Actividades y ejercicios 2º Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Transcripción

1 ctividdes ejercicios º chillerto Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. ÍNDIE:. Mtrices. Determinntes. Sistems lineles. Inecuciones progrmción linel. Límites continuidd. Derivds 8 7. Integrles 8. Proilidd 7 9. Estimción. Intervlos de confin 8 LirosMreVerde.tk utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés. Ilustrciones: nco de Imágenes de INTEF de los utores

2 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk PÍTULO : MTRIES TIVIDDES PROPUESTS. ONEPTO DE MTRIZ. Utili mtrices pr representr l informción siguiente: Un gricultor cultiv lechugs, nrnjs melones. Durnte el ño h recogido mil lechugs, kilos de nrnjs melones. En los ños nteriores su producción h sido de, respectivmente. Por cd lechug recie un céntimo, por cd kilo de nrnjs céntimos por cd melón céntimos. Escrie l mtri de sus gnncis del ño.. nli los siguientes elementos de tu entorno determin si son mtrices o no:. Un clendrio.. L clsificción de l Lig de fútol (o culquier otro deporte). c. El disco duro de un ordendor. d. Un rmrio donde se gurd un colección de cops. e. Los lineles de un supermercdo. f. Un pntll de televisión. g. El oleto de l Loterí Primitiv, de l Quiniel del Euromillón. h. Los uones de un viviend. i. Los pupitres de un clse.. Propón otros elementos de tu entorno que se mtrices o puedn representrse medinte mtrices.. OPERIONES ON MTRIES. Escrie tres mtrices fil.. Escrie tres mtrices column.. Escrie tres mtrices cudrds de dimensión, respectivmente. 7. Escrie l mtri unidd de dimensión,. 8. Escrie l mtri nul de dimensión,. 9. Dds ls mtrices 7 9, 7 clcul: ) + ) +. Pr ls mtrices 7 9 clcul. Es el producto conmuttivo?. Dds ls mtrices 7 9 clcul t.. lcul ls mtrices inverss, si eisten, de ls siguientes mtrices: 7 9,,, D. Resuelve l ecución mtricil M X + N = P siendo: 7 9 M, N, P. lcul el rngo de ls siguientes mtrices: 9,,, D

3 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk EJERIIOS Y PROLEMS.. - Dds ls mtrices, clcul: ) + ) c) +. - Pr ls mtrices clcul. Es el producto conmuttivo?. - lcul los productos posiles entre ls mtrices,..- Dds ls mtrices clcul t..- Pr ls mtrices,, reli ls siguientes operciones si es posile: ) + ) c) d) D e) f) D g) t. - Es posile que pr dos mtrices no cudrds puedn eistir? 7. - ) lcul 97 pr l mtri ) Encuentr los vlores de pr que l mtri conmute con l mtri lcul n, pr n N, siendo ls siguientes mtrices: ) ) c) 9. Se dice que dos mtrices conmutn si =. Dd l mtri hll ls mtrices que conmuten con.. - Encuentr tods ls mtrices, del orden correspondiente, que conmuten con ls mtrices:. - Sen ls mtrices m E m D m,,,,. lcul cd uno de los productos, D E, E, E..- Sen dos mtrices de orden, en ls que,, denotn vlores numéricos desconocidos. ) Determin, rondmente, los vlores de,, R de mner que =. ) Es posile el cálculo de? Ron l respuest..- Se l mtri clcul, si eisten, ls siguientes mtrices: ) Un mtri X, tl que X. ) Un mtri Y tl que Y D

4 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk. - lcul ls mtrices inverss, si eisten, de ls siguientes mtrices: ) ) c) d).- Dds ls mtrices clcul..- Dd l mtri. ) Hll l mtri invers de. ) omprue que - = - = I. c) Hll un mtri X tl que X =, siendo 7.- lcul l mtri invers de 8. - Dds ls mtrices otén, si procede, ( ) Sen ls mtrices ) lcul l mtri invers de ) Hll el producto de l invers de por l invers de. Qué relción eiste entre l mtri del prtdo nterior est mtri? Justific l respuest.. Se comprue que t = clcul ( t )..- Sen ls mtrices:,. ) Hll D. ) lcul l mtri invers de D. c) omprue si ( D) es igul D o es igul D..- Resuelve l ecución mtricil M X + N = P siendo,. - Sen ls mtrices,. ) lcul ( + I). ) Determin l mtri X pr que X = + I. - Sen ls mtrices,. Resuelve l ecución X X =. - lcul el rngo de ls siguientes mtrices: ) ) c). - lcul el rngo de ls siguientes mtrices según los vlores del prámetro : ) ) 8 t () ) ( D M N P

5 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 7.- Determin ls mtrices que son soluciones del siguiente sistem: Otener ls mtrices X e Y que verifiquen los siguientes sistems mtriciles. ) ) c) 9. - Utilindo ls operciones elementles por fils, otén mtrices tringulres equivlentes ls siguientes mtrices: ) ) c) d). - En un cdemi de idioms se imprten inglés lemán en cutro niveles dos modliddes: grupos reducidos grupos normles. L mtri epres el número de persons, según el tipo de grupo, donde l primer column corresponde los cursos de inglés, l segund los de lemán ls fils, los niveles primero, segundo, tercero curto respectivmente. Ls columns de l mtri reflejn el tnto por uno de estudintes (común pr mos idioms) que siguen curso reducido (primer fil) curso norml (segund fil) pr cd uno de los niveles. ) Otener l mtri que proporcion el número de estudintes por modlidd e idiom. ) Siendo que l cdemi cor euros por person en grupos reducidos euros por person en grupo norml, hllr l cntidd que otiene l cdemi en cd uno de los idioms.. - Tres escritores presentn un editor, l cr l enciclopedi, l minut que se recoge en l tl djunt: Hors de trjo onferencis dds Vijes Escritor Escritor 8 8 Escritor El editor pg l hor de trjo 7 euros, l conferenci euros el vije euros. Si sólo piens pgr, respectivmente, el %, el % el % de lo que corresponderí cd escritor, qué gsto tendrí el editor?. - Un fáric produce dos modelos de lvdors,, en tres terminciones: N, L S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, uniddes en l terminción L uniddes en l terminción S. Produce del modelo : uniddes en l terminción N, en l L en l S. L terminción N llev hors de tller hor de dministrción. L terminción L llev hors de tller, hors de dministrción. L terminción S llev hors de tller, hors de dministrción. ) Represent l informción en dos mtrices. ) Hll un mtri que eprese ls hors de tller de dministrción empleds pr cd uno de los modelos. Y X Y X Y X Y X Y X Y X 8,,,7,8,7,,,

6 . - Sen dos mtrices de igul orden, un número. Se se que ( + ) = +. Justific el resultdo.. - Sen dos mtrices cudrds de igul tmño. Si son simétrics, nli si, entonces, tmién lo es su producto. Si l respuest es firmtiv, justifíquese; en cso contrrio, dese un contrejemplo que lo confirme. r. - Se l mtri M, siendo r s dos números reles tles que r s. lcul M, M, M M k pr k N. s. - Se el conjunto de mtrices definido por: M ;, R ) omprue que, M, tmién + M M ) Encuentr tods ls mtrices M, tles que = Se dice que un mtri cudrd es ortogonl si se verific que t = I donde t es l mtri trspuest de e I es l mtri identidd. Si son dos mtrices ortogonles de igul tmño, nli si es un mtri ortogonl. 8. onsider ls mtrices, definids como: ij i j, i, j,, i j, i,; j,, c i j, i,,;, j, ij ij ) onstrue ls tres mtrices. ) Hll ls trspuests t, t t determin cuál (o cuáles) de ls mtrices es simétric. c) nli cuáles de los productos,,,,,,, o pueden relirse. d) Determin el rngo de ls tres mtrices,. 9. Dd l mtri: M en l que se verific + + =. ) lcul M. ) lcul P = M + I. c) omprue que P = P. d) omprue que P M = M P = O. Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

7 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 7 UTOEVLUIÓN Dds ls mtrices ; 7.- L dimensión de l mtri es: ) ) c) d).- L mtri es: ) un mtri fil ) cudrd c) trspuest d) rectngulr.- L sum de ls mtrices es: 7 ) 9 ) ) c 9 ) d.- El producto es: 7 ) 9 9 ) 9 ) c ) d.- Indic qué firmción es ciert ) Ls mtrices se pueden multiplicr ) Ls mtrices no se pueden multiplicr c) ms tienen mtri invers d) Sus mtrices trspuests son igules Dds ls mtrices ; ; ; F E D.- L mtri identidd es l mtri: ) ; ) D; c) E; d) F. 7.- El producto de ls mtrices E F es: 8 ) EF 8 ) EF 9 8 ) EF c ) EF d 8.- L mtri invers de l mtri F es: ) F ) F ) F c ) F d 9.- L mtri trspuest de l mtri F es: ) t F ) t F ) t F c ) t F d.- El rngo de l mtri es: ) ) c) d) no tiene

8 8 péndice: Prolems de mtrices en ls P...U. () Se l mtri ) omprue que verific I = O, con I l mtri identidd O l nul. ). lcul. c) sándote en los prtdos nteriores sin recurrir l cálculo de inverss, hll l mtri X que verific l iguldd X + I = () ) Define rngo de un mtri. ) Un mtri de fils columns tiene rngo. ómo vrí el rngo si quitmos un column? Si suprimimos un fil un column, podemos segurr que el rngo de l mtri resultnte vldrá dos? () Se un mtri (m n) ) Eiste un mtri tl que se un mtri fil? Si eiste, qué orden tiene? ) Se puede encontrr un mtri tl que se un mtri fil? Si eiste, qué orden tiene? c) usc un mtri tl que = ( ) siendo () Dd l mtri el vector X, se pide otener rondmente: ) El vector X tl que X = X. ) Todos los vectores X tles que X = X. c) Todos los vectores X tles que X = X. () Sen I ls mtrices cudrds siguientes: I Se pide clculr, eplicndo todos los psos necesrios: ) Ls mtrices. ) Los números reles pr los cules se verific (I + ) = I +. () Dd l ecución mtricil: donde es un mtri cudrd de tmño, se pide: 7 ) lcul el vlor o vlores de pr los que est ecución tiene solución. ) lcul en el cso =. (7) Un mtri se dice que es tringulr si el primer elemento de su segund fil es. Encuentr tods ls mtrices t 7 tringulres tles que. 8 (8) omprue rondmente que: ) Si el producto de dos mtrices cudrds es conmuttivo, entonces se deduce que el producto de los cudrdos de dichs mtrices es igul l cudrdo del producto de dichs mtrices. ) L mtri stisfce l relción + I = O, siendo I O, respectivmente, ls 7 mtrices de orden unidd nul. c) lcul rondmente escriiendo todos los psos del ronmiento utilido, los vlores que hcen que = + I, siendo que l mtri verific l iguldd = + I. X Y (9) ) lcul ls mtrices reles cudrds de orden, X e Y, que stisfcen ls ecuciones: donde: X Y ) Si X e Y son ls mtrices nteriores, clcul ( X + Y) X ( X + Y) (Y). () lcul todos los vlores reles,,, t pr los cules se verific X = X, donde X t Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

9 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 9 () Tenemos ls mtrices e I ) lcul l mtri invers de. ) lcul l mtri = ( + I). c) Determin los números reles que cumplen: = + I, = + t I, () Sen ls mtrices: dos mtrices de orden ( ) en ls que, R denotn vlores numéricos desconocidos. ) Determin, rondmente, los vlores de, R de mner que =. ) Es posile el cálculo de? Ron l respuest () Se + I = un epresión mtricil, donde denot l mtri cudrd de orden ( ): e I es l mtri identidd de orden correspondiente: ) Qué dimensión tiene l mtri? ) Determin los elementos que integrn l mtri, esto es, ij q. c) lcul + I. () Sen dos mtrices desconocids. Resuelve el siguiente sistem de ecuciones: 7 7 () Sen X e Y dos mtrices desconocids. Resuelve el siguiente sistem de ecuciones: 9 Y X Y X () Se llm tr de un mtri l sum de los elementos de su digonl principl. Hll, mtri de tmño ( ), siendo que l tr de t es cero. (7) Se un mtri que tiene tres fils; se l mtri que result de sustituir en l ª fil por l sum de ls otrs dos. Qué dee ocurrir entre ls fils de pr que tengn el mismo rngo? (8) Dds ls mtrices c c se pide: ) Encontrr ls condiciones que deen cumplir, c pr que se verifique =. ) Pr = = c =, clculr. (9) Denotmos por M t l mtri trspuest de un mtri M. onsider: 9,, ) lcul ( ) t ( ) t. ) Determin un mtri X que verifique l relción X t.

10 RESUMEN Definición de mtri Tl de números ordendos 7 Dimensión de un mtri El número de fils (m) el número de columns (n) L dimensión de l mtri nterior es. Iguldd de mtrices Dos mtrices son igules si tienen l mism dimensión si los términos que ocupn l mism posición son igules = ij = ij i,j Tipos de mtrices Sum de mtrices Producto de un rel por un mtri Producto de mtrices Mtri fil: Mtri column: Mtri tringulr de dimensión : 7 Mtri digonl: Mtri esclr: Mtri unidd: Se sumn los elementos que ocupn l mism posición: cij ij ij Es otr mtri de elementos los de l mtri multiplicdos por el número: k k ij k ij ij n ij ij cij cij ik kj ij k 7 Mtri invers I / / / / Mtri trspuest Se otiene cmindo fils por columns. t Rngo de un mtri Número de fils o columns de l mtri que son linelmente independientes, es decir, que no pueden otenerse prtir de ls demás fils o columns de l mism mtri. El rngo de l mtri es. Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

11 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk PÍTULO : DETERMINNTES. TIVIDDES PROPUESTS. ONEPTO DE DETERMINNTE. lcul los siguientes determinntes: ) ) c). lcul los siguientes determinntes: ) ) c). PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES. omprue qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces dos permutciones de fils.. omprue qué ocurre en un determinnte de orden dos cundo hces un permutción de fils seguid de un permutción de columns.. omprue qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces dos permutciones de fils.. omprue qué ocurre en un determinnte de orden tres cundo hces un permutción de fils seguid de un permutción de columns. 7. Ron por qué est propiedd puede deducirse de l propiedd número. 8. omprue en un determinnte de orden que l propiedd se verific tmién cundo h dos columns igules. Hlo de dos forms diferentes: desrrollndo el determinnte utilindo l propiedd del determinnte de l mtri trspuest. 9. Demuestr est propiedd pr determinntes de orden tres.. omprue que el vlor del segundo determinnte, otenido del primero con l trnsformción indicd, es el mismo que el del determinnte de prtid.. omprue est propiedd pr ls siguientes mtrices cudrds de orden tres: ) 7 ; ) ; c). Ron si es posile que pr dos mtrices eistn los productos, pero no se verifique que.. Dds dos mtrices, cudrds de igul dimensión, ron si ls siguientes epresiones son cierts o no: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j). ÁLULO DE DETERMINNTES POR LOS ELEMENTOS DE UN LÍNE. lcul por djuntos el vlor de este determinnte: 7 7

12 8. Hll el vlor de que verific: 87. Pr ls mtrices del ejemplo, determin: ) ) dj dj c) dj t dj t Qué oservs? 7. ) lcul l mtri djunt de: ) Hll, dj t efectú el producto dj c) Qué oservs? t.. MTRIZ INVERS 8. omprue pr los ejemplos nteriores que = I = I Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

13 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk EJERIIOS Y PROLEMS..- lcul los determinntes de ls siguientes mtrices: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j).- Prue, sin desrrollrlos, que los determinntes de ls siguientes mtrices son nulos: ) ).- Demuestr sin desrrollr que los determinntes son múltiplos de..- Prue sin desrrollr que los determinntes siguientes son múltiplos de : ) ).- omprue, prtir de ls propieddes de los determinntes, que = que =..- Siendo que: clcul, sin desrrollr, el vlor de 7.- Siendo que clcul sin desrrollr: 8.- uál será el orden de un mtri cudrd si semos que su determinnte vle que el determinnte de l mtri t vle? 9.- Justific, sin relir cálculo lguno, que.- Dds ls mtrices de orden con, clcul,..- Otén, en función de, c el vlor del determinnte: m m m m m c c c d c c d d c i h g f e d c c e d c f h g i r q p c q r p c c r c q p q q r c c r p p t t c

14 .- Demuestr que: ( ) ( ).- Dd l mtri se pide: ) lcul: ; ; ; ; ) Resuelve l siguiente ecución:.- Se un mtri simétric M cuo determinnte es. omprue si es verddero o flso t 9 M 7 t M t Si son flss, indic l respuest correct..- Sen ls mtrices M t ; ; ; ; t t t 7 9 tles que. on estos dtos clcul de form rond: ; t t. - Sen F, F, F F ls cutro fils de un mtri cudrd, cuo determinnte vle. Se pide clculr de form rond: ) El determinnte de l mtri. ) El determinnte de l mtri invers de. c) El determinnte de l mtri. d) El determinnte de un mtri cus fils son: F, F F, F, F. 7.- Pr los determinntes ) Hll los menores complementrios de los elementos,,, cundo eistn. ) Hll los djuntos de dichos elementos, cundo eistn. 8.- ) L mtri verific. Hll los posiles vlores del determinnte de. t ) L mtri verific que I. Hll los posiles vlores del determinnte de. 9.- Dd l mtri clcul el determinnte de l mtri de ls siguientes mners: ) plicndo l regl de Srrus. ) Desrrollndo por los elementos de l ª fil de l ª column. c c d d Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

15 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk.- Dds ls mtrices, se pide clculr el vlor de los siguientes determinntes: ; ; ; ;.. - Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ).- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ).- Resuelve l siguiente ecución, siendo e I l mtri unidd..- Hll los determinntes de ls siguientes mtrices:.- plicndo propieddes, clculr el vlor del determinnte: ) Indicndo los psos relir, hst llegr uno de orden. ) Desrrollndo por los elementos de un líne.. - ompror el vlor de los siguientes determinntes: ; 7.- lcul el determinnte: 8.- lcul los determinntes siguientes: ) ) t t I D E F G H J

16 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 9. - Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ).- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ).- Hll ls mtrices inverss de ls mtrices: ) ) c).- Dd l mtri. ) Hll l mtri invers de. ) omprue que. c) Hll un mtri X tl que, siendo.- Sen ls mtrices ) lcul l mtri invers de. ) Hll el producto de l invers de por l invers de. Qué relción eiste entre l mtri del prtdo nterior est mtri? Justific l respuest..- Siendo ls mtrices. ) Es cierto que det( ) = det( )? ) lcul, si es posile, l invers de.. - Dd l mtri hll los vlores de t pr los cules no tiene invers..- Dd l mtri, verigu pr qué vlores de eiste, clcúll pr. 7.- lcul l mtri invers de 8.- Dd l mtri ) omprue si es un mtri regulr o inversile. En cso firmtivo, hll su invers. ) Descompón l mtri M en sum de dos mtrices, un simétric otr ntisimétric. c) Descompón M en sum de dos determinntes P Q, tles que sus elementos sen todos no nulos que el vlor de uno de ellos se nulo. d) omprue si: e) Resuelve l ecución: c c c I X t t M Q P M Q P M M

17 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Pr qué vlores de l mtri no tiene invers? Hll l invers pr =..- ) Pr qué vlores del prámetro no es invertile l mtri? ) Pr los vlores de encontrdos clculr los determinntes de de..- Se l mtri ) Pr qué vlores de m no tiene invers l mtri? ) lcul l invers de pr m =..- Dd l mtri donde es un número rel, hll: ) Los vlores de pr los que l mtri pose invers. ) L invers de pr =. c) on =, el vlor R pr que l mtri teng determinnte..- Dds ls mtrices, M, plnte l resolución de ls siguientes ecuciones utilindo l mtri invers: ) ) c).- lcul tods ls mtrices digonles de orden dos que coinciden con su invers. Si es un de ess mtrices, clcul su cudrdo..- ) Hll, si eiste, l mtri invers de M. ) lcul l mtri X que cumple.- Dds ls mtrices: ) Qué vlores de hcen singulr l mtri? ) Qué dimensiones dee tener l mtri pr que l ecución teng sentido? c) lcul pr el vlor. 7.- Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ) c) 8.- Hll el rngo de ls siguientes mtrices: ) ) c) d) 7 t t m X X X X t M M M M X D D 7 9

18 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Hll el rngo de ls siguientes mtrices:.- Hll el rngo de ls mtrices en función del prámetro: ) ) c) d). - Determin el rngo de ls mtrices siguientes en función del prámetro correspondiente:.- Dd l mtri ) Resuelve l ecución ) lcul el rngo de l mtri según los vlores de.. - Dds ls mtrices ) Discute el rngo de según los vlores de m. ) Qué dimensiones dee tener l mtri X pr que se posile l ecución? c) lcul X pr m =..- Resuelve ls ecuciones: ) siendo ), siendo c) siendo, d) siendo, 9 9 det m m m X X X X 9 X

19 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 9 UTOEVLUIÓN Dds ls mtrices = =.- El vlor del determinnte de l mtri es: ) ) c) d) 8.- El djunto del determinnte de l mtri es: ) ) c) d).- El vlor del determinnte de l mtri es: ) ) c) 8 d) 8.- El rngo de es: ) ) c) d).- L mtri invers de es: ) ) c) d) Dds ls mtrices:.- L mtri invers de l mtri F es: 7.- El rngo de l mtri es: ) ) c) d) no tiene 8.- L mtri de determinnte nulo es: ) ) D c) E d) F 9.- El determinnte de l mtri D vle: ) ) c) d).- El rngo de l mtri F es: ) ) c) d) no tiene 7 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ; ; ; F E D ) F ) F ) F c ) F d

20 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk péndice: Prolems de determinntes en l P..U. () onsider ls mtrices ) Puede eistir un mtri de form que se puedn relir los productos? Si es posile, proporcion un ejemplo. Si no es posile, eplic por qué. ) lcul ( I). c) Determin los vlores de que verificn = 7 I () Ddos los números reles,, c d, se consider l mtri. Prue que el polinomio p() = det( I ) es p() = tr() + det(), donde tr() es l tr de l mtri, es decir, l sum de los elementos de l digonl de. () onsider l mtri ) Hll el determinnte de l mtri. ) Hll el determinnte de l mtri. c) Hll el determinnte de l mtri ( ). () Dds ls mtrices cudrds ) lcul ls mtrices ( I) ( I). ) Justific rondmente que.) Eisten ls mtrices inverss de ls mtrices ( I)..) No eiste l mtri invers de l mtri ( I). c) Determin el vlor del prámetro rel pr el que se verific que = ( I). () onsider l mtri ) Estudi pr qué vlores de t l mtri tiene invers. ) usc, si es posile, l mtri invers de cundo () Se dn ls mtrices, M, donde M es un mtri de dos fils dos columns que verific que M = M. Otén rondmente: ) Todos los vlores reles k pr los que l mtri = k I tiene invers. ) L mtri invers cundo k =. c) Ls constntes reles pr ls que se verific que + = I. d) omprue rondmente que l mtri P = I M cumple ls relciones: P = P M P = P M. (7) Ddo el número rel se consider l mtri ) Otén los vlores del número rel pr los que l mtri tiene invers. ) usc, si es posile, l mtri invers de cundo =. (8) Se consider l mtri ) Otén el polinomio p() = det(). ) Si c =, usc ls ríces de p() dependiendo de.,, I d c I sec tg tg sec θ θ θ θ I c

21 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk (9) Se considern ls mtrices: ) lcul, si es posile, l mtri invers de l mtri. ) Resuelve, si es posile, l ecución mtricil X =. () Utilindo ls propieddes de los determinntes: ) Verific que: ) lcul: () Se ) lcul su invers, si eiste. ) Encuentr l regl de cálculo de ls sucesivs potencis n de. c) Resuelve l ecución () Se consider un mtri cudrd de orden tres que verific l ecución = 9 I, donde I es l mtri identidd. ) Epres como cominción linel de I. ) ) Estudi si l mtri: verific l ecución = 9 I. ) Determin si tiene invers, si l tiene, clcúll. () Dd l mtri ) Resuelve l ecución det() =. ) lcul el rngo de l mtri según los vlores de. () Se ) lcul ls mtrices que verificn l relción = + I (I es l mtri identidd) ) lcul tods ls mtrices digonles, que no poseen invers que verificn l relción nterior. c) Se verific pr culquier pr de mtrices l relción + = +? Si no es cierto pon un contrejemplo. () Se l mtri ) lcul el vlor de su determinnte en función de ) Encuentr su invers, si eiste, cundo =. () plicndo ls propieddes de los determinntes ( sin desrrollr, ni plicr l regl de Srrus) responde rondmente ls siguientes pregunts: ) ómo vrí el determinnte de un mtri de orden si se multiplic cd elemento ij de l mtri por i j? ) L mtri, de orden, = ( ij ) con ij = i + j, tiene invers? 7 d c

22 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk (7) plicndo ls propieddes de los determinntes sin utilir l regl de Srrus, clcul rondmente ls ríces de l ecución polinómic: Enunci ls propieddes utilids. (8) Dd l siguiente mtri de orden n: se pide: ) lculr el determinnte de l mtri. ) lculr el determinnte de l mtri. c) lculr el determinnte de l mtri. (9) Dd l mtri: ) Determin el rngo de M según los vlores del prámetro. ) Determinr pr qué vlores de eiste l mtri invers de M. lcul dich invers pr =. () Hll un mtri X tl que X =, siendo: () lcul los vlores de pr los cules l mtri tiene invers. () Resuelve l siguiente ecución: () Otén rondmente: ) El determinnte de un mtri cudrd de dos fils, que tiene mtri invers verific l ecución =. ) El determinnte de un mtri cudrd que tiene tres fils que verific l ecución: siendo que el determinnte de es positivo. () Dd l mtri se se que T es un mtri cudrd de tres fils tres columns cuo determinnte vle. lcul rondmente los determinntes de ls siguientes mtrices, indicndo eplícitmente ls propieddes utilids en su cálculo: ) ½ T ) M c) TM T - () Dds ls mtrices ) Otén rondmente el vlor de pr que el determinnte de l mtri () se. ) lcul rondmente el determinnte de l mtri (). c) Demuestr que l mtri () no tiene mtri invers pr ningún vlor rel de. p ) ( n M 9 M 8 ) ( 8 ) (

23 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk () Se d l mtri donde m es un prámetro rel. ) Otén rondmente el rngo o crcterístic de l mtri en función de los vlores de m. ) Eplic por qué es invertile l mtri cundo m =. c) Otén rondmente l mtri invers - de cundo m =, indicndo los distintos psos pr l otención de -. omprue que los productos - - dn l mtri identidd. (7) Dds ls mtrices clcul rondmente el vlor de los determinntes siguientes escriiendo todos los psos utilidos. ) ) c) (8) Dd l mtri ) lcul, en función de, le determinnte de l mtri (), escriiendo los cálculos necesrios. ) Determin, rondmente, los números reles, pr los que el determinnte de l mtri invers () es igul. (9) Dds ls mtrices cudrds, e ) Justific que l mtri tiene invers otener rondmente l mtri invers de, incluendo en l respuest todos los psos. ) lcul, rondmente, el determinnte de l mtri -, incluendo en l respuest todos los psos relidos. c) Otén rondmente los vlores reles,, que verificn l ecución: I + + =. () Dd l mtri ) lcul ( I) ( I) donde I es l mtri identidd. ) Otén l mtri trspuest de l mtri. c) Ron si eiste l mtri invers de, en su cso, clcúll. () Tenemos ls mtrices reles : ) Justific que eiste l mtri invers de, clcúll clcul el determinnte de -. ) lcul el determinnte de l mtri, = ( + I ). c) Determin los números reles,,, t que cumplen: - = + I, = + t I. m m ) ( I I

24 Definición de determinnte Determinnte de orden dos RESUMEN El determinnte de un mtri cudrd es el número rel que se otiene medinte i det... n n det S n 7 Determinnte de orden tres. Regl de Srrus 8 Menor complementrio Menor complementrio del elemento ij, ij, es el determinnte de orden n que se otiene l eliminr l fil i l column j. djunto de un elemento djunto del elemento ij, ij, es el menor complementrio ij, precedido de + o según l sum de los suíndices i i j + j se pr o impr. ij ij Mtri djunt Se llm mtri djunt de l mtri l mtri formd por los djuntos de l mtri, se represent por dj(). dj Desrrollo por djuntos El determinnte de un mtri es igul l sum de los productos de los elementos de un líne por sus djuntos correspondientes. Mtri invers Si el determinnte de no es nulo: dj t Menor de un mtri Menor de orden k es el determinnte formdo por l intersección de k fils k columns de l mtri. M Rngo de un mtri Rngo (o crcterístic) de un mtri es el orden del menor de mor orden no nulo El rngo de l mtri nterior es dos, porque M = =. Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

25 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk PÍTULO : SISTEMS DE EUIONES TIVIDDES PROPUESTS. RESOLUIÓN DE SISTEMS nli resuelve medinte el método de Guss los sistems siguientes: ) ) c) d). EXPRESIÓN MTRIIL DE UN SISTEM DE EUIONES: Resuelve el sistem nterior comprue que el spirnte deerá contestr pregunts correctmente, errónemente dejr pregunts sin contestr pr lcnr los puntos. RESUMEN Ejemplos Sistem de ecuciones lineles Se denomin sistem de m ecuciones lineles con n incógnits l conjunto de relciones: Sistem homogéneo Un sistem de ecuciones lineles se dice que es homogéneo cundo el término independiente de tods ls ecuciones es igul cero. Sistems equivlentes Dos sistems con el mismo número de incógnits, unque no tengn el mismo número de ecuciones, se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones, es decir, tod solución del primero es solución del segundo, vicevers. Verificn = ; = Epresión mtricil de un sistem Todo sistem puede epresrse como producto de mtrices en l form : Resolución por invers Teorem de Rouchè- Fröenius El teorem de Rouchè-Fröenius dice: "L condición necesri suficiente pr que un sistem de m ecuciones n incógnits se comptile (teng solución) es que el rngo de l mtri de los coeficientes se igul l rngo de l mtri mplid". Regl de rmer L solución de un sistem puede clculrse como: Siendo i el determinnte que result de sustituir l column de l incógnit i ésim por l mtri de términos independientes ,, 9 m n mn m n n n n X m n mn m m n n 8 X 8 X I X X X S.I. rg rg SI rg SD rg rg rg * * n n Si i i,

26 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk EJERIIOS Y PROLEMS.. Resuelve los siguientes sistems plicndo el método de eliminción o de Guss: ) ) c) d). Ddos los sistems: ) ) c) ) Epréslos en form mtricil comprue que son sistems de rmer. ) Resuélvelos utilindo l mtri invers plicndo l regl de rmer.. Discute resuelve, cundo se posile, los siguientes sistems: ) ) c). Resuelve los siguientes sistems plicndo, si es posile, l Regl de rmer: ) ) c) d). Discute resuelve los sistems en los csos que se posile: ) ). Ddo el sistem ) Estudi su comptiilidd según los vlores de. ) Resuélvelo pr el cso =. 7. Dds ls ecuciones: se pide: ) ñde un ecución pr que el sistem resulte ser incomptile. ) ñde un ecución pr que el sistem resulte ser comptile determindo. 8. Ddo el sistem de ecuciones se pide: ) Discute resuelve, cundo se posile. ) ñde un ecución linel pr que el sistem resultnte teng: i) un solución ii) muchs soluciones iii) no teng solución 9. Discute resuelve cundo se posile los siguientes sistems homogéneos: ) ) c). Sen ls mtrices,,,, ) lcul cd uno de los tres productos, E D, D E. ) Si plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? Es siempre únic? m m 9 m m D E D

27 7. Sen ls mtrices,,, D, E ) Siendo que D E, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. ) Pr lgún vlor de el sistem tiene solución únic? c) Pr = encuentr un solución del sistem con. El cjero utomático de un determind entidd ncri sólo dmite illetes de, de euros. Los viernes depositn en el cjero illetes por un importe totl de 7. verigu el número de illetes de cd vlor depositdo, siendo que l sum del número de illetes de de euros es el dole que el número de illetes de euros.. Se dispone de tres illeters, con illetes de, euros respectivmente. Si psmos illetes de, el número de illetes en ést es igul l sum de los otros dos, pero si psmos illetes de, el número de illetes en ést tmién es igul l sum de los otros dos. verigu cuántos illetes h en cd illeter si se se que en totl h euros.. L sum de ls tres cifrs de un número es 8. L cifr de ls uniddes es igul l sum de ls decens más ls centens. Si se invierte el orden de ls cifrs el número ument en 9 uniddes. De qué número se trt?. Un emen de Mtemátics II v consistir en un test de pregunts. Por cd cierto se drán puntos, por cd fllo se quitrán puntos por cd pregunt no contestd se quitrá punto. Pr pror h que otener por lo menos puntos. uánts pregunts hrá que contestr correctmente pr otener los puntos que el número de fllos más el quíntuple del número de pregunts no contestds se igul l número de ciertos?. En el mercdo podemos encontrr tres limentos preprdos pr gtos que se fricn poniendo, por kilo, ls siguientes cntiddes de crne, pescdo verdur: limento Migto: g de crne, g de pescdo g de verdur limento tomel: g de crne, g de pescdo g de verdur limento omect: g de crne, g de pescdo g de verdur Si queremos ofrecer nuestro gto 7 g de crne, 7 g de pescdo g de verdur por kilo de limento, qué porcentje de cd uno de los compuestos nteriores hemos de meclr pr otener l proporción desed? 7. lcul ls eddes de un fmili (pdre, mdre e hij), siendo que entre los tres sumn 7 ños, que hce cutro ños l edd del pdre er siete veces l edd de l hij que dentro de quince ños l edd de l hij será l curt prte de l sum de ls eddes del pdre de l mdre. 8. Un person invirtió 7 reprtidos en tres empress otuvo de eneficios. lculr l inversión relid en cd empres siendo que en l empres hio el triple de inversión que en l junts, que los eneficios de ls empress fueron del % en l empres, el 8 % en l empres el % en l empres. 9. Se tienen tres tipos de cfé: el de l clse, que cuest /kg, el de clse, que cuest 8 /kg el de l clse que cuest /kg. Se dese hcer un mecl pr vender 8 kg de cfé 7 /kg. uántos kg de cd clse se deen poner si del primer tipo dee entrr el dole del segundo más el tercero?. lcul ls eddes ctules de un mdre sus dos hijos, siendo que hce ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos en quel momento, que dentro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tendrán en ese momento que cundo el hijo mor teng l edd ctul de l mdre, el hijo menor tendrá ños.. En un frmci se comercilin tipos de chmpú de ciert mrc: norml, con vitmins nticsp. Se se que el precio l que se vende el norml es de euros el de vitmins es de euros. Se desconoce el precio l que se vende el nticsp. Por otro ldo, el dinero totl otenido por ls vents de los tipos de chmpú el mes psdo fue de euros el dinero otenido en vents con el chmpú norml fue euros inferior l dinero totl otenido en vents con el resto. demás, el dinero totl otenido en vents con el chmpú de vitmins el nticsp fue el mismo que el que huier otenido vendiendo 8 uniddes del nticsp ningun de los demás. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función del precio desconocido del chmpú nticsp, que puedes llmr por ejemplo m) donde ls incógnits (,, ) sen ls uniddes vendids el mes psdo de cd tipo de chmpú. ) Qué puedes concluir sore el precio del chmpú nticsp prtir de un estudio de l comptiilidd del sistem? c) Si se se que el número de uniddes vendids del nticsp fue, utili el resultdo del prtdo () pr clculr ls uniddes vendids de los otros. Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

28 8. En el trecto que h entre su cs el trjo, un individuo puede repostr gsolin en tres estciones de servicio (, ). El individuo recuerd que este mes el precio de l gsolin en h sido de, euros/litro el precio de l gsolin en de,8 euros/litro, pero h olviddo el precio en. (Supongmos que son m euros/litro). Tmién recuerd que: l sum del gsto en litros de gsolin en ls estciones superó en,8 l gsto en. el número de litros de gsolin consumidos en fue el mismo que en. el gsto de litros en superó l de en, euros. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m ) pr determinr los litros consumidos en cd gsoliner. ) Estudir l comptiilidd del sistem en función de m. Puedes dr lgún precio l que se imposile her vendido l gsolin en l gsoliner?. En un cfeterí los ocupntes de un mes onron por cfés, tostd refrescos, mientrs que los de otr mes pgron 9 por cfés, tostds refrescos. ) uánto tienen que pgr los clientes de un tercer mes si hn consumido cfés tostds? ) on los dtos que se dn, se puede clculr cuánto vle un cfé? Justific ls respuests. Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

29 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk 9 UTOEVLUIÓN Ddo el siguiente sistem de ecuciones:.- Su mtri de coeficientes es: ) ) c) d).- Su mtri mplid es: ) ) c) d).- Si plicmos el método de Guss l nuev mtri mplid otenid es: ) ) c) d).- El sistem es: ) comptile determindo ) comptile indetermindo c) incomptile d) tiene tres soluciones Ddo el siguiente sistem de ecuciones.- Su form mtricil es: ) ) c).- l ñdir l ecución indicd el sistem es comptile determindo ) ) c) d) 7.- l ñdir l ecución indicd el sistem es comptile indetermindo ) ) c) d) 8.- l ñdir l ecución indicd el sistem es incomptile ) ) c) d) 9.- Indic l firmción que es correct: ) Los sistems homogéneos tienen siempre infinits soluciones. ) Dos sistems son equivlentes si coincide lgun de sus soluciones. c) Un sistem es comptile si sólo si el rngo de l mtri de los coeficientes coincide con el rngo de l mtri mplid. d) Todos los sistems se pueden resolver por el método de rmer

30 péndice: Prolems de mtrices en ls P...U. () Ddo el siguiente sistem de ecuciones: - - ) Otén su mtri de coeficientes. ) lcul el determinnte de l mtri nterior. c) Sin resolver el sistem, ronr si tendrá solución únic. () En el primer curso de un centro de l Universidd de Oviedo se hn mtriculdo lumnos divididos en tres titulciones distints. En l tercer titulción h l tercer prte de lumnos que en l primer, l diferenci de lumnos que h entre l primer titulción l segund es inferior en dos lumnos l dole de los lumnos que h en l tercer. ) Estlece un sistem de ecuciones con ls condiciones del prolem, en función del número de lumnos en cd titulción, oteng el número de lumnos que h en cd titulción. ) lcul el determinnte de l mtri del sistem. () En un prtido de loncesto femenino, el equipo de l Universidd de Oviedo gnó l de otr universidd espñol con un mrcdor 8. El mrcdor otenido por el equipo gndor se consiguió medinte cnsts de dos puntos, triples (cnsts de tres puntos) tiros lires (cnsts de un punto). El número de tiros lires fue dos más que cinco veces el número de triples. demás, el número de cnsts de dos puntos fue dos más que el número de tiros lires. ) Plnte el sistem de ecuciones resultnte de lo nterior. ) Escrie l mtri mplid del sistem otenido en ). c) uánts cnsts de cd tipo metió el equipo de l Universidd de Oviedo? () d cción de h ddo un gnnci de euros cd cción de NKO h ddo un gnnci de m euros. Un inversor hí comprdo cciones de mos tipos, lo que le supuso un gnnci totl de 8 euros, pero está rrepentido de su inversión, porque si huiese comprdo l mitd de cciones de el dole de NKO, su gnnci totl hrí sido de euros. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de cciones comprds de cd tipo. sándote en un estudio de l comptiilidd del sistem, eiste lgún vlor de m pr el que el sistem teng más de un solución? ) Si l gnnci por cd cción de NKO fue de euros, cuánts cciones de NKO hí comprdo? () Un tiend vende olss de crmelos euros cd un olss de gominols euros cd un. L recudción de un determindo dí por estos dos conceptos h scendido euros se se que el número de olss de crmelos que hn vendido ese dí es m veces el número de olss de gominols. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de olss de cd tipo que se hn vendido ese dí. sándote en un estudio de comptiilidd del sistem nterior, es posile que se hn vendido el dole de olss de crmelos que de gominols? ) Suponiendo que se hn vendido el triple de olss de crmelos que de gominols, cuánts olss de gominols se hn vendido? () Un tren reli un vije directo entre dos cpitles. El vije lo reli por dos tipos de vís, por l primer circul siempre Km/h por l segund circul siempre m Km/h. El recorrido totl del vije es de Km l durción del mismo es de hors. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de hors que circul por cd tipo de ví. sándote en un estudio de l comptiilidd del sistem nterior, es posile que l velocidd l que circul por el segundo tipo de ví se tmién de Km/h? ) Suponiendo que l velocidd l que circul por el segundo tipo de ví es Km/h, cuánto tiempo h estdo circulndo por el primer tipo de ví? (7) Un cdemi de idioms d clses de espñol un totl de m lumnos, entre los de nivel ásico los de nivel vndo, con los que recud euros. Los lumnos de nivel ásico pgn m euros l mes, mientrs que los de nivel vndo pgn el dole. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de lumnos de cd tipo en ls clses de espñol de l cdemi. sándote en un estudio de comptiilidd del sistem nterior, es posile que los lumnos de nivel ásico pguen euros l mes? ) Si los lumnos de nivel ásico pgn euros l mes, cuántos lumnos de nivel vndo h? Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk

31 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk (8) Jun Luis son dos migos que en totl tienen hijos. Un tercer migo, Jvier, tiene m hijos más que Jun m veces los de Luis. ) Plnte un sistem de ecuciones (en función de m) donde ls incógnits e sen el número de hijos de Jun Luis. Pr qué vlores de m el sistem nterior tiene solución? En cso de eistir solución, es siempre únic? ) Si Jvier tiene el dole de hijos que Luis, cuántos hijos tiene Luis? (9) Un grupo de persons se reúne pr ir de ecursión, juntándose un totl de entre homres, mujeres niños. ontndo homres mujeres juntos, su número result ser el triple del número de niños. demás, si huier cudido un mujer más, su número igulrí l de homres. ) Plnter un sistem pr verigur cuántos homres, mujeres niños hn ido de ecursión. ) Resolver el prolem. () onsidere el sistem ) Estudie su comptiilidd según los distintos vlores del número rel. ) Resuélvlo, si es posile, en el cso. () Ddo el sistem ) Estudie su comptiilidd según los vlores de. ) Resuélvlo cundo. () L mtri mplid socid cierto sistem de ecuciones lineles es: ) Otener ls ecuciones del sistem. ) lculr el rngo de l mtri formd por los coeficientes del sistem. c) Sin resolver el sistem, deducir rondmente si dmite soluciones en qué número. () L mtri de los coeficientes de un sistem es l de términos independientes ) Pr qué vlor o vlores de el sistem no tiene solución? ) Pr cierto vlor de un individuo encontró soluciones del sistem. uánto vlí? Tení más soluciones el sistem? c) Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng solución únic, pr dicho vlor, resuélvelo. () Sen ls mtrices donde,, son desconocidos. ) lculr ls mtrices ( ) + D ) Siendo que, plnter un sistem de ecuciones pr encontrr los vlores de,,. c) Estudir l comptiilidd del sistem uánts soluciones tiene? d) Encontrr, si es posile, un solución. () Sen ls mtrices donde es desconocido. ) Se el sistem de ecuciones con tres incógnits cu mtri de coeficientes es de términos independientes. Puede pr lgún vlor de no tener solución este sistem? Pr qué vlores de el sistem tiene solución únic? ) Si l mtri de coeficientes es pero l de términos independientes es, es posile que pr lgún vlor de el sistem no teng solución? Encuentr un vlor de pr el que el sistem teng más de un solución clcul dos de ells. *,, D D

32 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk () Sen ls mtrices,,,, ) lcul cd uno de los tres productos, D E, E. ) Si plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de m. Pr qué vlores de m el sistem tiene solución? Es siempre únic? (7) Sen ls mtrices,,, ) Si, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por, ) en función de. ) Pr qué vlores de el sistem tiene solución? Es siempre únic? Encuentr un solución pr = con (8) Sen ls mtrices ) Siendo que = D, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) donde es cierto vlor desconocido. ) Si se supier que el sistem tiene solución, podrímos descrtr lgún vlor de? c) Si se supier que el sistem tiene solución únic, podrímos descrtr lgún vlor de? d) H lgún vlor de pr el que el sistem teng más de un solución? (9) Sen ls mtrices,,,, ) Siendo que, plnte un sistem de ecuciones incógnits (representds por,, ) en función de. ) Pr lgún vlor de el sistem tiene solución únic? c) Pr = encuentr un solución del sistem con () Hll tods ls soluciones de un sistem linel de tres ecuciones con tres incógnits del que se conoce que son soluciones el rngo de l mtri de los coeficientes es mor o igul que uno. m m D m E D D D D D E E D ) (,,,,,,,

33 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk RESUMEN Ejemplos Sistem de ecuciones lineles Se denomin sistem de m ecuciones lineles con n incógnits l conjunto de relciones: Sistem homogéneo Un sistem de ecuciones lineles se dice que es homogéneo cundo el término independiente de tods ls ecuciones es igul cero. Sistems equivlentes Dos sistems con el mismo número de incógnits, unque no tengn el mismo número de ecuciones, se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones, es decir, tod solución del primero es solución del segundo, vicevers. Verificn = ; = Epresión mtricil de un sistem Todo sistem puede epresrse como producto de mtrices en l form : Resolución por invers Teorem de Rouchè Fröenius El teorem de Rouchè-Fröenius dice: "L condición necesri suficiente pr que un sistem de m ecuciones n incógnits se comptile (teng solución) es que el rngo de l mtri de los coeficientes se igul l rngo de l mtri mplid". Regl de rmer L solución de un sistem puede clculrse como: Siendo i el determinnte que result de sustituir l column de l incógnit i ésim por l mtri de términos independientes. m n mn m n n n n X m n mn m m n n 8 X 8 X I X X X S.I. rg rg SI rg SD rg rg rg * * n n Si i i,

34 Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk PÍTULO : PROGRMIÓN LINEL TIVIDDES PROPUESTS. INEUIONES LINELES ON DOS INÓGNITS. Represent l solución gráfic de ls inecuciones siguientes: Indic en cd cso si el recinto solución es ierto o cerrdo.. SISTEMS DE INEUIONES LINELES. Represent l región fctile de los siguientes sistems de inecuciones: Indic en cd cso si l solución es cotd, no cotd o no eiste solución.. PROGRMIÓN LINEL:. on l mism región fctile del ejemplo, optimi ls siguientes funciones ojetivo: ) = + Má ) = + Mín c) = + Má. Resuelve los siguientes prolems de progrmción linel:. PROLEMS RESUELTOS. Diuj el recinto que cumple ls restricciones: nli si los puntos (, ), (, ), (, ) (, ) l conjunto de soluciones del sistem nterior.. Diuj el recinto que cumple ls restricciones: d seis puntos que sen solución del sistem nterior 7. Mimi l función f (,) = + sujet ls restricciones: d seis puntos que sen solución del sistem nterior 8. Se S l región del plno definid por. ) Represent l región S clcul ls coordends de sus vértices. ) Otén los vlores máimo mínimo de l función f (,) = en S indicndo los puntos de S en los cules se lcnn dichos vlores máimo mínimo. 9. Se considern l función f (;) = l región del plno S definid por el siguiente conjunto de restricciones: 9.. ) Represent l región S. ) lcul ls coordends de los vértices de l región S otén los vlores máimo mínimo de l función f en S indicndo los puntos donde se lcnn. Minimi = sujet ) Medinte l resolución gráfic del prolem, discute si eisten soluciones fctiles si eiste solución óptim. ) Si se ñde l restricción: +, discute si eiste solución óptim en cso firmtivo clcúll.. Un stillero recie un encrgo pr reprr rcos de l flot de un rmdor, compuest por pesqueros de tonelds tes de tonelds. d pesquero se trd en reprr hors cd te hors. El stillero dispone de hors pr hcer ls reprciones. Por polític de empres, el stillero no cept encrgos de más de pesqueros ni más de tes. Ls reprciones se pgn euros l toneld, independientemente del tipo de rco. uántos rcos de cd clse dee reprr el stillero pr mimir el ingreso con este encrgo? uál es dicho ingreso máimo? s.. ), ( f.o. f 9 s. ), ( f.o. f s.. f.o. s.., f.o.,, 9, 9

35 EJERIIOS Y PROLEMS.. - Encuentr el conjunto de soluciones de ls inecuciones siguientes: ) 7 ) c) d) e) f). - Diuj ls regiones fctiles de los siguientes sistems: 9 7 ) ) c). - Mimir l función sujet ls restricciones:. - lcul el vlor máimo el mínimo de l función f, sometid ls restricciones. - Se quiere elorr un diet diri pr gndo que stisfg uns condiciones mínims de contenido vitmínico l dí: mg de vitmin, mg de vitmin, de l de l D. Pr ello se mecln piensos de los tipos P Q cuo precio por kilogrmo es pr mos de céntimos, cuo contenido vitmínico por kilo se recoge en l tl djunt. D P Q 7, ómo deen meclrse los piensos pr que el gsto se mínimo? uál es este gsto mínimo? M M M Plnific el trnsporte pr que el coste se mínimo Un empres construe en dos fctorís, F F, tres tipos de rcos deportivos (, ). L fctorí F construe en un mes: rco del tipo, del tipo del tipo, siendo su coste de mntenimiento mensul curent mil euros. F construe en un mes: rco del tipo, de tipo de tipo, siendo su coste mensul. euros. L empres se h comprometido entregr nulmente un clu deportivo rcos tipo, de tipo de tipo. uántos meses deerá trjr cd fctorí, con ojeto de que l empres cumpl su compromiso con el mínimo coste? 8. - En un lmcén se gurd ceite de girsol de oliv. Pr tender los clientes se h de tener lmcendo un mínimo de idones de ceite de girsol de ceite de oliv, demás, el número de idones de ceite de oliv no dee ser inferior l mitd del número de idones de ceite de girsol. L cpcidd totl del lmcén es de idones. Siendo que el gsto de lmcenje de un idón de ceite de oliv es de euro, el de un idón de ceite de girsol es de, euros, cuántos idones de cd tipo hrá que lmcenr pr que el gsto se mínimo? Y pr que el gsto se máimo? 9. - Un empres elor dos productos, cd uno de ellos en un cntidd que es múltiplo de. onoce que l demnd de mos productos conjuntmente es mor que uniddes menor que uniddes. simismo, se que l cntidd que se demnd de un producto es mor que l mitd menor que el dole de l del otro. Si l empres dese vender tod l producción: ) De cuántos modos puede orgnir l producción? ) Pr otener los máimos eneficios, cuánto h de ser l producción de cd uno de los productos si uno se vende un precio que es triple que el del otro?. - Un empres dedicd l fricción de pies de utomóvil tiene dos fctorís que producen, respectivmente, 8 pies mensules. Ests pies hn de ser trnsportds tres fárics que necesitn, 7 pies respectivmente. Fá. Fá. Fá. Fct. Fct. Los costes de trnsporte, en céntimos de euro, por pie son los que precen en el cudro djunto. ómo dee orgnirse el trnsporte pr que el coste se mínimo?. - Un person v inicir un diet recie ls siguientes recomendciones: - Dee tomr un mecl de dos compuestos D D - L cntidd totl diri que puede ingerir, un ve mecldos los compuestos, no dee ser superior grmos ni inferior grmos. - En l mecl dee her más cntidd de D que de D - L mecl no dee contener más de grmos de D Se se que cd grmo de D port, mg de vitmins, clorís cd grmo de D port, mg de vitmins Mtemátics plicds ls iencis Sociles II. º chillerto. utores: Letici Gonále Pscul Álvro Vldés LirosMreVerde.tk