Universidad Nacional de Santiago del Estero. Facultad de Agronomía y Agroindustrias. Departamento Físico-Matemático CALCULO NUMERICO

Transcripción

1 Uiversidad Nacioal de Satiago del Estero Facultad de Agroomía Agroidustrias Departameto Físico-Matemático CALCULO NUMERICO Curso práctico co aplicacioes a la Igeiería e Alimetos 8

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3 A mis adorados Abuelos Padres co todo mi amor, respeto admiració

4 Prólogo Los métodos uméricos costitue ua herramieta mu valiosa para la resolució de problemas prácticos de Igeiería, por ello el objetivo de este libro es presetarlos de maera práctica sitética. Los distitos capítulos se diseñaro de acuerdo co las eigecias requeridas para la eseñaza de cálculo umérico, asigatura de º año de la carrera de Igeiería e Alimetos, desde el puto de vista práctico, cosiderado que los temas desarrollados servirá como base para estudios más profudos. Los temas tratados iclue aspectos teóricos prácticos sobre modelos algoritmos; aproimacioes errores; solució umérica de ecuacioes; sistemas de ecuacioes lieales; aproimació poliomial fucioal; simulació; series de Fourier; trasformada de Laplace ecuacioes difereciales. Se preseta gráficos aclaratorios, algoritmos de cada método umérico, así como tambié ejercicios resueltos propuestos aplicados a la Igeiería de Alimetos. Cátedra de Cálculo Numérico Facultad de Agroomía Agroidustrias Uiversidad Nacioal de Satiago del Estero

5 Ídice Pág. Dedicatoria Prólogo Ídice 4-6 Capítulo : METODOS NUMERICOS, MODELOS Y ALGORITMOS METODOS NUMÉRICOS 7.. MODELOS MATEMÁTICOS 8... Clasificació de modelos matemáticos 9.. ALGORITMOS.4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA REAL EJERCICIOS PROPUESTOS 4 Capítulo : APROXIMACIONES Y ERRORES 5-.. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 5.. EXACTITUD Y PRECISIÓN 6.. ERRORES Error absoluto relativo 6... Errores e la resolució umérica 6... Error de trucamieto 7... Error de redodeo 7... Otros tipos de error 9 EJERCICIOS PROPUESTOS 9 Capítulo : SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES -4.. METODO GRAFICO.. METODOS NUMERICOS DE CALCULO DE UNA RAIZ Métodos cerrados Método de la Bisecció... Método de la Falsa Posició o Regula Falsi 4... Métodos abiertos Método de Aproimacioes sucesivas 6... Método de Newto-Raphso o de la Tagete 9... Método de Newto de segudo orde...4. Método de Vo Mises...5. Método de la secate 4.. RAÍCES DE POLINOMIOS Teoremas fudametales de la Teoría de ecuacioes algebraicas 5... Divisió sitética 6... Regla de los sigos de Descartes Raíces racioales Raíces irracioales Método de Newto-Raphso 8 EJERCICIOS PROPUESTOS 9 Capítulo 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONCEPTOS PREVIOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAI CAS LINELES 4... Métodos directos Método de elimiació de Gauss Método de Gauss - Jorda Partició de matrices Métodos iterativos Método de Jacobi Método de Gauss Seidel 5 4

6 4... Método de Relajació 54 EJERCICIOS PROPUESTOS 55 Capítulo 5: APROXIMACION POLINOMIAL Y FUNCIONAL APROXIMACIÓN POLINOMIAL Diferecias fiitas Diferecias divididas Iterpolació co icremetos costates. Iterpolació de Newto Iterpolació co icremetos variables. Iterpolació de Lagrage Iterpolació iversa Derivació umérica Itegració umérica Regla trapecial Regla de Simpso / Regla de Simpso / APROXIMACIÓN FUNCIONAL Regresió lieal Liealizació de relacioes o lieales Regresió poliomial Regresió lieal múltiple 75 EJERCICIOS PROPUESTOS 77 Capítulo 6: SIMULACION METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN Métodos de Motecarlo Geeració de úmeros aleatorios Geeració de Números pseudo aleatorios Método de los cuadrados cetrales Método de los productos cetrales Métodos cogrueciales Aplicacioes de los métodos de Motecarlo Paseo aleatorio Itegració por simulació Líea de espera Modelos Demográficos de la Ciética Química Modelo demográfico Modelos de la ciética química Método diferecial Método itegral Diámica de sistemas cietoquímicos 9 EJERCICIOS PROPUESTOS 9 Capítulo 7: SERIES DE FOURIER CONSIDERACIONES PREVIAS Fucioes periódicas Series trigoométricas Fucioes seccioalmete cotiuas Fucioes pares e impares DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER Cálculo de los coeficietes de Fourier Epresió de la serie de Fourier para fucioes de período arbitrario Forma epoecial de la serie de Fourier Cosideracioes simplificatorias Espectro de frecuecias 7.. INTEGRALES DE FOURIER EJERCICIOS PROPUESTOS Capítulo 8: TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICIÓN DE TRASFORMADA DE LAPLACE 5 5

7 8.. PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Trasformada de Laplace de operacioes MÉTODOS PARA CALCULAR TRANSFORMADAS DE LAPLACE VENTAJAS DEL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE INTEGRAL DE CONVOLUCION 9 EJERCICIOS PROPUESTOS Capítulo 9: ECUACIONES DIFERENCIALES CONCEPTOS PREVIOS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Solució aalítica Solució por el método del operador diferecial Solució por métodos uméricos Métodos de u paso Método de la Serie de Talor Método de Euler Métodos de Ruge-Kutta Métodos de Heu 9... Métodos de pasos múltiples ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN Métodos de resolució Método del operador diferecial Solució complemetaria Caso sobre-amortiguado Caso crítico Caso oscilatorio amortiguado Solució particular Solució geeral Método de los coeficietes idetermiados ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Ecuacioes elípticas Ecuació Parabólica Ecuació Hiperbólica EJERCICIOS PROPUESTOS BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 4 6

8 Capítulo METODOS NUMERICOS, MODELOS Y ALGORITMOS La resolució de problemas de Igeiería está asociada, por lo geeral, a resultados uméricos puesto que se requiere respuestas prácticas. Muchos de estos problemas sólo se puede resolver de forma aproimada, por ello es importate el estudio de ua rama de las Matemáticas deomiada Aálisis Numérico, esta rama ivolucra el estudio de Métodos Numéricos. Su desarrollo estuvo está otablemete iflueciado determiado por las computadoras digitales que permite realizar los cálculos de maera veloz, cofiable fleible... METODOS NUMÉRICOS Se puede defiir a los métodos uméricos como las técicas mediate las cuales es posible formular problemas de maera que pueda resolverse utilizado operacioes aritméticas, ó tambié como el grupo de coocimietos matemáticos relacioados co el diseño aálisis de algoritmos ecesarios para resolver problemas de ciecia e igeiería. Estos métodos se caracteriza porque: permite dar más importacia a la formulació e iterpretació de la solució, los cálculos ivolucrados está relacioados co catidades discretas, permite obteer resultados aproimados auda a idetificar, cuatificar miimizar los errores. Eiste varios motivos por los cuales debe estudiarse estos métodos:. So herramietas poderosas para la solució de problemas. Permite maejar sistemas de ecuacioes grades, o liealidades geometrías complicadas.. Su teoría es la base de programas de métodos uméricos.. Su coocimieto permite diseñar programas propios. 4. So u vehículo eficiete para apreder a servirse de las computadoras persoales. 5. So u medio para reforzar la compresió de las matemáticas. Estos métodos permite: Ecotrar las raíces de ecuacioes lieales o lieales Resolver grades sistemas de ecuacioes algebraicas lieales Ecotrar aproimacioes de fucioes 7

9 Realizar iterpolacioes para ecotrar valores itermedios e tablas de datos Aproimar derivadas de cualquier orde Itegrar cualquier fució Resolver problemas de valor iicial de frotera Obteer solucioes uméricas para ecuacioes difereciales parciales Realizar ajustamieto de curvas a datos.. MODELOS MATEMÁTICOS El mudo real es aturalmete complejo e muchas ocasioes los problemas a resolver resulta difíciles de sitetizar. Para idetificar sus aspectos eseciales epresarlos e térmios precisos se debe realizar u proceso de abstracció. Esa abstracció del problema del mudo real simplificado su epresió se deomia modelizació. La modelizació es ua de las áreas más atractivas de la igeiería las ciecias aplicadas. De hecho, los igeieros ecesita costruir modelos para resolver problemas de la vida real. El objetivo de u modelo cosiste e reproducir la realidad de la forma más fiel posible, tratado de eteder cómo se comporta el mudo real obteiedo las respuestas que puede esperarse de determiadas accioes. Su selecció es ua etapa crucial para obteer ua solució satisfactoria a u problema real. Las estructuras matemáticas asociadas o so arbitrarias, sio ua cosecuecia de la realidad misma. U modelo metal puede defiirse como ua represetació de la realidad e la que se cosidera los aspectos más relevates, es decir el modelo represeta ua parte de la realidad. U modelo matemático es ua formulació o ecuació que epresa las características fudametales de u sistema o proceso físico e térmios matemáticos. Los modelos puede estar costituidos por simples ecuacioes algebraicas hasta grades complicados sistemas de ecuacioes difereciales. Sus características so:. Describe u sistema o proceso atural e térmios matemáticos.. Represeta ua idealizació ua simplificació de la realidad.. Coduce a resultados predecibles, e cosecuecia, puede utilizarse para propósitos de predicció. La geeració de u modelo matemático ivolucra dos etapas fudametales, la de coceptualizació la de formulació. E la primera se debe caracterizar el coteto del problema real, defiir claramete el propósito los límites del modelo, idetificar establecer relacioes 8

10 etre las variables; e la seguda etapa se debe determiar las ecuacioes asociadas al modelo seleccioar estimar los parámetros del modelo. El objetivo del modelo es aplicarlo para obteer algua iformació del problema o feómeo que se estudia. Frecuetemete sufre modificacioes a veces es descartado auque cotega errores, puede poer e evidecia compoetes eseciales de ua realidad compleja.... Clasificació de modelos matemáticos Los modelos matemáticos puede clasificarse e fució del tratamieto de la icertidumbre; del orige de la iformació; de su campo de aplicació, etc. a E fució del tratamieto de la icertidumbre Determiístico: se cooce de maera putual la forma del resultado a que o ha icertidumbre. Además, los datos utilizados para alimetar el modelo so completamete coocidos determiados. Estocástico: probabilístico, o se cooce el resultado esperado, sio su probabilidad eiste por lo tato icertidumbre. b E fució del orige de la iformació utilizada para costruirlos Modelos heurísticos: del griego euriskei, hallar, ivetar. So los que está basados e las eplicacioes sobre las causas o mecaismos aturales que da lugar al feómeo estudiado. Modelos empíricos: del griego empeiricos (eperiecia, eperimeto So los que utiliza las observacioes directas o los resultados de eperimetos del feómeo estudiado. c E fució de su campo de aplicació Modelos coceptuales: so los que reproduce mediate fórmulas algoritmos matemáticos más o meos complejos los procesos físicos que se produce e la aturaleza. Modelo matemático de optimizació: los modelos matemáticos de optimizació so ampliamete utilizados e diversas ramas de la igeiería para resolver problemas que por su aturaleza so idetermiados, es decir preseta más de ua solució posible. d E fució del factor tiempo Modelos estáticos: so idepedietes del tiempo, cosidera situacioes estacioarias. 9

11 Modelos diámicos: so los que describe el comportamieto del sistema e estudio e fució del tiempo... ALGORITMOS U algoritmo puede defiirse como ua secuecia lógica de pasos ecesarios para la ejecució de ua tarea específica, tal como la solució de u problema, ó tambié como ua secuecia de istruccioes para alcazar u resultado deseado e u tiempo fiito. U bue algoritmo se caracteriza por: termiar luego de ua catidad fiita de pasos, ser lo más geeral preciso posible, ser determiístico, o dejar ada al azar permitir obteer resultados idepedietes de quie lo está utilizado. Para geerar u algoritmo se debe seguir ua serie de pasos:. Determiar el objetivo de la tarea. Idetificar los datos de etrada de salida. Determiar el proceso ivolucrado 4. Idetificar las variables iteras 5. Dividir el proceso e accioes elemetales 6. Determiar la secuecia de estas accioes 7. Icorporar estructuras de cotrol Por lo geeral, el objetivo del algoritmo será el de implemetar u procedimieto umérico para resolver u problema o para aproimar ua solució del problema. Costa de u pricipio; de ua serie de pasos e los que se debe defiir los valores iiciales de las variables del problema, operar co estos valores hasta llegar a u resultado, proporcioar u resultado de u fial. U algoritmo se puede represetar mediate u pseudocódigo que especifica los datos de etrada, la forma de los resultados deseados los pasos ivolucrados ó bie mediate u diagrama de flujo que es ua represetació visual o gráfica del algoritmo que emplea ua serie de bloques flechas. Cada bloque represeta ua operació particular o u paso e el algoritmo. Las flechas idica la secuecia e que se implemeta las operacioes. Los símbolos que se utiliza e diagramas de flujo se represeta e la Figura..

12 Bloque Termial: idica el iicio o fializació del algoritmo Bloque de Proceso: represeta los cálculos o maipulació de datos Bloque de Etrada/Salida: idica la etrada o salida de datos e iformació Bloque de Decisió: represeta ua comparació o preguta que determia alterativas diferetes a seguir Bloque de Iteració: represeta cálculos repetitivos Coector: idica u trucamieto e el camio del diagrama de flujo cuado el diagrama es grade o cabe e ua págia. Figura.. Símbolos que se utiliza e diagramas de flujo Por ejemplo, si se deseara escribir el algoritmo para la solució de u problema simple tal como, dados dos úmeros, escribir el maor de ellos, se preseta a cotiuació el pseudocódigo el diagrama de flujo (Figura. correspodietes: Algoritmo Maor (algoritmo que muestra el maor de dos úmeros Iicio Las variables de etrada so:, Paso : Itroducir, Itroducir Paso : si > etoces escribir Paso : si o escribir PARAR NO > SI Imprimir Imprimir FIN Figura.. Diagrama de flujo del algoritmo Maor

13 .4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA REAL Cosideremos el problema físico de ua ecomieda que se deja caer desde u globo aerostático. Se desea determiar la velocidad de caída luego de segudos si la masa del cuerpo es 7 kg que el coeficiete de roce es,7 kg/m. E la Figura. puede observarse u esquema de la situació plateada. t= F γ t=t (t P Figura.. Represetació de las fuerzas que actúa sobre u cuerpo e caída libre. El modelo físico que lo rige está dado por la seguda Le de Newto. Su epresió matemática es F= M a (. Este modelo es ua idealizació simplificació de la realidad, o iclue los efectos de la relatividad, dode F correspode a la fuerza eta que actúa sobre el cuerpo, M es la masa del objeto a su aceleració. Para u cuerpo que cae detro del perímetro de la Tierra, la fuerza eta está formada por dos fuerzas opuestas: la atracció hacia abajo debida a la gravedad P la fuerza hacia arriba debida a la resistecia del aire F γ, si cosideramos el sistema de referecia positivo hacia abajo, esta última tedrá sigo egativo. La resistecia ofrecida por el aire puede epresarse de varias maeras, ua aproimació secilla es supoer que: F γ = γ v (. Además la aceleració puede epresarse como la razó de cambio de la velocidad co respecto al tiempo (dv/dt, por lo tato la ecuació (. puede escribirse como dv M dt = Mg γv (. Si se divide por M a ambos miembros para ormalizarla se llega a la ecuació dv dt γ = g v (.4 M

14 La ecuació (.4 es u modelo matemático es ua ecuació diferecial puesto que está escrita e térmios de la razó de cambio diferecial (dv/dt. Para resolverla puede utilizarse dos métodos: el aalítico que aplica las reglas del cálculo diferecial o bie el método umérico. a Solució aalítica La solució aalítica eacta de la ecuació (.4 es: γ gm t v (t = e M γ (.5 Al sustituir los valores de los parámetros e la ecuació (.5 se obtiee v (t = 9,8(m / s b Solució umérica,7 7(kg t e 7,7(kg / m Como se mecioó ateriormete, los métodos uméricos permite reformular el problema para que se pueda resolver mediate simples operacioes aritméticas. Etoces se aproima la razó de cambio de la velocidad co respecto al tiempo por: dv dt v t = v(ti v(ti (.6 ti ti Reemplazado e (.4 v(ti v(ti γ = g v(ti (.7 ti ti M Esta ecuació puede reordearse para obteer la velocidad e el istate t i γ v(ti = v(ti g v(ti (ti ti M (.8 De maera que la ecuació diferecial se trasforma e ua ecuació algebraica, e la que se puede calcular v (t i si se da u valor iicial a v (t i, dode de la recta descripta por esta ecuació, es decir: ( Valor de v = ( Valor de ( Valor de ( Icremeto de uevo aterior v pediete la γ g v(ti M es la pediete tiempo Como e el istate iicial la velocidad del cuerpo es, se toma éste para calcular la velocidad e t= s así sucesivamete. E la Tabla.4 se muestra los valores de velocidad obteidos para la solució aalítica la solució umérica.

15 Tabla.4. Solució aalítica umérica al problema de u cuerpo que cae t (s Solució aalítica Solució umérica v (m/s 9,546 9,6 4 8,899 9, ,48 58, ,7 77, ,4 96,4996 4,999 5,55 Puede observarse que por u método umérico la solució se aproima bastate bie a solució eacta. Para miimizar las diferecias se puede utilizar u meor itervalo de cálculo, por ejemplo itervalos de s. Co la auda de ua computadora digital se puede efectuar u gra úmero de cálculos e pocos segudos modelar co eactitud la velocidad de u cuerpo que cae si teer que resolver la ecuació diferecial. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Ejemplifique el proceso de geeració de u modelo matemático, a partir de u feómeo o problema del mudo real. Detalle los aspectos ivolucrados e la coceptualizació la formulació del mismo... Respoda verdadero o falso: a U algoritmo debe ser fiito preciso b Los métodos uméricos so aquellos e los que se reformula u problema matemático para que pueda resolverse mediate operacioes aritméticas. c U modelo matemático uca puede ser modificado.. Eucie las características relevates del Cálculo Numérico e idique por lo meos cico problemas matemáticos que surge e Igeiería puede resolverse por Métodos Numéricos..4. Calcule aalítica uméricamete la velocidad de caída, a los s, de u cuerpo de 5 kg que se deja caer desde u aeroplao, cosiderado que la fuerza de roce es γ v (γ=,7 kg/m.grafique ambas solucioes..5. Escriba el algoritmo el diagrama de flujo correspodiete al problema de la multiplicació de dos úmeros. 4

16 Capítulo APROXIMACIONES Y ERRORES El aálisis del error e u resultado umérico es esecial e cualquier cálculo hecho a mao o co ua computadora. Los datos de etrada rara vez so eactos puesto que se basa e esaos eperimetales o bie so estimados los métodos uméricos itroduce errores de varios tipos, por ello brida resultados aproimados. E la práctica profesioal, los errores so costosos e alguos casos letales. Además como los resultados de los métodos uméricos so aproimacioes, es ecesario teer e claro los coceptos de cifras sigificativas, eactitud precisió... CIFRAS SIGNIFICATIVAS La cofiabilidad de u valor umérico está dada por sus cifras sigificativas que se defie como el úmero de dígitos, más u dígito estimado que se pueda usar co cofiaza. Por ejemplo, si se lee 5 ml e ua bureta, que está graduada e, ml, se puede decir que el ivel del líquido es maor que 5, meor que 5, ml como puede observarse e la Figura.. Hasta puede estimarse co ua aproimació de ±,5 ml, por lo tato el volume vertido es 5,5 ml que tiee 4 cifras sigificativas. Los primeros tres dígitos so seguros el último es ua estimació. 5 Figura.. Represetació de la secció de ua bureta U cero puede ser sigificativo o o, depediedo de su posició e u úmero dado. Los ceros que solamete sitúa la cifra decimal o so sigificativos, si se escribiera 5,5 ml como,55 l, el úmero de cifras sigificativas sigue siedo el mismo. Los ceros al fial de u úmero puede ser sigificativos o o. Si se dice que u taque de agua se ecuetra a, m de altura, sigifica que la altura se cooce hasta las décimas de metro. Si esa misma altura se da como 5

17 cm la epresió es cofusa para mateer el criterio de cifras sigificativas se utiliza la otació cietífica,... EXACTITUD Y PRECISIÓN La precisió se refiere al úmero de cifras sigificativas que represeta ua catidad ó a la etesió e las lecturas repetidas de u istrumeto que mide algua propiedad física. La eactitud se refiere a la aproimació de u úmero o de ua medida al valor verdadero que se supoe represeta... ERRORES... Error absoluto relativo El error se aplica para idicar la ieactitud la imprecisió de las medicioes. El error umérico es igual a la diferecia etre el valor verdadero el aproimado: E v = valor verdadero valor aproimado (. El error relativo fraccioal resulta de ormalizar el error respecto al valor verdadero: error Error relativo fraccioal = (. valor verdadero Si se epresa e porcetaje: error verdadero E v = (. valor verdadero El error relativo porcetual de aproimació está dado por: E a aproimacióactual aproimacióprevia = (.4 aproimacióactual Por lo geeral se toma el valor absoluto del error. De acuerdo co Scarborough, se tiee la seguridad de que el resultado es correcto e al meos cifras sigificativas si se cumple el siguiete criterio: = (,5 % (.5 s dode s es la toleracia prefijada. 6

18 ... Errores e la resolució umérica Las solucioes que resulta de la aplicació de los métodos uméricos so aproimadas debido a que eiste icertidumbres e los datos, puesto que éstos so empíricos; e el modelo a que es ua idealizació simplificació de la realidad e la resolució umérica debido a errores de trucamieto de redodeo.... Error de trucamieto Estos errores resulta al usar ua aproimació e lugar de u procedimieto matemático eacto depede del método umérico empleado. La serie de Talor (.6 puede utilizarse para predecir el valor de la fució e i e térmios de la fució de sus derivadas e la vecidad de u puto i. ( f ''(i f (i i = f(i f '(i(i i (i i L (i i R (.6 f (!! El térmio residual cosidera todos los térmios desde hasta el ifiito. ( f ( ξ R = (i i,co (i i = h (paso (! (.7 Si se cosidera el primer térmio de la serie, la aproimació es de orde cero; co dos térmios la aproimació es de º orde, tres térmios correspode a º orde así sucesivamete. Cuato maor sea el úmero de térmios icluidos, meor será el error de trucamieto.... Error de redodeo Estos errores resulta de represetar e forma aproimada úmeros eactos, depede de la computadora o de quie realice los cálculos. Si se realiza las operacioes algebraicas a mao se debe teer e cueta las reglas de redodeo. Reglas de redodeo. Se coserva las cifras sigificativas el resto se descarta. El último dígito que se coserva se aumeta e si el primer dígito descartado es maor que 5. De otra maera se deja igual. Si el primer dígito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, etoces el último dígito reteido se icremeta e solo si es impar.. E la suma la resta el redodeo se lleva a cabo de maera que el último dígito reteido e la respuesta correspoda al último dígito más sigificativo de los úmeros que está sumado o restado. U dígito e la columa de las cetésimas es más sigificativo que e las milésimas. 7

19 . Para la multiplicació la divisió el redodeo es tal que la catidad de cifras del resultado es igual al úmero más pequeño de cifras sigificativas que cotiee las catidades e operació. 4. E el caso de operacioes combiadas se ejecuta las operacioes etre parétesis el resultado se redodea ates de proceder co la otra operació. Si los cálculos se realiza utilizado ua computadora se debe cosiderar que la maoría de ellas guarda u úmero fiito de cifras sigificativas durate u cálculo resulta críticos e dos casos:. Ciertos métodos requiere catidades etremadamete grades para obteer ua respuesta, además los cálculos depede etre sí, por lo tato los cálculos posteriores so depedietes de los ateriores por lo tato el efecto de acumulació e el trascurso de ua gra catidad de cálculos resulta sigificativo.. Si se realiza operacioes algebraicas co úmeros mu pequeños mu grades al mismo tiempo. Además la maoría de las computadoras represeta a los úmeros como úmeros de puto flotate. La represetació de puto flotate de u úmero está dada por la siguiete epresió: Dode: fl ( b = ε.a a a La p B (.8 ε: es el sigo del úmero, puede ser positivo o egativo a a a...a p : es la parte fraccioaria sigificativa B: es la base, puede ser, ó 6 b: es el epoete etero, las computadoras de dígitos tiee u valor de b de ± 999 p: es el úmero de dígitos sigificativos (precisió Por ejemplo, si se quiere represetar el úmero 4, como u úmero de puto flotate co B= p=4, este será: fl(=.4 Si la computadora admite solo p cifras sigificativas el redodeo se hace al úmero más próimo. Dado el úmero: b = ε.aa a L apap ap L El redodeo para este úmero utilizado el puto flotate fl( es: 8

20 fl ( = ε.a fl ( = ε.a a a a La a p L(a p b b si a si a p p < 5 5 Las cotas del error de redodeo será:... Otros tipos de error Errores por equivocació a Error absoluto E a = fl(- co su valor absoluto Ea.5. E b Error relativo E r = a p co su valor absoluto Er.5. So errores por torpeza o por equivocació, so debidos por lo geeral a errores humaos. Las equivocacioes ocurre e cualquier etapa del proceso de modelado matemático puede cotribuir co las otras compoetes del error. Errores de formulació Estos errores degeera e u modelo matemático icompleto si se está usado u modelo deficiete, igú método umérico geerará resultados adecuados. Icertidumbre e los datos Alguas veces se itroduce errores e u aálisis debido a la icertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo. So errores que muestra ieactitud e imprecisió. bp EJERCICIOS PROPUESTOS.. Supoga que debe cuatificar la catidad de β-caroteo e lechuga eperimetalmete se determió que el valor es,4 mg/g. Si el valor verdadero es,48 mg/g, idique el error verdadero el error relativo porcetual... Estime el valor de e.5 utilizado la epasió e serie de Mac Lauri, calculado los errores relativos porcetuales real aproimado (cosidere que el valor real de e.5 es, después del agregado de cada térmio hasta que el valor absoluto del error aproimado sea meor que el criterio establecido por la fórmula de Scarborough para cifras sigificativas... E la tabla que sigue se muestra las velocidades de formació del compuesto C, mediate ua reacció ezimática, a partir de los reactivos A B. Se idica las velocidades de formació co, 4, 5 6 cifras sigificativas. Calcule los errores relativos porcetuales para u tiempo t = s, cosiderado que el valor real co cifras sigificativas es 4984,958 µg/s. 9

21 Tiempo (s Velocidad de formació (µg/s Cifras sigificativas ,4, , 4489, ,8 4984,9.4. Aplique las reglas de redodeo a:.5. Evalúe: a 5,67 a cifras sigificativas b,46 a 4 cifras sigificativas c 7,5 a cifras sigificativas,,768,64 4,8.6. Utilice térmios e la Serie de Talor de cero a cuarto orde para aproimar la fució f(= -, 4 -,5 -,5 -,45,8 para = calcule el error de trucamieto e cada caso. Cosidere h=..7. Represete las siguietes catidades como úmeros de puto flotate. Cosiderado base 4 dígitos sigificativos. a 8,; b -,44; c 8

22 Capítulo SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES Uo de los problemas más atiguos básicos del cálculo umérico es el problema de búsqueda de la solució de ua ecuació, es decir ecotrar los valores de la variable que satisface la ecuació f(=, para ua fució f dada. Las ecuacioes puede ser algebraicas (la fució f es u poliomio, por ejemplo: 5-4= o bie trascedetes puesto que está costituidas por fucioes trascedetes tales como fucioes epoeciales, trigoométricas, logarítmicas, etc., por ejemplo: e - ; se ; l. Solamete e casos mu simples, de ecuacioes algebraicas, eiste fórmulas que permite resolverlas e térmios de sus coeficietes, para el resto de las ecuacioes se utiliza métodos aproimados que permite mejorar la solució por simple repetició del mismo método hasta adquirir el grado de aproimació requerido. Estos métodos so apropiados para realizarlos utilizado computadoras puesto que comprede la repetició de u proceso, es decir iteració. A cotiuació se describe métodos uméricos que permite calcular las raíces de ecuacioes algebraicas trascedetes... METODO GRAFICO Este es u método mu simple, cosiste e calcular valores de la variable depediete para distitos valores de la variable idepediete. A cotiuació se grafica e u sistema de ejes coordeados cartesiaos se observa el puto de itersecció de la fució co el eje de las abscisas. Este puto proporcioa ua primera aproimació a la raíz de la ecuació. Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método gráfico, los valores aproimados de las raíces de -6 =. Para ello se calcula el valor de la fució e el itervalo [-,8] se represeta los valores e u sistema de ejes cartesiaos (Figura Figura.. Gráfico del poliomio -6 Se observa e el gráfico que las raíces aproimadas so 6.

23 .. METODOS NUMERICOS DE CÁLCULO DE UNA RAIZ Los métodos de cómputo de ua raíz real de ua ecuació ivolucra dos pasos, e primer lugar la determiació del itervalo de búsqueda, es decir el itervalo al que la raíz perteece, siempre que la ecuació esté viculada a u sistema físico e segudo lugar la selecció aplicació de u método umérico apropiado para determiar la raíz co la eactitud adecuada. Estos métodos se clasifica e dos categorías: métodos abiertos métodos cerrados. Los métodos cerrados, tales como el método de la bisecció el de la falsa posició, so aquellos que usa itervalos, se caracteriza por ser siempre covergetes pero la velocidad de covergecia es leta. Los métodos abiertos, método de aproimacioes sucesivas, de Newto-Raphso, de Newto de º orde, de Vo Mises, de la secate, requiere iformació úicamete de u puto, o de dos pero que o ecesariamete ecierra a la raíz. La covergecia es más rápida pero alguas veces diverge.... Métodos cerrados... Método de la Bisecció El método de la bisecció, coocido tambié como de corte biario, de partició e dos itervalos iguales, de búsqueda biaria o de Bolzao se basa e el Teorema del Valor Itermedio e el teorema de Bolzao. Teorema del valor itermedio: Si f [a,b] k es u úmero cualquiera compredido etre f(a f (b etoces eiste u c e el itervalo (a,b tal que f(c=k. Teorema de Bolzao: sea f ua fució cotíua e el itervalo [a,b], co f(af(b< etoces eiste al meos u puto c [a,b] tal que f(c= Si se tiee ua fució f( cotiua e el itervalo [ L, U ], co f( L f( U de sigos opuestos, por el teorema aterior, eiste u valor * icluido e el itervalo ( L, U tal que f(*=. El método requiere de dividir el itervalo a la mitad localizar la mitad que cotiee a la raíz. El proceso se repite su aproimació mejora a medida que los subitervalos se divide e itervalos más más pequeños. La primera aproimació a la raíz, se determia como M = ( L U, ver Figura.. L ( M, U Figura.. Esquema del método de la Bisecció

24 Para determiar e que subitervalo está la raíz debe cosiderarse lo siguiete: Si f ( M =, etoces la raíz es igual a M. Si f ( L. f( M <, la raíz se ecuetra e el primer subitervalo ( L, M Si f( L. f ( M >, la raíz se ecuetra e el segudo subitervalo ( M, U. Se calcula ua ueva aproimació a la raíz e el uevo subitervalo se cotiúa co las iteracioes hasta la cota de error fijada de atemao. Las vetajas desvetajas del método se detalla a cotiuació: Vetajas Es siempre covergete Desvetajas - Coverge mu letamete - Si eiste más de ua raíz e el itervalo, el método permite ecotrar sólo ua de ellas A cotiuació se preseta u algoritmo de este método iterativo. Algoritmo para el método de Bisecció Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dada la fució cotiua f e el itervalo [ L, U ]. Cosiderado la siguiete otació: L : límite iferior del itervalo cosiderado U : límite superior del itervalo cosiderado M : raíz aproimada E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar M = L ( L U Paso 4: Si L U < E ó f( M =, SALIDA M PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Si f( L. f( M >, tomar L = M, si o tomar U = M Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR

25 Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método de la bisecció, ua de las raíces de la ecuació --=, cosiderado que la fució cambia de sigo e el itervalo (,. La estimació iicial de la raíz se sitúa e el puto medio de este itervalo: X M = ( L U = =, 5 Ahora se calcula f( L. f( M : f(. f(,5 = (-4. (-,875 = 7,5 > o ha cambio de sigo etre a, etoces la raíz se ecuetra e el itervalo (,5,.,5 La aproimació a la raíz e la seguda iteració se calcula como M = =, 75 f(,5. f(,75 = -,7<, por lo tato la raíz está e (,5,,75, etoces la tercera iteració es:,5,75 M = =, 65 así sucesivamete, e la seta iteració se llega a u valor de 6 =,74 bastate próimo al valor verdadero de la raíz,7... Método de la Falsa Posició o Regula Falsi Este método es similar al de la bisecció salvo que la siguiete iteració se toma e la itersecció de ua recta etre el par de valores el eje de las abscisas e lugar de tomar el puto medio. El reemplazo de la curva por ua líea recta da ua posició falsa de la raíz, de aquí el ombre de método de la regla falsa. Para aplicarlo se elige los etremos L U del itervalo etre los que se ecuetra la raíz, verificado que se cumpla que f( L. f( U <. Si se observa la Figura., por semejaza de triágulos, puede escribirse la siguiete igualdad: f( M L L f(u = M U Y despejado de la epresió (. el valor de M, que es ua aproimació de la raíz, se obtiee la siguiete fórmula de iteració o recurrecia: M (. U L = U f(u (. f( f( U L El valor de M, calculado co la ecuació (., reemplaza a uo de los dos valores, L o U que produzca u valor de la fució que tega el mismo sigo de f( M. De esta maera los valores L U siempre ecierra a la raíz. Si f( M = el proceso termia. Si f( M tiee el mismo sigo de f( L, el próimo paso es elegir L = M U = U. Si f( M tiee el mismo sigo de f( U el próimo paso es elegir L = L U = M. 4

26 El proceso se repite e la misma forma hasta llegar a la cota de error. E la Figura. se preseta u esquema del método. L ( M, U Figura.. Esquema del método de la Falsa Posició U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de la Falsa Posició Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dada la fució cotiua f e el itervalo [ L, U ], cosiderado la siguiete otació: L : límite iferior del itervalo cosiderado U : límite superior del itervalo cosiderado M : raíz aproimada f( L : valor de la fució e L f( U : valor de la fució e U E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar Paso 4: Si f( M = f( U f( U U L U < U f(l f( E U U L f( PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Si f( L. f( M >, tomar L = M, si o tomar U = M L ó f( M =, SALIDA M Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR 5

27 Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método de la falsa posició, ua de las raíces de la ecuació plateada e el ítem..., cosiderado que la fució cambia de sigo e el itervalo (,. Se iiciará los cálculos co los valores iiciales L = U = Primera iteració: L =, f( L = -4 U = f( U = ( M = =,574 ( 4 Seguda iteració: Como f( M = -,6449 tiee el mismo sigo que f( L, M se covierte e el límite superior de la siguiete iteració, U =,574 L =, f( L = -4 U =,574 f( U = -,6449 (,574 M =,574,6449 =,754,6449 ( 4 Se procede de esta maera hasta que e la quita iteració el valor de M es,794 mu próimo al valor verdadero,7 Las vetajas desvetajas del método so: Vetajas Es siempre covergete Coverge más rápidamete que el método de la bisecció Desvetajas - Si eiste más de ua raíz e el itervalo, el método permite ecotrar sólo ua de ellas... Métodos abiertos... Método de Aproimacioes sucesivas El método de aproimacioes sucesivas o iteració de puto fijo es ua forma mu útil simple de ecotrar la raíz de ua ecuació de la forma f(=. Para ello se reordea la ecuació de maera que sea igual a g(. Esta trasformació se puede llevar a cabo mediate operacioes algebraicas o simplemete agregado e ambos miembros de la ecuació origial. A ua solució de esta ecuació se le llama u puto fijo de la fució g. Si embargo, es mu importate la selecció de la fució g(, a que o siempre coverge co cualquier forma elegida de g(. 6

28 E sítesis, sea: f(= (. ua ecuació algebraica o trascedete = * ua raíz de ella o sea u valor de tal que la verifique idéticamete, es decir: f(*=. Sumado a ambos miembros de (. se tiee f( = llamado g(= f( se tiee que: = g( (.4 El método de aproimacioes sucesivas cosiste e sustituir, u valor aproimado de la raíz * e el segudo miembro de la ecuació (.4, co lo que se obtiee: =g( Procediedo reiteradamete de esta maera, la i-ésima aproimació o i-ésima iteració es: i =g( i (.5 U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de Iteració de Puto Fijo Permite ecotrar ua solució a la ecuació =g(, dada ua aproimació iicial. Cosiderado la siguiete otació: : aproimació iicial a la raíz : aproimació a la raíz E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar = g( Paso 4: Si PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Tomar = < E, SALIDA Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR Si a medida que crece, i tiede a * se dice que el método coverge, e caso cotrario diverge. Si el método coverge, la diferecia etre dos iteracioes sucesivas será más pequeña a medida que i aumeta, lo que proporcioa u criterio de termiació de aplicació del método. Se acepta el siguiete teorema si demostració: 7

29 Teorema: El método de aproimacioes sucesivas coverge si eiste u úmero fijo m tal que: f '( m <. U plateamieto gráfico diferete es el de separar la ecuació = g( e dos partes, como = (recta a 45º = g(, éstas se puede graficar por separado. Los valores de correspodietes a las iterseccioes de estas fucioes represeta las raíces de f( =. E la Figura.4 se muestra la covergecia (a (b a que verifica el teorema de la covergecia la divergecia (c (d e el método de Aproimacioes sucesivas. (a (b * * (c (d * a Figura.4. Covergecia divergecia del Método de Iteració de Puto Fijo Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método de aproimacioes sucesivas, ua de las raíces de la ecuació - 4 =, eiste muchas formas de cambiar la ecuació a la forma =g(. Si se despeja de la ecuació se tiee: =, por lo tato la ecuació de recurrecia 4 o iteració es ( i i = 4 8

30 E la tabla siguiete se muestra los valores obteidos, se comieza co ua aproimació =. El valor real de la raíz (.586 se alcaza luego de cico iteracioes. i i,75,75,64,64,6,6,59,59,587,587,586 Las vetajas desvetajas del método so: Vetajas Es simple Es fleible Desvetajas - No siempre es covergete, depede de la forma de la fució g(... Método de Newto-Raphso o de la Tagete E este método si el valor iicial de la raíz es i, se puede eteder ua tagete desde el puto ( i, f( i. El puto dode esta tagete corta al eje represeta ua aproimació mejorada de la raíz. Eiste por lo meos tres maeras usuales de itroducir el método de Newto Raphso puesto que se puede derivar a partir de u método gráfico ó a partir de la de iteració de puto fijo ó bie utilizado la serie de Talor. El desarrollo a partir de esta serie es el siguiete: f ''( ξ f(i = f(i f '(i (i i (i i (.6 dode ξ se ecuetra e algua parte del itervalo i i. Trucado la serie de Talor después de la primera derivada, se obtiee: f( i f( i f ( i ( i - i (.7 dode f ( i es además de la derivada primera, la pediete de la recta descripta. E la itersecció co el eje, f( i debe ser igual a cero, o sea: f( i f ( i ( i - i (.8 Resolviedo para i : f( i i = i (.9 f'(i La fórmula (.9 se deomia Fórmula de Newto Raphso. 9

31 Este método defiido por el deomiador f ( i hace que geométricamete se pase de ua aproimació a la siguiete por la tagete a la curva = f( trazada e el puto correspodiete a la aproimació presete, esto puede observarse e la Figura.5. * Figura.5. Método de Newto-Raphso U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de Newto-Raphso Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dada ua aproimació iicial. Cosiderado la siguiete otació: : aproimació iicial a la raíz : aproimació a la raíz f(: fució e estudio f (: derivada de la fució E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar Paso 4: Si PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Tomar = f( = f'( < E, SALIDA Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método Newto-Raphso, ua de las raíces de la ecuació - 4 =, se calcula la derivada primera de la fució dada.

32 Como f( i = - 4, su derivada primera es: f ( i = - 4. Por lo tato la fórmula de recurrecia es: f(i i 4 i = i = i f'(i i 4 E la tabla siguiete se muestra los valores obteidos, se comieza co ua aproimació =. El valor real de la raíz (.586 se alcaza luego de dos iteracioes. i i,5,5,58,58,586 Las vetajas desvetajas del método so: Vetajas Coverge más rápido que cualquiera de los métodos aalizados hasta ahora. Desvetajas - No siempre es covergete, depede de la aturaleza de la fució - No es coveiete e el caso de raíces múltiples - Puede alejarse del área de iterés si la pediete es cercaa a cero... Método de Newto de segudo orde Si e lugar de cosiderar los dos primeros térmios de la serie de Talor se cosidera los tres primeros térmios (.6, se represeta co i a la diferecia etre i i se iguala a cero, se tiee: ( i f(i if'(i f' '(i = (. sustituedo i por f(i (a partir de la fórmula de Newto-Raphso queda: f'(i f(i f(i i f'(i f' '(i = f '(i (. Despejado i se obtiee: f(i i = (. f(i f '(i f ''(i f '(i

33 De la ecuació (. se puede despejar el valor de i : f(i i = i (. f(i f '(i f ''(i f '(i Este método cosidera u maor úmero de térmios de la serie por lo tato coverge más rápidamete que el método de Newto-Raphso. U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de Newto de segudo orde Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dada ua aproimació iicial. Cosiderado la siguiete otació: : aproimació iicial a la raíz : aproimació a la raíz f(: fució e estudio f (: derivada primera de la fució f (: derivada seguda de la fució E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar Paso 4: Si PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Tomar = f( = f( f '( f ''( f '( < E, SALIDA Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR...4. Método de Vo Mises El método de Newto-Raphso puede ser problemático si se está e putos alejados de las raíces cercaos a putos dode el valor de f ( i sea próimo a cero. Para ello vo Mises sugirió utilizar Newto-Raphso (fórmula.9 sustituedo el deomiador f ( i por f (, es decir obteer geométricamete las siguietes aproimacioes por medio de paralelas a la primera tagete. La ecuació de recurrecia es:

34 f( i i = i (.4 f'( E la Figura.6 se muestra u esquema de la aplicació del Método de vo Mises. * Figura.6. Método de vo Mises U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de Vo Mises Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dada ua aproimació iicial. Cosiderado la siguiete otació: : aproimació iicial a la raíz : aproimació a la raíz f(: fució e estudio f ( : valor de la derivada de la fució para el valor iicial de aproimació E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar Paso 4: Si PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Tomar = f( = f'( < E, SALIDA Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR...5. Método de la secate Surge como ua variació del método de Newto-Raphso, e lugar de tomar la tagete se toma la secate. De maera que la derivada se aproima por ua diferecia dividida, es decir:

35 f'(i f( i i f( i i (.5 Esto puede sustituirse e la fórmula (.9, de maera que se llega a: f(i (i i i = i (.6 f(i f(i La ecuació (.6 es la fórmula para el método de la secate. El método requiere de dos valores iiciales pero como o se requiere que f( cambie de sigo e el itervalo cosiderado, o se lo iclue detro de los métodos que utiliza itervalos. U algoritmo para este método iterativo es el que sigue. Algoritmo para el método de la Secate Permite ecotrar ua solució a la ecuació f(=, dadas dos aproimació iicial. Cosiderado la siguiete otació: : aproimació iicial a la raíz : aproimació iicial a la raíz : aproimació a la raíz f(: fució e estudio E: cota de error o criterio de deteció N: úmero máimo de iteracioes Paso : Tomar i = Paso : Mietras i N seguir co los pasos a 6 Paso : Tomar Paso 4: Si PARAR Paso 5: Tomar i = i Paso 6: Tomar = ; = f(( = f( f( < E, SALIDA Paso 7: SALIDA ( Procedimieto completado si éito después de N iteracioes PARAR E la Figura.7 se muestra u esquema del método. 4

36 f( i f( i- i- * i Figura.7. Método de la Secate.. RAÍCES DE POLINOMIOS Los poliomios so fucioes de relevacia e modelos de ciecia e igeiería, a cotiuació se detalla teoremas reglas ecesarias para el cálculo de sus raíces.... Teoremas fudametales de la Teoría de ecuacioes algebraicas. El teorema fudametal del Algebra idica: Teorema Fudametal del Algebra: Toda ecuació algebraica de grado admite raíces reales o complejas. A cotiuació se eucia demuestra alguos teoremas de iterés para ecotrar las raíces de poliomios. Teorema del residuo: el residuo que resulta de dividir el poliomio P( etre el biomio ( a, es igual al valor del poliomio cuado = a. Demostració: Sea Q( el cociete R el residuo que resulta de dividir P( etre a, por defiició de divisió de u poliomio etre u biomio se tiee: P( = ( a Q( R si: = a, P(a = (a-a Q(a R P(a = R co lo que queda demostrado el teorema. Teorema recíproco: el valor del poliomio P( para = a, es igual al residuo que resulta de dividir P( etre a. 5

37 Teorema del factor: si =a es ua raíz de la ecuació P( =, etoces a es u factor del poliomio P(. P( = ( a Q( R si: = a, P(a = (a-a Q(a R P(a = R Como P(a = puesto que a es ua raíz de P( =, el resto R es igual a cero por lo tato puede afirmarse que ( a es u factor de P(.... Divisió sitética La divisió de u poliomio P( etre (-a puede epresarse como: P( = ( a Q( R (.7 dode Q( es el cociete R el resto o residuo. Si se cosidera que Q ( = A A A L A A es el cociete R el residuo o resto que resulta de dividir el poliomio: P ( = a a L a a etre el biomio (- a, etoces puede epresarse como: a a L a a = A (A aa (A aa L (A aa (R aa Como los poliomios de ambos miembros so iguales los coeficietes de las mismas potecias de e ambos poliomios debe ser iguales etre sí, luego: a =A a =A - a A... a - =A - - a A - a =R - a A - de dode se obtiee: A =a A = a a A... A - = a - a A - R = a a A - Estos so los coeficietes del poliomio, cociete residuo buscados, los cálculos se puede arreglar de la siguiete forma: 6

38 a a... a - a a a A a A - a A - A A... A - R Este es u esquema de la divisió sitética, se debe ordear el poliomio P( e potecias decrecietes de, isertado u para todos los térmios co coeficietes ulos. Si P( es de grado, etoces el cociete Q( es de grado Regla de los sigos de Descartes El úmero de raíces reales positivas e la ecuació algebraica de coeficiete reales P( =, es igual al úmero de cambios de sigo e el poliomio P( o es meor que este úmero e u úmero par. El úmero de raíces egativas es igual al úmero de cambios de sigo e el poliomio P(- o es meor que este úmero e u úmero par...4. Raíces racioales Para determiar las raíces racioales de ua ecuació algebraica de coeficietes eteros o reales si se elimia la parte decimal multiplicádose por u úmero lo suficietemete grade puede establecerse los siguietes pasos:. Escribir la ecuació e orde descedete de potecias de.. Separa todas las raíces ulas.. Determiar los úmeros máimos de raíces positivas egativas por la regla de los sigos de Descartes. 4. Establecer las posibles raíces racioales. 5. Probar que ua de estas es raíz, aplicado el teorema recíproco del factor. 6. Separar la raíz determiada estudiar la ecuació reducida obteida, de maera de elimiar de la lista origial de posibles raíces racioales las que a o puede ser...5. Raíces irracioales Si ua ecuació algebraica posee raíces irracioales, e primer lugar se debe aplicar los procedimietos descriptos ateriormete para ecotrar separar las raíces racioales, de forma que se tega ua ecuació reducida que posea solamete raíces irracioales. Si esta ecuació es de primer o segudo grado, sus raíces se obtiee por medio de fórmulas, para grados superiores al segudo se puede aplicar los métodos detallados ateriormete. 7

39 ..5.. Método de Newto-Raphso Como la fució cosiderada es u poliomio, se puede escribir la fórmula (.9 como: P(i i = i (.8 P'(i El poliomio P( puede epresarse como la ecuació (.7, si se toma = i, se tiee que: P( i = R (.9 El deomiador de la ecuació (.8 puede obteerse derivado la epresió (.7 co respecto a : P (=(- i Q (Q( (. Y haciedo = i, se llega a que: P ( i = Q( i (. Y de acuerdo co el teorema recíproco al del residuo Q( puede determiarse como el residuo R que resulta de dividir Q( etre (- i puesto que: Q(=(- i S(R (. Si se toma = i, resulta: P ( = Q( =R (. Sustituedo e (.8 se obtiee la epresió de Newto-Raphso para resolver ua ecuació algebraica: R i = i (.4 R ' Realizado cosideracioes similares se llega a la fórmula de recurrecia de Newto de segudo orde para ua ecuació algebraica: i P'( = i P(i P' '(i = P'(i R' ' R' R' R (.5 Por ejemplo, si se desea determiar, aplicado el método Newto-Raphso, ua de las raíces irracioales de la ecuació --=, (se sabe que ua de las raíces es.465, se comieza co =:

40 Etoces se aplica la fórmula (.4 para obteer ua mejor aproimació de la raíz: 7 = = ,588,588 5,6988 4,86,588,6988,86,588,588 8, 5,764,998,86 =,588 =,474,998 Se realiza la divisió sitética para este valor así sucesivamete hasta llegar al valor buscado. EJERCICIOS PROPUESTOS.. Calcule la raíz cuadrada egativa de.8 utilizado el método de aproimacioes sucesivas... Evalúe, aplicado Iteració de Puto Fijo, el factor de fricció f e ua tubería por la que circula u fluido co flujo turbuleto. Este factor está dado por la ecuació: e 9,5 =,4 log. Cosidere que el diámetro D=, m; el espesor e=,5 m el f D Re f úmero de Reolds, Re = 4... Resuelva la ecuació: se =, a partir de =,65, aplicado el método de Newto de º orde..4. Aplique el método de vo Mises, luego compárelo co Newto-Raphso Newto de º orde, para resolver: =.5. Cosidere la pared de u horo, de,8 m de espesor, la temperatura del lado itero es 64 K, si las pérdidas de calor desde la superficie etera se produce por covecció radiació, determie la temperatura del lado etero de la pared (T. La ecuació que rige esta situació problemática es: Los datos so: k 4 4 ( T T ε σ( T T h( T T f f = Coductividad térmica, k =, W/mK; Emisividad, ε =.8;Temperatura del lado itero de la pared, T = 64 K; Temperatura del lado etero de la pared, T ;Temperatura del aire, T f =99 K; 9