FORMULACIÓN COMPUTACIONAL DE CONDICIONES DE BORDE EN SISTEMAS DINÁMICOS CONTINUOS

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1 Ogeâpkec"Eqorwvcekqpc"Xq"ZZXK."rr693-7 Ugtikq"C"Gcumct."Gxkq"C"Rkqvvc."Igtoâp"C"Vqttgu"*Gfu+ Eôtfqdc."Ctigpvkpc."Qevwdtg"49 FORMULACIÓN COMPUACIONAL DE CONDICIONES DE BORDE EN SISEMAS DINÁMICOS CONINUOS Ariel E. Matusevich a, José A. Iaudi a y Julio C. Massa a,b a Facultad de C. E. F y N., Uiversidad Nacioal de Córdoba, Casilla de Correo 96, 5 Córdoba, Argetia, ariel.matusevich@gmail.com, b Departameto de Mecáica, Facultad de Igeiería, Uiversidad Nacioal de Río Cuarto, Ruta.. Nacioal 36 Km. 6, 58, Río Cuarto, Argetia, jmassa@ef.ucor.edu, Palabras clave: sistemas cotiuos, codicioes de cotoro, aálisis modal. Resume. Para obteer la respuesta e vibracioes libres de u sistema cotiuo es ecesario hallar la solució de las ecuacioes de movimieto que gobiera el problema, juto co sus respectivas codicioes de cotoro. Utilizado el método de separació de variables, es posible obteer solucioes matemáticas cerradas para las ecuacioes de movimieto de ciertos elemetos simples, tales como barras, vigas o ejes co propiedades mecáicas uiformes y área seccioal costate a lo largo de las mismas. Para hallar la solució e tales casos es ecesario platear u sistema de ecuacioes de codicioes de cotoro, el cual puede ser expresado e forma matricial a través de lo que los autores deomia ua matriz de codicioes de cotoro. Ua vez obteida dicha matriz, el proceso para obteer las frecuecias aturales y modos de vibrar del sistema es directo y simple. Si bie los sistemas cotiuos posee u úmero ifiito de frecuecias aturales y modos de vibrar, u úmero adecuado modos puede ser utilizado para resolver problemas de vibracioes forzadas mediate la técica de superposició modal, tambié coocida como aálisis modal. E el presete trabajo se propoe u procedimieto para el esamble de la matriz de codicioes de cotoro de estructuras cotiuas tridimesioales formadas por barras, vigas, ejes, masas cocetradas y resortes. Este procedimieto fue implemetado computacioalmete e el ambiete de programació Matlab y forma parte de u cojuto de programas para el aálisis modal de sistemas diámicos cotiuos. Este software se ecuetra dispoible e la caja de herramietas para aálisis de estructuras SA-Lab. Eqr{tkijv"B"49"Cuqekcekôp"Ctigpvkpc"fg"Ogeâpkec"Eqorwvcekqpc" jvvr<yyycoecqpkpgqtict 693

2 INRODUCCIÓN Las vibracioes de sistemas cotiuos, se estudia usualmete e cursos de diámica estructural para estudiates de igeiería (Humar, ). Debido a que el método de separació de variables aplicado al aálisis modal de sistemas de parámetros distribuidos, implica solucioar las ecuacioes difereciales que gobiera el problema juto co u cojuto especificado de codicioes de borde, los libros de texto cubre típicamete, elemetos uidimesioales y bidimesioales simples tales como barras, vigas, ejes, cables pretesados, placas y membraas. El aálisis de estructuras reales como reticulados o pórticos, se realiza geeralmete discretizado la estructura por medio del método de elemetos fiitos (MEF). ambié es factible, cosiderar a la estructura como u sistema cotiuo combiado elemetos co deformació axial, flexioal y torsioal. La formulació de las codicioes de borde e estructuras complejas o es u proceso trivial y los autores o tiee coocimieto de u procedimieto dispoible para dicho fi. Este trabajo está orgaizado de la siguiete maera. Primero, mediate u ejemplo secillo se repasa el método de separació de variables aplicado a la diámica de sistemas cotiuos. A cotiuació se platea problemas más complejos, los cuales itroduce coteidos importates acerca del plateo de codicioes de borde. Posteriormete, se preseta ua metodología para el plateo geeral de las ecuacioes de cotoro y se preseta alguos ejemplos de aplicació dode se compara resultados co las diversas técicas dispoibles. Fialmete se preseta las coclusioes del trabajo y lieamietos para futuros desarrollos. ÁNALISIS MODAL DE SISEMAS CONINUOS SIMPLES A modo de ejemplo se preseta u modelo simplificado de u avió, mostrado e la Figura. Las alas del avió está represetadas por dos vigas de Euler-Beroulli de logitud l w, secció trasversal A, mometo de iercia I, desidad del material ρ y módulo de elasticidad E. El fuselaje se modela como u elemeto de masa cocetrada M f e iercia rotacioal cocetrada J f. E la parte de abajo de la misma Figura se preseta u diagrama de cuerpo libre de la estructura del avió. Los esfuerzos de corte se idica co la letra V y los mometos flectores co la letra M. Figura : Modelo simplificado de ua aeroave 694

3 . Vibracioes libres A cotiuació se repasa la forma obteer los modos o rígidos de vibrar de la estructura. Las ecuacioes de movimieto del sistema está goberadas por las siguietes ecuacioes difereciales e derivadas parciales: 4 u( x, t) u( x, t) EI + ρ A = 4 x t () 4 u( x, t) u( x, t) EI + ρ A = 4 x t () Las codicioes de cotoro se preseta a cotiuació. Equilibrio de mometos y equilibrio de fuerzas e x = : 3 u( x, t) u( x, t) M() = EI = x V () = EI 3 x x = x = = (3) Equilibrio de mometos y fuerzas e x = l w : 3 u( x, t) u( x, t) M( lw) = EI = x V ( lw) = EI 3 x x = l w x = lw = (4) Fialmete, e la uió de las alas (dode se ubica la masa del fuselaje), se requiere cuatro codicioes de cotoro. a) Equilibrio de mometos: M ( l ) + M () = J θ w f u( x t) u ( x t) u( x, t) u ( x, t) EI + EI = J = J,, f f x x l x x x t t x = l w x w x = = = b) Equilibrio de fuerzas: V ( l ) + V () = M u w u ( x t) u ( x t) x ( x, t) x ( x, t) EI EI M M 3 3,, = 3 3 f = f x x t t x= lw x= x = l w x= f c) Compatibilidad de desplazamietos: u ( x, t) = u ( x, t) (7) x= lw x= d) Compatibilidad de rotacioes: u( x, t) u( x, t) = x x (8) x = l w x= Las ecuacioes difereciales de movimieto juto co las codicioes de cotoro prescriptas, costituye lo que se deomia u problema de valores de frotera. Las ecuacioes de movimieto puede resolverse mediate el método de separació de variables, propoiedo: u( x, t) = ψ( x) qt ( ) u( x, t) = ψ ( x) qt ( ) (9) Itroduciedo las expresioes (9) e las ecuacioes de movimieto () y (), se obtiee ecuacioes difereciales ordiarias para ψ (x), ψ (x) y q(t) cuyas solucioes tiee la siguiete forma: (5) (6) 695

4 ψ ( x ) = C si( a x ) + C cos( a x ) + C sih( a x ) + C cosh( a x ) 3 4 ψ ( x ) = C si( a x ) + C cos( a x ) + C sih( a x ) + C cosh( a x ) qt () = Asi( ωt) + Bcos( ωt) dode: [( ) ( )] 4 a = a = ρ A EI / ω Las costates C, C, C 3, C 4, C 5, C 6, C 7 y C 8 de () debe ser evaluadas para satisfacer las codicioes de cotoro del problema. Adoptado las otacioes prima y puto para idicar derivadas parciales respecto de x y de t respectivamete, escribimos las siguietes expresioes: uxt (, ) = ψ ( x) qt ( ) u = ψ ( x) qt ( ) x u () = ψ ( x) qt ( ) t u = ψ ( x) qt ( ) t x Usado las expresioes (), rescribimos las ecuacioes de codicioes de cotoro. Las codicioes de cotoro (3) coduce a: u ( x t) EI, x x = 3u ( x, t) 3 x x = = EIψ () = EI = EIψ () = De ua maera similar la expresió (4) lleva a: u ( x t) EI = EIψ ( lw) = EI, x x = lw 3u( x, t) 3 x x = = EIψ () = Separado variables e la ecuació (5) teiedo e cueta que qt ()/ qt () = ω, se tiee: u ( x t) u ( x t) u ( x, t) EI + EI = I,, x x t x x = l x w x = = EIψ () l q() t + EIψ () q() t = J ψ () q () t f EIψ ( l ) + EIψ () = ω I ψ () w Operado de maera idética e la ecuació (6) () () (3) (4) u ( x t) u ( x t) x ( x, t) EI EI M 3 3,, = 3 3 f x x t x= lw x= x = EIψ ( l ) EIψ () = ω M ψ () w (5) 696

5 La ecuació (7) requiere que: u ( l, t) = u (, t) ψ ( l ) = ψ () (6) w w Fialmete, la expresió (8) impoe: u ( lw, t) = u (, t) ψ ( lw) = ψ () (7) Itroduciedo las expresioes () y sus derivadas parciales e las ecuacioes (), (3), (4), (5), (6) y (7), y escribiedo las ecuacioes resultates e forma matricial se tiee: C C H H H3 H4 C3 H H H4 H3 C4 = EIaD EIaD EIaD 3 EIaD 4 ω J fa EIa ω J fa EIa C EIaD EIaD EIaD 4 EIaD 3 EIa ω M f EIa ω M f C6 D D D3 D4 C7 ad ad ad 4 ad 3 a a C 8 (8) dode D = si( al ); D = cos( al ); D = sih( al ); D = cosh( al ) w w 3 w 4 w H = si( a l ); H = cos( a l ); H = sih( a l ); H = cosh( a l ) w w 3 w 4 w (9) Deomiaremos a la matriz cuadrada e la expresió (8), matriz de codicioes de cotoro B c de la estructura. Notar que los elemetos de de B c depede de a y a y por lo tato de la frecuecia ω que se debe ecotrar como parte de la solució. La existecia de ua solució o trivial para la ecuació (8), requiere que B c sea sigular, por lo tato: det [ B ( ω ) ] = () c La ecuació () posee u úmero ifiito de raíces y puede resolverse mediate métodos uméricos. Cada solució correspode a ua frecuecia atural del sistema cotiuo. Las fucioes modales, ψ (x) y ψ (x) represeta los modos de vibració de la estructura y se obtiee calculado los coeficietes o ulos C i que satisface la ecuació lieal homogéea para cada frecuecia atural. B C = () c ω i Como ilustra este simple ejemplo, el aálisis e vibracioes libres de u sistema cotiuo se reduce a la defiició de formas modales y al esamble de ua matriz de codicioes de cotoro a partir de dichas fucioes. Cada codició de cotoro defie ua fila e B c, cuyos coeficietes depede de la forma modal, sus derivadas y los parámetros de masa y rigidez defiidos e el cotoro. Resulta evidete la ecesidad de ua implemetació computacioal, ya que aú e el caso de ua estructura simple de dos elemetos, el cálculo resulta muy costoso de realizar e forma maual (Matusevich e Iaudi, 5). 697

6 . Vibracioes forzadas Los modos de vibració puede utilizarse para resolver problemas de vibracioes forzadas, mediate el método de descomposició modal. E este método se trasforma las coordeadas de desplazamieto a coordeadas ormales o modales y la repuesta u(x,t) se expresa como superposició de las formas modales φ (x) multiplicadas por coordeadas geeralizada q (t) depedietes del tiempo. u( x, t) = φ ( x) q ( t) () = Auque u sistema cotiuo posee u úmero ifiito de formas modales, se puede alcazar ua precisió aceptable eligiedo u úmero limitado de modos asociados a las frecuecias aturales mas bajas. Se puede demostrar (Humar, ) que las relacioes de ortogoalidad e sistemas cotiuos coduce a ua serie de ecuacioes de movimieto desacopladas para cada coordeada modal, del tipo: () t + ω M q( t) P ( t) M q = (3) dode M y P (t), so respectivamete la masa geeralizada y la carga geeralizada asociadas al modo φ (x): l M = [ φ ( x) ] ρ( x) A( x) dx P ( t) = φ ( x) p( x, t) dx (4) Las expresioes (3) so válidas para el aálisis de vibracioes logitudiales o trasversales de ua estructura de u solo miembro, de logitud l, área trasversal A(x) y desidad másica ρ(x). E modelos estructurales de varios elemetos que icluye deformacioes axiales, flexioales y torsioales, este cálculo requiere de u proceso de esamble para cada elemeto de la estructura (Matusevich, ). 3 ESCRUCURAS MAS COMPLEJAS E esta secció se platea problemas algo más complejos, reticulados y pórticos, los cuales itroduce coceptos importates acerca del plateo de codicioes de borde. Se preseta dos ejemplos que permite ilustrar la metodología propuesta e este trabajo. 3. Elemetos coectados e diferetes direccioes Como primer ejemplo se preseta el sistema de dos barras de la Figura, dode uo de los elemetos esta ubicado a u águlo α respecto al eje X g. Cada barra tiee propiedades uiformes, como se idica, pero las mismas puede variar de u elemeto a otro. Al tratarse de barras de propiedades uiformes e deformació axial, la aplicació del método de separació de variables coduce a las siguietes solucioes para las formas modales de cada elemeto: l Figura : Elemetos coectados e diferetes coexioes 698

7 φ ( x ) = C si( β x ) + C cos( β x ) φ ( x ) = C si( β x ) + C cos( β x ) 3 4 ρ ρ dode: β = ω β = ω (5) E E Ua mirada rápida a este problema, os iduce a pesar que se ecesita cuatro codicioes de cotoro para evaluar los coeficietes de participació modal C, C, C 3 y C 4. Esta suposició o es correcta ya que los desplazamietos y e y del udo tambié represeta icógitas del problema. Por lo tato, se requiere dos codicioes de cotoro adicioales. A cotiuació se aaliza las codicioes de cotoro del problema. Ambos desplazamietos e el udo está restrigidos, por lo tato: u(, t) cos( α) = u(, t) = φ() = (6) u(, t) si( α) = Lo mismo sucede co el udo 3, etoces: u(, t ) = φ() = (7) El udo está libre para desplazarse e las direccioes X g e Y g por lo tato se debe escribir ecuacioes de equilibrio de fuerzas y de compatibilidad de desplazamietos. Equilibrio de fuerzas e direcció X g : N ( l, t)cos( α) N ( l, t) = A E φ ( l ) cos( α) A E φ ( l ) = (8) Equilibrio de fuerzas e direcció Z g : N ( l, t) si( α) = AE φ ( l ) si( α) = (9) Usado la expresió (6) del Apédice, podemos escribir las ecuacioes (8) y (9) e forma vectorial: F + F = [ Lv] [( Sx) ( l) ] + [ L v] [( Sx) ( l) ] = (3) dode: [ L cos( ) cos() α v] = ; [ v] = si( α) si() L ( Sx ) ( l) = N( l) = AE φ ( l) (3) ( Sx ) ( l) = N( l) = AEφ ( l) Las siguietes relacioes de compatibilidad so ciertas: u( l, t) = ycos( α ) + ysi ( α ) u( l, t) = y (3) φ( l) = ycos ( α ) + ysi ( α ) φ( l) = y Usado la expresió (6) del apédice, podemos escribir las ecuacioes de compatibilidad (3) e forma vectorial. u( l, t) = φ( l) = [ Lv] y u ( l, t) = φ ( l) = [ Lv] y (33) dode: y [ Lv ] = [ cos( α) si( α) ]; [ Lv ] = [ cos() si() ]; y = y (34) Sustituyedo las ecuacioes (5), y sus derivadas parciales e las expresioes (6) (7) (3) y (33), llegamos a ua ecuació matricial del tipo B c C = : 699

8 C C AED cos( α) AED cos( α) AE H AE H C 3 = (35) AED si ( α) AED si ( α) C4 D D cos( α) si( α) y H H y dode: D = si ( βl) ; D = cos ( βl) ; H = si ( βl ); H = cos( βl ) (36) De este ejemplo se extrae ua importate coclusió: cuado dos o mas elemetos está coectados e direccioes diferetes, los desplazamietos odales so tambié icógitas del problema. 3. Modelado de pórticos Como se mecioó ateriormete, existe solucioes matemáticas exactas para las ecuacioes de movimieto de elemetos cotiuos simples de secció costate y propiedades de material uiformes. Alguas solucioes útiles se resume e la siguiete tabla: Elemeto ipo de vibració Fució de forma modal barra Axial φ ( x ) = Csi( βx) + C cos( βx) β = ( ρ/ E ) ω eje orsioal γ ( x ) = Csi( ηx) + Ccos( ηx) η = ( ρ/ G ) ω ψ ( x) = Csi ( ax) + Ccos( ax) + ρ A viga Beroulli rasversal a = 4 ω + C sih ( ax) + C cosh ( ax) EI 3 4 abla : Fucioes de forma de elemetos cotiuos simples Los elemetos de la abla puede combiarse para costruir modelos estructurales tridimesioales relativamete complejos, por ejemplo el pórtico de la Figura 3: Cada elemeto (viga) del pórtico está sometido a deformació flexioal, axial y torsioal y se puede modelar usado los elemetos de la abla. Este efoque requiere el cálculo de fucioes de forma para cada tipo de deformació. Por ejemplo, el miembro que coecta los udos y 3 requiere fucioes de forma que correspode a, vibració axial, vibració torsioal, vibració flexioal e Figura 3: Pórtico espacial el plao XY y vibració flexioal e el plao XZ. Estas fucioes debe satisfacer las codicioes de cotoro del problema. Por ejemplo, para el udo de la estructura se debe platear, equilibrio de fuerzas, equilibrio de mometos, compatibilidad de desplazamietos odales y compatibilidad de rotacioes odales. La especificació (o plateo) de las codicioes de cotoro e todos los udos de la estructura coduce al esamble de la matriz de codicioes de cotoro B c. 7

9 4 FORMULACIÓN GENERAL DE LAS CONDICIONES DE BORDE E esta secció se preseta ua metodología para platear las codicioes de borde (que costituye las filas de la matriz B c ) de ua estructura cotiua. Se cosidera estructuras e las cuales los desplazamietos está restrigidos, o bie so cosiderados grados de libertad, es decir, estructuras co soportes estructurales ideales que restrige ciertos desplazamietos odales. La especificació de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos odales de la estructura, determia el úmero correcto de codicioes de borde. El tipo de ecuació a platear depede de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos del udo cosiderado y de los tipos de elemetos coectados. La otació de esta secció y alguos coceptos de ciemática se detalla e el apédice. 4. Cosideracioes prelimiares a) Número de icógitas Los coeficietes C i que determia las formas modales de los elemetos de la estructura, so icógitas del problema de valores propios para sistemas cotiuos. Como se vio e la secció 3., cuado los elemetos está coectados e diferetes direccioes, los desplazamietos odales tambié so icógitas del problema. Para que el plateo sea lo mas geeral posible, los desplazamietos odales siempre se cosidera como icógitas e esta formulació. b) Metodología Se platea ecuacioes de cotoro e cada udo de la estructura. Estas ecuacioes depede básicamete de las codicioes ciemáticas de las rotacioes y desplazamietos del udo cosiderado, como veremos a cotiuació. 4. Aálisis de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos odales. Se lleva a cabo este aálisis cuado está presetes deformacioes axiales y trasversales, es decir, cuado hay elemetos viga o elemetos barra coectada al udo. Se puede presetar dos casos: a) odos los desplazamietos está restrigidos: Si es el úmero de elemetos coectados al udo, se verifica las siguietes ecuacioes:... u( l) = ; u( l) = ; u ( l ) = (37) dode u i l i represeta el desplazamieto del elemeto i evaluado e x = ó x = l i, depediedo de qué extremo del elemeto correspode al udo cosiderado. b) Existe desplazamietos odales libres: E esta situació, debemos platear ecuacioes de equilibrio de fuerzas y ecuacioes de compatibilidad de desplazamietos: Compatibilidad de desplazamietos: eiedo e cueta la ecuació (6) del apédice, para los elemetos que cocurre al udo se debe cumplir: u( l) = [ L ] y; u( l) = [ L ] y... u ( l ) = [ L ] y (38) v v v 7

10 Equilibrio de Fuerzas Haciedo uso de la ecuació (6) del apédice, plateamos ecuacioes de equilibrio segú las direccioes de los grados de libertad: F + F + + F = [ L ] [ S ( l ) ] = (39) v i i i i= dode S i puede ser u esfuerzo ormal o de corte, depediedo del elemeto cosiderado. 4.3 Aálisis de las codicioes ciemáticas de las rotacioes odales. Se lleva a cabo este aálisis cuado está presetes deformacioes rotacioales, es decir, cuado hay elemetos viga y/o elemetos eje coectadas al udo. Se puede presetar dos casos: a) odas las rotacioes está restrigidas: Si es el úmero de elemetos coectados al udo, se verifica las siguietes ecuacioes:... θ ( l) = ; θ( l) = ; θ ( l ) = (4) b) Existe desplazamietos odales libres: E esta situació, debemos platear ecuacioes de equilibrio de mometos y ecuacioes de compatibilidad de rotacioes: Compatibilidad de rotacioes: eiedo e cueta la ecuació (6) del apédice, para los elemetos que cocurre al udo se debe cumplir:... θ( l) = [ L ] yθ ; θ( l) = [ L ] yθ ; θ ( l ) = [ L ] y θ (4) v v v Equilibrio de mometos: Haciedo uso de la ecuació (6) del apédice, plateamos ecuacioes de equilibrio segú las direccioes de los grados de libertad: ( F ) + ( F ) + + ( F ) = ( F ) = [ L ] [( S ) ( l ) ] = (4) θ θ θ θ i v i θ i i i= i= dode (S θ ) i puede ser u mometo flector o u mometo torsor, depediedo del elemeto cosiderado. 4.4 Codicioes de cotoro o homogéeas. Si existe masas cocetradas y/o apoyos elásticos e alguos udos de la estructura, las ecuacioes de equilibrio de mometos y equilibrio de fuerzas, deja de ser homogéeas. El resto de las ecuacioes de cotoro, o se modifica. a) Ecuacioes de equilibrio de fuerzas, o homogéeas Mediate u ejemplo, ilustraremos la maera de tratar ecuacioes de equilibrio o homogéeas. Cosideraremos el reticulado de 7 barras de la Figura 4, el cual tiee ua masa 7

11 cocetrada M e el udo 3. E este problema, las ecuacioes de equilibrio del udo 3 resulta ser o homogéeas, por lo tato aalizaremos el cojuto de codicioes de borde a platear e dicho udo. Como muestra la Figura 4 los grados de libertad del udo se idetifica como y 3 e y 4. Figura 4: Estructura de barras co ua masa cocetrada Escribimos las siguietes ecuacioes de compatibilidad: y3 y3 u( l, t) = [ L ] v u 3( l3, t) = [ L ] v 3 y4 y4 y3 y3 u5(, t) = [ Lv] u 5 6(, t) = [ Lv] 6 y4 y4 (43) Aplicado la seguda ley de Newto, obteemos las siguietes ecuacioes: {[ S ] l t } L {[ S ] l t } [ Lv] x (, ) + [ v] 3 x ( 3 3, ) + My 3 + [ Lv] 5 {[ Sx] (, t) 5 } + [ Lv] 6{ [ Sx] (, t) 6 } = My 4 Para obteer las aceleracioes de la ecuació (44), debemos coocer los desplazamietos icógita y 3 (x, t) e y 4 (x, t). Para ello utilizaremos dos de las ecuacioes de compatibilidad que sea liealmete idepedietes. Esta codició se satisface eligiedo dos elemetos cuyos vectores de trasformació ciemática L v sea idepedietes. Claramete la úica combiació de elemetos que o cumple esta codició es la que correspode a los elemetos y 6. Nosotros elegiremos por ejemplo a las ecuacioes correspodietes a los elemetos y 5. y3 y3 u( l, t) = [ L v] u5(, t) [ v] 5 y = 4 y L 4 (45) Resolviedo el sistema de ecuacioes, obteemos y 3 e y 4 : [ Lv ] y( 3 x, t) u ( l, t) R = [ v ] = 5 y 4( xt, ) R u 5(, t) (46) L dode R es la matriz cuyas filas cotiee a los vectores de trasformació ciemática L v de los elemetos seleccioados. Aplicado el método de separació de variables a la ecuació (44), se llega a las siguietes ecuacioes de equilibrio de fuerzas: (44) 73

12 {[ S ] l } L {[ S ] l } [ Lv] x ( ) + [ v] 3 x ( 3 3) + u ( l) +[ Lv] 5 {[ Sx] () 5 } + [ Lv] 6{ [ Sx ] () 6 } = Mω [ R] u5() (47) Supogamos ahora, que tambié existe u apoyo elástico de rigidez k y4 ubicado e la direcció del grado de libertad y 4. E ese caso, se debería agregar e el lado derecho de la ecuació de equilibrio de fuerzas segú el grado de libertad y 4 el térmio (k y4 y 4 ), que correspode a la fuerza de reacció del resorte segú el grado de libertad cosiderado. La ecuació (47) quedaría de la siguiete maera: {[ S ] l } {[ S ] l } {[ S ] } [ L ] ( ) + [ L ] ( ) + [ L ] () + v x v 3 x 3 3 v 5 x 5 u( l) u( l ) + [ Lv] 6 {[ Sx ] () 6 } = Mω [ R] + [ R] u5() k y u 4 5() La geeralizació de este ejemplo, os permite propoer u procedimieto para formular las ecuacioes de equilibrio de fuerzas e presecia de masas cocetradas y resortes:. Idetificar los udos co masas cocetradas y/o apoyos elásticos.. Recoocer los t grados de libertad de traslació del udo cosiderado, dode t puede tomar los valores, ó Elegir t elemetos que cocurre al udo cuyos vectores de trasformació ciemática L v sea liealmete idepedietes. 4. Formar la matriz R cuyas filas so los vectores L v de los elemetos seleccioados y calcular su iversa. 5. Calcular el vector u que cotiee los desplazamietos de los elemetos elegidos e el udo cosiderado. 6. E el caso de teer ua masa cocetrada el udo cosiderado platear la siguiete ecuació de equilibrio de fuerzas: (48) [ L ] [ ( )] [ ] v Si li + Mω R u = i (49) i= 7. E el caso de teer apoyos elásticos segú i grados de libertad del udo cosiderado, formar ua matriz k y de dimesió txt, que cotega e su diagoal pricipal, a las rigideces de los apoyos elásticos k yi de cada grado de libertad y demás elemetos ulos. Luego platear la siguiete ecuació de equilibrio de fuerzas: [ L ] [ ( ) ] [ ] v Si li k R u y = (5) i i= 8. E el caso de presetarse ua masa y u apoyo elástico e el udo cosiderado se debe platear la siguiete ecuació: [ L v ] [ Si( li) ] + Mω [ R ] u k y[ R ] u = (5) i i= 74

13 b) Ecuacioes de equilibrio de mometos, o homogéeas La metodología presetada para masas cocetradas, tambié es válida para el caso de iercias rotacioales cocetradas y/o apoyos elásticos rotacioales. E este caso, las ecuacioes de equilibrio de mometos resulta ser o homogéeas. Repetimos a cotiuació el procedimieto descripto ateriormete:. Idetificar los udos co iercias rotacioales cocetradas.. Recoocer los b grados de libertad de rotació del udo cosiderado, dode b puede tomar los valores, ó Elegir b elemetos que cocurre al udo cuyos vectores de trasformació ciemática L v θ sea liealmete idepedietes. 4. Formar la matriz R cuyas filas so los vectores L v θ de los elemetos seleccioados y calcular su iversa. 5. Calcular el vector θ que cotiee las rotacioes de los elemetos elegidos e el udo cosiderado. 6. Platear la siguiete ecuació de equilibrio de mometos: [ Lv ] [( S ) ( li) ] I θ i θ + ω R θ = i (5) i= dode I es ua matiz diagoal de dimesió b xb, que cotiee los valores de las iercias rotacioales cocetradas e la direccioes de los grados de libertad del udo cosiderado. 7. E el caso de teer apoyos elásticos rotacioales segú i grados de libertad de rotació del udo cosiderado, formar ua matriz k θ de dimesió bxb, que cotega e su diagoal pricipal, a las rigideces de los apoyos elásticos k θ i de cada grado de libertad y demás elemetos ulos. Luego platear la siguiete ecuació: i= [ v ] [( Sθ ) li ] θ L ( ) k R θ = (53) θ i i 8. E el caso de presetarse ua iercia rotacioal cocetrada y u apoyo elástico rotacioal e el udo cosiderado se debe platear la siguiete ecuació: i= [ Lv ] [( S ) li ] I R kθ R ( ) + θ θ = = (54) θ i θ ω i 5 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 5. Viga co carga Se cosidera ua viga cotiua sometida a ua carga cocetrada e el medio del vao, como se describe e la Figura 5: 75

14 Figura 5: Viga cotiua co carga cocetrada e el medio del vao Los datos del ejemplo se muestra e la abla Módulo de Youg (E) x [Pa] Área de la secció trasversal (A). [m ] Desidad del material (ρ) 78 [Kg/m 3 ] Mometo de iercia de la secció (I y ) x -6 [m 4 ] Logitud de la viga (l) Itesidad del pulso P Duració del pulso 6 [m] 4 [N] [s] abla : Propiedades de la viga y características de la carga E ua primera istacia, para obteer ua aproximació de la respuesta diámica de la viga mediate el método de superposició modal, calculamos las cuatro primeras frecuecias aturales y modos de vibrar de la estructura. Usado las herramietas de SA-Lab ( se obtiee los siguietes resultados Las primeras cuatro frecuecias aturales calculadas so:.7.73 ω i = [rad/s] Se obtuviero las siguietes fucioes de forma modal: φ ( x) = si ( ax).78cos( ax) sih ( ax) +.78cosh ( ax) a =.394 φ ( x) = si ( bx) cos( bx) sih ( bx) + cosh ( bx) b =.963 φ 3( x) = si ( cx) cos( cx) sih ( cx) + cosh ( cx) c =.4399 φ 4( x) = si ( hx) cos( hx) sih ( hx) + cosh ( hx) h =

15 U gráfico de estas fucioes se muestra e la Figura 6: φ (x) φ (x) φ (x) 4 3 φ (x) Figura 6: Primeros cuatro modos de vibrar de la viga La utilizació de coordeadas modales ivolucra u cojuto de ecuacioes de movimieto desacopladas de u grado de libertad para cada coordeada modal: M qt ( ) + K qt ( ) = L wt ( ); K = M Ω q q qw q q dode M q es la matiz de modal, K q es la matriz de rigidez modal, L qw es el vector de ifluecia de carga, w(t) es la excitació y Ω es la matriz que cotiee e su diagoal a las frecuecias aturales calculadas. Usado las herramietas dispoibles e SA-Lab, se obtuviero los siguietes resultados: M K q q = = x L q w = Las ecuacioes de movimieto se resolviero uméricamete mediate el Método de Newmark (Newmark, 959) implemetado e SA-Lab. Luego, estas solucioes se superpusiero para obteer la respuesta total. U gráfico de la estructura deformada desde t = hasta t =.6, a itervalos de.segudos, se muestra la Figura 7. La respuesta tambié puede visualizarse como ua película usado fucioes dispoibles e la caja de herramietas. 77

16 x -4 s.s x -4.6s.4s.4s - -.6s.s z -.8s z -.s -3.s -3.8s.s x.6s -4.4s 4 6 x Figura 7: Cofiguració deformada de la viga 5. Pórtico tridimesioal E la Figura 8 se muestra u pórtico tridimesioal sometido a u impulso rectagular F(t) aplicado e el udo (4). Las propiedades del pórtico y las características de la carga se defie e la abla 3. Módulo de Youg (E) x [Pa] Área de la secció trasversal (A).34[m ] Desidad del material (ρ) 7 [Kg/m 3 ] Mometo de iercia de la secció (I y =I z ) 4.987x-6 [m 4 ] Mometo de Iercia polar (J) 8.33 x -6 [m 4 ] Itesidad del pulso Duració del pulso 4 [N] 3 [s] abla 3: Características del pórtico y de la carga aplicada Figura 8: Pórtico. Como se discutió e la secció 3., cada miembro de este modelo icluye deformacioes axiales, torsioales y flexioales, por lo tato puede modelarse superpoiedo u elemeto barra cotiua para la deformació axial, u elemeto eje cotiuo para la deformació torsioal, u elemeto viga cotiua para la deformació flexioal XZ y u elemeto viga cotiua para la deformació flexioal e el plao XY. Las primeras cuatro frecuecias aturales calculadas co el modelo cotiuo (última fila de la abla 4) se compara co las obteidas mediate herramietas de Elemetos Fiitos tambié dispoibles e SA-Lab (Iaudi y De la Llera, 3). Como se puede observar e la abla 4, cuado la malla de elemetos fiitos se refia, la solució coverge al resultado obteido co elemetos cotiuos. ambié se aprecia la falta de precisió del modelo de elemetos fiitos si refiar, para frecuecias altas. () () (3) F(t) (4) z(t) 78

17 Método empleado ω [rad/s] ω [rad/s] ω 3 [rad/s] ω 4 [rad/s] Malla de elemetos fiitos de 3 elemetos Malla de elemetos fiitos de 5 elemetos Elemetos cotiuos (domiio del tiempo) abla 4: Frecuecias aturales del pórtico Usado los primeros cuatro modos de vibració, se obtuvo ua aproximació de la respuesta e vibracioes forzadas. E la Figura 9 se ha graficado el desplazamieto vertical z(t) del udo 4, calculado co el modelo cotiuo.. desplazamieto z(t) tiempo [s] Figura 9: Desplazamieto z(t) del udo 4 6 CONCLUSIONES Y FUUROS DESARROLLOS E este trabajo se preseta u procedimieto geeral para la formulació de codicioes de borde e estructuras cotiuas que lleva al esamble de ua matriz de codicioes de cotoro deomiada B c. La utilizació de la matriz aquí propuesta resulta esecial para el aálisis modal de sistemas diámicos cotiuos. Gracias a la geeralidad del procedimieto presetado, el mismo es aplicable tato a estructuras de barras plaas como tridimesioales, ya que se cosidera las cotribucioes axiales, torsioales y flexioales asociadas a los dos plaos pricipales de iercia. Al evitarse la discretizació de la estructura, esta metodología permite ua rápida modelizació de sistemas complejos. La metodología para esamblar la matriz B c para estructuras co grados de libertad esclavos se ha omitido e este aálisis y podría ser motivo de otro trabajo. Otro posible desarrollo futuro es la geeralizació de este procedimieto para icluir el aálisis de sistemas bidimesioales, como placas o membraas. 79

18 APÉNDICE E esta secció se preseta la otació utilizada e el trabajo. 7. Direccioes locales del elemeto Figura : Direccioes locales del elemeto y Esfuerzos locales Los elemetos cotiuos aalizados e este trabajo, puede defiirse mediate dos udos como e los modelos clásicos de elemetos fiitos. Las direccioes locales x, y, y z del elemeto está caracterizadas por los versores de direcció, como se muestra e la Figura. Refiriedo las coordeadas de los udos a u sistema de referecia global, X g Y g Z g, el versor de direcció del udo I al udo J de u elemeto recto se defie como: ν J I x = = [cos α x, cos βx, cos γ x] J I (55) La direcció de los ejes locales y, z correspode a los ejes pricipales de iercia de la secció del elemeto y se puede describir mediate los siguietes vectores uitarios: ν = [cos α, cos β, cos γ ] ν = [cos α, cos β, c os γ ] (56) y y y y z z z z 7. Desplazamietos locales y esfuerzos locales Los desplazamietos y los esfuerzos locales (Figura ) está asociados co las direccioes locales del elemeto. Utilizamos la siguiete otació: ux θx u = u y θ = θ y (57) uz θz dode u idica desplazamietos locales y θ rotacioes locales. Las fuerzas actuates e elemeto se desiga co la letra S 7

19 Sx Esfuerzo Axial S = Sy Esfuerzo de Corte e direcció y (58) S Esfuerzo de Corte e direcció z z Los mometos actuates e el elemeto se deota co la letra S θ Sθ x Mometo torsor (direcció x) S S θ = θ Mometo flector respecto al eje y y (59) S Mometo flector respecto al eje z θ z 7.3 Relació e la deformacioes y desplazamietos odales Si v es la deformació correspodiete a uo de los udos del elemeto e y es u vector columa que cotiee los valores de los desplazamietos odales (grados de libertad): v = Lv y (6) dode L ν es ua trasformació ciemática, que relacioa deformacioes y grados de libertad. De maera idética, si v θ represeta la deformació rotacioal de u de los udos del elemeto e y θ es u vector columa que cotiee los valores de las rotacioes odales (grados de libertad rotacioales): vθ = Lv y θ θ (6) dode L νθ es la relació ciemática etre las deformacioes rotacioales y las rotacioes odales. 7.4 Esfuerzos locales expresados e coordeadas globales U esfuerzo local S o S θ puede ser expresado e coordeadas globales usado las relacioes ciemáticas vistas e la secció aterior. F L F L S (6) = S θ = v dode F cotiee fuerzas asociadas a grados de libertad traslacioales y F θ cotiee mometos asociados a los grados de libertad rotacioales. REFERENCIAS Humar, J., Dyamics of Structures, aylor & Fracis, º Editio,. Iaudi J.A. y De la Llera, J.C., SA-Lab: Leguaje de aálisis estructural. Revista de desastres aturales, 3 /:49-7, 3. Iaudi, J.A. y De la Llera J.C., SA-Lab: Mauales de usuario y de referecia,. Matusevich, A., Desarrollo Computacioal del Aálisis Modal de Sistemas Diámicos Cotiuos, rabajo Fial de grado carrera de Igeiería Mecáica Aeroáutica, Facultad de Ciecias Exactas Físicas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Córdoba,. Matusevich, A.E. ad Iaudi, J.A., A computer implemetatio of modal aalysis of cotiuous dyamic systems. Iteratioal Joural of Mechaical Egieerig Educatio, 33/3:5-34, 5. Newmark, N.M., A method of Computatio for Structural Dyamics. Joural of Egieerig Mechaics Divisio, ASCE, 85:67-94, 959. vθ θ 7