ASIGNATURA GAIA ÁLGEBRA (PROBLEMAS) CURSO KURTSOA Primero NOMBRE IZENA FECHA DATA TIEMPO: DOS HORAS

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1 Universidad de Navarra Nafarroako Unibertsitatea Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola ASIGNATURA GAIA ÁLGEBRA (PROBLEMAS) CURSO KURTSOA Primero NOMBRE IZENA FECHA DATA TIEMPO: DOS HORAS P1.- a) Hállese la inversa de la adjunta de una matriz regular A de orden n, mayor que la unidad, en función de la matriz A. b) Obténgase la inversa de la matriz x x 1 A x 0, x x x 0 por el procedimiento que prefiera, sabiendo que x es un número real distinto de cero. A -1 A A AdjA det(a)in AdjA In AdjA 0 det(a) det(a) a) ( ) -1 b) Empleando el método de Gauss-Jordan, planteamos A I I A. Como x 0 multiplicamos por x la primera ecuación y por x la segunda ecuación: x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 0 x 1 x 0 0 x x 0 x x 0 0 -x 0 -x x -1 x x x x x -x 1 x 0 0 -x x x x x x -x x -1 x x A x -1 1 x x x -x 1 x x x x -1

2 P.- Discutir y resolver el sistema, de n ecuaciones lineales con n incógnitas, siguiente 1 n α1 c 1 1 n α c n 1 1 α 3 c n 1 α n 1 c n αn c en función de lo que valga el parámetro real c. Sumando a la primera las demás ecuaciones: nc 1 1-n c Compatible 0 c n 1 1 c Indeterm. nc 0 0 c 0 Incomp n 1 c n c Las soluciones se obtienen sólo cuando c0. Restando a cada fila la anterior: n n n n -n n n -n n n -n n n -n α1 ε α ε α 3 ε ε R αn-1 ε α n ε

3 P3.- Las matrices cuadradas de orden con elementos reales forman un espacio vectorial R x de dimensión cuatro, respecto de las operaciones suma matricial y producto de escalares por matrices. La base natural está formada por las matrices E11, 1, 1, 0 0 E E E Se considera el subconjunto F de matrices α1 α X α3 α 4 que cumplen la ecuación X Hállese una base de F y amplíese hasta formar una base de todo el espacio R x. Tomando la base natural de R x como referencia, las ecuaciones implícitas del subespacio F son: 1-1 α α 0 0 α α F: -1 1 α α 0 0 α α Las ecuaciones paramétricas y una base son: α1 ε1 α ε F: B, α ε F α 4 ε Ampliando la base obtenida con la natural de R x se obtiene: B x,,, R

4 P4.- Se sabe de una matriz A cuadrada, real y de orden 3, que tiene como valores propios 1, y 3. Los vectores propios asociados, respectivamente a cada uno de ellos, son a) Hállese la matriz A. 1 x 1, x 1 1 1, 0 1 x b) Obténgase A 1 como combinación lineal de potencias de A. Nota: Si no se ha encontrado numéricamente A en el apartado anterior se puede indicar el resultado de este apartado en función de A. a) S [ x1 x x 3] S λ D λ λ DS AS ASDS b) 3 ϕa ( λ ) (1 - λ)( - λ)(3 - λ) - λ + 6λ -11 λ A + 6A -11A + 6I O -1 1 A (A - 6A +11I) 6

5 Universidad de Navarra Nafarroako Unibertsitatea Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola ASIGNATURA GAIA ÁLGEBRA (TEORÍA) CURSO KURTSOA Primero NOMBRE IZENA FECHA DATA TIEMPO: UNA HORA T1.- Enuncie y demuestre la relación que existe entre las soluciones del sistema general compatible y las del sistema homogéneo asociado. El conjunto de soluciones S g del sistema general compatible Axb es el resultado de sumar una solución particular x 0 del sistema general a todas las soluciones S h del sistema homogéneo asociado: La demostración tiene dos partes: S g x 0 + S h 1) Directo: si x 1 S g entonces x 1 x 0 + S h x 1 S g Ax 1 b x 0 S g Ax 0 b } Restando: A(x 1 x 0 ) 0 Vemos que x s x 1 x 0 es solución del sistema homogéneo Ax 0, es decir x s S h Por tanto x 1 x 0 + x s, o lo que es lo mismo: x 1 x 0 + S h ) Recíproco: si x 1 x 0 + S h entonces x 1 S g Debe existir un x s S h de manera que x 1 x 0 + x s Por tanto: Ax 1 A(x 0 + x s ) Ax 0 + Ax s b + 0 Ax 1 b x 1 S g

6 T.- a) Demuestre la consecuencia del teorema de intercambio b) Partiendo de la citada consecuencia, demuestre que todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen en mismo número de vectores a) La consecuencia del teorema de intercambio es: En un espacio vectorial E cualquiera, una lista linealmente independiente de vectores y 1, y,, y k no puede contener más vectores que una lista generadora del espacio u 1, u,, u p. Es decir: k p Demostración. Supóngase k >p. La lista independiente de vectores de E será: y 1, y,, y p, y p+1, y p+,, y k es LI (todos E) En virtud del teorema de intercambio, los p vectores u 1, u,, u p de la lista generadora del espacio pueden ser reemplazados por p vectores de la lista independiente: u 1, u,, u p gen E Teorema de Intercambio y 1, y,, y p gen E Obsérvese que se ha llegado a un absurdo pues al ser k >p, existe al menos y p+1 que debe ser generado por y 1, y,, y p y simultáneamente pertenecer a la lista independiente original. b) Suponga que existen dos bases de E con diferente número de vectores: B 1 : u 1, u,, u m { Gen E LI m n Gen E B : v 1, v,, v n { n m LI Como no puede haber más vectores linealmente independientes que generadores dentro de un mismo espacio vectorial, se deduce que: Luego necesariamente: m n y n m m n Es decir, todas las bases poseen el mismo número de vectores

7 T3.- Criterios de diagonalización de una matriz cuadrada A, explicando la conexión con la existencia de una base de vectores propios de A para el espacio vectorial K nx1. Condición necesaria de diagonalización: La matriz A de orden n tiene exactamente n valores propios repetidos o no. Condición suficiente de diagonalización: La matriz A de orden n tiene n valores propios distintos. Condición necesaria y suficiente de diagonalización: La matriz A de orden n tiene n valores propios, repetidos o no, y la dimensión de cada subespacio propio coincide con la multiplicidad del valor propio correspondiente. Relación entre los criterios de diagonalización con la existencia de una base de vectores propios para K nx1 Una matriz cuadrada A de orden n es diagonalizable si y sólo si existe una base de n vectores propios para el espacio vectorial K nx1. Sean λ 1, λ,, λ k los valores propios de A, distintos entre sí dos a dos, con multiplicidades algebraicas respectivas m 1, m,, m k de modo que haya n en total: m 1 + m + + m k n (pues hay n valores propios en total) Sean s 1, s,, s k las dimensiones de los subespacios propios asociados a los correspondientes valores propios. Se sabe que: 1 s i m i i1,, k Además, la suma de subespacios propios es directa, lo que implica que los vectores propios de subespacios propios distintos forman una lista linealmente independiente. Por tanto, empalmando las bases de los sucesivos subespacios propios, se obtiene el número máximo de vectores propios que forman una lista linealmente independiente: s 1 + s + + s k n Para que esta colección de vectores propios sea una base de K nx1, debe haber n en total: s 1 + s + + s k n

8 La única manera de lograrlo es precisamente que: s i m i i1,, k Obsérvese que este último resultado junto con la condición de existencia de n valores propios, constituye la condición necesaria y suficiente. En el caso de que existan n valores propios distintos, la condición suficiente, la existencia de la base está garantizada al existir n subespacios propios de dimensión uno (s i 1 i), cada uno de los cuales proporciona un vector propio a la base de K nx1. Finalmente, nótese que la existencia n valores propios repetidos es necesaria, pues en caso contrario, sería imposible encontrar n vectores propios para formar la base buscada. Obsérvese que en ese caso: s 1 + s + + s k m 1 + m + + m k < n