RELIABILITY EVALUATION OF A GROUP OF 3 PUMPS WITH MARKOV CHAIN MODEL EVALUACIÓN DE CONFIABILIDAD DE UN GRUPO DE 3 BOMBAS CON CADEMAS DE MARKOV

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1 ISSN: Volumen 2 - Número 4 - Año 29 Revsta Colombana de RELIABILITY EVALUATION OF A GROUP OF 3 PUMPS WITH MARKOV CHAIN MODEL EVALUACIÓN DE CONFIABILIDAD DE UN GRUPO DE 3 BOMBAS CON CADEMAS DE MARKOV Ing. Carolna Casanova, PhD. Cesar Contreras Unversdad Naconal Expermental del Táchra Laboratoro de Instrumentacón, Control y Automatzacón, Decanato de Investgacón, Venezuela, E-mal: ccontre@unet.edu.ve Abstract: Dfferent methodologes exst to analyze the relablty of a system, n ths work descrbes the analyss wth Markov chan model and an example s done evaluatng and smulatng the relablty of a group of 3 pumps, wth redundancy of 2/3. Resumen: Exsten dferentes metodologías para analzar la confabldad de un sstema, en este trabajo se descrbe el análss de Markov y se hace un ejemplo evaluando y smulando la confabldad de un grupo de 3 bombas, con redundanca de 2/3. Keywords: Relablty, Markov chans.. INTRODUCCIÓN La hstora de la confabldad se remonta a los prmeros años 3 donde los conceptos de la probabldad se aplcaron a los problemas relaconados con la generacón de la energía eléctrca (Lyman, 933, Dhllon, 983). Durante la Segunda Guerra Mundal, los alemanes aplcaron los conceptos báscos de la confabldad para mejorar la confabldad de sus cohetes V y V2. En 947, Aeronáutcas Rado, Inc. y la unversdad de Cornell condujeron un estudo de la confabldad sobre. tubos electróncos. En 95, el departamento defensa de Estados Undos establecó a un comté ad hoc sobre confabldad y en 952 fue transformado a un cuerpo permanente: denomnado Grupo consultvo de la confabldad de equpos electróncos (AGREE). Entonces la Confabldad en general: se defne como la probabldad de que un sstema cumpla con la tarea asgnada de forma satsfactora en el período ndcado y bajo condcones especfcadas. A contnuacón se presentan tres conceptos usados para defnr la confabldad de Sstemas Eléctrcos de Potenca. Es la habldad del sstema para proveer energía eléctrca a los puntos de utlzacón en la cantdad requerda y con un nvel aceptable de caldad y segurdad. Refleja la robustez del sstema, tanto a respuestas a contngencas, contnudad del sumnstro, caldad del servco prestado. La Confabldad busca el cabal cumplmento de la funcón para la cual fue concebdo un sstema en un perodo de tempo especfcado, sn menoscabo de su vda útl. Estos conceptos muestran que la Confabldad es producto de la Segurdad que es la capacdad de respuestas a contngencas estátcas y dnámcas, La Caldad técnca y comercal junto a la contnudad del servco y a Sufcentes nstalacones para satsfacer la demanda total y las restrccones del sstema. Unversdad de Pamplona 9

2 ISSN: Volumen 2 - Número 4 - Año 29 Revsta Colombana de Hay dferentes métodos de evaluacón de la confabldad y entre estos tenemos: Reduccón de la Red Método de descomposcón Método DELTA-ESTRELLA Método de contaje de partes Método de MARKOV Para el cálculo de la confabldad hay varos tpos de dstrbucón de la probabldad, los mas usados son: Bnomal, Posson, exponencal, Raylegh, Webull, General, y Normal. En este artículo se usa para el ejemplo la dstrbucón exponencal.. Análss de Markov El análss de Markov, llamado así en honor de un matemátco ruso que desarrolló el método en 97, permte encontrar la probabldad de que un sstema se encuentre en un estado en partcular en un momento dado. Algo más mportante aún, es que permte encontrar el promedo a la larga o las probabldades de estado estable para cada estado. Con esta nformacón se puede predecr el comportamento del sstema a través del tempo. Esta es una herramenta de gran alcance del análss de la confabldad y puede ser utlzada en más casos que cualquer otro método. El método de Markov se utlza extensamente para modelar sstemas con fallas y reparacones con promedo constante. A excepcón de algunos casos especales, la técnca es aplcable a sstemas que tengan promedos de falla y reparacón dependentes del tempo. Para la solucón de los problemas se plantea una cadena de Markov y un conjunto de ecuacones dferencales facltando la solucón de los sstemas grandes y complejos. Una cadena de Markov es una sere de eventos, en la cual la probabldad de que ocurra un evento depende del evento nmedato anteror. En efecto, las cadenas de este tpo tenen memora. Recuerdan el últmo evento y esto condcona las posbldades de los eventos futuros. Esta dependenca del evento anteror dstngue a las cadenas de Markov de las seres de eventos ndependentes, como trar una moneda al are o un dado. Para esto se asumen las sguentes condcones:. Los eventos de transcón son ndependentes 2. La probabldad de transcón de un estado a otro del sstema en el ntervalo de tempo fnto t está dado por t, donde es la frecuenca de falla (o en otro caso promedo de reparacón) 3. La probabldad de que ocurra más de un evento de transcón entre un estado y otro en el tempo t es muy pequeña, es desprecable. Unversdad de Pamplona 2 2. Ecuacones 2. MÉTODO El dagrama de espaco de estado de un sstema se muestra en la fgura, el cual puede estar en operacón normal (estado ) o en falla (estado ), este sstema falla con una rata de falla constante y tambén es reparado con una rata de reparacón constante. Las ecuacones de probabldad del sstema son las sguentes: P ( t + t) = P ( t)( t) + P t P ( t + t) = P ( t)( t) + P t Donde: t: Tempo t: Probabldad de que el sstema falla en un ntervalo de tempo fnto t. (- t):es la probabldad de que no falle en un ntervalo de tempo fnto t. t: Es la probabldad de que el sstema sea reparado en un ntervalo de tempo fnto t. (- t):es la probabldad de que no se repare en un ntervalo de tempo fnto t. P (t+ t):es la probabldad de que el sstema este en el estado de operacón (estado ) en el tempo (t+ t). P (t+ t):es la probabldad de que el sstema este en el estado de falla (estado ) en el tempo (t+ t). P (t): Es la probabldad de que el sstema este en estado en el tempo t, para =,. Fg.. Sstema con dos estados: Operacón Normal y Falla En el límte las ecuacones anterores nos quedan de la sguente forma: dp dt dp dt Operacón Normal + P ( t) = P ( t) + P ( t) = P ( t) (2) Sstema Fallado ()

3 ISSN: Volumen 2 - Número 4 - Año 29 Y resolvendo este sstema de ecuacones dferencales tenemos que: ( + ) t P = + e ( + ) ( + ) (3) ( + ) t P = + e ( + ) ( + ) Por lo tanto se puede comprobar que para t= ; P ( ) = + (4) + P P ( ) = + + ( ) + P ( ) = + = + + A partr de estas ecuacones se apreca que s el numero de reparacones >> es mucho mayor que la frecuenca de falla, entonces la probabldad de que permanezca en el estado funconal va en aumento hasta tender a. En la fgura sguente se muestra esa tendenca donde > 2 > Fg. 2. Sstema de dos estados con frecuenca de fallas en dsmnucón progresva (5) (6) Revsta Colombana de Para el sstema anteror se tenen los sguentes datos: = 3 B Fallas / año TPPR B = 2 Semanas = 4. B 2 Fallas / año TPPR Semanas B2 =. 8 = 3.6 B 3 Fallas / año TPPR Semanas B3 = 2. 3 =.5 Fallas año FALLACOMUN / TPPR FALLACOMUN = 4 Semanas Depende del número de hombres En este ejercco se obtendrá:. Modelado del Sstema 2. Smulacón Dnámca 3. Resultados Análss Interpretacón. Obsérvese que se tenen las frecuencas de falla y reparacón de cada una de las bombas y de las tres a la vez. Pero no se cuentan con datos de falla y reparacón de dos bombas. Exsten varos crteros para la determnacón de estos datos, predomnando los análss actuarales como lo propone (Moubray, 997). Donde se propone una metodología basada en data técnca hstórca que representa el comportamento del sstema la cual es trascrta en una planlla de ruta de falla, de donde se determnan el TPPF y el TPPR. Sn embargo en este caso no contamos con datos hstórcos por lo tanto se utlzara para determnar la frecuenca de falla de dos bombas a la vez el esquema de redundanca de fallas. Tomamos el sstema de las tres bombas como un sstema paralelo, donde solo son necesaros 2 de las tres para que el sstema cumpla con % de sus funcón de dseño (Rocco, 26). La confabldad de que sgan funconando dos bombas de tres es: R( 2/ 3) = ( RQQ 2 3) + ( RQQ 2 3) + ( RQ 3 Q 2) R = R + R + ( 2 / 3) (2,3) (,3) R(,2) Entonces; R = R QQ (, x j = e (, t (7) (8) (9) Unversdad de Pamplona 3. RESULTADOS Β Β 2 Β 3 Fg. 3. Sstema de tres bombas 2 Donde: R : Confabldad de la bomba, evaluada como t una funcón de dstrbucón exponencal R = e : Q = R = e t R (, : Probabldad de que sgan funconando las bombas y j. A contnuacón en la Tabla Se muestran los valores de confabldad R y los valores de ausenca de confabldad Q calculados con las ecuacones anterores y usados para la smulacón del sstema.

4 ISSN: Volumen 2 - Número 4 - Año 29 Tabla : Datos de Confabldad, TPPF y TPPR, ndvduales para el cálculo de los valores por pareja. (Fallas/año) R Q 3,5, ,,2,98 28,88 3 3,6,3,97 22,66 T, A partr de la Ecuacón 9, se despeja la frecuenca de falla (,, en la Tabla 2 se muestran los valores calculados en cada combnacón. En el caso del TPPR, para efectos de ejercco se tomó el crtero del mayor tempo de reparacón de las dos bombas falladas, ya que como se explcó anterormente, no se cuentan con sufcentes datos. Revsta Colombana de Funconal, Degradado y No Operatvo, de tal forma que los detalles en cuanto a cuales son las bombas operatvas o no, para El son rrelevantes. Lo que quere decr que se podría presentar un dagrama de estado más smplfcado o sgnfcatvo, dependendo del usuaro fnal. Otro método para exhbr las probabldades de transcón es usar una matrz de transcón.. La matrz de transcón para el ejemplo del dagrama de estados se muestra en la tabla 3. Evaluando los datos de las Tablas y 2 en la Tabla 3, se obtene los elementos de la matrz del sstema, que aparecen en la Tabla 4. Tabla 3: Forma de construr la matrz de transcón de estado a partr de la Cadena de Markov Tabla 2: Datos de confabldad, TPPR y TPPF, por pareja de bombas.,j R (, l (, m (, 2,3,952,49 22,6,3,985,5 22,6,2,974,26 26 El dagrama de espaco de estado resultante tomando en cuenta todas las posbles fallas se presenta en la Fgura 4. Tabla 4: Matrz de transcón A de estado a partr de la Cadena de Markov Fg. 4: Dagrama de estado Hay que acotar que esta es una representacón completa con todos los detalles de los posbles estados, sn embargo resulta que los detalles del sstema dependen del nvel de automatzacón. En este caso los detalles son muy mportantes para mantenmento y recuperacón de la planta. En cambo un Gerente solo se nteresa por los estados: Unversdad de Pamplona 22

5 ISSN: Volumen 2 - Número 4 - Año 29 Establecendo el sstema de ecuacones dferencales P = AP con los datos de la tabla 4, se tene el conjunto de ecuacones () y smulando estas ecuacones dferencales usando para esto, la funcón ODE45 de Matlab, se obtene la solucón numérca, mostradas en la grafcas de la fgura 5. PF=,28PF+ 26PD ,6 PNF3 + 3PNF 3 + =,5 PF+,48PD PNF3 PD = PF 33,74PD , 6PNF () PNF 6, 68PNF Revsta Colombana de correccón, con accones de mantenmento preventvo. Este trabajo permte mostrar paso a paso el procedmento para aplcar el análss de confabldad con cadenas de Markov, además el programa anexo srve de ejemplo para la ejecucón de la smulacón en Matlab. 5. GLOSARIO TPPF: Tempo Promedo Para Fallar TPPR: Tempo Promedo Para Reparar 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS Las respuestas de cada una de las varables de estado, se han agrupado como se esperaba en Funconal, Degradado y No Funconal. Al hacer un corte vertcal en cualquer tempo t la suma de las probabldades de cada estado es gual a. Además el estado Funconal tende a. Funconal REFERENCIAS Lyman, W.J., Fundamental consderaton n preparng a master system plan, Electrcal World,, , 933. Smth, S.A., Servce relablty measured by probabltes of outage, Electrcal World, 3, , 934. Dhllon, B.S., Power System Relablty, Safety and Management, Ann Arbor Scence Publshers, Ann Arbor, MI, 983 Moubray, J., Relablty Centred Mantenance, Butterworth Henemann, 997 Rocco, T, Tema : Confabldad Industral, Postgrado UNET, 26. Fg.5: Smulacón del espaco de estado Unversdad de Pamplona Degradado No Funconal 6. CONCLUSIONES De la Fgura 2 se observa como modfcando la frecuenca de falla se hace que se aumente las probabldades de que el sstema permanezca en el estado funconal. Entonces comparando con las gráfcas de la fgura 5, se extraen la sguente nformacón: s se desea la probabldad de Degradado basta con sumar cada una de las probabldades de degradado así tambén con el estado No Funconal. Que en cualquer tempo la suma de todas las probabldades es la undad. La probabldad del estado funconal tende a la undad. Se observa tambén de las grafcas que s aumenta l baja la probabldad del estado funconal, esto srve para predecr fallas, de tal manera de que se use en la 23 ANEXO A: PROGRAMA EJECUTADO EN MATLAB 5.3 functon dy = Markov(t,u) dy = [-.2884*u()+26*u(2)+28.88*u(3)+22.6*u(4)+26*u(5)+22.6 *u(6)+22.6*u(7)+3*u(8); 3*u() *u(2)+*u(3)+*u(4)+28.88*u(5)+22.66*u(6)+*u(7) +22.6*u(8); 4.*u()+*u(2) *u(3)+*u(4)+26*u(5)+*u(6)+22.6*u(7)+22.6*u(8) ; 3.6*u()+*u(2)+*u(3) *u(4)+*u(5)+26*u(6)+28.88*u(7)+26*u(8);.25*u()+4.*u(2)+3*u(3)+*u(4) *u(5)+*u(6)+*u(7)+22.6*u(8);.54*u()+3.6*u(2)+*u(3)+3*u(4)+*u(5) *u(6)+*u(7)+28.88*u(8);.48*u()+*u(2)+3.6*u(3)+4.*u(4)+*u(5)+*u(6)- 77.8*u(7)+26*u(8);.5*u()+.48*u(2)+.54*u(3)+.25*u(4)+3.6*u(5)+4. *u(6)+3*u(7)-6.68*u(8)]; [t,u]=ode45('markov',[.5],[;;;;.3;.3;.4;]); plot(t,u(:,),t,u(:,2),t,u(:,3),t,u(:,4),t,u(:,5),t,u(:,6),t,u(:,7),t,u(:, 8));