Olimpiadas. Internacionales

Transcripción

1 Pblemas de Las Olmpadas Intenanales De Físa Jsé Lus enández Péez gustín Lzan Padll add 008 Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

2 XXIX OLIPID INTERNCIONL DE FÍSIC.ISLNDI Un psma exagnal, lag y ígd (paed a un lape) tene una masa que está unmemente dstbuda. El lad del exágn es a. a El mment de nea del psma exagnal espet del eje que pasa 5 p el ent de las bases es I a. El mment de nea espet de un eje paalel al ante que pasa p la asta del psma es 7 I a a) El psma se enuenta nalmente en eps sbe un plan nlnad que ma un ángul pequeñ n la zntal Se supne que las aas lateales del psma sn lgeamente ónavas de md que el psma slamente ae ntat n el plan p sus astas. Esta navdad n aeta al mment de nea. El psma se desplaza y menza a da abaj del plan de ma desgual. Se admte que el zament evta el psble deslzament y que el psma n pede el ntat n el plan. La veldad angula justamente antes de que una asta glpee al plan es y justamente después del mpat. Es psble esb que ω s ω send s un eente numé. Ennta el val de s. b) La enegía néta del psma justamente antes del mpat de la asta es K e nmedatamente después K, y ente ellas pdems esb que K K Detemna el val del eente. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

3 ) Cuand ua el póxm mpat K debe tene un val mínm que umpla la ndón K mn δga m send g = 9,8 s Calula el eente en unón del ángul y el eente. d) S se umple la ndón allada en ), la enegía néta K tendeá a un val j ( K ) K θ κ ga Detemna el val de en unón de y. e) Calula el val mínm del ángul (n un magen de 0,º) paa el ual una vez nada la desgual dadua p el plan, ésta ntnúe de ma ndenda. a)cuand el exágn ueda p el plan el ent de masas desbe un a de uneena de ad a. La veldad del ent de masas es tangente a la tayeta en ada punt, tal m nda la gua, send v la veldad del ent de masas justamente antes de que la asta glpee al plan y v la veldad nmedatamente después. v v Fg. La gua es una smplaón de la gua en dnde se an llevad las veldades al ent de masas y se an tmad uns ejes denads atesans. Las veldades man ánguls de 0 º n el eje X de eeena. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

4 4 Y X v 0 º 0 º C.../ Y v a./ X Fg. La antdad de mvment del psma es v justamente antes de que glpee la asta y v nmedatamente después, se dedue que este amb de mment que ue en un temp extadnaamente pequeñ se debe a una peusón uyas mpnentes desgnams n y espetvamente. S desgnams p y las veldades x y angulaes antes y después del glpe de la asta, pdems esb v X v s0 a ; v Y v sen0 a v X v s0 a ; v Y v sen0 a plams el teema del mment lneal X Y a a a a a a ; plams el teema del mment angula Xa Ya I Cmbnad esta últma euaón n las ds antees esulta: Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

5 5 a 4 a a b) Detemna el val del eente K v I Susttuyend la elaón del apatad a) ; K v I K K a a 5 a 5 a ,4 ) Calula el eente en unón del ángul y el eente. Después del mpat el ent de masas se eleva una altua que llamams. º 60 º º º Fg. 90 º Obsevand la gua se dedue que 0 º 0. La altua que se eleva el ent de masas es a a s a s0, esta elevaón supne una ganana de enegía ptenal que m mínm a de se gual a la enegía néta después del glpe de la asta Paa que K sea mínm ga s 0 θ K K Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

6 6 a de se K mn s 0 ga s 0 d) Detemna el val de en unón de y. Cada vez que el exágn pasa de apya una asta a apya la sguente pede una enegía ptenal ga sen, la ual se suma a la enegía néta K. Patms en el temp t=0 y uand el psma menza a eleva su ent de masas, est es, después del mpat y desgnams a esa enegía néta m K. Cuand se pduza el mpat de la asta la enegía es K = K +ga sen y uand vuelva a elevase el ent de masas la enegía es K = K. psguend el aznament esbms n =0 K n = K =K +ga sen K =K =K +ga sen n = K = K +ga sen = = K +ga sen (+) K = K = K +ga sen ( +) n = K = K +ga sen = = K +ga sen ( ++) K = K = K +ga sen ( + +) Cuand n = n, la expesón esultante es: K n = n K + ga sen ( n + n ) Cuand n tende segund tenems a nnt el pme témn de la suma tende a e y paa el ga sen ( n- ) L que gua en el paéntess es una pgesón geméta de azón y uy pme témn es. La suma de una pgesón geméta de azón vale: Cm es men que la undad a S n n n tende a e uand n tende a nnt n S Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

7 7 Y la enegía néta después de n mpats seá: K n ga sen θ El sguente val de K K K n ga.senθ es K El eente que ns pden es: ga sen ga sen sen ga senθ k e) Calula el val mínm del ángul Paa que la dadua ntnúe el val límte de K a de se m mínm gual a la enegía ptenal ga sen ga 0 s0 sen s Pdems eslve la euaón tgnméta p tante, Susttums el val de =0,4 enntad en el apatad b). 0,70 sen s 0 Ángul 0,70 sen -s(0- ) 5 0,068 0, ,075 0, ,0878 0,0795 6,5 0,085 0,080 6,6 0,088 0,08 6,55 0,08 0,086 6,57 0,084 0,085 θ 6,57º Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

8 .- Una ubeta de el es una apa guesa de el (de alguns klómets de espes) apyada sbe el suel y extendéndse zntalmente sbe deenas nlus ents de klómets. En este pblema se nsdea la usón del el y el mptament del agua baj la ubeta del el. Se admte que en tales ndnes el el ausa vaanes de pesón m un lud vss, pe que se dema de manea ágl?, pnpalmente p mvments vetales. Se alta la sguente nmaón Densdad del agua =,000.0 kg/m Densdad del el = 0,97.0 kg/m Cal espeí del el =,.0 J/(kgºC) Cal latente de usón del el L =,4.0 5 J/kg Densdad de la a y magma =,9.0 kg/m Cal espeí de la a y magma = 700 J/(kg ºC) Cal latente de usón de la a y magma L = 4,.0 5 J/kg Fluj alí desde el nte de la tea aa el exte J Q = 0,06 W/m Punt de usón del el T = 0º C a) Cnsdee una ubeta de el que ebe el luj alí del nte de la tea, utlzand ls dats antees detemne el espes d de la apa de el undd ada añ. b) Cnsdee aa la supee supe de una ubeta de el. La tea que está baj la ubeta de el tene una pendente. La supee supe de la ubeta de tene una pendente Véase la gua ) 8 y Supee del el y =+tag y = el Fg. tea y =x tag x Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

9 9 El espes del el uand x = 0 es. La pate ne y supe de la ubeta de el está desta p las sguentes euanes y x tag α ; y x Obtenga una expesón paa la pesón p en el nd de la ubeta de el en unón de la denada x. Fmule la ndón matemáta ente y de md que una apa de agua stuada ente la ubeta de el y el suel n luya en nnguna deón. ueste que tal ndón es de la ma tag β tag β s tag α y detemne el eente s. La línea y 0,8 x en la sguente gua ns nda la supee de la tea baj la ubeta de el. y y = el Fg. tea y = 0,8 x El espes vetal uand x = 0 es = km. Supnga que el agua en el nd se enuenta en equlb. Dbuje la línea y y añada la línea y que epesenta la supee supe del el. d) Una apa de el se asenta sbe un suel zntal y tene gnalmente un espes D= km, en ella se a mad de ma epentna un n de agua pedente de la usón del el (g ) x S el agua y= y=d tea Fg. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

10 La altua del n es = km y el ad = km. sta analítamente y en un gá la ma de la supee de la apa de el después de que el n de agua se a mad y se a alanzad el equlb dstát. e) Una expedón ntenanal anual de entís expla la tempeatua de la ubeta de el de la ntátda. La supee es nmalmente un ampl plan pe esta vez se enuenta un pund áte de ma de n n una punddad de 00 mets y un ad de 500 mets. El espes del el en esta áea es 000 mets. Después de una dsusón ls entís nluyen que es muy pbable que aya abd una pequeña eupón vlána debaj de la apa de el. nseuena de ella una pequeña antdad de magma (a undda) se a ntdud p la pate ne del el, sldándse y enándse, undend un et vlumen de el. Ls entís ntentan estma el vlumen de la ntusón de magma y del agua undda. dmt que el el slamente se mueve vetalmente. Supne que el magma está undd a una tempeatua de 00º. Supne además que la ntusón tene ma de n estand su base exatamente p debaj de la depesón óna de la supee. El temp de entada del magma es pequeñ mpaad n el temp de nteamb de al en el pes. El luj de al se supne que a sd vetal tal que el vlumen undd del el en ualque mment está dead p una supee óna entad p enma del ent de la ntusón del magma Dadas estas pótess la usón del el tene luga en ds etapas. l pnp el agua n está a la pesón de equlb en la supee del magma y p ell luye uea. Se supne que esta agua luye a una tempeatua de e gads. Después se alanza la pesón dstáta y el agua se aumula p enma de la ntusón en luga de lu aa uea. Cuand el equlb tém se alanza detemna ) La altua del n de agua espet del nd gnal de la apa de el ) la altua de la ntusón ) La masa ttal de agua pduda y la masa m de agua que luye aa uea. 0 a).- Detemne el espes d de la apa de el undd ada añ. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

11 Supngams una apa de el que tene un áea y un espes x, send x el espes de el que se unde a l lag de un añ. J Q t epesenta el luj alí que llega al el, send las dmensnes de esta J expesón * m *s J m *s L x epesenta el al ebd p la plaa de el y que unde esa plaa J Q t L x x L J Q t J 0,06 m s,4.0 da *65 añ 5 J kg s *86400 día kg *0,97 m 6.0 m añ b).-obtenga una expesón paa la pesón p en el nd de la ubeta de el en unón de la denada x. La pesón en un luga del nd del el de denada x, esta dada p p g p atm send la altua que tene el el en ese luga y x tag Fg. 4 x tag x De la gua 4, se dedue: x tag x p g x tag x tag tag tag g patm tag 0 F Fg. 5 L m g F Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

12 La pate smbada de la gua 5 epesenta un blque de agua en equlb. Paa que éste se pduza el pes y las uezas de pesón deben equlbase. La mpnente sbe el suel del pes es mg sen y se debe umpl que F mg sen F Paa que esta euaón se umpla esulta que la pendente de la ubeta de el tene que se negatva, paa que sea may que. S la lngtud del blque es L y las tas ds dmensnes a y b esulta: F p F F F ρ p * ab * ab ρ p p atm atm ρ gls α ρ g g ρ ρ tag β tag xtag β tag α ab x Lsα tag β tag α αab mg senα abl ρ g tagβ tagα ρ tagα ρ tagβ tagαρ ρ g g ρ tagβ ρ ρ tagα ab senα, ,97.0 0,97.0 0,09 ; tag 0,09 tag () S la línea de tea tene una pendente de tag = 0,8, la apa supe del el tene una pendente tag = -0,09*0,8 = -0,078, la euaón de la apa de el es y = - 0,078 x y y = -0,078 x el tea y = 0,8 x x Fg.6 d).- sta analítamente y en un gá la ma de la supee de la apa de el después de que el n de agua se a mad y se a alanzad el equlb dstát. Paa que el agua esté en equlb se a de umpl la euaón (). P tant s nsdeams un plan que ta al blque de agua dand una seón tangula, uand la pendente de la geneatz del n es pstva la del el es negatva y vevesa (g.7) Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

13 apa de el el agua el Fg.7 S nsdeams que el agua ma un n, en la supee del el se maá una depesón en ma de n. S el ángul n la zntal del n de agua es ala el del n de la depesón es beta y están elanads ambs vales p la euaón (). Cuand tag >0, tag <0, y al nta en la ta pendente Ls vlúmenes del n de agua y del n de la depesón sn V R R *R tag ; V D R R *R tag Dvdend las ds euanes memb a memb esulta: tag tag tag tag 0,09* km 9 m Pdíams azna que la depesón se pdue debd a que el el se nvete en agua y p tant aumenta su pes, y paa mpensa este eet se pdue la depesón que sgna una ausena de masa debd a la desapaón del el. La vaaón de masa debd a que el el se unde es gual a la vaaón de masa de la depesón R R e).- ) La altua del n de agua espet del nd gnal de la apa de el ) la altua de la ntusón ) La masa ttal de agua pduda y la masa m de agua que luye aa uea. El pes de maón de la depesón en la supee se expla en las etapas de la gua m Fg.8 El magma peneta en el el y unde un vlumen gual al vlumen del magma, después el magma sgue edend al al el y se ma un n de agua en Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

14 Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add equlb n l que se a mad una depesón en ma de n en la supee del el. El equlb tém se alanzaá uand el magma se ndense y eníe asta e gads. Est supne que se tansmte una antdad de al dad p la expesón: t L De esta enegía alía, la antdad L se emplea paa und el n de altua y el est paa ma el n de agua L L t L 5 5 *,4.0 0, *00 4,.0,9.0 L t L L t L =,7 P ta pate elanams, m se a e antemente, el vlumen de agua en equlb n el vlumen de la depesón 05 0, * 0,97.0 Cmbnand las euanes m 0 0,7 05,7 05 =05+0 = 08 m La masa de agua undda es kg, **0 *,4*00 m O La masa de agua que luye kg,7.0 *0 **0 *,4*00 m 0 O

15 .-En este pblema se analza e ntepetan meddas eas en 994 de una emsón de ad ndas pedentes de una uente dent de nuesta galaxa. El eept se sntnzó en una banda de euenas uya lngtud de nda es vas entímets. La gua. nda znas de emsón nstantes de ma smla a las líneas de alttud en un mapa gegá. En da gua se ntepeta que ls ds máxms sn la pyeón de ds bjets que se mueven alejándse ente sí a pat de un ent mún que en la gua se nda medante ues. El ent, que se supne pemanee j en el espa, es tambén un uete ems de adaón pe pnpalmente en tas lngtudes de nda. Las meddas se en en ls días ndads a la msma a. La esala de la gua está dada p un segment etlíne que espnde a un segund de a (as) (as = /600 º). 5 Fg.. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

16 La dstana al uep elestal señalad p las ues en la gua se estma es R =,5 kp. ( kp =, m). La veldad de la luz es, m/s. N se pden ees en la sluón. a) Se nda la psón angula de ls ds ad emses, elatvas al ent mún, p (t) y (t), send el subínde la emsón stuada a man zqueda y la a la deea en la tada gua, send t el temp de bsevaón. Las veldades angulaes bsevadas desde la Tea se ndan p y espetvamente. Las veldades lneales apaentes tasvesales p v * y v *. pat de la gua. ennta ls vales de y en mlsegunds de a p día ( msa/d) y de v * y v *. lgún esultad puede esulta spendente. b) Cn la naldad de ntenta alaa el esultad spendente de la pate (a) nsdeems una uente de luz que se desplaza n veldad v mand un ángul Φ0 Φ π n la deón de un bsevad dstante O, tal m se nda en la gua. v 6 O R Fg.. El bsevad está stuad en O y la psón gnal de la uente de luz está en La veldad puede expesase medante v =, dnde es la veldad de la luz. La dstana a la uente, medda p el bsevad, es R. La veldad angula de la uente, desde el punt de vsta del bsevad, es, y la veldad lneal apaente pependula a la línea de vsón es v*. Expesa y v* en unón de, R y ) Supnems que ls ds bjets emses dests en la ntduón y en la pate a) se mueven en denes puestas n la msma veldad v =. Cn el esultad btend en la pate b) se pueden alula y a pat de las veldades angulaes y y de la dstana R. a, Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

17 7 es el ángul dend en la pate b) paa el bjet stuad a la zqueda, al que espnde el subínde de la pate a) d) Paa el uep detemna la ndón que ae que la veldad apaente pependula sea may que. Esb la ndón en la ma β Φ e nda la expesón de la unón, Dbuja la egón en el plan (,) en la que v*> e) Paa un uep del apatad b) ennta la veldad (v*) máxma paa un detemnad val de. Pba que la veldad aumenta sn lmte uand ) La estmaón de R que se d en la ntduón es p eal. Ls entís an espeulad n un mej métd paa detemna R. Se supne que se puede med el eet Dpple paa las lngtudes de nda y de ls ds emses espndentes a la lngtud de nda en el sstema en eps. pat de la expesón del eet Dpple elatvsta λ λ β β sφ y supnend que ambs bjets tenen la msma veldad, ennta la expesón β y detemna el eente numé. λ λ a).- Paa entende el pblema veams que el bsevad en la Tea se enuenta a una gan dstana del bjet j señalad n una uz. Ls ds bjets móvles se sepaan ente sí y el njunt apaee m stuad en un plan pependula a R αλ R Fg... Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

18 8 En la gua. se mden las dstanas lneales de ls ds ueps espet al j y se enuentan ls sguentes vales (t) 0,4 0,7,0,,7,0 (t) 0, 0,5 0,5 0,7 0,85,0 Ests vales deben nvetse en as a pat del at de esala as,75 m (t)/as 0,45 0,55 0,64 0,47 0,68 0,77 (t)/as 0,07 0,7 0,8 0,55 0,45 0,64 t/días El temp se menza a nta a pat del pme día de bsevaón que espnde al 7 de maz, y a pat de ese temp e se uentan ls días. Cn ls vales de la últma tabla se nena la gáa psnes angulaes temps y = 0,07 t + 0,84 R = 0,9985 = 0,009 t + 0,070 R = 0,99 /as ; /as 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, temp/das La pendente de ada una de las etas epesenta la veldad angula que detemna el bsevad de la Tea. Est es así pque t Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

19 9 l ped ls esultads en mas/día as mas as 0,07 7, ; 0,009 día día día mas 9,0 día La veldad tasvesal seía v* = B/t. La eta B se puede susttu p el a de ad R B Entnes la veldad lneal seá gual a la angula p el ad. Las veldades angulaes expesadas en ad/ s sn espetvamente:,46 0,07* 80* ,7.0 ad ; s,46 0,009* 80* ,0.0 ad s y las veldades tasvesales: * 9 8 m v R 9,7.0 *,5*,09.0,8.0, s * 9 8 m v R 5,0.0 *,5*,09.0,9.0 0,6 s m s m s El esultad spendente es ennta una veldad supe a la de la luz. b).- Ls áluls antees se an e en el supuest de que las veldades de ls emses sn pependulaes a R (están en el plan g.. ) y que la luz n emplea temp en llega al bsevad. O R X v Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

20 Desde el punt de vsta del móvl que pate de n una veldad v se umple que = v t, send t la deena de temps ente el nstante t y t. La luz emtda en el nstante t llega al bsevad en O un temp después, que es el que emplea en vaja la luz de a O. O t O t P las msmas aznes el temp de llegada a O de la luz de O t O t El nteval de temp paa el bsevad en O es: 0 t t t t O O O t O O O O t Tenend pesente el gan val de R, se puede apxma O-O = X = *s La veldad tasvesal paa el bsevad en O v* X t O sen *s t v sen *s vsen sen vs s La veldad angula paa el bsevad en O v * R R sen s () ).- Se pueden alula y a pat de las veldades angulaes y y de la dstana R O plams la euaón () al mvment de, paa el que = sen () R s Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

21 Paa el móvl el agument utlzad en b) es el msm, aa el ángul es suplementa de = y el sen de es gual pe de sgn nta pat de las euanes () y () R sen () R s s s s s R s s (4) Cmbnand Ls euanes (4) y () tag (5) R R sen * s tag ls vales numés btends en el apatad a) sn: R ad ad 9 9,7.0 ; 5,0.0 ; R,5*,09.0,86.0 s s 0 m Susttuyend ls vales numés en la euaón (5) 0 *,86.0 *9,7*5,0.0 tag 8.0 * 4,7.0 6,66 69,4º De la euaón (4) 9,7 5,0 0 0,9 4,7.0 *s 69,4 d) Tenend en uenta el val de v* enntad en el apatad b) v * sen sen sen s s s sen s sen s Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

22 /(sen +s ) Repesentams la gáa ente a sen s veldad may men que 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, ángul /º La veldad v* es may que la veldad de la luz uand. La sen s ntepetaón de la gáa ante la pdems ae de ds maneas: ) Paa un val detemnad del ángul pdems sabe ls vales de paa ls que v* es may men que, p ejempl paa un ángul = 70º bsevams que uand el val de es men que 0,78, v*<, y paa vales mayes de 0,78 entnes v*>. S =0,78 estams justamente en un punt de la uva. En nseuena esta uva sepaa ds egnes la que está p debaj nda vales de v*< y la que está p enma vales de v*> ) Paa un val dad de, pdems sabe paa qué ánguls la veldad de v* es may men que la de la luz. Supngams que = 0,8, la uva nda que paa ls ánguls mpendds ente 7 y 7 gads la veldad es may que y paa el est de ls ánguls men. Se bseva en la gáa que uand está p debaj de 0,7 la veldad medda es sempe men que ualquea que sea el ángul e) Paa alla el máxm devams la expesón de la veldad espet de e gualams a e. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008

23 dv * d sen s d d s * s sen s * sen 0 Susttuda esta ndón en la expesón de la veldad esulta: v * máxma sen S tende a la veldad máxma tende a nnt. ).- plams la expesón del eet Dpple s s ; s ; s sumand ambas euanes 4 4 El eente numé es gual a 4. Jsé Lus enández Péez, gustín Lzan Padll, add 008