Cálculo Avanzado de Una Variable

Transcripción

1 Cálculo Avnzdo de Un Vrible Antoni Wwrzyńczyk Universidd Autónom Metropolitn Iztplp

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3 Contenido 1 Números reles Números nturles y enteros Números rcionles Cortdurs de Dedekind Propiedd de supremo Rices Sucesiones Midiendo ls distncis Sucesiones y subsucesiones Sucesiones convergentes. Límites Punto límite, límite superior e inferior Sucesiones de Cuchy Series Definiciones y ejemplos Criterios de convergenci bsolut Otros criterios de convergenci Conjuntos biertos, cerrdos, compctos Conjuntos biertos en X, vecinddes Conjuntos cerrdos. L cerrdur Conjuntos compctos Funciones continus Continuidd en un punto Continuidd uniforme Discontinuiddes. Límites de l función en un punto i

4 ii 5.4 Funciones continus en tods prtes Integrl de Riemnn Funciones R-integrbles Criterios de integrbilidd Espcio de funciones R-integrbles Integrl indefinid Derivción L derivd Técnics de derivción Teorems de vlor medio Teorem fundmentl del cálculo diferencil e integrl Fórmul de Tylor Aplicciones Límites en el infinito y límites infinitos Funciones convexs Estudio de ls gráfics de funciones suves Convergenci de funciones Convergenci puntul Convergenci uniforme Convergenci uniforme y continuidd Convergenci uniforme y l integrción Convergenci uniforme y derivción Series de potencis Integrción y derivción de series de potencis Teorem de Weierstrss Series de Fourier

5 iii Prefcio El presente curso de Cálculo Avnzdo no pretende crgr l Lector con myor cntidd de fórmuls y teorems por prender. El vnze que se intent logrr consiste en un mejor entendimiento de los tems e introducción ls técnics y los métodos de demostrción. Es un profund convicción del utor que solmente el conocimiento de ls demostrciones de los teorems permite entender su contenido, importnci y el lcnze de sus plicciones. Un hecho relmente comprendido no necesit ser recorddo, no nonstituye ningun crg pr l memori, sino se vuelve prte de nuestro ser como un mno es prte de nuestro cuerpo. El primer cpítulo está dedicdo l teorí de los números reles. En l mtemátic preunivesitri se intent convencer l lumno que el concepto de número rel es obvio y nturl. Pr este fin se utilizn ls intuiciones geométrics identificndo el eje rel con un rect en el plno con un origen identificdo con el número 0 y un semieje distinguido como el conjunto de los números positivos. Entre enfoque funcion en práctic hst cierto punto pr trtr los problems lgebricos, sin embrgo no es suficiente pr el nálisis. Entre vrios enfoques de l teorí de números escogemos quí el método de ls cortdurs de Dedekind, unque tl vez no es el método más sencillo. Tiene sin embrgo un ventj muy importnte, sber proporcion oportunidd de recordr ls nociones de l teorí de conjuntos y de hcer muchos ejercicios que en relidd pertenecn l áre de l topologí que es el tem de vrios Cpítulos consecutivos. Pr el estudio de l continuidd de funciones utilizmos en form prlel los métodos de convergenci de sucesiones sí como tn llmdos métodos ɛ δ dndoles sin embrgo el sbor l topologí. L derivción es trtd en form summente trdicionl, unque se

6 iv mencionn los puntos de vist que luego yudn el pso ls funciones de vris vribles. El último Cpítulo present los problems de convergenci puntul, uniforme y csi uniforme de funciones que se plicn tmbién ls series de funciones. El progrm del curso corresponde exctmente los progrms vigentes de los cursos del Cálculo Avnzdo I y II de l licncitur en Mtemátics de l División de Ciencis Básics e Ingenierí de l Universidd Autónom Metropolitn - Iztplp.

7 Chpter 1 Números reles Los primeros números que prendemos mnejr son los números nturles. Aunque prezc extrño, se puede llegr much hbilidd en el mnejo de los mismos sin hber definido que es en relidd un número nturl. Con tod seguridd se puede decir que l myorí de ls persons que prcticn mtemátics nunc en su vid se preocupn por conocer los problems lógicos que están trs del concepto del número nturl. Pr justificr est flt podemos comentr unicmente que l demostrción riguros del hecho de que 1+1=2 en un rtículo muy forml de Russell nd Whitehed ocup 362 págins. En el curso de Estructurs Numérics conocimos l xiomátic de Peno de N, pero l existenci del objeto que stisfg est xiomátic no es obvi en bsoluto. El mismo desrollo de l teorí de los números nturles prtir de los xioms de Peno es un tre lrg que en los libros serios ocup por lo menos 50 págins. Introducción de los números enteros, rcionles y reles signific otros 100 págins. El presente curso está dedicdo l nálisis rel y bién podrímos empezr diciendo simplemente: Denotmos por R el eje rel. Sin embrgo, mientrs que el mnejo intuitivo de los números nturles no present myores peligros, no es sí en cso de los números reles cuy existenci es mucho menos obvi. Por otro ldo, creemos que todos los cursos de l licencitur, demás de mplir los conocimientos de nuevs áres, deben prticipr en el desrrollo de l cultur mtemátic profundizndo los fundmentos de l mism. Aunque no es posible presentr brevemente ls bses de l teorí de los números, vmos dr un rápido repso de este tem poniendo especil énfsis sobre ls construcciones de Z, Q, R prtir de l xiomátic de los números 1

8 2 nturles. 1.1 Números nturles y enteros L xiomátic de los números nturles fue cred por Giuseppe Peno ( ) un mtemático itlino quien demás de grndes portciones en los fundmentos de mtemátic obtuvo resultdos importntes en un áre de crcter tn práctico como l teorí de ecuciones diferenciles. Lo mencionms pr subryr que l preocupción por los fundmentos de mtemátics no es solo dominio de los burridos purists. Axiomátic de Peno pr N Los números nturles están formdos por un tern (N, 1, σ), donde N es un conjunto, 1 es un elemento de N y σ : N N es un función llmd sucesor que tiene ls siguientes propieddes: 1. σ(n) 1 pr todos n N, 2. σ(n) = σ(m) implic n = m pr todos n, m N, 3. si S N, 1 S y σ(s) S entonces S = N. Pr explicr el significdo de l xiomátic de los nturles debemos interpretr el elemento σ(n) como el elemento siguiente n y el elemento n como el precedente de σ(n). El número 1 como el único elemento de N no tiene precedente. Todos los demás elementos tienen lo más un precedente según xiom 2. El último xiom llmdo el principio de l inducción mtemátic firm que no existe dentro de N ningún subconjunto propio que stisfg ls condiciones 1 y 2. Grcis este xiom se puede ver inmeditmente que cd elemento exepto 1 sí tiene su elemento precedente. Vle l pen estudir su demostrcón que es un ejemplo típico de l plición de l inducción mtemátic. Proposition σ(n) = N \ {1}. Demostrción Se M = σ(n) {1} N. Directmente por l definición el conjunto M contiene l elemento 1 y está cerrdo con respecto l operción σ. Por xiom 3 obtenemos M = N.

9 El tercer xiom permite tmbién probr el siguiente resultdo que demuestr en que sentido N es único. Su demostrción tmbién se bs en en el método de l inducción. Teorem Si ls terns (N, 1, σ) y (M, 1, τ) stisfcen los xioms de Peno, entonces existe un función biunívoc ϕ : N M tl que ϕ(1) = 1 y ϕ(σ(n)) = τ(ϕ(n)). Demostrción Definimos l función ϕ de l mner siguiente:. ϕ(1) = 1, b. si ϕ(n) = m entonces ϕ(σ(n)) = τ(m) = τ(ϕ(n)). El dominio D de est función contiene el elemento 1 y es cerrdo con respecto σ. Entonces D = N. Es un función unívoc, porque ϕ(σ(n)) = ϕ(σ(m)) implic τ(ϕ(n)) = τ(ϕ(m)) y por xiom 2 se sigue ϕ(n) = ϕ(m). L imgen J = ϕ(n) contiene 1. Si p J entonces p = ϕ(n) pr lgún n N. Obtenemos τ(p) = τ(ϕ(n) = ϕ(σ(n)) J. Por xiom 3 que es válido pr l tern (M, 1, τ) obtenemos que ϕ es tmbién supryectiv. Después de hber presentdo l xiomátic de los números nturles vmos recordr brevemente el desrrollo de ls propieddes de su estructur. El ppel prepondernte pertenece l operción de dición en N. No nos debe sorprender que l definición tiene tmbién crácter inductivo. Definición L sum es un operción N N (n, m) n + m N definid en dos psos: 1. L sum con 1 n + 1 = σ(1). 2. conociendo el vlor de n + m ponemos n + σ(m) = σ(n + m). De cuerdo con Proposión cd elemento de N que no es 1, tiene l form σ(m). Aplicndo el tercer xiom de Peno se deduce que l sum está definid pr todo pr (n, m). Est demostrción se recomiend como un ejercicio. 3

10 4 Teorem L plicción N N (n, m) n + m N tiene ls siguientes propieddes: Es conmuttiv: n + m = m + n y socitiv: n + (m + k) = (n + m) + k. Tiene tmbién l propiedd de cncelción: n + k = m + k n = m. En N se define tmbién l multiplicción. Definición L plicción de l multiplicción N N (n, m) nm N 1. n1 = n, pr todo n N, 2. Si conocemos el vlor nm, definimos σ(m)n = mn + n. L propiedd 2 de l definición está crendo l fundmentl relción entre l multiplicción y l sum. Tomndo m = 2 = σ(1) obtenemos l fórmul 2n = n + n; pr m = 3 se sigue 3n = 2n + n = n + n + n etc., lo que está de cuerdo con l definición intuitiv de que mn = n + + n (m-veces.) Teorem L multiplicción es conmuttiv: nm = mn y socitiv: n(mk) = (nm)k. Tiene tmbién l propiedd de cncelción: nk = mk n = m. L dición y l multiplicción están relcionds por l propiedd de distribución: (n + m)k = nk + mk. Tenemos finlmente un orden nturl en N. Definición Si n, m N, denotmos n < m y decimos que n es menor que m, o que m es myor que n, cundo existe k N tl que m = n + k. Este orden es trnsitivo, es decir m < n y n < k implic m < k. He quí ls fórmuls de l comptibilidd del orden con ls operciopnes de sum y multiplicción: Si m, n, k, l N y m < n, k < l entonces

11 5 1. m + k < n + l, 2. mk < nl. Un vez más se plic el último xiom de Peno pr demostrr l propiedd de tricotomí: Pr cd pr, b N un y solo un de ls tres posibiliddes se d: < b, = b, b <. El principio de buen orden tmbién se deduce del xiom de inducción: Cd conjunto F N contiene un único elemento mínimo. Construcción de Z L construcción de los números enteros consiste en gregr N el elemento neutrl 0 y el conjunto de los enteros negtivos. Como resultdo obtenemos un nillo ordendo: un grupo conmuttivo con respecto l dición y provisto de un orden y demás de l multiplicción. En el producto crtesino N N introducimos l relción (m, n) (k, l) cundo m+l = n+k. Dejmos l lector l tre de verificr que est relción es de equivlenci. Definición L clse del elemento (m, n) se v denotr m, n y se llm un número entero. Por Z = N N/ denotmos el conjunto de ls clses de equivlenci con respecto l relción. El cálculo de los enteros surgió en form nturl de los clculos finncieros de los efectivos y los deudos. Si en el pr (m, n) se interpret m como efectivos y n como deudo, entonces dos pres (m, n) y (k, l) les corresponde l mism situción finncier cundo m + l = k + n, es decir cundo (m, n) (k, l). Los números nturles no son suficientes pr describir ls situciones cundo l deud super los efectivos y est es l rzón de introducir el espcio de los enteros. En el espcio Z sumergimos los números nturles utilizndo l función ι: N n n + 1, 1 Z. (1.1) L imgen de est plicción stisfce los tres xioms de Peno por lo que se puede identificr con N. Considermos N como subconjunto de Z.

12 6 En Z definimos l operción de dición y de l multiplicción extendiendo ls que tenemos y definids en N. L dición: m, n + k, l = m + k, n + l, L multiplicción: m, n k, l = mk + nl, ml + nk. Cd vez que definimos un función sobre ls clses de equivlenci utilizndo los representntes de l clse, es necesrio verificr que l definición es correct. Lo hcemos en el cso de l multiplicción que prentemente es más complicdo. Tomndo (m, n ) (m, n) y (k, l ) (k, l) debemos probr que (m k + n l, m l + n k ) (mk + nl, ml + nk). Disponemos de l informción de que m + n = n + m y k + l = k + l. Multiplicndo l primer ecución por k y luego por l y l segund por m y por n obtenemos: k m + k n = k m + k n, l m + l n = l m + l n, mk + ml = mk + l m nk + nl = nk + nl. Summos los ldos izquierdos y los ldos derechos de ls ecuciones y obtenemos: k m + l n + ml + nk + k n + l m + mk + nl = k n + l m + mk + nl + k m + l n + l m + nk. Grcis l propiedd de l cncelción llegmos l iguldd k m + l n + ml + nk = k n + l m + mk + nl, que demuestr l equivlenci desed. L demostrción correspondiente l definición de l sum que es más sencill, se recomiend como un ejercicio. En l proposición siguiente verificmos que ls operciones introducids en Z constituyen un extención de ls operciones definids nteriormente pr N. Proposición Si ι : N Z es l inyección definid en (1.1), entonces pr todos n, m N 1. ι(m + n) = ι(m) + ι(n), 2. ι(mn) = ι(m)ι(n).

13 7 Demostrción 1. Clculmos ι(m+n) = m+n+1, 1 = m+n+2, 2 = m+1, 1 + n+1, 1 = ι(m)+ι(n). 2. Directmente por l definición ι(m)ι(n) = m + 1, 1 n + 1, 1 = (m + 1)(n + 1) + 1, m n + 1 = mn + 1, 1 = ι(mn). He quí el resumen de ls propieddes de ls operciones de l dición y de l multiplicción: Teorem Pr, b, c Z 1. + b = b (b + c) = ( + b) + c. 3. L clse 0 = 1, 1 es el único elemento tl que + 0 = pr todo Z. 4. Pr cd = m, n Z el elemento = n, m = 1, 2 m, n es el único número que stisfce + ( ) = b = b. 6. (bc) = (b)c. 7. (b + c) = b + c. 8. L clse 1 = 2, 1 es el único elemento tl que 1 = pr todo Z. Demostrción Tods ls fórmuls se obtiene plicndo directmente ls definiciones correspondientes, entonces dejmos est tre como ejercicio. Nos limitmos demostrr que los elementos neutrles de l dición y de l multiplicción y el elemento inverso de l dición son únicos. Si + 0 = y + 0 = pr todos Z, entonces substituyendo = 0 en l primer ecución y = 0 en l segund obtenemos 0 = = 0. En form nálog, si 1 = y 1 = idénticmente pr Z, entonces en prticulr 1 = 1 1 = 1. Los elementos neutrles son únicos.

14 8 Si y son inversos ditivos de, entonces = + 0 = + ( + ) = ( + ) + =. Al finl definimos el orden en Z. Lo hcemos determinndo primero los conjuntos de elementos positivos y negtivos. Z + = { m, n m > n}, Z = { m, n m < n}. Cundo m > n, tomndo en cuent que m, n = m n + 1, 1 = ι(m n). Por lo tnto Z + = ι(n). Usndo est observción y Proposición obtenemos inmeditmente: Corolrio Si, b Z +, entonces + b, b Z +. Pr cd pr de números nturles (m, n) tiene lugr un y solo un de ls relciones: m > n ó m < n ó m = n. Por lo tnto Denotmos tmbién Z = Z + Z. Z = Z + {0} Z. Definición Sen, b Z. Decimos que es menor que b (denotmos < b) cundo b Z +. Denotmos b cundo b Z + {0}. El estudio de est relción, lo dejmos l sección siguiente, donde Z se sumerge en el cmpo de los números rcionles Q y el orden quí definido tmbién se extiende l orden en este espcio más grnde. 1.2 Números rcionles L descripción de los números rcionles que vmos presentr no difiere mucho de l descripción conocid de l escuel primri donde los números rcionles se llmn ls frcciones o los quebrdos n. Se trt de un m procedimiento que se plic tmbién en otrs situciones cundo tenemos un estructur ditiv de grupo conmuttivo combind por medio de l fórmul de distribución con l multiplicción tmbién conmuttiv sin divisores de cero. L construcción de los quebrdos sumerge est estructur en un cmpo, es decir un estructur, donde cd elemento no nulo tiene su inverso multiplictivo. En nuestro cso prtimos de los números enteros Z y el propósito es sumergir Z en un cmpo Q lo más pequeño posible. El hecho de que Q se un

15 cmpo signific que pr cd p Q, p 0 existe su inverso multiplictivo, es decir un número p 1 Q tl que p(p 1 ) = (p 1 )p = 1. Mientrs que l introducción de los números enteros tuvo como propósito obtener un estructur que contiene N y donde cd elemento tiene su inverso ditivo, l introducción de Q reliz el mismo pln con respecto l multiplicción de elementos no nulos. Psmos l construcción de Q. En el espcio de los pres (m, n) Z Z introducimos l siguiente relción. 9 (m, n) (k, l) cundo lm = kn. Proposición L relción es un relción de equivlenci. Demostrción L condición (m, n) (m, n) se cumple obvimente. L condición lm = kn signific que se cumple (m, n) (k, l) y tmbién (k, l) (m, n), entonces l relción es simétric. Supongmos que (m, n) (k, l) y (k, l) (r, s). Tenemos entonces kn = lm y lr = sk. Por lo tnto kns = lms = lrn que implic l(ms rn) = 0. Por suposición l 0 entonces ms = rn que signific (m, n) (r, s). El espcio de los números rcionles es el conjunto Q de ls clses de equivlenci Z Z /. L clse de equivlenci de (m, n) se v denotr por [m, n]. Sumergimos Z en Q por medio de l plicción τ : Z Q, donde τ(m) = [m, 1]. Relmente se trt de un inyección porque [m, 1] = [k, 1] implic (m, 1) (k, 1) y luego m = k. En Q introducimos ls operciones de l dición y de l multiplicción. 1. [m, n] + [k, l] = [lm + nk, nl], 2. [m, n][k, l] = [mk, nl]. Nuevmente hemos definido un operción en el espcio de ls clses de equivlenci por medio de ls operciones sobre los representntes de ls clses. Es necesrio comprobr que l definición es correct - que el resultdo no depende del representnte prticulr de cd clse. Lo vmos hcer únicmente en el cso de l sum, que es reltivmente más complicdo.

16 10 Sen (m, n) (m, n ) y (k, l) (k, l ). Debemos demostrr que (lm + nk, nl) (l m + n k, n l ). Lo que sbemos es que mn = nm y kl = lk. Clculmos: (lm + nk)n l = lmn l + nkn l = lnm l + nn k l = (m l + n k )nl, por lo cul efectivmente (lm + nk, nl) (l m + n k, n l ). El pso siguiente es ver que l inyección τ trnsform l dición y l multiplicción en Z en ls operciones correspondientes en Q. Con este fin clculmos: τ(n + m) = [n + m, 1] = [n, 1] + [m, 1] = τ(n) + τ(m), τ(nm) = [nm, 1] = [n, 1][m, 1] = τ(n)τ(m). Ls propieddes principles de l estructur lgebráic definid en Q están contenids en el siguiente teorem: Teorem Pr, b, c Q 1. + b = b +, 2. + (b + c) = ( + b) + c, 3. l clse 0 = [0, 1] es el único elemento tl que + 0 = pr todo Q, 4. pr cd = [m, n] Q el elemento = [ m, n] es el único número que stisfce + ( ) = b = b, 6. (bc) = (b)c, 7. (b + c) = b + c, 8. l clse 1 = [1, 1] es el único elemento tl que 1 = pr todo Q, 9. si = [m, n] 0 entonces 1 = [n, m] es el único elemento tl que ( 1 ) = 1. Demostrción No vmos desrrollr los cálculos que unicmente necesitn l plicción de ls definiciones correspondientes. Los recomendmos como ejercicios. L unicidd de los elementos neutrles de l dición y de l

17 multiplicción, sí como l unicidd de se demuestr como en el cso de los números enteros. Nos qued por demostrr que el inverso multiplictivo es único. Si 1 y son inversos multiplictivos de 0 entonces 1 = ( 1 )1 = ( 1 ) =. A continución en vez de + ( b) vmos escribir b llmndo est operción l sustrcción. En en lguns ocsiones denotmos en vez de b (b 1 ). (Aquí b se supone 0). Est operción se llm l división de entre b. Ls propieddes descrits en el último teorem se pueden resumir diciendo: Q es un cmpo. Otr estructur importntísim que existe en Q es el buen orden. Pr determinrlo definimos primero los conjuntos de los elementos positivos y de negtivos. Sen Q + = {[m, n] nm > 0}, Q = {[m, n] nm < 0}. Ests definiciónes necesitn ciert clrción. Debemos ver que el signo del producto nm es constnte pr cd elemento de l clse [m, n] 0. Si (m, n ) (m, n) entonces mn = m n y obtenemos (mn)(m n ) = (nm ) 2 > Por lo tnto mn y m n tienen el mismo signo. Ls definiciones de Q +, Q son corrects. Obvimente Q = Q {0} Q + donde los tres componentes son disjuntos. Est propiedd es llmd l tricotomí del orden en Q. Denotmos Q = Q + Q. Observemos l siguiente propiedd del conjunto Q + : Proposición Pr, b Q rbitrrios 1. + b Q +, 2. b Q +.

18 12 Demostrción Sen = [m, n], b = [k, l] Q +. Tenemos mn > 0 y kl > 0. Luego, pr +b = [lm+nk, nl] clculmos (lm+nk)nl = l 2 mn+n 2 lk > 0, entonces + b Q. Pr el producto b = [mk, nl] obtenemos mknl = (mn)(kl) > 0, entonces b Q. Finlmente introducimos el orden en Q: < b cundo b Q +, b cundo b {0} Q +. Tenemos en prticulr: < b si y solo si b > 0. L demostrción de que es un orden es sencill y se dej como ejercicio. Como es costumbre con frecuenci escribiremos > b ó b en lugr de escribir b < ó b. L relción del orden con ls operciones de l dición y de l multiplicción se describe en el siguiente teorem. Teorem Sen, b, c, d Q. Entonces 1. si < b, entonces + c < b + c, 2. si < b y c < d, entonces + c < b + d, 3. > 0 si y solo si < 0, 4. si < b y 0 < c entonces c < bc, 5. si < b y c < 0 entonces c > bc, 6. > 0 si y solo si 1 > 0, 7. Si 0 < < b entonces b 1 < 1. Demostrción Tods ls firmciones se demuestrn directmente por l definición usndo ls propieddes básics de los conceptos en cuestión. Inciso 1 dice nd ms que b + c ( + c) = b > 0. En inciso 2 por suposición b 0 y d c 0. Proposición firm que b + d c = b + d ( + c) 0. Entonces b + d + c.

19 En inciso 3, si suponemos que Q +, obtenemos de l Proposición que 0 = + ( ) Q +, que no es cierto. Por lo tnto 0 y como 0 (ver ejercicio 6) se sigue que < 0. Entonces < 0. Pr demostrr 4 clculmos c bc = ( b)c Q + por Proposición Análogmete, si c < 0 obtenemos c > 0 y por lo tnto ( c)(b ) = cb + c > 0, lo que implic c > cb. En el cso del inciso 6 plicmos el mismo rzonmiento que en 3, recordndo que es el inverso de 1. Finlmente, pr obtener 7 multiplicmos mbos ldos de l desiguldd < b por b 1 obteniendo (b 1 ) < 1. Multiplicmos l últim desiguldd por 1 y llegmos l fórmul b 1 < 1. L introducción del orden en Q nos permite observr uns propieddes nuevs del cmpo Q. Teorem Si, b Q y < b, entonces existe c Q tl que < c < b. Demostrción Definimos c = + b. Por suposición tenemos 2 < +b < 2 2b. Dividiendo entre 2 psmos < + b < b. 2 Como corolrio podemos deducir tn llmd propiedd rquimedin de los rcionles: 13 Teorem Si, b Q + y < b, entonces existe n N tl que b < n. Demostrción Por Teorem existe 0 < [m, n] tl que [m, n] < b. Multiplicndo mbos ldos de l desiguldd por nb obtenemos mb < n. Sin embrgo m 1, entonces b mb < n. Corolrio Ddo Q +, pr cd ɛ > 0 existe n N tl que 2 < ɛ. n Dejmos l demostrción como ejercicio.

20 Cortdurs de Dedekind Antes de psr l construcción de los números reles debemos explicr ls rzones de hcerlo. Los números nturles N se introducen pr poder contr objetos. En N podemos sumr y multiplicr los elementos. El nillo de los números enteros Z se construye pr poder demás efectur ls sustrcciones. En el cmpo de los rcionles Q podemos demás dividir entre culquier elemento distinto de cero. En los csos de Z y Q ls rzón de construirlos es de crácter lgebrico. Desde este punto de vist l estructur del cmpo Q y es muy stisfctori, unque no perfect (hbrán rzones tmbién lgebrics pr sumergirl en el cmpo de los complejos). Sin embrgo, l construcción de los reles está motivd por necesiddes de otro crácter que, delntndonos un poco, podemos llmr topológicos. Pr explicrlos recordemos primero un hecho bién conocido: Ejemplo 1: No existe en Q ningún número q que stisfg l ecución q 2 = 2. Pr demostrrlo supongmos que pr m, n N el número q = [m, n] cumple con q 2 = [m, n] 2 = [m 2, n 2 ] = 2 y por lo tnto m 2 = 2n 2. Si m 2 contiene 2 como fctor, entonces m es de form m = 2k con k N. Por lo tnto m 2 = 4k 2 = 2n 2. Obtenemos 2k 2 = n 2, lo que implic n = 2l, donde l N. Pero entonces [m, n] = [k, l], donde k = m/2 y l = n/2 son números nturles. Repitiendo el rgumento obtenemos que, si el pr (m, n) stisfce l ecución [m, n] 2 = 2, entonces pr cd p N el número m/2 p sigue siendo un número nturl. Obtenemos l contrdicción con el principio de buen orden, porque result que el conjunto {m N n N, [m, n] 2 = 2} no tiene elemento miniml. No existe entonces l solución rcionl de l ecución q 2 = 2. Observemos hor que, de tods mners el número 2 se puede cosr por mbos ldos por los números de form q 2, donde q Q. Denotemos p = {p Q p < 0 o p 2 < 2}. Teorem Pr todo 0 < p p y q p existen p 1, q 1 Q tles que p < p 1, q 1 < q y p 2 < p 2 1 < 2 < q1 2 < q 2. Demostrción Como y sbemos, l solución rcionl de l ecución x 2 = 2 no existe.

21 15 El complemento del conjunto p tiene l form p c = {x Q x 2 > 2}. Nuestr suposición signific entonces que p 2 < 2 < q 2. Buscmos 0 < h i Q, i = 1, 2, tles que (p + h 1 ) 2 < 2 < (q h 2 ) 2. Representmos (p + h 1 ) 2 = p 2 + (2p + h 1 )h 1. Si hcemos h 1 < 1 y l mismo tiempo h 1 < 2 p2 2p+1, obtenemos pr p 1 = p + h 1 : p 2 1 = p 2 + (2p + h 1 )h 1 < p 2 + (2p + 1)h 1 < p p 2 = 2. Tomndo h 2 = q2 2 2q obtenemos pr q 1 = q h 2 : q 2 = (q h 2 ) 2 = q 2 (q 2 2) + h 2 2 > 2. Pr dr un interpretción importnte del Teorem introduzcmos los conceptos de elemento mximl y de elemento miniml de un conjunto A Q. Diremos que A tiene elemento mximl si existe M A tl que p M pr todo p A. En tl cso denotmos M = mx A. El conjunto A tiene elemento miniml si existe m A tl que p m pr todo p A. Denotmos m = min A. Teorem combindo con Ejemplo 1 firm que el conjunto p no tiene elemento mximl. El conjunto p c en cmbio no tiene elemento miniml. Prece que entre los conjuntos p y su complemento qued un hueco y que este hueco es responsble de l flt de l solución de l ecución r 2 = 2. L construcción de los números reles nos proporcionrá en prticulr tl número que demás stisfce p < r pr todo p p y r < q pr todo q p c. Vmos llenr huecos en el conjunto de los números rcionles. Definición Un subconjunto propio no vcío Q se llm un cortdur de Dedekind si no contiene un elemento mximl y tiene l siguiente propiedd: x, y < x y. A continución llmmos ls cortdurs de Dedekind solmente cortdurs.

22 16 Pr obtener ejemplos de cortdurs podemos tomr Q y luego definir x = {x Q x < }. (1.2) Este conjunto stisfce tods ls condiciones que definen un cortdur. Es tmbién obvio que si, b Q y < b entonces x x b y x x b. Efectivmente, el número rcionl 1 2 ( + b) pertenece x b y no pertenece x. Ls cortdurs de l form x, Q se llmn cortdurs rcionles. He quí un crcterístic de ls cortdurs rcionles. Teorem L cortdur es rcionl si y solo si su complemento c contiene un elemento miniml. Demostrción Si = x m con m Q, entonces m es el elemento miniml de c. Supongmos que m es el elemento miniml de c. Si x Q y x > m entonces x c, porque si x y m < x implic m, que no es cierto. Obtenemos entonces c = {x Q x m} y por lo tnto = {x Q x < m}. Observemos tmbién que los elementos de un cortdur no están seprdos de los elementos del complemento c. Teorm Se un cortdur. Pr todo ε > 0 existen x 0 y y 0 c \ {min c } tles que y 0 x 0 ε. Demostrción Sen x e y c \ {min c }. Tomemos el número z = x+y. Si z, entonces x 2 1 = z, y 1 = y stisfcen y 1 x 1 y x. Si 2 z c \ {min c } ponemos x 1 = x, y 1 = z y l mism desiguldd es válid. Cundo z = min c podemos tomr x 1 = 3x + 1y y y = 1x + 3y 4 4 c y llegmos l mism desiguldd. Ahor plicndo l inducción podemos obtener x n y y n c tles que y n x n < y x. Tomndo n suficientemente grnde podemos cumplir 2n con y n x n < y x < ε. 2 n L plicción que cd Q le soci l cortdur x sumerge los números rcionles en el conjunto de ls cortdurs. Surge l pregunt: Existen ls cortdurs que no son rcionles?

23 17 Ejemplo fundmentl Veremos que el conjunto p = {x Q x < 0 o x 2 < 2} es un cortdur no rcionl. Este conjunto no es vcío y no es igul Q. Si x p y tenemos y < x, entonces en el cso de y 0 inmeditmente obtenemos que y p. Si 0 < y l desiguldd y < x implic y 2 < x 2 < 2, entonces y p. El conjunto p no contiene elemento mximl por el Teorem Así vemos que p es un cortdur. Por el mismo teorem sbemos que p c no tieme elemento miniml, entonces p no es cortdur rcionl. En l teorí que estmos presentndo l cortdur ρ represent l número 2. Obvimente, modificndo muy poco los mismos rzonmientos podemos construir otrs cortdurs no rcionles correspondientes los números como 1 3, 5 3 etc. Definición Al conjunto de tods ls cortdurs de Q, lo vmos llmr el eje rel y lo denotmos por R. Sus elementos - ls cortdurs se vn llmr los números reles. Como señlmos nteriormente los números rcionles se sumergen en R por medio de l plicción ι: Q R, ι(p) = x p. L ide de usr ls cortdurs pr construir el eje rel pertenece Richrd Dedekind ( ). Otros enfoques l teorí de los reles fueron credos por Cntor, Weierstrss. Hoy los métodos de Cntor y de Dedekind son los más usdos. Desrrollndo l ide vmos definir en R ls operciones lgebráics y el orden en form consistente con ls estructurs conocids en el conjunto de los rcionles. Adición Sen p, q dos cortdurs. Se p + q = { + b p, b q}. Por el momento p + q está bién definido como un subconjunto de Q. Demostrremos que p + q R, es decir que se trt de un cortdur. El conjunto no es vcío y tmpoco es igul Q. Si x p + q entonces x = + b, donde p, b q. Existen p, b q tles que < y b < b. Entonces + b < + b = y p + q. El conjunto p + q no tiene elemento mximl.

24 18 Si x p + q e y < x entonces representndo nuevmente x = + b, donde p, b q podemos escribir y = + (b (x y)). En virtud de que b (x y) < b obtenemos b (x y) q y por consiguiente y p + q. El conjunto p + q es un cortdur llmd l sum de p y q. L operción (p, q) p + q se llm dición. El teorem siguiente describe ls propieddes básics de est operción. Denotmos por 0 l cortdur x 0. Teorem Pr todo p, q, r R 1. p + q = q + p, 2. p + (q + r) = (p + q) + r, 3. p + 0 = p. 4. Existe un sol cortdur denotd por p tl que p + ( p) = 0. Demostrción Ls propieddes 1 y 2 son obvis porque l dición en Q es conmuttiv y socitiv. Si x p + 0 entonces x = + b, donde p y b < 0. Por lo tnto + b <, lo que implic x = + b p. Obtenemos p + 0 p. Si p, entonces existe y p tl que < y, es decir y 0. Entonces = y +( y) p+0. Se cumple tmbién l contensión p+0 p, entonces l iguldd 3. está probd. Pr demostrr el inciso 4. vemos primero que l solución de l ecución p + q = 0, si existe, es únic. Supongmos entonces que p + q = 0 y p + s = 0. Aplicndo ls propieddes 1, 2 y 3 obtenemos q = (p + s) + q = (p + q) + s = s. Pr definir l cortdur p que stisfg 4. consideremos primero un cortdur rcionl. Si p = x entonces definimos p = x. Si p no es rcionl ponemos p = { p c } Por ser rcionl p c no contiene elemento mínimo, entonces p c no contiene máximo. Se x p, por lo cul x p c. Si y < x, entonces x < y p c. Se stisfce y p c. De tl mner result que el conjunto

25 p = { p c } es un cortdur. Tenemos definido l cortdur p pr p rbitrrio. En mbos csos podemos escribir p = { x x p c \ {min p c }}. Pr cd x p y y p c \{min p c } es válido que x y < 0, entonces p+( p) 0. Por otro ldo, por teorem pr ɛ < 0 rbitrrio existen x p y y p c \ {min p c } tles que ɛ < x y. Y que x y p + ( p) de quí se obtiene ɛ p + ( p) y por ende 0 p + ( p) y l demostrción está complet. El elemento q se llm el inverso ditivo de q. De quí en delnte escribimos p q en lugr de p + ( q). Proposición Pr todo p, q R Demostrción Clculmos: (p q) = q p. (p q) + (q p) = p + ( q) + q + ( p) = 0. Sbemos que pr cd x su inverso ditivo está univocmente definido por l ecución x + ( x) = 0. Por lo tnto el inverso ditivo de p q es es l cortdur q p. Positividd y el orden en R El orden en el espcio de cortdurs se introduce por medio de l contensión. Decimos que q es myor o igul p (p es menor o igul q) si p q. Denotmos en tl cso q p, (p q). L relción p < q (o q > p) signific que p es un subconjunto propio de q. Decimos que l cortdur p es positiv cundo p > 0; es negtiv cundo p < 0). Teorem Si p < q entonces existe Q tl que p < x < q. Demostrción Por l suposición existe b q\p. L cortdur no contiene elemento mximl, entonces existe tl que b < q. L cortdur x contiene p propimente, porque contiene b, que no es elemento de p. L contensión x q tmbién es propi, porque q contiene un elemento myor que. 19

26 20 Ahor podemos describir l positividd y l negtividd de l siguiente mner. Proposición p > 0 si y solo si p contiene p < 0 si y solo si p c contiene un número negtivo. Teorem (propiedd de tricotomí) Si p R entonces es válid un y solo un de ls trs opciones: 1. p < 0, 2. p = 0, 3. p > 0. Demostrción Est firmción únicmente expres ls propieddes elementles de l contensión. Pr p rbitrrio 0 p ó 0 p. En el primer cso 0 < p. En el segundo cso p Q = 0. Si l contención es propi tenemos p < 0. En otro cso p = 0. El orden < está univocmente definido por l positividd. Proposición p < q si y solo si q p > 0, 2. p < 0 si y solo si p > Si p < q entonces p + s < q + s pr s rbitrrio. Demostrción 1. Supongmos p < q. Existe q \ p tl que min p c. En este cso p y 0 = q p. Entonces q p > 0. Si q p > 0, entonces 0 q p. Existe entonces q tl que p. Por lo tnto p < q. Apliquemos inciso 1 q = 0 y obtenemos 2. L suposición p < q equivle q + s + ( s) + ( p) > 0. El elemento ( s) + ( p) es inverso s + p, entonces q + s + (s + p) > 0. Aplicndo nuevmente inciso 1 obtenemos s + p < s + p. Por R + denotmos el conjunto de números reles positivos y por R los negtivos. Además R = R + R. Definimos el vlor bsoluto de un número rel: { p si p 0, p = p si p < 0. El vlor bsoluto de culquier cortdur es un cortdur no-negtiv.

27 21 Multiplicción A diferenci del cso de l sum de ls cortdurs, l definición del producto no es tn nturl. El conjunto P (p, q) = {b p, b q} no es un cortdur. En prticulr P (0, 0) = Q +, mientrs que P (1, 0) = Q. Pr definir el producto que teng propieddes deseds considermos primero cortdurs no-negtivs. Sen p, q R + {0}. Entonces Pr p, q R definimos pq = { p q p q pq = Q {b 0 p, 0 b q}. si mbs cortdurs son no-negtivs ó no-positivs, en otros csos. Vemos que el conjunto definido es efectivmente un cortdur. Obvimente es un conjunto no vcío. Tmpoco es vcío su complemento. Supongmos que x pq y que y < x. Si x 0 entonces y < 0 y por lo tnto pertenece pq. Supongmos entonces que x = b, donde 0 < p, 0 < b q. Representmos y = y b b. Sbemos que 0 < y b < 1 y por lo tnto y b p. Obtenemos y = y b pq. b El producto pq sí es un cortdur. Denotemos x 1 = 1 y x 1 = 1. Proposición Pr todos p, q, s R 1. pq = qp, (conmutividd del producto) 2. (pq)s = p(qs), (socitividd del producto) 3. 1p = p1 = p, 4. p = ( 1)p.

28 22 Demostrción El producto de dos cortdurs positivs p, q es l unión del conjunto Q {0} y del conjunto de los productos b, donde 0 p, 0 b q. Por l conmutividd del producto en Q obtenemos p q = q p. El signo del producto en el cso generl no depende tmpoco del orden de l multiplicción. L socitividd del producto en Q implic l fórmul (pq)s = p(qs) en el cso de tres cortdurs no-negtivs. El signo del producto triple en el cso generl es positivo si todos los fctores son no-negtivos ó únicmente dos de ellos son negtivos. En los demás csos el signo es negtivo. El signo no depende del orden de efectur ls multiplicción, entonces fórmul 2 es válid. Psmos l inciso 3. Es suficiente demostrr que l fórmul es válid pr p > 0. Ls cortdurs 1p y p1 constn de Q y de todos los productos b, 0 < 1, b p. Obvimente 1p p. Por otro ldo pr cd 0 b p existe c tl que b < c p. Entonces b = c b c 1p, porque b 1. El inciso 3 c está demostrdo. L cortdur 1 es negtiv y su vlor bsoluto es 1. Por l definición del producto y por el inciso 1 tenemos pr p 0: ( 1)p = p = p. Cundo p < 0 obtenemos ( 1)p = p = p. En mbos csos es válid l fórmul 4. Introduzcmos l notción { 1 cundo p 0, sgn p = 1 cundo p < 0. Cd cortdur se puede escribir hor como p = (sgn p) p. Con est notción pq = (sgn p)(sgn q) p q. SEguido probmos que el inverso multiplictivo existe pr todos los reles no-nulos. Teorem Pr cd p R, p 0 existe un único elemento denotdo por p 1 tl que p(p 1 ) = p 1 p = 1. Demostrción Supongmos que p > 0 y se p C = p c \ {min p c }. El conjunto p C tiene l propiedd de que p C y < b implic b p C. Se p 1 = Q {0} { 1 p C }. Este conjunto no es vcío y tmpoco es igul Q. No contiene máximo, porque p C no contiene mínimo. Supongmos que

29 < b y que b p 1. Si 0 entonces Q {0} p 1. Qued por demostrr el cso de b, > 0. Tenemos entonces b 1 < 1, donde b 1 p C. Se stisfce 1 p C y por lo tnto p 1. El conjunto p 1 es un cortdur. L multiplicción es conmuttiv, entonces es suficiente demostrr que p(p 1 ) = 1. L cortdur p(p 1 ) const de Q + {0} y de todos los productos b 1, p, b p C. En virtud de que < b obtenemos p(p 1 ) 1. Se 0 < x < 1 y sen 0 < p, b p C. Se 0 < ɛ < ( 1 1). Por x Teorem existen > y 0 < h < ɛ tles que p y + h p C. El cálculo directo demuestr que x < <. El último número pertenece +h +h p(p 1 ), entonces x tmbién le pertenece. Hemos probdo que 1 p(p 1 ) y l demostrción está termind. Por p vmos denotr el producto q p(q 1 ). Debemos estudir finlmente l relción entre l estructur ditiv y l estructur multiplictiv en R. 23 Teorem Pr todos p, q, s R 1. 0p = p0 = p(q + s) = pq + ps. Demostrción Inciso 1 se obtiene directmente plicndo l definición del producto. Pr demostrr 2 tomemos en principio p = 1. Como firm el inciso 4 del Teorem ( 1)(q + s) es el elemento inverso l q + s. El último coincide con q s = ( 1)q + ( 1)s. L fórmul es válid. Ahor supongmos que p y q, s son positivs. Pr cd x p(q + s) existen 0 < p, 0 < b q, 0 < c s tles que x < (b + c) = b + c. El elemento b+c pertenece pq + ps. Esto demuestr que p(q+s) pq+ps. Pero tmbién pr cd y pq + ps existen 0 < p, 0 < b q, 0 < c s tles que y < b + c = (b + c ). Entonces pq + ps p(q + s). Ahor, siguiendo con el cso de p, q, s positivos supongmos que q > s. Clculmos p(q s)+ps = p(q s+s) = pq. Por lo tnto p(q s) = pq ps. L fórmul está probd en el cso de p 0 y q + s 0. Pr obtener l fórmul en cso generl es suficiente recordr que cd cortdur se puede escribir como p = (sgn p) p y usr l socitividd del producto.

30 24 De tl mner cbmos de demostrr que (R, +, ) es un cmpo en el cul está sumergido el cmpo de los rcionles Q. En mbos espcios tenemos demás definido un orden. Sin embrgo en este momento no sbemos todví como ls operciones definids en los reles están relcionds con ls operciones de dición y de l multiplicción de los rcionles. Por lo tnto es fundmentl demostrr que ests operciones coinciden en el sentido siguiente: Teorem Pr todos, b Q 1. x x b si y solo si b, 2. x +b = x + x b, 3. x b = x x b, Demostrción L relción x x b es equivlente x x b, entonces inciso 1 es obvio por l mism definición de x. L cortdur x + x b const de ls sums s + t, donde s <, t < b. Obvimente s + t < + b entonces x + x b x +b. Por otro ldo pr cd v < + b podemos tomr s = + b v x y t = b + b v x b y 2 2 obtenemos que v = s + t, entonces x +b x + x b. Pr demostrr 3 observemos primero que sgn x = (sgn )1. En vist de que pq = (sgn p)(sgn q) p q es suficiente demostrr el inciso 2 en el cso de, b > 0. El producto x x b contiene Q {0} y todos los productos st, donde 0 < s <, 0 < t < b. Entonces st < b, lo que demuestr l contensión x x b x b. Si 0 < v < b entonces existe un número rcionl s tl que v < s < b. Se t = v s. Entonces t < y st = v. Y que st x x b, hemos obtenido l relción x b x x b. De quí en delnte vmos identificr Q con su imgen bjo l plicción Q x R, entonces trtremos Q como un subcmpo de los reles R.

31 Propiedd de supremo L construcción de los reles por medio de ls cortdurs fue motivd por el hecho de que Q se puede representr por ejemplo como Q = { Q 2 < 2} { Q 2 > 2}, donde ninguno de los componentes contiene extremo, es decir { Q 2 < 2} no tiene máximo y { Q 2 > 2} no contiene mínimo. En R tl situción es imposible. Vmos formulr este hecho en vris forms. Recordemos que pr A R el supremo de A se define como un número rel S tl que 1. A S, 2. ɛ > 0 A S ɛ <. El supremo de A se denot sup A. Teorem (Propiedd de supremo) Se A R cotdo superiormente. Entonces existe sup A. Demostrción Los elementos de A son ls cortdurs p Q. Se S = p A p = { Q p A, p}. Vmos demostrr que S es un cortdur y que S = sup A. El conjunto S no es vcío, porque A no es vcío. Por ser cotdo superiormente A R. Si S tuvier un elemento máximo m tendrímos que m p pr lgún p A. Entonces m serí el máximo pr p que no es posible. Si < b y b S entonces b p pr lgún p A. Entonces p S. S sí es un cortdur. Directmente por su definición p S, es decir p S pr cd p A. Se 0 < ɛ Q. Por Teorem existe S tl que + ɛ S. Existe entonces p S tl que p y por lo tnto x p S x +ɛ p + x ɛ. Ls desigulddes p S p + x ɛ demuestrn que S = sup A.

32 26 L propiedd de supremo es equivlente l siguiente hecho que en relidd firm que considerndo hor ls cortdurs en el espcio R no vmos obtener más de lo que y tenemos. Proposición Se A R un conjunto no vcío que no contiene máximo y stisfce l condición x < A x A. Entonces A = R ó A = {x R x < r}, donde r = sup A. Demostrción Se A R y se c R \ A. Entonces pr todo A tenemos > c. El conjunto A es superiormente cotdo. Existe sup A según Teorem Por suposición A no contiene máximo entonces sup A A c. El complemento de A tiene entonces l form {x R x sup A}, mientrs que A = {x R x < r} como hemos enuncido. Además de l propiedd de supremo, podemos hblr obvimente de l propiedd de ínfimo. Pr A R el supremo de A se es un número rel I tl que 1. A I, 2. ɛ > 0 A S + ɛ >. El ínfimo de A se denot inf A. Teorem (Propiedd de ínfimo) Se A R cotdo inferiormente. Entonces existe inf A. Demostrción Sbemos que existe c R tl que c pr todo A. Tenemos entonces l desiguldd c 0, que equivle c ( ) 0. El número c myoriz todos los elementos del conjunto A = { A}. Aplicndo l propiedd de supremo podemos encontrr S = sup ( A). Tenemos entonces 1. A S,

33 27 2. ɛ > 0 A S ɛ <. Tomndo I = S obtenemos respectivmente 1. A I, 2. ɛ > 0 A < S + ɛ. I = S es igul l ínfimo de A. 1.5 Rices Un de ls consequencis de l propiedd de supremo es l existenci de l ríz 1 n pr todo 0 < R, n N. Necesitmos dos sencillos resultdos uxilires. Lem Sen 0 < p, q R. Entonces p < q si y solo si p n < q n. Demostrción Aprovechmos l fórmul lgebráic q n p n = (q p)(q n 1 + q n 2 p + + qp n 2 + p n 1 ) (1.3) que se demuestr directmente plicndo socitividd y distribuitividd de l multiplicción. El producto de números positivos y l sum de números positivos número positivo, entonces el segundo fctor del ldo derecho de l fórmul es positivo. Los números q p y q n p n son del mismo signo positivo. Proposición Se A R + un conjunto cotdo y se n N. Denotemos A n = {x n n A}. Entonces sup A n = (sup A) n y inf A n = (inf A) n. Demostrción Denotemos s = sup A. Pr todo x A tenemos s y por Lem x n s n. Entonces sup A n s n. Ddo ɛ > 0, se A tl que s < ɛ. Utilizndo fórmul (1.3) obtenemos ns n 1 s n n = (s )(s n 1 + s n s n 2 + n ) < (s )ns n 1 < ɛ. Así se lleg l fórmul sup A n = (sup A) n. L demostrción en el cso de los ínfimos es nálog y se dej como ejercicio.

34 28 Estmos preprdos pr demostrr el resultdo principl de est sección. Teorem Se n N y se 0 < R. Entonces existe un únic solución positiv de l ecución x n =. Demostrción Sen A = {0 < x R x n < } y B = {0 < x R x n > }. Denotmos s = sup A y m = inf B. Aplicndo Proposición obtenemos y s n = sup{x n x A} = sup{x n x n < } m n = inf{y n y n > }. Por consiguiente s n m n y plicndo Lem se concluye que s m. En el cso de s = m obtenemos s n = m n = lo que termin l demostrción. Supongmos entonces que s < m. Existe un número rel p tl que s < p < m y por consiguiente s n < p n < m n. Ese número stisfce un de ls condiciones: p n < ó p n > ó p n =. L primer opción equivle p A, lo que es imposible porque p es ms grnde que s. L segund opción corresponde p B que contrdice l desiguldd p < m. Entonces p n =. Obtuvimos l solución de l ecución. L solución es únic por Lem El número no-negtivo x que stisfce l ecución x n = se denot por 1 n o n y se llm l n-esim ríz de. Qulquier número positivo en el cmpo rel tiene su ríz en el mismo cmpo. Ejercicios y Problems 1. Demuestre que l función F (m, n) = es un biyección de N N sobre N. (m + n 1)(m + n 2) 2 + n

35 29 2. Demostrr que Z + = ι(n). 3. Verificr todos los incisos de Teorem Demostrr que = ( 1) pr cd Z. 5. Demostrr que b = 0 implic = 0 ó b = 0 pr, b Z. 6. Se S Z un subgrupo ditivo de Z, es decir un subconjunto que contiene cero, es cerrdo con respecto de l sum y de l operción n n. Demostrr que existe k N tl que S = S k = {nk n Z}. 7. Demostrr que cd [m, n] Q es igul ι(m) ι(m). 8. Probr que, ddo Q +, pr cd ɛ > 0, ɛ > 0 existe n N tl que 2 n < ɛ. 9. Deducir Teorem prtir de l propiedd rquimedin Demuestre que {q Q q 3 < 5} es un cortdur que no es rcionl. 11. Demostrr que pr p, q R rbitrrios l ecución x + p = q tiene un solución y que est solución es únic. 12. Demostrr que pr p, q R, donde p 0 l ecución xp = q tiene un solución y que est solución es únic. 13. Sen p, q cortdurs no negtivs. Demuestre que pq Demuestre que p q si y solo si p q. 15. Demuestre que p > 1 si y solo si p 1 < Demuestre que pr p > 0 y 0 < t < 1 se tiene tp < p. 17. Se A R + un conjunto cotdo y se B = {x 2 x A}. Pruebe que sup B = (sup A) Pr A R denotemos A = { A}. Demuestre que sup A = inf( A) si por lo menos uno de estos números existe.

36 Demuestre que ɛ > 0 n N tl que 1 n < ɛ. 20. Demueste l desiguldd n n pr i R, 1 i n plicndo l inducción mtemátic.

37 Chpter 2 Sucesiones De quí en delnte dejmos de denotr los números reles con ls letrs negrits que en el cpítulo nterior se usron pr subryr que los números reles según Dedekind están definidos como conjuntos de números rcionles. 2.1 Midiendo ls distncis Muchos de los resultdos que vmos obtener en los cpítulos si- guientes se demuestrn comprndo ls expresiones de form p q, p, q R. Vmos llmr este número no-negtivo l distnci entre p y q y en lguns ocsiones lo denotmos por d(p, q). En geometrí este vlor se interpret como l mgnitud del segmento que une p con q, lo que permite poyr los rzonmientos con cierts interpretciones geométrics. Antes de todo hgmos un observción ingénu y sin embrgo importnte. Decir que x < c pr lgún c > 0 signific que x < c y l vez x < c. Ests dos desigulddes se pueden escribir como c < x < + c y se interpretn diciendo que x se encuentr dentro del intervlo ( c, +c). Ls propieddes básics del vlor bsoluto están contenids en el teorem siguiente. Teorem Pr todos p, q, r R 1. x + y x + y. L iguldd tiene lugr unicmente cundo x y y tienen el mismo signo. 2. x y x r + r y, 31

38 32 (d(x, y) d(x, r) + d(r, y)). 3. x y x y. Demostrción Directmente por l definición del producto de los números reles vemos que x 2 = x 2. Clculmos x + y 2 = (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Según Lem se sigue x + y x + y. L iguldd se obtiene si y solo si xy = x y y lo último es válido si y solo si los signos de mbos números coinciden. Inciso 2 es en relidd un cso prticuler del inciso 1: x y = (x r) + (r y) x r + r y. Desiguldd 2 está demostrd. x y = x y + y y x y + y y = x y. Cmbindo los ppeles de x y y tenemos de l mism mner y x y x = x y. Finlmente x y x y. El vlor bsoluto x se puede interpretr como d(0, x) - l distnci de x del punto 0. L desiguldd 1 dice que l sum x + y no puede distncirse de 0 más que por l sum de ls distncis de x y de y cero. L desiguldd 3 signific que x y y no pueden cercrse más que l diferenci entre sus vlores bsolutos. L desiguldd 2, cundo se generliz los vectores en R n dquiere el nombre de l desiguldd de triángulo y firm que l distnci entre x y y no puede superr l sum de ls distncis de x y de y culguier otro punto del espcio.

39 Sucesiones y subsucesiones Definición Un sucesión en un espcio X es un función con dominio N y vlud en X. En prticulr un sucesión de números reles es un función : N R. A diferenci de otrs funciones, el vlor de un sucesión en n no se costumbr denotr por (n) sino por n. En lugr de mismo se us l notción ( n ). Es un cuestión de trdición que desgrcidmente puede provocr lguns confusiones. En prticulr no se debe confundir l función ( n ) con el conjunto de sus vlores { n } n N. En el espcio de tods ls sucesiones reles podemos definir l sum, producto y veces el cociente de dos sucesiones. Sen ( n ), (b n ) sucesiones reles y R. 1. ( n ) + (b n ) = ( n + b n ), 2. ( n )(b n ) = ( n b n ), 3. ( n ) = ( n ), 4. ( ( ) n) (b n ) = n bn, si b n 0 pr todo n N. Un sucesión ( n ) es cotd superiormente (inferiormente) cundo existe A R tl que n < A (respectivmente n > A) pr todos n N; ( n ) es cotd cundo existe A > 0 tl que n < A pr todos n N. L sucesión ( n ) es creciente (decreciente) cundo n < m implic n < m (respectivmente n > m ). En muchs ocsiones nos interesn unicmente los vlores de un sucesión sobre un subconjunto de N lo que conduce l concepto de l subsucesión. Definición Se (n k ) un sucesión monóton creciente vlud en N y se ( n ) un sucesión rel rbitrri. L sucesión N k nk se llm subsucesión de ( n ) y se denot ( nk ). Ejemplos 1. Se n = ( 1) n. Tomndo n k = 2k obtenemos como ( nk ) l sucesión constnte igul 1, porque 2k = ( 1) 2k = 1. Si en cmbio tommos n k = 2k + 1 obtenemos 2k+1 = ( 1) 2k+1 = 1.

40 34 2. Se n = ( 1) n + n sen (nπ/3). Supongmos que nos interes un subsucesión de ( n ) que teng vlores negtivos. Ponemos n k = 3k. Obtenemos nk = ( 1) 3k + 3ksen (πk) = 1. Si en cmbio queremos obtener un subsucesión creciente podemos tomr n k = 6k + 1 y entonces nk = ( 1) 6k+1 + (6k + 1) sen (2kπ + π 3 ) = ( 1) + (6k + 1) Pr ( n ) rbitrri denotemos: P = {n N n 0}, N = {n N n < 0}. En los conjuntos P, N existe el orden nturl. Por lo menos uno de estos conjuntos es infinito. Supongmos que lo es P. Pr k N denotemos n k = k-ésimo elemento de P. L subsucesión ( nk ) const de todos los elementos no negtivos de ( n ). Si N es infinito podemos construir en form nálog otr subsucesión ( mk ) que const de todos los elementos negtivos de ( n ). 2.3 Sucesiones convergentes. Límites Definición Se ( n ) un sucesión rel y se R. Decimos que l sucesión ( n ) converge l limite si ɛ > 0 N, n N, n ɛ. Denotmos entonces n n ó lim n n =. Decimos que ( n ) es un sucesión convergente cundo existe su límite (unque no sepmos su vlor). Según est definición l convergenci de ( n ) l número rel signific que pr cd ɛ > 0 unicmente un número finito de elementos n no cbe en el intervlo de form [ ɛ, + ɛ]. L convergenci de ( n ) se puede interpretr como l cumulción de los elementos n lrededor del número. En este cso estmos usndo l plbr cumulr en el sentido común y corriente. Hy que mencionr que existe tmbién el concepto mtemático de un punto de cumulción de un conjunto que vmos definir más delnte y cuyo significdo es diferente.