhbendo un máxmo y un mínmo para la prmera y segunda de estas fguras, respectvamente. La fgura e) mostraría una tendenca de tpo cúbco entre las varables. La fgura f) es un ejemplo en el cuál no puede dentfcarse por nspeccón algún tpo de relacón entre las varables, pues aparentemente ella no exste. 3.. Coefcente de Correlacón Lneal S ben es certo que el dagrama de dspersón permte vsualzar la exstenca o no de una posble relacón lneal entre las varables, el nvestgador debe soportar sus conclusones en térmnos de alguna medda estadístca. El coefcente de correlacón lneal es un estadístco que mde el tpo de relacón (sgno) y la fuerza (magntud del coefcente) de asocacón lneal entre dos varables. Usualmente el coefcente de correlacón lneal, representado por la letra r, bajo las condcones de un muestreo aleatoro deal se consdera una buena representacón del coefcente de correlacón poblaconal ( ρ ). La fórmula para calcular r es la sguente: r XY r XY ^ Cov S ( X, Y ) X S Y ( x x)( y y)!!! ( x x) ( y y) r XY - + +,! x! x y (! x )(! y ) (! x ) *- (! y ) ( +! y n ( ) +, n n * ( ( )! x y n( x y) [ x n( x) ] y n( y)! [ ]! El coefcente de correlacón no tene undades y puede tomar valores entre -1 y +1 ( 1 r 1) XY. Su nterpretacón depende del sgno y la magntud que tome. El sgno es determnado solamente por el numerador de la fórmula de cálculo; es decr por la 3

27 covaranza, la cual mde la asocacón lneal absoluta entre las varables; el denomnador es sempre postvo dado que en él se encuentran sumas de cuadrados. S r tende a 1 como sera el caso de la fgura a) estaría ndcando una relacón lneal postva o drecta entre las varables. S r tende a -1, exstría una relacón lneal negatva o nversa entre las varables. Cuando r es exactamente gual a 1 o -1 la relacón lneal es perfecta, sendo posble ajustar todos los puntos a través de una línea recta con pendente postva (ver fgura g) o negatva (ver fgura h), respectvamente. S r es cero no hay relacón lneal entre las varables y una línea horzontal une todos los pares de valores localzados en el dagrama de dspersón (ver fgura ). La ventaja prncpal del coefcente de correlacón lneal es su fácl cálculo e nterpretacón. Sn embargo, cuando las varables presentan algún tpo de relacón no lneal, r no puede medr esta clase de asocacón. Así mmo, dado que r calcula la dependenca lneal solo entre pares de varables, no proporcona nformacón sobre la asocacón smultánea de más de dos varables. A contnuacón se presentan las propedades del coefcente de correlacón: 4

28 1. r es de naturaleza smétrca. Esto ndca que el coefcente de correlacón entre X y Y es gual al coefcente de correlacón entre Y y X.. r es ndependente del orgen y la escala. S se defne X * ax + c y Y * by + d, donde a>0, b>0, y c y d son constantes, entonces r entre X * y Y * (varables transformadas) es gual al r entre X y Y (varables orgnales). 3. S X y Y son varables estadístcamente ndependentes, el coefcente de correlacón lneal entre X y Y es cero. No obstante, s r es cero, esto no mplca necesaramente que X y Y sean estadístcamente ndependentes. Una de las condcones para que el coefcente de correlacón se pueda aplcar es que las varables sean contnuas y con dstrbucón normal. En caso de que esto no se cumpla como es el caso de varables dscretas se debe buscar otra medda estadístca para evaluar la dependenca entre las varables. Una alternatva para ello son las tablas de contngenca Pruebas de Hpótess La formaldad estadístca sugere realzar pruebas de hpótess sobre los parámetros poblaconales basándose en los estadístcos encontrados. Por ejemplo, aún cuando el coefcente de correlacón lneal estmado entre dos varables sea dferente de cero, esto no es sufcente para afrmar que el parámetro poblaconal ρ es en realdad dstnto de cero, pues requere recordarse que las nferencas se efectúan con base en nformacón muestral y exste un margen de error cuando se realza este tpo de procedmento. A contnuacón se presenta el esquema de prueba de hpótess para el coefcente de correlacón lneal cuando el nvestgador desea evaluar s hay o no dependenca lneal entre un par de varables. Por lo tanto, se desea probar s el parámetro poblaconal es o no dferente de cero: 5

29 Paso 1: Planteamento de la hpótess: Ho: ρ 0 Ha: ρ 0 Paso : Nvel de sgnfcanca. Representa el nvel de error máxmo tolerable para realzar la prueba. Este es establecdo o defndo por el nvestgador y se denota con la letra α. Los valores de sgnfcanca con los cuales se trabajan pueden cambar de una dscplna o cenca a otra. Bajo stuacones donde los expermentos tenen una alto grado de control, usualmente se trabaja con nveles del 1% y 5%, (altamente sgnfcatvo y sgnfcatvo, respectvamente). En las nvestgacones de las cencas socales, donde exste un lmtado grado de control sobre las varables, pueden encontrarse sgnfcancas estadístcas del 10% y en algunas ocasones hasta un 0%. Paso 3: El estadístco de prueba. Es una medda estadístca calculada a partr de nformacón muestral o expermental para llevar a cabo la prueba. Para el caso de correlacón lneal smple, el estadístco de prueba se defne como: ( r n ) t C.~ tα, n 1 r θ donde r es el coefcente de correlacón lneal muestral, n es el tamaño de la muestra, n- los grados de lbertad de la prueba y θ el valor del parámetro poblaconal en la hpótess nula. En este ejemplo partcular, θ toma el valor de cero, pero en otras pruebas, de acuerdo con lo que desee evaluar el nvestgador θ puede corresponder a un valor dstnto de cero, entre 1 y 1. 6

30 Paso 4: Regones de decsón. Dado que la hpótess alterna señala el símbolo, se trabaja con los dos lados de la dstrbucón. La regón de rechazo estará repartda en los extremos de la funcón de probabldad, con un valor de α a cada lado. Los valores de los límtes derecho e zquerdo que lmtan las regones de rechazo se determnan medante el uso de la tabla t con sus respectvos grados de lbertad. Estos valores de t se denomnan estadístcos de contraste. La fgura j muestra la regón de rechazo (RHo) y aceptacón (AHo) de la hpótess nula de esta prueba: Paso 5: Crtero de decsón y conclusón del nvestgador. Se debe comparar el estadístco calculado o de prueba ( t C ) contra el estadístco tabulado ( ) t α, n. El crtero de decsón esta basado en: 1) s el t calculado es mayor que el t de tablas postvo, cae en la regón de rechazo del lado derecho de la dstrbucón y la decsón que se debe tomar es rechazar la hpótess nula ( ρ 0 ); ) s el t calculado es menor que el t de tablas negatvo, el t calculado cae en la regón de rechazo del lado zquerdo y la decsón gualmente es rechazar la hpótess nula ( ρ 0 ); y 3) s el t calculado se encuentra entre el -t y t de las tablas, el t calculado cae en la regón de aceptacón y la decsón es no rechazar la hpótess nula ( ρ 0 ). Posterormente, el nvestgador basado en el crtero de decsón concluye e nterpreta 7

31 los resultados de la prueba, y plantea las recomendacones pertnentes. La sgnfcanca estadístca del coefcente de correlacón en la prueba de hpótess se afecta por el tamaño de la muestra (n) o mejor aún por los grados de lbertad, lógcamente a mayor tamaño de la muestra el valor de r tene mayor confabldad. S se encuentra un valor de r relatvamente bajo y n es grande, es posble que éste sea sgnfcatvo al comparar el estadístco de prueba con el de contraste o de tablas; alternatvamente se puede encontrar un r alto pero no sgnfcatvo estadístcamente debdo a que n es muy pequeño y por consguente el número de grados de lbertad es bajo Ejerccos de computador Usando los msmos datos del ejemplo hpotétco de demanda planteado en el capítulo anteror, a contnuacón se presenta el dagrama de dspersón, y la matrz de covaranzas y de correlacón de las varables: DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN 8

32 MATRIZ DE COVARIANZAS VARIABLE DX PX PZ PW I DX PX PZ PW I MATRIZ DE CORRELACION VARIABLE DX PX PZ PW I DX PX PZ PW I REGRESION SIMPLE LINEAL Y NO LINEAL 4.1. Objetvo del análss de regresón El objetvo fundamental del análss de regresón es el estudo de la dependenca de una varable, llamada explcada, de una o más varables llamadas explcatvas. El análss de regresón se apoya en el concepto matemátco de funcón, en el que se tene una varable dependente (varable explcada) y un conjunto de varables ndependentes (varables explcatvas) con el fn de estmar los coefcentes o parámetros de dcha funcón y efectuar predccones (encontrar el valor esperado de la varable dependente cuando se construyen escenaros reflejados en los valores que toman las varables ndependentes). Todo procedmento econométrco sgue los sguentes pasos: la especfcacón, la estmacón, la verfcacón y la predccón. A contnuacón se presenta una breve descrpcón de cada etapa: 9

33 1. Especfcacón: corresponde a la etapa en que el nvestgador defne la forma funconal del modelo que desea utlzar para explcar la varable dependente sguendo los lneamentos de la teoría económca.. Estmacón: durante esta se calculan los valores numércos de los coefcentes o parámetros del modelo; para ello es necesaro apoyarse en los métodos de estmacón y la aplcacón de rutnas de computador usando paquetes estadístcos (Evews). 3. Verfcacón: consste en corroborar la valdez teórca y estadístca del modelo, es decr, evaluar s los sgnos obtendos para los coefcentes estmados son los esperados y s el modelo cuenta con propedades estadístcas adecuadas (buen ajuste, alta relevanca y dependenca). 4. Predccón: muchas veces los modelos elaborados por los economstas no tenen solo como objeto mostrar la relacón entre varables y la magntud de dcha relacón entre estas a través de una forma funconal, sno que además los modelos tenen mplcacones en térmnos de predccón. En este sentdo puede encontrarse el efecto esperado sobre la varable dependente para dversos valores de las varables ndependentes fuera del rango muestral. En este procedmento la nferenca estadístca juega un papel mportante. 4.. Funcón de regresón muestral y poblaconal E 1 β La línea de regresón ( ) Y / X β + X es la unón de los puntos que representan los valores esperados de varable dependente Y dado los valores de las varables ndependentes X s. Esta línea se puede construr a partr del dagrama de dspersón conformado por los datos poblacones; en este caso la línea de regresón se conoce como la funcón de regresón poblaconal. A contnuacón se presenta una 30

34 gráfca de la línea de regresón poblaconal cuando el gasto en consumo de un hogar se desea explcar por el ngreso. Por otro lado, cuando la línea de regresón es construda con los datos muestrales recbe el nombre de funcón de regresón muestral. Como todo procedmento de nferenca estadístca, lo que se pretende es que la muestra sea una buena representacón de la poblacón. En este sentdo, la funcón de regresón muestral consttuye una representacón de la funcón de regresón poblaconal. A sí msmo, en la práctca, las muestras de varables aleatoras son usadas para nferr sobre las característcas de la poblacón. La sguente gráfca presenta un ejemplo de dos líneas de regresón muestral para el gasto en consumo semanal de un hogar versus el ngreso. 31

35 4.3. Supuestos del modelo de regresón Los supuestos del modelo junto con los métodos de estmacón caracterzan los resultados obtendos de la regresón (coefcentes, pruebas de hpótess, ntervalos de confanza, predccón, etc.). En partcular, los supuestos más mportantes del modelo recaen sobre el térmno del error. Tenendo en cuenta que la funcón de regresón poblaconal puede expresarse tambén de la forma Y β + X + u, el modelo de regresón lneal cuenta con los sguentes supuestos: 1 β Supuesto 1: El modelo de regresón es lneal en los parámetros: Y β + X + u 1 β Supuesto : Los valores de X son fjos en muestreos repettvos. Técncamente esto consste en que X se supone no estocástca. Supuesto 3: El valor medo de la perturbacón u es gual a cero. E [ u / X ] 0 3

36 Por lo tanto los factores que no están ncludos en el modelo y que por consguente, están ncorporados en u, no afectan sstemátcamente el valor de la meda de Y. Supuesto 4: Homoscedastcdad o varanza constante de u. Dado el valor de X, la varanza de u es constante para todas las observacones. Esto es, las varanzas condconales de u son déntcas. Var[ u Var[ u Var[ u / X / X / X ] E[ u ] E[ u ] σ E[ u ]/ X / X ] ] La anteror ecuacón, establece que la varanza de u para cada X, es algún número postvo constante gual a σ. Nótese que el supuesto 4 mplca que las varanzas condconales de Var [ / ] σ. Y X Y tambén son homoscedástcas. Esto es: En contraste, s la varanza condconal de la poblacón Y vara con X, esta stuacón se conoce como Heteroscedastcdad, lo cual puede escrbrse como: Var u X [ / ] σ Obsérvese el subíndce sobre σ en esta expresón ndca que la varanza de la poblacón Y ahora no es constante. Supuesto 5: No auto correlacón entre las perturbacones. Dados dos valores cualquera de X, por ejemplo todo j es cero. X y X ( j) j, la correlacón entre u y u j para 33

37 34 0 ), /, ( ] / ][ / [ ), /, ( ] ]/ [ ][ ]/ [ [ ), /, ( j j j j j j j j j j j X X u u Cov X u X u E X X u u Cov X u E u X u E u E X X u u Cov donde y j son dos observacones dferentes. Este es tambén llamado supuesto de no correlacón seral. Supóngase que en la funcón de regresón poblaconal t t t u X Y β β, t u y 1 t u están correlaconados postvamente. Entonces t Y depende no solamente de t X sno tambén de 1 t u, puesto que 1 t u determna en certa medda a t u. Supuesto 6: La covaranza entre u y X es cero, o 0 ], [ u X E. 0 ], [ 0 ] [ ], [ ], [ _ ] _ [ ] [ ] [ ] [ ], [ 0 ] [ ])] [ ( [ ], [ ]] [ ]][ [ [ ], [ X u Cov u E X u E X u Cov estocastca no X E u E X E X u E X u Cov u E X E X u E X u Cov X E X u E u E X u Cov Supuesto7: El número de observacones n debe ser mayor que el número de parámetros por estmar. Supuesto 8: Varabldad en los valores de X. Se requere que no todos los valores de X en una muestra dada sean guales. Así la ] [X Var es un número fnto postvo. Supuesto 9: El modelo de regresón esta correctamente especfcado. La omsón de varables mportantes del modelo o la escogenca de una forma funconal equvocada afectan la valdez de la nterpretacón de la regresón estmada. Supuesto 10: No hay correlacón lneal perfecta entre varables explcatvas.

38 Cuando el modelo de regresón cumple con los anterores supuestos se le conoce como modelo de regresón clásco y tene las sguentes propedades: los estmadores son MELI (mejores estmadores lneales nsesgados). S se agrega el supuesto de normaldad de los errores, los estmadores son MEI (mejores estmadores nsesgados) y por lo tanto segurán dstrbucón normal. Con ello, los ntervalos de confanza, las predccones y las pruebas de hpótess tenen valdez estadístca Método de estmacón de mínmos cuadrados ordnaros El objetvo prncpal de la etapa de estmacón es encontrar los valores de los parámetros muestrales. El método de estmacón más popular recbe el nombre de mínmos cuadrados ordnaros (MCO). El crtero de este método consste en proporconar estmadores de los parámetros que mnmcen la suma de los cuadrados de los errores. Operatvamente el proceso es construr una funcón objetvo en térmnos de la suma de los cuadrados de los errores y medante optmzacón (condcones de prmer orden - C.P.O., y condcones de segundo orden - C.S.O.) obtener las fórmulas de cálculo de los estmadores. Debdo a que la funcón de regresón poblaconal no se puede observar drectamente, los estmadores de mínmos cuadrados ordnaros se obtenen a partr de la funcón de regresón muestral (FRM). La FRM es: Y ˆ β + ˆ X + e 1 β Y Y ˆ + e La suma del cuadrado de los errores puede expresarse como sgue: ( Y Yˆ ) ( Y ˆ β ˆ β X )! e!! 1 35

39 De acuerdo con el prncpo de mínmos cuadrados ordnaros: mn ( Y ˆ β ˆ β X )! e! mn 1 Dervando la anteror expresón con respecto a βˆ 1 y βˆ e gualando a cero, respectvamente, y resolvendo las ecuacones normales, se encuentran los estmadores de los parámetros de la regresón: ˆ β n! X Y ( X )(! Y ) n! X (! X ) ˆ β! Cov, Var ˆ 1 Y β X ( X Y ) ( X ) 4.5. Varanzas y errores estándar de los estmadores Así como exsten meddas de dspersón para las varables tambén las hay para los estmadores, por lo tanto, es necesaro sempre presentar una medda de precsón de los estmadores de los parámetros del modelo. Esta medda es el error estándar e ndca la confabldad de las estmacones (s son pequeñas dejan ver que los parámetros muestrales van a ser muy parecdos a los poblaconales). La prncpal utldad de los errores estándar de los estmadores es la construccón de ntervalos de confanza y la prueba de hpótess. A contnuacón se presenta la forma de calcular la varanza y error estándar de cada estmador del modelo de regresón lneal smple: Var!! ( X X ) ( ˆ X β 1 ) σ se ( ˆ β ) Var n σ ( βˆ ) se ( βˆ ) ( X X )! y , n! X! ( X X ) σ ( X X )! * ( ( ) σ 36

40 4.6. Intervalos de confanza En estadístca es común efectuar nferencas basadas en estmacones puntuales y en ntervalos. Estas últmas son menos resgosas debdo a que se encuentran dentro de un rango con certo margen de confabldad. En partcular, pueden construrse ntervalos de confanza para los parámetros del modelo de regresón así como para las predccones. Un ntervalo de confanza para el parámetro β puede presentarse como sgue: [ ˆ β t se( ˆ β ) β ˆ β + t ( ˆ β )] 1 α Pr α α se donde α es el nvel de sgnfcanca estadístca y se ( ˆβ ) es el error estándar de β. 100 ( 1 α ) es el nvel porcentual de confanza del ntervalo. Una versón abrevada de esta expresón es: ˆ β t se( ˆ ) Pr ±. De la msma forma para β 1 : α β [ ˆ β1 t α se( ˆ β ) β ˆ 1 1 β1 + tα se( ˆ β1 )] 1 α ˆ β ± t se( ˆ ) 1 α β1 S por ejemploα es 0.05, la nterpretacón del ntervalo de confanza para β es: dado un nvel de confanza del 95% (en 95 de cada 100 casos) en el largo plazo, el ntervalo [ ˆ β t se( ˆ β ), ˆ β + t se( ˆ β )] α α contendrá el verdadero valor de β Pruebas de hpótess En todo modelo de regresón se deben probar hpótess para evaluar la valdez estadístca de los resultados. Entre la varedad de pruebas de hpótess que se pueden efectuar, las pruebas de dependenca y relevanca son las más mportantes. 37

41 Prueba de relevanca: la prueba de relevanca consste en evaluar estadístcamente qué tan sgnfcatvo es un parámetro del modelo, de esta manera puede dentfcarse s la varable ndependente ( X ) aporta nformacón mportante al modelo de regresón. capítulo, para cada estmador β, 1, : Sguendo la estructura presentada en el Paso 1: Planteamento de la hpótess. Ho: β 0 Ha: β 0 Paso : Nvel de sgnfcanca ( α ): Paso 3: El estadístco de prueba. Para la prueba de relevanca en el modelo de regresón, el estadístco de prueba se defne como: β t C.~ tα, n se ( β ) Paso 4: Regones de decsón: La sguente gráfca muestra la regones de rechazo y aceptacón de la hpótess nula. 38

42 Paso 5: Crtero de decsón y conclusón del nvestgador: S t C > t α, n se rechaza la hpótess nula. S la prueba de hpótess es realzada para β 1 y se rechaza Ho se concluye que el ntercepto del modelo es sgnfcatvo al nvel α. S la prueba se efectúa para β y se rechaza Ho se concluye que X es estadístcamente relevante al nvel α de sgnfcanca. Por otro lado, cuando no sea posble rechazar la hpótess nula, se puede decr que no exste evdenca estadístca para afrmar que X sea relevante al nvel α de sgnfcanca. Prueba de dependenca: esta prueba se lleva a cabo para evaluar s en un modelo de regresón las varables ndependentes explcan estadístcamente en su conjunto la varable dependente. Se desea que en un modelo de regresón exsta una alta dependenca ocasonada por las varables explcatvas. Esta prueba de hpótess como cualquer otra debe segur una estructura smlar a la presentada en el capítulo. La hpótess nula de esta prueba hace referenca a la no exstenca de dependenca en el modelo (para el caso de regresón smple como solo hay una varable ndependente se desea probar s β 0 ). La hpótess alternatva argumenta lo contraro, señalando que al menos uno de los coefcentes que acompañan las varables ndependentes es dstnto de cero (en regresón smple esto es equvalente a β 0 ). El estadístco de prueba para el caso de un modelo de regresón lneal smple es ( tn ) F1 F C, n.~, donde F C es el estadístco calculado, que sgue una dstrbucón F con un grado de lbertad en el numerador y n- grados de lbertad en el denomnador; y t es el estadístco t calculado en la prueba de relevanca para β. Fnalmente, la hpótess nula es rechazada cuando F C > F1, n. 39

43 4.8. Predccón Una aplcacón del modelo de regresón es la predccón o el pronóstco de la varable dependente, de acuerdo con valores dados de las varables ndependentes. Hay dos tpos de predccones: la predccón meda y la predccón ndvdual. A contnuacón se presentan estos dos casos: Predccón meda: es la predccón del valor medo condconal de Y, correspondente a un determnado valor de X, denotado como X 0, el cual representa un punto sobre la línea de regresón poblaconal. S se desea predecr ( Y ) E /, la estmacón puntual de la predccón meda es X 0 Y ˆ 0 ˆ β1 + ˆ β X 0 y la varanza de 0 - Yˆ : ( ) ( ) ( ) ( ( * 1 X + 0 X Var Ŷ0 ˆ + + n,! X X ) σ. Predccón ndvdual: es la predccón de un valor ndvdual de Y, correspondente a un determnado valor de X. S se desea predecr Y 0 / X 0, de gual forma que en la predccón meda, la estmacón puntual es Y ˆ 0 ˆ β1 + ˆ β X 0, sn embargo la manera de calcular la varanza de Y 0 es: Var ( Y ) 0-1 ˆ σ n, ( X ) ( ) ( ( * 0 X! X X ) 4.9. El Coefcente de Determnacón Es mportante menconar que cuando un modelo de regresón es construdo con el objeto de predecr, al nvestgador le nteresa encontrar una medda de la bondad de ajuste de los resultados del modelo. Una medda muy común de esta bondad de ajuste es el coefcente de determnacón o R, la cual proporcona nformacón 40

44 respecto a que tan ben la línea de regresón muestral se ajusta a los datos. Para el caso de un modelo de regresón lneal smple se denota como r y se calcula: r () r, donde r es el coefcente de correlacón lneal entre las varables Y y X. Debdo a que el r bajo los supuestos de modelo de regresón clásco se encuentra entre 0 y 1, la manera de nterpretarlo es en porcentaje, argumentándose que dcho valor refleja la magntud porcentual de la varacón de la varable Y explcada por la varable X Modelos de regresón smple no lneal en las varables En algunos casos el nvestgador requere estmar otro tpo de modelos en los que las varables ndependentes no sean lneales, como por ejemplo varables transformadas en térmnos logarítmcos, cuadrátcos, raíz cuadrada, cúbcos, etc. Las razones para estmar estos nuevos modelos pueden ser: mejorar los resultados en térmnos de bondad de ajuste, obtener elastcdades drectamente de la regresón, o en algunos casos porque la teoría económca lo sugere. Un ejemplo del modelo no lneal es el conocdo como Cobb-Douglas, cuya forma funconal es la sguente: β Y AX Para estmar el modelo se efectúa una lnealzacón del modelo orgnal transformándolo en logartmos. De esta manera: e u Log Y LogA + β Log X + u Puede notarse que las varables dependente e ndependente se encuentran transformadas en logartmos y el térmno Log A es el ntercepto de la regresón. Así, con el deseo de obtener los coefcentes de la regresón puede efectuarse la sguente susttucón: 41

45 Sea forma: YT Log Y, β Log A y XT Log X 1 β 1, luego el modelo a estmar toma la YT β + XT + u, y los coefcentes del modelo transformado pueden ser obtendos por el método de mínmos cuadrados ordnaros usando las ecuacones para los estmadores β 1 y β presentadas en el numeral 4.4. Teórcamente un modelo Cobb-Douglas es una funcón con elastcdad constante a lo largo de todo su domno, sendo dferente de una funcón lneal, donde la elastcdad depende especalmente de la observacón X. En este sentdo, el modelo Cobb-Douglas permte obtener drectamente las elastcdades: el coefcente βˆ representa la elastcdad de Y respecto a X, y se nterpreta como el aumento (cuando el valor de la elastcdad es mayor que cero) o dsmnucón (cuando el valor de la elastcdad es menor que cero) porcentual en la varable Y, ocasonada por el ncremento en un 1% de la varable X Ejerccos de Computador Contnuando con el ejemplo de datos hpotétcos de demanda presentado en los capítulos anterores, las sguentes saldas de computador muestran los resultados del modelo de regresón lneal smple de demanda y el modelo no lneal en las varables (doblemente logarítmco) con las respectvas matrces de varanza covaranza de los coefcentes: 4

46 MODELO DE REGRESION LINEAL SIMPLE Dependent Varable: DX Method: Least Squares Date: 10/03/06 Tme: 16:38 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Los resultados del modelo lneal muestran que la varable preco cuenta con el sgno esperado y es relevante al 1%, 5% y 10% de sgnfcanca. El valor del R es 0.918, es decr, el 9% de la varacón de la demanda del ben X esta explcada por la varable preco. Adconalmente se observa la exstenca de dependenca conjunta en el modelo al 1%, 5% y 10% de sgnfcanca (F c 1.935). El coefcente de la varable PX es nterpretado como un efecto margnal, por lo tanto, un ncremento en una undad del preco de X dsmnuye en promedo su demanda en 5.04 undades, mantenendo todos los demás factores constantes. MATRIZ DE VARIANZA COVARIANZA DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE COEFICIENTE C PX C PX

47 MODELO DE REGRESION SIMPLE NO LINEAL EN LAS VARIABLES (DOBLEMENTE LOGARITMICO) Dependent Varable: LOG(DX) Method: Least Squares Date: 10/03/06 Tme: 16:48 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C LOG(PX) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.1445 Prob(F-statstc) Los resultados del modelo doblemente logarítmco ndcan que la varable logartmo del preco es sgnfcatva (al 1%, 5% y 10%) y exhbe el sgno teórco. El R es 0.77, por lo tanto, el 77% de la varacón del logartmo de la demanda del ben X es explcada por el logartmo de su preco. Adconalmente exste dependenca conjunta en el modelo (1%, 5% y 10% de sgnfcanca). El coefcente de la varable LOG(PX) es nterpretado como una elastcdad, por lo tanto, un ncremento en un 1% del preco de X dsmnuye en promedo su demanda en 0.7%, mantenendo todos los demás factores constantes. MATRIZ DE VARIANZA COVARIANZA DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO NO LINEAL EN LAS VARIABLES (DOBLEMENTE LOGARITMICO) COEFICIENTE C LOG(PX) C LOG(PX)

48 5. REGRESION MULTIPLE LINEAL Y NO LINEAL 5.1. Expresón del modelo en forma matrcal En regresón múltple se supone que las varacones de Y que se pretenden explcar son debdas a K varables ndependentes, es decr X 1, X,.., X K y como en la realdad no pueden presentarse relacones determnístcas por completo se consdera la nclusón del térmno de perturbacón ε. Resulta convenente analzar el modelo clásco de regresón lneal usando el enfoque matrcal. Supóngase un modelo lneal de la forma: Y β + β x + β x + " + β + ε k x k S se tenen n observacones ndependentes y como: y 3 y, β + β x + β x + " + β x + ε 1 3 1, y,! yn de Y, podemos escrbr k k Donde x es el valor de la j-ésma varable ndependente para la -ésma j observacón, 1,,3,!, n. Ahora defínanse las sguentes matrces, con x 1: 1 - y1 * + ( + y Y (, + # ( + (, y n ) -x11 x1 " x1k * + ( + x1 x " xk X (, + # # ( + (, xn1 xn " xnk ) -β1 * + ( + β! (, + # ( + (, β k ) -ε1 * + ( + ε " ( + # ( + (, ε n ) Por lo tanto las n ecuacones que representan y como funcón de las ε se pueden escrbr smultáneamente y de forma compacta como: Y X" +! x j, los β y 45

49 5.. Supuestos del modelo Los supuestos del modelo son los sguentes: 1. Y X" +! (Lnealdad en los parámetros).. X es de tamaño n x k con rango k. 3. E (! X) 0. E( Y / X) X" 4. E(!!') σ I. Cov( ε ε ) 0, j. 5. X es no estocástca. 6. (" X).~ N (0, σ I) j 5.3. Método de estmacón de mínmos cuadrados ordnaros Se desea obtener un estmador " de un vector de parámetros desconocdo " que mnmza la suma del cuadrado de los errores S, donde: S!ε "'" (Y X!) '(Y X!) Al mnmzar S con respecto a " se encuentra el estmador de mínmos cuadrados ordnaros de regresón múltple:! MCO 1 ( X ' X) ( X ' Y) 5.4. Matrz de varanzas y covaranzas de los estmadores La matrz de varanza-covaranza de los estmadores es relevante en la determnacón de los errores estándar de los coefcentes y en la ejecucón de pruebas de hpótess. Para obtener la matrz de varanza-covaranza de los estmadores es necesaro calcular prevamente la suma de cuadrados de los errores y la varanza del modelo: 46

50 1. Suma de cuadrados de los errores. Puede ser calculada así: SCE Y' Y "' X'Y.. Varanza del modelo. Dado que en la mayoría de los casos la varanza es desconocda, se utlza la nformacón de la muestra para obtener un estmador de la msma: σ ( Y'Y "' X'Y) ( n k) SCE ( n k). Usando la nformacón anteror, la matrz de varanza covaranza de los coefcentes se puede calcular con la sguente fórmula: Matrz var cov. σ ( X' X) Pruebas de hpótess Para efectuar pruebas de hpótess es necesaro obtener el error estándar de cada uno de los estmadores. Esta medda de dspersón corresponde a la raíz cuadrada de cada uno de los elementos de la dagonal prncpal de la matrz de varanza covaranza. A contnuacón se presentan los aspectos más mportantes para efectuar las pruebas de relevanca y dependenca en un modelo de regresón múltple: Pruebas de relevanca: En estas pruebas se utlzan los t estadístcos calculados de los estmadores con su respectvo p-valor. A contnuacón se presenta la forma de obtenerlos: 1. t estadístcos. Los valores de t son calculados efectuando el cocente entre el coefcente estmado y el error estándar respectvo.. p-valores. Arroja la probabldad exacta de obtener un valor de t mayor que el valor absoluto de t obtendo para cada coefcente. Tambén es conocdo como el nvel mínmo de sgnfcanca para rechazar la hpótess nula. Para 47

51 obtener dcha probabldad es necesaro el valor del estadístco t calculado, el número de grados de lbertad ( n k) y el número de colas de la prueba (en este caso dos colas dado que es una prueba de sgnfcanca ndvdual). Prueba de dependenca: Como se menconó en el capítulo anteror el estadístco utlzado para realzar la prueba es el F. 1. F estadístco. Mde la dependenca conjunta en el modelo respecto a las varables explcatvas. Puede ser obtendo en la forma matrcal de la sguente manera: F [("' X'Y ny )( n k) ] [( Y'Y "' X' Y)( k 1) ].. p valor. Arroja el nvel mínmo de sgnfcanca para rechazar la hpótess nula. En el procedmento se requere el valor obtendo de F, los grados de lbertad del numerador ( k 1) y grados de lbertad del denomnador ( n k) Coefcente de determnacón ajustado ( R ) El térmno ajustado se refere a que es corregdo por los correspondentes grados de lbertad. El R mde la bondad de ajuste del modelo de regresón (porcentaje de explcacón de la varable dependente por las varables ndependentes), así como lo hace el R convenconal, sn embargo el R tene la partculardad de que permte comparar modelos de regresón múltple en los que se ncluyen varables adconales. No obstante, se debe consderar que la comparacón tene valdez cuando en cada modelo la varable dependente y el tamaño de la muestra sean guales. La forma de calcular el R 1 R se presenta a contnuacón: ( 1 R ) n 1 n k 48

52 5.7. Intervalos de confanza. Un ntervalo de confanza para el parámetro β, k 1,,! K, tene la forma: k, Pr [ ˆ β k tα se( ˆ β ) β ˆ k k β k + tα se( ˆ β k )] 1 α ˆ β k ± t se( ˆ α β k ) donde α es el nvel de sgnfcanca estadístca y se( βˆ k ) es el error estándar de βˆ k. El se( βˆ k ) se obtene medante la fórmula: ( ˆ se β ) ˆ ( ' ) 1 k σ X X kk. Puede notarse, que este ntervalo de confanza corresponde a una expresón matemátca smlar a la presentada en el caso de regresón smple Modelos de regresón múltple no lneal en las varables En este numeral, se extenderá el caso de la funcón tpo Cobb-Douglas desarrollado en el numeral 4.10 al caso de regresón múltple no lneal en las varables. Consdérense más varables ndependentes X s que pueden explcar la varable Y, por lo tanto, el modelo Cobb-Douglas toma la forma: Y AX β X β3 3! X β k e k u Luego transformando el modelo en logartmos: Log Y Log A + β Log X + β Log X + " + β Log X + u 3 3 k k Sea YT Log Y, β 1 Log A, XT Log X,..., XT k Log X k, entonces el modelo a estmar es: YT β + β XT + β XT + " + β XT + u k k 49

53 Bajo el esquema matrcal los coefcentes del modelo transformado pueden ser obtendos a través del método de mínmos cuadrados ordnaros usando la fórmula de cálculo presentada en el numeral 5.3. El coefcente ˆ β k, k,3,!, K representa la elastcdad de Y respecto a X k y tene la msma nterpretacón que en el caso del modelo de regresón smple doblemente logarítmco del capítulo anteror. Por lo tanto, se tendrán k 1elastcdades en regresón múltple al estmarse una funcón tpo Cobb-Douglas. Por otro lado, cabe destacar que ejerccos de estmacón dferentes al modelo Cobb-Douglas no permten obtener drectamente elastcdades constantes. Por ello es necesaro tener en cuenta la forma que toman las varables en el modelo transformado antes de efectuar nterpretacones de los coefcentes Ejerccos de Computador. Ejemplo 1. Usando la msma base de datos hpotétcos de demanda de capítulos anterores a contnuacón se presentan los resultados de las estmacones del modelo de regresón múltple lneal y no lneal en las varables, las matrces de varanza covaranza de los coefcentes, así como la comparacón entre los valores observados y predchos de la demanda y sus resduos: 50

54 Dependent Varable: DX Method: Least Squares Date: 10/04/06 Tme: 10:31 Sample: 1 13 Included observatons: 13 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PW PZ I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Los resultados del modelo lneal muestran que la varable preco cuenta con el sgno esperado y es relevante al 5% y 10% de sgnfcanca. El valor del R es 0.947, es decr, el 95% de la varacón de la demanda del ben X esta explcada por las varables ndependentes. Adconalmente se observa la exstenca de dependenca conjunta en el modelo al 1%, 5% y 10% de sgnfcanca (F c ). El coefcente de la varable PX es nterpretado como un efecto margnal, por lo tanto, un ncremento en una undad del preco de X dsmnuye en promedo su demanda en 4.59 undades, mantenendo todos los demás factores constantes. Vale la pena aclarar que la varable ngreso aún cuando es relevante al 10% de sgnfcanca, el sgno de su coefcente no es consstente con la teoría economía relaconada con un ben normal. 51

55 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE LOS ESTIMADORES DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MULTIPLE COEFICIENTE C PX PW PZ I C PX PW PZ I VALORES OBSERVADOS Y ESTIMADOS DE LA DEMANDA Y LOS RESIDUOS A PARTIR DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE obs Actual Ftted Resdual Resdual Plot * * * * * * * * * * * * *. 5

56 MODELO DE REGRESION MULTIPLE NO LINEAL EN LAS VARIABLES (DOBLEMENTE LOGARITMICO) Dependent Varable: LOG(DX) Method: Least Squares Date: 10/04/06 Tme: 10:39 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C LOG(PX) LOG(PW) LOG(PZ) LOG(I) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Los resultados del modelo doblemente logartmo no son satsfactoros, dado que nnguna de las varables ncorporadas como regresores son sgnfcatvas. Asmsmo, las varable LOG(PX) y LOG(I) no presentan los sgnos esperados, lmtando la valdez teórca del modelo. MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE LOS ESTIMADORES DEL MODELO DOBLEMMENTE LOGARÍTMICO COEFICIENTE C LOG(PX) LOG(PW) LOG(PZ) LOG(I) C LOG(PX) LOG(PW) LOG(PZ) LOG(I)

57 VALORES OBSERVADOS Y ESTIMADOS DEL LOGARITMO DE LA DEMANDA Y LOS RESIDUOS A PARTIR DEL MODELO DE REGRESIÓN DOBLEMENTE LOGARÍTMICO obs Actual Ftted Resdual Resdual Plot * * * * * * * * * * * * * Ejemplo. Ahora consdere la sguente nformacón de una frma sobre los costos de produccón y la cantdad producda de un ben para estmar una funcón de costos cúbca: TABLA No. 3. COSTOS SEGÚN EL NIVEL DE PRODUCCIÓN Obs. Q CT

58 Donde: CT: Costo total de produccón Q: Nvel de producto ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS Q Q Q3 CT Mean Medan Maxmum Mnmum Std. Dev Observatons MODELO DE REGRESION MULTIPLE NO LINEAL EN LAS VARIABLES (FUNCIÓN CUBICA) Dependent Varable: CT Method: Least Squares Date: 7/09/06 Tme: 1:48 Sample: 1 1 Included observatons: 1 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C Q Q Q R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd 8.93 Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc 7408,618 Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) 0 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS DE LOS ESTIMADORES COEFICIENTE C Q Q Q3 C Q Q Q

59 6. INCUMPLIMIENTO DE LOS SUPUESTOS DEL MODELO El cumplmento de los supuestos del modelo clásco de regresón garantza que los βˆ k obtendos a través del método de mínmos cuadrados ordnaros sean los mejores estmadores lnepñales nsesgados. Cuando tales supuestos son volados, se empezan a generar problemas en los resultados de la regresón, hacendo que los parámetros obtendos no cumplan con algunas de las propedades deseables de un estmador (efcenca y consstenca). A contnuacón se descrben de manera general los conceptos de multcolnealdad, heteroscedatcdad autocorrelacón, y no normaldad, la forma de detectar tales problemas en el modelo estmado y las posbles solucones a la volacón de los supuestos de mínmos cuadrados ordnaros relaconados con estos conceptos Multcolnealdad La multcolnealdad tene que ver con la relacón lneal entre algún conjunto de varables ndependentes en un modelo de regresón. Supóngase el sguente modelo con cuatro varables ndependentes: Cualquer relacón lneal entre las varables ndependentes de este modelo, por ejemplo X con X 3, o X con X5 y X 4 puede generar problemas de multcolnealdad. Por lo general, exsten dos tpos de multcolnealdad: 1. Multcolnealdad Perfecta: Para entender el concepto de multcolnealdad perfecta es necesaro expresar las varables ndependentes del modelo en térmnos de una combnacón lneal cuya suma algebraca sea gual a cero. Para el modelo presentado la combnacón lneal sería: 56

60 Los valores de λ pueden ser postvos o negatvos y formar muchas combnacones. Cuando la suma algebraca para todas las observacones de la muestra de esta combnacón lneal es cero se dce que exste multcolnealdad perfecta. De este caso se exceptúa que smultáneamente los valores de λ sean cero, pues esta es una solucón trval de la ecuacón. En otras palabras, la multcolnealdad perfecta se presenta cuando una combnacón lneal de uno o más vectores de varables explcatvas generan de manera perfecta uno o más vectores déntcos a cualquera de las varables explcatvas en la base de datos.. Multcolnealdad Alta: Esta se presenta cuando la colnealdad que exste entre varables ndependentes es muy fuerte aunque no perfecta. La multcolnealdad se presenta debdo a la tendenca defnda de certas varables a lo largo de la muestra o a través del tempo. Tendencas o patrones de comportamento smlares de las varables ndependentes en un modelo de regresón sustentan la multcolnealdad. La multcolnealdad se puede presentar en datos provenentes de seres de tempo. Por ejemplo, es común encontrarla al regresar varables que tenen que ver con la representacón de cclos económcos. Por ello, antes de efectuar la regresón es útl elaborar dagramas de dspersón entre las varables ndependentes con el objetvo de analzar el comportamento tendencal de estas. El problema de multcolnealdad es un problema ocasonado por las observacones en los datos recoplados de la muestra. La presenca de multcolnealdad afecta drectamente la estmacón de los parámetros del modelo. De acuerdo con el estmador por mínmos cuadrados ordnaros:! 1 ( X' X) ( X' Y) 57

61 S exste multcolnealdad perfecta entre las varables ndependentes de un modelo de regresón, ( X' X ) -1 no exste. Cuando esto ocurre no es posble estmar!. En presenca de alta multcolnealdad se genera una amplacón del error estándar de!, por lo que el valor de los estadístcos "t" para cada uno de los parámetros del modelo serán mucho menores que en ausenca de multcolnealdad, aumentándose la probabldad de cometer error de tpo II, es decr, que acepte Ho no sendo verdadera. Por consguente, el modelo no tene valdez para realzar pruebas de relevanca Deteccón de Multcolnealdad La deteccón de multcolnealdad en un modelo puede hacerse por medo de la vsualzacón de contradccones en los estadístcos que juzgan la bondad del ajuste (R ), dependenca (F c ) y los estadístcos que permten evaluar la relevanca de las varables en el modelo (t c ). Otro método de deteccón es la estmacón de X' X ; s el valor obtendo de X' X es muy cercano a cero, puede conclurse que es muy probable la exstenca de multcolnealdad alta. No obstante, se encuentran otras pruebas mucho más formales en térmnos estadístcos. Una de ellas es estmar coefcentes de correlacón entre pares de varables ndependentes y formular pruebas de hpótess sobre los coefcentes de correlacón estmados para comprobar la sgnfcanca de la relacón lneal en térmnos estadístcos. Por ejemplo, una vez calculado el coefcente de correlacón lneal entre X y X 3, puede proponerse la sguente prueba de hpótess cuya formulacón es déntca a la presentada en el capítulo : Ho: ρ 0 (No exste relacón lneal entre X y X3) X, X 3 58

62 Ho: ρ 0 (S exste relacón lneal entre X y X3) X, X 3 El estadístco de prueba es: ( r n ) θ X, X 3 t C.~ tα, n 1 ( rx, X 3) Donde θ es el valor que se desea probar del coefcente de correlacón lneal poblaconal. No obstante en la mayoría de los casos este se asume cero con lo cual solo se desea verfcar s hay o no correlacón entre las varables explcatvas. S t C > tα, n a un nvel α de sgnfcanca determnado, se rechaza Ho, confrmando la exstenca de relacón lneal entre X y X 3, es decr el modelo de regresón mostrará multcolnealdad. El otro método formal consste en la estmacón de regresones auxlares que ayudan a evaluar la relacón lneal exstente entre un conjunto de varables ndependentes. Para ello, se ejecuta una regresón entre las varables ndependentes del modelo, por ejemplo X versus (X 3, X 4, X 4, X 5 ) y luego se analzan los estadístcos resultantes de esta. S hay relacón lneal entre estas varables, el R, el F c y el t c que acompaña a cada varable ndependente de la regresón auxlar serán altos. Las pruebas de hpótess sobre relevanca y dependenca estadístca en la regresón auxlar determnan s exste o no multcolnealdad. Es mportante tener en cuenta que deben estmarse todas las posbles regresones auxlares resultantes de las combnacones entre las varables ndependentes o regresores del modelo orgnal. El método de regresones auxlares es el más utlzado y recomendado por su sustentacón estadístca dado que permte evaluar la multcolnealdad ocasonada smultáneamente por la relacón lneal entre más de dos varables ndependentes. 59

63 6.1.. Correccón de Multcolnealdad La correccón de multcolnealdad en un modelo puede ejecutarse medante varos métodos: 1. Elmnacón de Varables: Esta técnca propone la elmnacón de una de las varables ndependentes relaconadas lnealmente. El problema de aplcar esta técnca es que se pueden elmnar varables mportantes que teórcamente explcan la varable dependente, presentándose posblemente sesgo de especfcacón por omsón de varables.. Utlzacón de Informacón a pror: La nformacón a pror comúnmente provene de estudos anterores que pueden brndar algún ndco sobre el valor de algún parámetro correspondente a una de las varables ndependentes ncluda en la ecuacón de regresón. Operatvamente, el valor a pror del parámetro es reemplazado en el modelo orgnal. Luego se procederá a estmar el modelo resultante. 3. Transformacón de Varables: Esta técnca plantea una transformacón de las varables del modelo orgnal. El más conocdo es la transformacón en prmeras dferencas. Al trabajar con un modelo que ncluye datos organzados en seres de tempo se presenta la posbldad de construr una ecuacón de prmeras dferencas, asumendo que con un rezago de cada una de las varables del modelo es posble elmnar la relacón lneal que puede exstr entre las varables ndependentes. El modelo orgnal en el perodo t: 60

64 Luego la ecuacón en dferencas es: Donde ε! t * ε t - ε t-1. Debe tenerse en cuenta que al estmar este nuevo modelo, la nterpretacón de los coefcentes estmados no es la msma que en el modelo orgnal, debdo a que estos ahora representan cambos o dferencas de las varables entre los perodos t y t Aumentar el tamaño de la muestra: Este método consste en amplar la muestra o conjunto de datos utlzados para estmar el modelo. Esta es una solucón plausble dado que el problema de multcolnealdad es ocasonado fundamentalmente por las observacones en la muestra. Cuando se ncrementa el número de observacones se pensa que es más dfícl reproducr el componente de colnealdad entre los regresores. Sn embargo, en muchos casos no es posble adqurr más nformacón u observacones de las varables debdo a restrccones físcas, técncas y económcas. Fnalmente, se recomenda que el nvestgador una vez utlce alguno de estos métodos verfque s el problema de multcolnealdad fue corregdo. 6.. Heteroscedastcdad El problema de heteroscedastcdad se presenta cuando es volado el supuesto de varanza constante de los errores de la funcón de regresón. La heteroscedastcdad tene que ver con la relacón entre una o más de las varables ndependentes del modelo y el cuadrado de los errores estmados a partr de la regresón. Este problema se manfesta en un crecmento o decrecmento de la varanza del modelo. 61

65 La presenca de heteroscedastcdad es muy común en regresones estmadas a partr de datos de corte transversal. Por ejemplo, cuando se recolectan datos provenentes de estratos, de regones, por tamaño de la famla o por tpo de empresa. En general, puede presentarse en estudos que ncluyen grupos con comportamentos marcados a lo largo de toda la muestra; por ejemplo la varable ngreso monetaro del hogar según el estrato, pues se puede pensar que la varanza del ngreso monetaro del grupo de alta rqueza es más alta que la del grupo de escasos recursos. El problema de heteroscedastcdad repercute drectamente sobre la estmacón de los parámetros de la regresón. Los estmadores segurán sendo nsesgados y consstentes pero no efcentes. La heteroscedastcdad causa la subestmacón o sobre estmacón de la varanza del modelo de regresón, por lo tanto el valor del error estándar de los parámetros, el valor de los estadístcos t y los ntervalos de confanza camban con respecto a los resultados que deberían obtenerse en ausenca de heteroscedastcdad. En este sentdo, la presenca de heteroscedastcdad en el modelo de regresón hace que las pruebas de hpótess no tengan valdez estadístca o que las nferencas sean erróneas Deteccón de la heteroscedastcdad A contnuacón se presentan los métodos para detectar la exstenca de heteroscedatcdad: 1. Análss de resduales: Este método permte evaluar gráfcamente s exste heteroscedastcdad causada por una varable ndependente en partcular o por todo el conjunto de varables ndependentes. Para el prmer caso se elabora un dagrama de dspersón entre X t y e t (cuadrado del térmno de error) donde X t es el regresor que el nvestgador supone genera la heteroscedatcdad. En el segundo caso, se construye el dagrama de 6

66 dspersón entre Y t estmado y e t. S estas gráfcas muestran alguna tendenca específca, puede afrmarse que exste heteroscedastcdad en el modelo de regresón. No obstante esta metodología es ndcatva y no esta basada en una prueba estadístca.. Análss de regresón: Es la utlzacón de una o más regresones auxlares. El procedmento es smlar al planteado para detectar multcolnealdad, con la salvedad de que ahora la regresón no se estma entre las varables ndependentes, sno entre el cuadrado del térmno de error y el conjunto de regresores del modelo orgnal. Dentro de este método se encuentran las pruebas de Park, Whte, Glejser, Breusch-Pagan-Godfrey, y Golfeld Quandt. A contnuacón se presenta el procedmento general para efectuar la prueba de Whte: S se tene el sguente modelo orgnal: Una vez estmado el modelo por el método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO), el nvestgador debe calcular el cuadrado de los errores: ε ( Y Y ) ˆ t t t, y luego estmar por MCO el sguente modelo: t α 0 + α1 X 1t + α X t + α 3 X 1t + α 4 X t + α 5 X 1t X t ε + ν t La prueba de hpótess relaconada con el modelo anteror es: Ho: α α α α α 0 (No hay heteroscedastcdad) Ha: α α α α α 0 (S hay heteroscedastcdad)

67 El estadístco de prueba es nr.~χ 5. En este caso el número de grados de lbertad es cnco, que corresponde al número de varables explcatvas en la regresón de Whte. Asmsmo, para modelos con más varables explcatvas los grados de lbertad serán equvalentes al número de regresores en el modelo auxlar. S nr χ g. l > a un nvel de sgnfcanca α, la hpótess nula es rechazada, por lo tanto, exste heteroscedastcdad en el modelo orgnal. Es mportante señalar que la prueba de Whte desarrollada se refere exclusvamente a la prueba de térmnos cruzados debdo a que ncorpora en la regresón auxlar el térmno de nteraccón de las varables ndependentes del modelo orgnal: α X X 5 1t t. Cuando este componente no es agregado la prueba recbe el nombre de prueba de Whte sn térmnos cruzados. Este cambo tene un efecto drecto sobre los grados de lbertad de la prueba Correccón de heteroscedastcdad Las meddas correctvas prncpalmente ncluyen dos enfoques: cuando σ es conocda y cuando σ es desconocda. 1. Cuando se conoce σ. En este caso se utlza el método de mínmos cuadrados ponderados (M.C.P) para realzar una transformacón de las varables del modelo. Consdere el modelo orgnal el cual presenta heteroscedastcdad y σ es conocda: Y β β + ε t 1 + X t t 64

68 Este método supone la sguente transformacón: Y σ β σ + β σ + ε t 1 X t t σ Donde σ es la desvacón estándar del modelo. Se supone que esta transformacón permte que el modelo quede lbre de heteroscedastcdad. No obstante, para asegurarse de esto puede efectuarse cualquera de las pruebas de deteccón presentadas anterormente.. Cuando no se conoce σ : Por lo regular es muy dfícl tener conocmento prevo de σ. Para utlzar el método de mínmos cuadrados ponderados debe recurrrse a supuestos ad hoc, con certo grado de razonabldad sobre σ para proceder a la transformacón de la regresón orgnal, de tal manera, que el nuevo modelo cumpla con el supuesto de homocedastcdad. Consdérese el sguente modelo: El nvestgador presume que la varanza de los errores tene la sguente forma: ( ) σ E U t X t Esta expresón es planteada cuando se cree que la varanza de los errores es proporconal al cuadrado de la varable explcatva. Bajo este supuesto el modelo transformado puede presentarse como sgue: Donde U v t X t t. Puede verfcarse que: E ( v ) E( U X ) ( 1 X ) E( U ) 0 t t t t t 65

69 y que el modelo transformado ahora es teórcamente homocedástco: ( v ) E[ ( U X ) ] ( 1 X ) E( U ) ( 1 X ) σ X σ E. t t t t t t t El método ndca que las observacones de la muestra deben dvdrse por la raíz cuadrada de la estructura generadora de la heteroscedastcdad; lo cual para este ejemplo es equvalente a dvdr por X t. Luego el procedmento ndca que el modelo transformado requere estmarse por MCO. Esta es la razón por la cual el método se denomna mínmos cuadrados ponderados, dado que se ponderan las observacones orgnales por un factor. Es convenente verfcar empírcamente s luego de estmar el modelo transformado el problema de heteroscedastcdad fue corregdo Autocorrelacón El problema de autocorrelacón se presenta en una regresón cuando los errores de las dferentes observacones están relaconados en el tempo. Esto ndca que el efecto de los errores en el tempo no es nstantáneo sno por el contraro es persstente en el tempo. La autocorrelacón es más común en seres ordenadas en el tempo que en nformacón provenente de encuestas en un tempo fjo (seccón cruzada). La autocorrelacón puede estar relaconada con los cclos económcos; generalmente ésta se presenta en un modelo con varables macroeconómcas donde en el tempo ocurre un evdente comportamento tendencal. Otra causa de la autocorrelacón es la presenca de sesgo de especfcacón en el modelo; prncpalmente por omsón de varables mportantes, las cuales pasan a formar parte del error de la regresón. La autocorrelacón puede ser tambén 66

70 generada en casos donde se usa una forma funconal ncorrecta del modelo, esto hace que los datos se ajusten a una forma funconal que no es la más adecuada. Se argumenta, que la manpulacón de nformacón puede llegar a generar tambén autocorrelacón. Un caso típco se presenta en la cuentas naconales, donde muchos datos son obtendos a partr de otros, aplcando técncas de nterpolacón o extrapolacón. Por ejemplo, cuando se converten datos daros a semanales. Fnalmente, modelos especales como los de rezagos dstrbudos y los autoregresvos pueden orgnar autocorrelacón. Entre las consecuencas de la autocorrelacón se tene la sobreestmacón o subestmacón de los estadístcos t que juzgan la sgnfcanca de las varables ndependentes en el modelo. Aunque los estmadores sguen sendo nsesgados y consstentes son nefcentes. En este sentdo se afecta la valdez estadístca de las pruebas de hpótess Deteccón de la autocorrelacón Los métodos más comunes para detectar autocorrelacón son: 1. Análss de resduales: este método plantea la construccón de dagramas de dspersón para los errores en funcón de tempo o en funcón de un período nmedatamente anteror. El prmer paso es estmar el modelo orgnal por MCO. Luego los errores estmados de la regresón son grafcados en un eje de coordenadas para dentfcar s exste alguna tendenca de los msmos en el tempo, o de estos con su prmer rezago.. El estadístco de Durbn Watson (d): Esta prueba es válda para aplcar en errores que se modelan como un proceso autoregresvo de orden 1 "AR(1)" como el mostrado a contnuacón: 67

71 El estadístco "d" oscla entre 0 y 4. S este se aproxma a 0, se dce que exste autocorrelacón postva (relacón drecta entre los errores), por el contraro s d se aproxma a 4, exste autocorrelacón negatva (relacón nversa entre los errores). El Durbn-Watson (d) se estma de la sguente manera: Donde ρˆ es el coefcente de autocorrelacón de orden 1, el cual puede despejarse drectamente d: La hpótess planteada es: Ho: ρ 0 (no exste autocorrelacón entre los errores) ε t, ε t 1 Ha: ρ 0 (hay autocorrelacón entre los errores) ε t, ε t 1 El estadístco Durbn- Watson puede ser comparado con su respectvo tabulado, tenendo en cuenta el número de observacones contendas en la muestra y el número de regresores. Se debe tener en cuenta que d es utlzado para dentfcar solo autocorrelacón de orden 1 y sempre y cuando el modelo tenga ntercepto. Además no puede usarse en el caso de modelos autorregresvos. Prueba de Breusch-Godfrey. Esta es una prueba smlar a la prueba de Whte. Se dferenca de esta en que la varable dependente de la regresón 68

72 auxlar es el térmno de error ε t y los regresores sus respectvos rezagos hasta el orden deseado por el nvestgador. Adconalmente son ncludos los regresores usados en el modelo orgnal. La hpótess nula corresponde a que todos los coefcentes de autocorrelacón de orden (los coefcentes que acompañan a los resduos rezagados en la regresón auxlar) son guales a cero, mentras la hpótess alterna es que al menos uno de ellos es dstnto de cero. El estadístco de prueba es ( ) n s R.~ χ s, donde s es el número de errores rezagados en la regresón auxlar. Para probar autocorrelacón de orden uno, que es la práctca más común, s será gual a uno. La hpótess nula es rechazada cuando ( ) n s R > χ a un nvel de sgnfcanca α ; en este caso se concluye que hay autocorrelacón. s Correccón de la autocorrelacón La correccón del problema de autocorrelacón ncluye dferentes técncas que persguen prncpalmente la transformacón de las varables del modelo con el objetvo de elmnar el patrón tendencal que sguen los errores. Se tenen dos tpos de metodologías de correccón de la autocorrelacón: 1. Cuando se conoce el coefcente de autocorrelacón: la transformacón recomendada sugere rezagar un período las varables del modelo y estmar una ecuacón de prmeras dferencas. Para esto el modelo orgnal debe ser transformado hasta tomar la forma: Esta ecuacón es estmada y se propone cualquera de las técncas de deteccón de autocorrelacón para averguar s el problema de autocorrelacón fue corregdo. Dcha ecuacón se conoce como ecuacón en dferencas generalzada y consste en un caso partcular del método de mínmos cuadrados generalzados. 69

73 . Cuando no se conoce el coefcente de autocorrelacón: En la mayoría de los casos a nvel empírco el coefcente de autocorrelacón no se conoce. Debdo a esto el coefcente de autocorrelacón debe ser estmado partendo de la suposcón de un valor ncal del msmo. Una de estos métodos es el procedmento Cochrane Occurt: este consste en la estmacón de modelos con sucesvas transformacones. Es un método teratvo representado en un algortmo que evalúa durante el proceso la tendenca que sgue el ρ estmado de regresones sucesvas. Cuando la dferenca de! ρ entre un modelo estmado actual y su antecesor es 0.01 se afrma que el coefcente ρ ha convergdo y por consguente la tendenca de crecmento de este se ha elmnado. Por otro lado exste el método de correccón a través del Durbn Watson. Medante esta técnca, aunque no se conoce ρ, este es posble estmarlo a partr del estadístco d de la regresón del modelo orgnal. Una vez obtendo el valor de ρ las varables son transformadas para posterormente estmar la sguente ecuacón de prmeras dferencas: Después de aplcar alguno de estos métodos es necesaro evaluar de nuevo la presenca de autocorrelacón Error de especfcacón Uno de los supuestos del modelo clásco de regresón lneal es que el modelo se encuentra ben especfcado, es decr que su forma funconal y las varables que lo componen representan la formulacón correcta. La teoría económca y algunas 70

74 meddas empírcas son útles para probar s un modelo cuenta con error de especfcacón. Exsten cuatro tpos de fuentes o razones que generan error de especfcacón: 1. Omsón de una varable relevante en el modelo. S una varable que afecta de manera mportante la varable dependente del modelo es omtda, se ncurre en error de especfcacón. Esta stuacón hace que los estmadores sean sesgados.. Inclusón de una varable rrelevante. En algunos casos los nvestgadores en su proceso de exploracón con el deseo de encontrar un mejor modelo que se ajuste a los datos, ncorporan varables explcatvas adconales. S estas no afectan sgnfcatvamente a la varable dependente se comete error de especfcacón. No obstante, los efectos sobre los coefcentes estmados son menos fuertes que en el caso de la omsón de una varable relevante; los estmadores serán nsesgados, pero se obtenen de manera mprecsa. De esta manera, nclur varables rrelevantes afecta los errores estándares de los coefcentes, hacendo que los ntervalos de confanza sean más anchos. Uso de una forma funconal nadecuada. Consste en presentar un modelo matemátco ncorrecto o muy dstante del comportamento de los datos. Por ejemplo, plantear un modelo lneal en las varables cuando los datos se ajustan mejor en realdad a un modelo cuadrátco, recíproco o a otra especfcacón funconal. Una medda empírca para verfcar la exstenca de una forma funconal nadecuada es la prueba RESET de Ramsey. 3. Error de medcón. Cuando el valor de las observacones que se tenen en una muestra no es el real o verdadero, los datos cuentan con error de 71

75 medcón. S el error se presenta en la varable dependente como en la ndependente, los estmadores de mínmos cuadrados serán sesgados Detencón de la forma funconal nadecuada A contnuacón se desarrolla el método de deteccón de una forma funconal nadecuada del modelo medante la prueba RESET de Ramsey. El caso más smple de la prueba es el sguente: Consdere el modelo Y β 1 + β X + ε, al cual se le desea probar s la forma funconal propuesta es o no nadecuada. Para realzar prueba de Ramsey se estma el modelo orgnal y se predce la varable dependente Yˆ. Luego se efectúa una regresón auxlar en la que al modelo orgnal se adconan los térmnos cuadrátcos o de orden superor, dependendo de la posble relacón que exsta entre εˆ yyˆ. Una gráfca entre εˆ yyˆ puede ser útl para dentfcar los regresores a nclurse. Un ejemplo de la regresón auxlar es: Yˆ Y γ + γ X + γ Yˆ + γ Yˆ + v Posterormente se utlza el sguente estadístco de prueba: F ( R aux R o ) j ( 1 R aux ) ( n g).~ f j, n g donde R aux es el coefcente de determnacón de la regresón auxlar, R o es el coefcente de determnacón del modelo orgnal, j y g son el número de térmnos Yˆ y parámetros ncludos en la regresón auxlar, respectvamente. La hpótess nula de prueba es que el modelo orgnal esta ben especfcado, mentras la 7

76 hpótess alterna afrma lo contraro. S F > f, aun nvel α de sgnfcanca se j n g concluye que el modelo orgnal esta nadecuadamente especfcado Correccón de la forma funconal nadecuada Se pueden menconar dos mecansmos para encontrar la forma funconal adecuada de un modelo de regresón: el enfoque teórco y el enfoque empírco. El prmero hace alusón a revsar nuevamente la teoría económca y a consultar la lteratura recente relaconada con el área de estudo. De este análss la forma estructural como las varables ndependentes pueden relaconarse con la varable ndependente puede ser ajustada. El segundo consste en realzar estmacones del modelo bajo dstntas formas funconales sn deslgarse de los fundamentos de la teoría económca hasta aceptar la hpótess de que el modelo este ben especfcado No Normaldad de los errores Uno de los supuestos claves en el modelo de regresón que permte desarrollar pruebas hpótess basadas en los estadístcos F y T, es la normaldad de los errores. S los resduos del modelo no sguen dstrbucón normal se restrnge la valdez estadístca de las pruebas Detencón de la no normaldad de los errores En este documento se ctan de manera general dos formas de detectar s los resduos del modelo de regresón sguen o no dstrbucón normal: 1. El Hstograma de los resduos. Consste en la construccón de un hstograma para los errores estmados del modelo y observar s su polígono suavzado de frecuencas se parece en forma aproxmada una dstrbucón normal. 73

77 . Prueba de Normaldad Jarque Bera. Es una prueba para muestras grandes, basada en los resduos de mínmos cuadrados ordnaros. Requere calcular la asmetría y curtoss de los resduos. Ho: los errores sguen dstrbucón normal H1: los errores no sguen dstrbucón normal El estadístco de prueba es: A JB n+, ( K 3) * 4 ( ).~ χ gl Ho es rechazada s JB > JB > χ a un nvel α de sgnfcanca. A se, gl denomna asmetría y K curtóss. Estas son meddas descrptvas de una varable aleatora que hacen referenca al sesgo de la dstrbucón y el apuntamento de la dstrbucón, respectvamente. S una varable tene A 0 y K 3, entonces ésta sgue dstrbucón normal. La fórmula de cálculo de estas meddas es la sguente: 3 E( X µ ) 3 [ Var( X )] A y K E( X µ ) 4 [ Var( X )] En este caso X corresponde a los errores del modelo de mínmos cuadrados ordnaros Correccón de la no normaldad de los errores Para corregr la no normaldad de los errores generalmente se usan dos estrategas: aumentar el tamaño de la muestra y buscar una forma funconal adecuada. La prmera se basa en el teorema central de límte, y la segunda en que una forma funconal adecuada puede mejorar la dstrbucón de los errores. 74

78 6.6. Ejerccos de computador. Consdere el msmo modelo de demanda presentado en el ejemplo 5.9. Se desea efectuar la prueba de multcolnealdad, heteroscedastcad, autocorrelacón, forma funconal nadecuada y normaldad de los errores. El modelo orgnal es: MODELO DE DEMANDA LINEAL Dependent Varable: DX Method: Least Squares Date: 10/04/06 Tme: 10:31 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PW PZ I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) A. Prueba de Multcolnealdad A contnuacón se presentan la matrz de correlacones y cuatro regresones auxlares con el objeto de dentfcar la posble exstenca de asocacón lneal smultánea entre las varables ndependentes PX, PZ, PW e I: 75

79 MATRIZ DE CORRELACION VARIABLE PX PZ PW I PX PZ PW I REGRESIÓN DE PX EN FUNCIÓN DE PZ, PW, I Dependent Varable: PX Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 09:48 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PZ PW I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

80 REGRESIÓN DE I EN FUNCIÓN DE PW, PX Y PZ Dependent Varable: I Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 09:51 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PW PX PZ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) REGRESIÓN DE PW EN FUNCIÓN DE PX, PZ, I Dependent Varable: PW Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 10:00 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PZ I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

81 REGRESIÓN DE PZ EN FUNCIÓN DE PX, PW, I Dependent Varable: PZ Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 10:01 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PW I R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Se puede observar en la matrz de correlacón que los coefcentes de asocacón lneal de las varables son bastante altos. En cuanto a las cuatro regresones auxlares, la prmera señala la exstenca de una fuerte relacón lneal de PZ y PW con PX al 5% de sgnfcanca; mentras la segunda no evdenca relacón lneal smultánea entre PX, PZ y PW con I. La tercera y la cuarta regresón exhben asocacón lneal de PX con PW al 1% de sgnfcanca, y de PX con PZ al 5 % de sgnfcanca, respectvamente. Estas saldas econométrcas presentan dependenca conjunta y un alto R, excepto en la regresón del ngreso. Lo anteror nduce a afrmar la presenca de multcolnealdad en el modelo de demanda. Esta es generada por la estrecha dependenca lneal entre las varables explcatvas de los precos PZ, PW y PX. 78

82 B. Prueba de Heteroscedastcdad Con el objeto de verfcar s los errores del modelo tenen varanza constante se desarrolla la prueba de Heteroscedastcdad de Whte (sn térmnos cruzados): PRUEBA DE WHITE Whte Heteroskedastcty Test: F-statstc Probablty Obs*R-squared Probablty Test Equaton: Dependent Varable: RESID^ Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 09:43 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PX^ PZ PZ^ PW PW^ I I^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) El nr de la prueba no es sgnfcatvo al 1%, 5% y 10%. En este sentdo, no se 79

83 puede rechazar la hpótess nula de homoscedastcdad, es decr el modelo orgnal no presenta heteroscedastcdad. C. Prueba de Autocorrelacón La prueba de correlacón seral Breusch-Godfrey arroja los sguentes resultados: PRUEBA BREUSCH-GODFREY Breusch-Godfrey Seral Correlaton LM Test: F-statstc Probablty Obs*R-squared Probablty Test Equaton: Dependent Varable: RESID Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 09:6 Presample mssng value lagged resduals set to zero. Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PZ PW I RESID(-1) R-squared Mean dependent var -1.01E-14 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) El estadístco de prueba cuyo valor es 1,0 y el prmer rezago de los resduos no son sgnfcatvos al 1%, 5% y 10%. Por lo tanto no hay evdenca estadístca para afrmar que exste autocorrelacón de orden uno. 80

84 D. Prueba sobre forma funconal nadecuada Para verfcar s la forma funconal del modelo orgnal de demanda es adecuada se presenta a contnuacón la gráfca del resduo (RESID) y la varable demanda estmados (DXF), y la prueba RESET de Ramsey: GRÁFICA DEL RESIDUO Y LA DEMANDA ESTIMADOS 81

85 Ramsey RESET Test: PRUEBA RESET DE RAMSEY F-statstc Probablty Log lkelhood rato Probablty Test Equaton: Dependent Varable: DX Method: Least Squares Date: 10/05/06 Tme: 09:4 Sample: 1 13 Included observatons: 13 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C PX PZ PW I FITTED^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) La gráfca no muestra un comportamento tendencal entre el error y la varable dependente estmada de la demanda, con lo cual el aporte de ésta últma sobre el componente no explcado en el modelo de demanda sería cas nulo. Este análss es robustecdo por la prueba de Ramsey, pues al 1%, 5% y 10 % de sgnfcanca (F c 0,6390) no puede afrmarse que el modelo de demanda cuenta con una forma funconal nadecuada, es decr se acepta la hpótess de una buena especfcacón. 8

86 D. Prueba de Normaldad Para probar s los resduos del modelo de demanda sguen dstrbucón normal a se realza el hstograma de los errores y la prueba Jarque Bera. Los resultados de estos procedmentos son los sguentes: Aunque el hstograma de frecuencas de los errores no dlucda una muy clara smltud con la dstrbucón normal, exhbe una alta concentracón de observacones cercana a cero, y frecuencas comparatvamente bajas haca los extremos. El valor de prueba Jarque Bera no es sgnfcatvo al 1%, 5% y 10%, ndcando que no se puede rechazar la hpótess nula. Por lo tanto se puede afrmar que estadístcamente los errores sguen dstrbucón normal. 7. INTRODUCCIÓN A VARIABLES CUALITATIVAS 7.1. Regresón con varables ndependentes cualtatvas En algunos casos certas característcas tomadas de una poblacón y recopladas a través de una muestra no corresponden a varables cuanttatvas. Por ejemplo, s se encuesta un conjunto de personas, puede ser mportante preguntar nformacón respecto a su sexo, la raza, la regón de orgen, estado cvl, el estrato económco, etc. Estas varables son denomnadas varables cualtatvas y su tratamento o 83

87 análss en los modelos econométrcos tene una connotacón dferente a las varables cuanttatvas. Por medo de asgnacones numércas específcas, de escala ordnal o cardnal, las varables cualtatvas pueden ser regstradas en un modelo econométrco. Un ejemplo de escala cardnal es la varable género, donde el nvestgador puede asgnar a esta varable una sere de observacones numércas como se descrbe a contnuacón: 11 S es hom bre GENERO 0 / 0 S es mujer En este sentdo, a todas las observacones correspondentes al sexo femenno le será asgnado el número cero y a las de sexo masculno el número 1. Esta nueva varable recbe el nombre de varable dummy, debdo partcularmente a que solo podrá tomar dos valores, el uno o el cero. Por otro lado, un ejemplo de una varable que puede ser representada en escala ordnal es el estrato económco. El nombre de ordnal se refere a que en la estructura de regstro el orden tene gran relevanca. El nvestgador puede conformar la varable de la sguente manera: ESTRATO / 6 S S S S S S el el el el el el hogar hogar hogar hogar hogar hogar pertenece pertenece pertenece pertenece pertenece pertenece al al al al al al estrato estrato estrato estrato estrato estrato Cuando la varable se construye de esta manera recbe el nombre de varable categórca ordenada. Consdérese el sguente modelo de regresón lneal para un conjunto de hogares: 84

88 TRABAJO t 1 + β SALARIOt + β 3GENERO3 + β 4 β ESTRATO + ε t t Donde: TRABAJO: Número de horas trabajadas al mes SALARIO: Ingreso laboral GENERO: Sexo del jefe de famla ESTRATO: Nvel de estrato económco del hogar. S el coefcente β 3 es postvo se nterpreta como el número de horas de trabajo mensual adconales que ofrece el hogar cuando el jefe de famla es hombre comparado cuando el jefe de famla es mujer, mantenendo los demás factores constantes. Por otro lado, en cuanto al coefcente de la varable estrato, cuando β 4 es postvo, este manfesta que hogares con un nvel de estrato más alto ofrecen al mercado laboral más horas de trabajo al mes. Tambén exsten varables categórcas no ordenadas. Por ejemplo consdere la sguente varable cualtatva que representa la regón a la que pertenecen un conjunto de hogares: 11 Orental Pacífca Re gón 03 Central 4 Atlántca / 5 El resto Sn embargo la combnacón de categorías de regón se puede convertr en un sstema de varables dummy: D11 s pertenece a Orental y D10 en otro caso, D1 s pertenece a Pacífca y D0 en otro caso, etc. Se debe tener en cuenta que el número de varables dummy de este sstema es gual al número de categorías menos uno. S se ncluyen un número de varables dummy gual al número de categorías se genera multcolnealdad perfecta en el modelo, por lo que los estmadores no se pueden estmar. 85

89 Utldad de las varables dummy: 1. Srven para mostrar cambo en ntercepto. Srven para mostrar cambo en pendente 3. Srven para mostrar cambo en pendente y en ntercepto De acuerdo con ello, las dummy pueden ser entonces utlzadas para mostrar la exstenca de cambo estructural. Por ejemplo para perodos de tempo (D1 para datos tomados en o después de 1970 y D0 para datos antes de 1970). Ejemplo de un modelo log ln con una varable dummy: LnW α + β 1 X + β D + u Donde W es el salaro, X es educacón y D es gual a 1 s el ndvduo es de raza blanca. Supóngase que el valor estmado de β es 0.6 y es sgnfcatvo. Tenga en cuenta que la prueba de sgnfcanca de una varable dummy se efectúa de la msma forma como cualquer otra varable explcatva. El β estmado muestra cuanto más gana porcentualmente un ndvduo por ser blanco que otro de dferente raza, suponendo las demás varables constantes. El salaro esperado de un ndvduo blanco es: LnW blanco K , donde K es todo lo que permanece constante. Note que D 1. El salaro promedo de un ndvduo de otra raza es: LnW otra raza K. Observe que D 0. La dferenca entre LnW blanco y LnW otra raza es 0.6. Por lo tanto: LnW blanco LnW otra raza

90 W blanco W otra raza 0,6 e W blanco 1. 97W otra raza Lo anteror que quere decr que el salaro de una persona de raza blanca es 9.7% más alto que el de otra raza. Cuando la varable dependente del modelo esta transformada en logartmo este procedmento resulta útl, el cual se resume en la sguente fórmula: Efecto 100[ 1] ˆ j varable dummy de nterés. e β, donde βˆ j es el coefcente de la En algunos casos el ˆβ del ejemplo se nterpreta drectamente multplcando por 100 (como un modelo log-ln) sn necesdad de aplcar el antlogartmo. Así para el ejemplo: 0.6*1006%. Entonces el salaro de una persona de raza blanca es 6% más alto que el de otra raza. No obstante, el resultado obtendo por el prmer procedmento es más exacto. Ejemplo de un modelo con dos varables dummy: Y α + β X + α D + D + u α Donde Y es gasto en salud, X es el ngreso y D 1 es gual a 1 s el ndvduo tene bachllerato y 0 en caso contraro, D es gual a 1 s el ndvduo tene unversdad y 0 en caso contraro. E E ( Y X, D 0, D ) α + β X E ( Y X, D1 1, D 0) α 0 + β1x + α1 ( Y X, D1 0, D 1) α + β1 X + α 87

91 En este caso solo se generan cambos en ntercepto, dado que α 1 y α se agregan a la constante α 0 en su respectvo modelo. Ejemplo de un modelo con nteraccón de varables dummy: Y α + β X + α D + α D + D D + u α 3 1 Donde Y es gasto en medcamentos, X es el ngreso y D 1 es gual a 1 s el ndvduo es mujer y 0 en caso contraro, D es gual a 1 s el ndvduo tene bachllerato. E E E ( Y X, D 0, D ) α + β X E ( Y X, D1 1, D 0) α 0 + β1x + α1 ( Y X, D1 0, D 1) α 0 + β1 X + α ( Y X, D1 1, D 1) α 0 + β1 X + α1 + α + α 3 De nuevo este esquema generan solo cambos en ntercepto, dado que α 1, α y α se agregan a la constante α 0 en su respectvo modelo. Ejemplo de un modelo con varable dummy e nteraccón de una dummy con una varable contnua: Y α + β X + α D + DX + u β Donde Y es consumo, X es el PIB y D es gual a 1 s la observacón pertenece o es mayor al año 1993 y 0 en caso contraro. ( Y X, D 0) α + β X E 0 1 ( Y X, D 1) α + β X + α + β X E

92 La últma expresón puede escrbrse como: ( Y X, D 1) ( α + α ) + ( β + β )X E Esta ecuacón es útl para mostrar s exste cambo estructural en ntercepto y/o pendente, dependendo de la sgnfcanca de los coefcentesα 1 y β. Por ejemplo s α β 0 el resultado sugere la no ocurrenca de cambo en pendente e 1 ntercepto en la regresón. 7.. Regresón con varable dependente cualtatva Exsten otra clase de modelos en econometría llamados modelos de varable dependente cualtatva. Estos se dvden en dos clases: los modelos de probabldad y los modelos de eleccón dscreta para más de dos alternatvas. En los modelos de probabldad, la varable dependente solo puede tomar dos valores cero o uno. Por ejemplo, s el jefe de famla tene empleo o no, así la varable ESTA EMPLEADO? toma el valor de uno s tene trabajo o cero en caso contraro. Exsten tres formas generales de estmar este tpo de modelos: 1) mínmos cuadrados ordnaros, el cual es conocdo como el modelo de probabldad lneal, sendo el menos utlzado por no cumplr en la mayoría de los casos con los axomas de la probabldad; ) el modelo logt, donde la funcón de dstrbucón que sguen los errores es logístca; y 3) el modelo probt, cuando las perturbacones se asumen con dstrbucón normal. Dentro de los modelos de eleccón dscreta con más de dos alternatvas, se encuentran: el modelo logt multnomal, el modelo probt multnomal y el modelo nested logt. En cada uno de estos, la varable dependente es categórca, pero a dferenca de los anterores modelos, esta puede tomar más de dos valores u organzarse en espece de ramas o brazos. Por ejemplo, a un nvestgador le 89

93 puede nteresar el tpo de transporte que las personas utlzan para llegar a su lugar de trabajo: bus, automóvl, tax, transmleno, bccleta, etc.; cada una de estas alternatvas es dstnta. La forma funconal de los modelos con varable dependente cualtatva y su nterpretacón, resulta ser más compleja que la de los modelos con varables ndependentes cualtatvas. Todos los modelos de este tpo, a excepcón del modelo de probabldad lneal no son lneales en los parámetros y se estman por el método de máxma verosmltud. 90

94 BIBLIOGRAFÍA 1. Canavos, G. (1991), Probabldad y Estadístca. Aplcacones y Métodos. McGraw Hll. Méxco.. Freund, J; Mller, I. y Mller M. (000), Estadístca Matemátca con Aplcacones. Prentce Hall. Pearson Educacón. Sexta edcón. Méxco. 3. Greene, W. (1998), Análss Econométrco. Prentce Hall. Tercera Edcón. 4. Gujarat, D. (003), Basc Econometrcs, McGraw Hll. Fourth edton. 5. Hamlton, J. (1994), Tmes Seres Analyss. Prnceton: Prnceton Unversty Press. 6. Judge, G.; Carter Hll, R.; Grffths, W., Lütkepohl, H. and Lee, T. (1988), Introducton to the Theory and Practce of Econometrcs. John Wley and Sons. Second edton. 7. Novales, Alfonso Econometría, McGraw Hll, Bogotá. 8. Maddala, G.S. (1983), Lmted-Dependent and Qualtatve Varables n Econometrcs, Cambrdge Unversty Press. 9. Mason y Lnd Estadístca para Admnstracón y Economía. Edtoral Alfaomega. 10. Mendenhall, W.; Wackerly, D. y Scheaffer R. (1994), Estadístca Matemátca con Aplcacones. Grupo Edtoral Iberoamérca S.A. Segunda edcón. 11. Wllam E. Grffths, R. Carter Hll, George G. Judge (1993), Learnng and Practcng Econometrcs. John Wley & Sons, New York. 1. Wooldrdge, Jeffrey M. (00), Introductory Econometrcs: a modern approach, South-Western College Publshng. Second edton. 13. Wooldrdge, Jeffrey M. (00), Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, MIT Press. 91

95 ANEXOS 9

96 ANEXO 1. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE EN EL PAQUETE ESTADÍSTICO EVIEWS 4.1 Ejemplo De acuerdo con la sguente base de datos: TABLA No. 4. VARIABLES PARA LA ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA LINEAL DEL BIEN X. Obs. DX I PW PX PZ Estme la funcón de demanda del ben X, especfcacón del modelo: tenendo en cuenta la sguente Donde: Dx β + β I + β Pw + β Px + Pz + U β4 Dx: Cantdad demandada del ben X. I: Ingreso. Pw: Preco del ben W. Px: Preco del ben X. Pz: Preco del ben Z. U: Térmno de error 93

97 Desarrollo Este ejercco será desarrollado en el paquete estadístco Econometrcs Vews 4.1. A contnuacón se muestra todo el procedmento para estmar el modelo de demanda lneal sguendo los supuestos del modelo clásco de regresón lneal normal. A. Importar la base de datos. Este paquete estadístco puede mportar datos en hoja electrónca guardados con extensón wks, wk1 y Excel. Una vez se nca la sesón en E-vews se debe generar un nuevo archvo de trabajo. El programa requere que se seleccone el tpo de frecuenca que caracterzan los datos. Debdo a que los datos presentan una frecuenca anual se elge la opcón Annual: ndcando el perodo ncal y fnal. Posterormente el procedmento es mportar los datos que se encuentran en hoja electrónca (Excel). 94

98 Se seleccona el archvo a mportar; en este caso corresponde a dem1.xls del subdrectoro donde se haya almacenado. Las varables deben ser ncludas en el orden que se encuentran en la base de datos separadas por espacos y con sus nombres correspondentes. Por ejemplo: Dx, I, Pw, Px y Pz. Cuando los datos son mportados el programa muestra la sguente ventana con el respectvo nombre de las varables: 95

99 De esta manera la base de datos ha sdo mportada con todas sus varables. Las observacones pueden ser vstas al selecconar las columnas deseadas y pulsando el lnk show. B. Estmacón del modelo Usando el lnk quck y Estmate Equaton es arrojada una ventana donde la ecuacón del modelo debe ser ncorporada. En dcha ventana las varables pueden ntroducrse separadas por espacos empezando por la varable dependente y luego las ndependentes ncluyendo la constante cuando no se efectúa regresón al orgen. En esta ventana tambén el modelo puede ntroducrse escrbendo la ecuacón con los símbolos (, *, + ) nombrando los coefcentes como C(1), C(),..., C(n). 96

100 Aplcando O.K. de acuerdo con la prmera modaldad de estmacón, el resultado de es el sguente: 97