FÓRMULA EFICIENTE Y COMPACTA PARA UN ELEMENTO DE CONTORNO CUADRÁTICO PARA ELASTICIDAD EN 2D RESUMEN

Transcripción

1 Rvista d la acultad d Ingniría U..V., Vol. 8, N, pp. 5-, 3 ÓRMULA EIIENTE Y OMPATA PARA UN ELEMENTO DE ONTORNO UADRÁTIO PARA ELASTIIDAD EN D MAIRA VALERA, LIBER VIDELA, MIGUEL ERROLAZA 3, Escula d Matmáticas, acultad d incias, Univrsidad ntral d Vnzula. maira.valra@cins.ucv.v Instituto d Matrials y Modlos Estructurals, acultad d Ingniría, Univrsidad ntral d Vnzula. lir. vidla@ucv.v 3 Instituto Nacional d Bioingniría, Univrsidad ntral d Vnzula. migul.crrolaza@inaio.du.v ntr for Numrical Mtods in Enginring IMNE, Politc. Univ. of Barclona, Spain. Rciido: novimr Rciido n forma final rvisado: octur RESUMEN En st traajo s otinn las fórmulas crradas (xactas) para las matrics d influncia d los lmntos d contorno n lasticidad plana. Las fórmulas son simpls y ficints, gnrando un aorro sustancial d timpo d jcución computacional cuando s comparan con los métodos d intgración numérica. S otuviron las fórmulas mdiant la manipulación simólica d las cuacions intgrals y solucions fundamntals a partir dl uso d Sistmas d Álgra omputacional (SA), sgdo d un post-procsaminto d las xprsions gnradas. Las fórmulas son adcuadas para la valuación d intgrals cuasi-singulars (punto d colocación muy crcano al lmnto d intgración) y la valuación d intgrals singulars (punto d colocación sor l lmnto d intgración). Adicionalmnt, s discut un jmplo dond s aplica lo dsarrollado n st traajo. Palaras clav: Elmntos d contorno, Intgración analítica, Elasticidad plana. EIIENT AND OMPAT LOSED ORMULAE OR D-ELASTIITY QUADRATI BOUNDARY ELEMENTS ABSTRAT losd (xact) formula for t stiffnss matrics of D-lasticity oundary lmnts ar otaind in tis work. T formula ar simpl and fficint, gnrating sustantially savings of PU tim wn comparing wit numrical intgration approacs. T formula wr otaind y symolic manipulation of t intgral quations and fundamntal solutions, y using omputr Algra Systms (AS), followd y a post-procssing of t gnratd xprssions. T formula ar stal to t valuation of narly-singular intgrals (sourc point vry clos to t intgration lmnt) and to t valuation of singular intgrals (sourc point longs to t intgration lmnt). An application xampl is discussd. Kywords: Boundary lmnt, Analytical intgration, Plan lasticity. INTRODUIÓN El Método d Elmntos d ontorno (ME), tamién conocido como Método d Elmntos d rontra o Método d Elmntos d Bord (BEM, por Boundary Elmnt Mtod) s un método numérico para rsolvr cuacions n drivadas parcials linals qu an sido formuladas como cuacions intgrals (n forma d intgral sor la frontra). Pud sr usado n mucas áras d la ingniría y cincias incluyndo mcánica d fldos, acústica, lctromagntismo y mcánica d la fractura. El ME s, n ocasions, más ficint qu otros métodos, incluyndo lmntos finitos, n términos d rcursos computacionals. oncptualmnt, traaja construyndo una malla sor la suprfici modlada. Existn dos tmas d mayor procupación cuando s utiliza l ME: xactitud y vlocidad. Es in saido qu las intgrals singulars o cuasi-singulars qu s prsntan n l ME pudn dar rsultados inxactos, incluso n l caso n qu s utiliza un gran númro d puntos d intgración (grands órdns d cuadratura). Las intgrals son singulars cuando l punto d orign (punto d colocación) prtnc al lmnto d intgración y cuasi-singulars cuando l punto d orign no prtnc al lmnto, pro stá muy crca dl mismo. En los casos dond l punto 5

2 d orign stá crca dl lmnto, s otinn rsultados inxactos al utilizars intgración numérica. El punto d colocación pud star muy crca d los lmntos d contorno, dido a varias razons: a. uando las varials intrnas dn sr calculadas n las rgions crcanas a la frontra, tanto n prolmas linals como n no linals.. uando s trata d dominios mal condicionados (curpos strcos y dlgados). c. uando s prsntan difrnts dnsidads n la discrtización d la malla muy crca ntr sí. Por otro lado, cuándo s utiliza la intgración numérica, l usuario d dfinir grands órdns d cuadraturas d Gauss para otnr rsultados razonals. Esto implica largos timpos d jcución computacional. En un prolma práctico d ingniría discrtizado con doscintos mil lmntos d contorno, la ncsidad d rducir l timpo d jcución computacional s convirt n algo ncsario. Durant las dos últimas décadas, mucos invstigadors an ddicado timpo y sfurzo para otnr xprsions analíticas o smi-analíticas d las intgrals d ME. Tang & nnr (5) prsntan la intgración analítica d lmntos n dos dimnsions d forma rcta y cuadrática. Katz (985) intgra funcions isoparamétricas d forma analítica para l prolma d toría dl potncial idimnsional, mintras qu Sing & Tanaka ralizan intgración analítica d intgrals déils n toría d potncial (d la cuación d Hlmoltz y las cuacions d advcción-difusión) utilizando lmntos linals y las funcions d Bssl. Rcintmnt, Gadimi t al. prsntan la intgración analítica para lmntos constants y linals con l fin d rsolvr la cuación d Poisson. Salvadori & Tmponi s cntraron n l ME para cuacions intgrals n trs dimnsions, proporcionando intgrals d Lsgu d forma crrada. Admás, Salvadori prsnta las formas crradas d las intgrals n lasticidad idimnsional. Niu t al. (5) utilizan la intgración smi-analítico para intgrals cuasi-singulars otnindo rsultados intrsants. Padi t al. prsntan una mtodología asada n la rprsntación n las sris d las solucions fundamntals para la intgración analítica d lmntos d contorno cuadráticos. Adicionalmnt, Huanlin t al. (8) an studiado prolmas anisotrópicos n prolmas d potncials n ME y dsarrolla las intgrals crradas para tratar l fcto d la capa límit. Los autors dl prsnt artículo, an mplado con éxito las stratgias d intgración d análisis, asadas n la manipulación simólica y SA, para otnr las formas crradas d las matrics d rigidz n l Método d Elmntos initos (Vidla t al.996; 7). Aora, algunos d stas mtodologías s utilizan para intgrar analíticamnt las intgrals singulars y cuasi-singulars qu aparcn n l ME. Por lo tanto, st traajo propon las formas crradas d las intgrals singulars qu surgn n ME. Las fórmulas son astant compactas, simpls y ficints, como s pud osrvar al comparar los timpos d jcución computacional qu s otinn al ralizar intgración numérica contra los timpos d jcución otnidos al intgrar analíticamnt. MÉTODO DE ELEMENTOS DE ONTORNO LÁSIO El Método d Elmntos d ontorno (ME) s una técnica ficaz d análisis numérico para rsolvr prolmas d lasticidad y mucos otros prolmas d la ingniría y cincias aplicadas (Bria & Domínguz, 998; Br t al. 8; Bria t al. 98; Kan, 99). Sólo s discrtiza la frontra, y tanto los dsplazamintos como las tnsions son intrpolados sor los lmntos. A continuación s introduc un rv rsumn d la formulación para l ME, con l fin d comprndr la structura d las fórmulas y la manra cómo pud sr manipulado prvio a la intgración analítica. La formulación d la intgral n lasticidad plana stá dada por la idntidad d Somigliana, la cual rprsnta una intgral d frontra n función d los dsplazamintos n l intrior dl dominio Ω (igura ), (Br t al. 8; Bria & Dominguz, 998), como s mustra n la signt xprsión: c X # # ( p) uj( p) 6 j, ( p, x) tj( x) - t ( p, x) uj( d( x) + u ( p, x) fj( x) dx dond: c (i,j) (ξ)/ δ (i,j) n los casos mas simpls, cuando l contorno s rgular n ξ, u (i,j) (ξ,x ) y t (i,j) (ξ,x ) son llamadas solucions fundamntals las cuals son funcions d Grn y rprsntan l dsplazaminto y la tnsión, rspctivamnt, n un punto ξ con la aplicación d un sistma d cargas unitarias aplicadas n x, (Br t al. 8; Bria t al. 98). Estas solucions fundamntals stán dadas por: 6

3 u t - ^p, x 6 ^3- vln^r d, + 8rE^- v ij j 6 ^- vd + r, i@ r, n- ^p, x - ) 3 (3) r^- vr ^-v^r, inj-r, jni La valuación d la intgral no s trivial, por llo xistn varias técnicas qu an sido propustas para calcular stas intgrals las cuals s pudn clasificar n trs grupos: traajo s optimizar stos procsos, rducindo l timpo d jcución computacional y ganando xactitud n los mismos usando SA con manipulación simólica. Por lo tanto, s propon una intgración analítica crrada para otnr los rsultados d las intgrals involucradas d la idntidad d Somigliana, otnindo d sta manra rsultados más prcisos n comparación con la intgración numérica, logrando disminr considralmnt l timpo computacional utilizado para calcular stas xprsions. INTEGRAIÓN ANALÍTIA S considra un dominio Ω con contorno Γ, l cual stá dividido n N lmntos. Aplicando sta discrtización a la idntidad d Somigliana, dond s supon las furzas d masas nulas por simplicidad, s otin: cij, ^puj ^p N 6 j, ^p, xtj^x- ti, j^p, xuj^x@ d^x / # igura. urpo finito y lástico n D (a) Técnica d rgularización, intgración numérica, y (c) intgración analítica (Padi, t al. ; Salvadori ; Vidla t al. 7 y 996). En la técnica d rgularización o smi-analítica, las intgrals con iprsingularidads y s manipulan analíticamnt d manra algraica para convrtirlas, a lo sumo, n intgrals con singularidads déils, qu ntoncs pudn calculars usando difrnts tipos d cuadraturas. La intgración numérica s una rspusta n la actualidad para la valuación dl valor principal d aucy; sindo usual la aplicación d la cuadratura d Gauss, (Bria & Domínguz 998; Bria t al. 98, Kan, 99), a psar d qu la misma pud incurrir n rrors d xactitud inclusiv gnrar grands costos n timpo d jcución computacional, (Vidla t al. 7; 996). En la técnica d intgración analítica, las intgrals pudn sr otnidas analíticamnt d dos manras, mdiant la manipulación analítica dl intgrando acindo uso, por jmplo, d polinomios o sris truncadas, on sin manipular l intgrando, otnindo con sto último una solución crrada d la intgral. Los procsos d análisis por l ME, tradicionalmnt, utilizan rutinas asadas n técnicas d intgración numérica para rsolvr l cálculo d las intgrals involucradas n la matriz gnrada por l método. La finalidad d st Osrv qu la notación xplícita s a mplado n sta cuación, mostrando qu las solucions fundamntals son dos funcions dl punto orign ξ (punto d carga) y dl punto mustra n la frontra,x, (punto d colocación). Implmntando la discrtización d los campos d varials conocidas sor la frontra, n particular, n la intgral dond s ncuntra involucrada la solución fundamntal para las tnsions, s tin: # # t ^p, xuj^xd^x / t 3, x ( n ), u ( n ) ij^p 7 ^f i ^xa d ^x n En stas xprsions, s pud osrvar qu los valors dl punto nodal n la i-ésima componnt dl dsplazaminto no son funcions d la varial d intgración, por lo tanto, éstas pudn salir d la intgral. La valuación d stos términos rqr l uso dl jacoiano dido al camio d coordnadas gloals xprsadas n l sistma cartsiano a coordnadas locals dl sistma gaussiano. La transformación usada s simpl dγ Jdε, dond J s l jacoiano. Por lo tanto, (5) s scri d la signt forma: (5) 7

4 # t ^p, xuj^xd ^x ( ) ( ) ) # tij, Jdf3 - ( ) ( ) + ) # tij, Jdf3 - # + ) tij, Jdf3 - ( ) ( ) ( ) ( ) ) # tij, Jdf3 - Es important notar qu las cuacions antriors continn una mzcla d notación indicial y matricial. El índic i n stas cuacions s un índic rptido qu rqr sr sumado, mintras qu l índic j sparado por comas indica drivación n sa dircción. Est último s un índic lir rprsntando la dircción d la coordnada n l cual la carga unitaria asociada con la solución fundamntal actúa. Esta notación pud omognizars para producir un formato puramnt matricial considrando la signt rlación (Bria & Domínguz, 998): ( ) ( ) tij, 6 t t t t < < T T Z [ \ u u u u u 3 u 3 En la xprsión antrior, [T T s la matriz d solucions fundamntals d tnsión, [ s una matriz d funcions d intrpolación y {u} s l vctor columna d dsplazamintos con sis componnts, dos por nodo para un lmnto n particular. Un procso análogo pud stalcrs para la xprsión rstant, la cual involucra [U T y {t}, dond la matriz transpusta d la matriz d solucions fundamntals para l dsplazaminto s [U T y s un vctor columna d tnsions d sis componnts {t}. _ ` a (6) (7) La discrtización complta d la cuación intgral d frontra pud scriirs d la forma: T N ^, (,) u U d u N d " ^f, / ", + / T " t, (8) dond: y Z U (,) d U T _ [ # 7 A 7Jd A f` (9) - \ Z T (,) d T T _ [ # 7 A 7Jd A f` - \ Osrv qu las matrics U y T son 3, s dcir, cada matriz contin doc intgrals. A continuación, las xprsions matmáticas involucradas n (9) y son prsntadas d manra simólica, por tanto, las intgrals s pudn rsolvr d forma crrada. Exprsions matmáticas manipuladas d forma simólica En la cuación intgral s mustran xprsions matmáticas qu dn sr manipuladas simólicamnt para ralizar la intgración analítica d forma óptima. Est tipo d manipulación s usada n mucos traajos n los cuals s raliza intgración analítica. Un jmplo d cómo aplicar dica técnica s pud osrvar n las rfrncias: Kikuci, 989; Vidla t al. 7 y 996. S d rsaltar qu n st traajo s utilizó lmntos d contorno cuadráticos con intrpolación dl tipo suparamétricos para l modlado d las condicions d contorno y d la gomtría. En dica intrpolación s utiliza las signts xprsions qu linalizan l lmnto d contorno: x x+ x3 y+ y3, y a a dond: (x,y ),(x,y ) y (x 3,y 3 ) son las coordnadas dl nodo, y 3 rspctivamnt. Sa ξ(x(ε),y(ε)) l punto d intgración. Intrpolando cada componnt d st punto sor l lmnto y sustituyndo las xprsions xpustas n, s tin 8

5 x( f) ^x3 - xf+ ^ x3+ x y^f ^ y3- yf+ ^ y3+ y Lugo, drivando, s otin: dx^f DX d x3 x f ^ - dy^f DY d y3 y f ^ - (3) S sigu rscriindo las xprsions involucradas n (9) y, agrupando n grands constants los factors qu involucran stas coordnadas, optimizando, d sta manra, la formulación xpusta para las solucions fundamntals. Jacoiano El jacoiano s calcula mdiant la signt cuación n la cual s sustituyn las cuacions n : dx dx ^f ^f J^f ; c m df + c m E df D dond: D s d la forma: B x 3 - x - y + y 3 + xx- xx3+ yy- yy3 (8) y x xx xx x x y + y 3 + xx3+ yy3-yy-yy3 Drivadas parcials dl radio (9) Las drivadas parcials dl radio con rspcto a las coordnadas dl punto d intgración son: dr^p, x dx^f DXf + D dr^p, x DYf + D r, dy^f r dond: r stá dado por (6), DX y DY por las xprsions n (3) y tanto D como D, por las igualdads: D ax- ^ x- x3k D ay- ^ y- y3k Para calcular la drivada dl radio rspcto al vctor normal dmos xprsar simólicamnt las xprsions dadas por las coordnadas dl vctor normal. Estas xprsions stán dadas por: D x xx x ^ y- y3 (5) dy^f n d J DY dx^f J, n d ^f f - ^f f J DX J Not qu D dpnd simplmnt d las coordnadas d los nodos dl lmnto d incidncia. El radio onsidérs l punto d colocación x (x,y). El vctor radio r(ξ,x ), s la distancia qu ay ntr ξ y x. Sa r la proycción dl radio sor l j x y r la proycción dl radio sor l j y. Entoncs, s dfin la magnitud dl vctor radio como r y su cuación s: r ^x- x^f + ^y-y^f Af (6) dond s a sustitdo las xprsions prsntadas n y A x + x 3 + y + y 3 + yy3+ xx3 (7) Lugo, la drivada normal dl radio s xprsa mdiant la signt cuación: r^p, x 6 ^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ n rj Rprsntación d las cuacions intgrals (3) Dado qu st traajo s nfoca n rsolvr las intgrals involucradas n l ME para prolmas n lasticidad plana, dmos sustitr las xprsions manipuladas n las solucions fundamntals para l dsplazaminto y la tnsión dl prolma idimnsional por las cuacions y (3), rspctivamnt. Por consignt, las solucions fundamntals para l dsplazaminto, con i,j,, s rscrin d la signt forma: 9

6 ^ v - 3 ln Af + Bf + + u ^p, x 8rE^-v > DXf+ D H ` A j f ^DXf+ D^DYf+ D u ^p, x 8 E v u, x A ^ r ^ - 7 A p f ^v - 3ln^ Af + Bf + + u ^p, x 8rE^-v > DXf+ D H ` Af j ^ y las solucions fundamntals para las tnsions qudan d la forma: t ^ ^ _ p, x - v + t ^p, x - r^ - v_ Af i D Z 6- ^DXf + DDY - ^DYf + DDX@ _ [ ^DXf + D^DYf + D + ` ^ - v6- DY^DYf + D - DX^DXf + D@ \ a t ^p, x - r^ - v_ Af i D Z 6- ^DXf + DDY - ^DYf + DDX@ _ [ ^- DXf + D^DYf + D + ` ^ - v6dx^dxf + D - DY^DXf + D@ \ a t ^ ^ _ p, x - v + 6^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ - r^ - v_ Af i D DXf+ D Af 6^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ - r^ - v_ Af i D DYf+ D Af i i (5) Las matrics d dsplazaminto y tnsions, involucradas n la matriz d influncia dl sistma d cuacions rsultant al implmntar l ME son d la forma (Bria & Domínguz, 998; Kan, 99): ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U U < ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U (6) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T < ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T (7) dond los coficints d U y T, stán dados por las signts intgrals: -# # (8) U ( n ) u ( n ) Jd, T ( n) t ( n ) ij ij f ij ij Jdf rspctivamnt, sindo u ij y t ij con i,j,, las solucions fundamntals. Al sustitr las solucions fundamntals y l jacoiano, ya manipulados simólicamnt, admás d las funcions d forma asociadas con l nodo n valuación, otnmos doc intgrals corrspondints a los coficints d la matriz T y sis intgrals corrspondints a los coficints d la matriz U. Esto último s d a la simtría prsnt n la solución fundamntal para l dsplazaminto. IMPLEMENTAIÓN OMPUTAIONAL Al calcular cada coficint d las matrics U y T s d considrar cuatro casos difrnts para la implmntación computacional. Esta clasificación por casos dl prolma s d a las singularidads ocasionadas por la valuación dl punto d colocación n difrnts posicions. A continuación, s dscrin stos cuatro casos: igura. Punto d colocación alinado con un lmnto parallo al j x aso : El punto d colocación s ncuntra alinado a un lmnto orizontal En st caso, la drivada dl radio rspcto al vctor normal s anula, pus l vctor normal s ortogonal al vctor radio. Admás, la drivada parcial dl radio rspcto a y n los nodos y l punto d colocación tamién s anulan pusto qu la coordnada n y d amas coincidn (igura ). r_ p, xi r_ p, xi y^f - y cos i_ rn, i, n y r (9) En conscuncia, las solucions fundamntals dfinidas antriormnt s simplifican, otnindo qu uu y t t. Por lo tanto, sólo srá ncsario calcular doc intgrals, sis para la matriz U y sis para la matriz T.

7 aso : El punto d colocación s ncuntra alinado a un lmnto vrtical Análogamnt, al caso antrior, l vctor normal s ortogonal al vctor radio, por lo qu, (9) nuvamnt s cumpl, pro aora s anula la drivada parcial dl radio rspcto a x n lugar d la drivada rspcto a y. Por lo tanto, al igual qu l caso antrior u u y t t, y sólo srá ncsario calcular doc intgrals (igura 3). Osrvación: Al sr analizados los casos, y 3, cuando s intgran los coficints, s otinn funcions racionals y n l dnominador d stas funcions aparcn algunos términos particulars los cuals llamarmos: PRUE, RAIZ5 y RAIZ, qu dpndn d las coordnadas d los nodos y dl punto d colocación. En l caso 3, aparcn dos términos adicionals n l dnominador los cuals s anulan. Estos términos s dfinirán como: OTT y ONT, qu d igual manra dpndn d las coordnadas dl punto d colocación y dl punto d intgración. uando nos ncontramos n alguno d stos casos y valuamos los nodos y l punto d colocación, los coficints d las su-matrics U y T no stán dfinidas. Sin margo, al calcular l límit cuando W d cada una d stas xprsions, (con WPRUE, RAIZ5 ó RAIZ), s dcir:,, lim ^p x x 3 W " W L (3) Estudiando l comportaminto d st límit, d manra xaustiva, s osrva qu l mismo tin una tndncia asintótica y como conscuncia, s adopta W.. igura 3. Punto d colocación alinado con un lmnto parallo al j y aso : El punto d colocación s ncuntra n una posición cualqra, difrnt a los casos antriors, rspcto al lmnto En st caso las solucions fundamntals no prsntan ningún tipo d singularidad, por nd, los coficints otnidos al intgrar s valúan sin ninguna considración prvia. EXATITUD DE LOS ÁLULOS Y TIEMPO DE EJEUIÓN OMPUTAIONAL Exactitud d los cálculos igura. Punto d colocación sor l lmnto Para stas pruas d xactitud, s calculó l rror porcntual mdiant la signt fórmula: aso 3: El punto d colocación s ncuntra sor l lmnto d intgración ERROR / / ^A n ij - A A n ij a ij # (3) En st caso, al igual qu n los casos antriors, sin importar n qu nodo dl lmnto s ncuntr l punto d colocación, la drivada dl radio rspcto al vctor normal s cro. Por lo tanto, las solucions fundamntals dfinidas antriormnt s simplifican, otnindo qu u u y t t (igura ). dond A ij rprsnta l coficint (i,j) d la matriz A, la cual pud sr tanto la matriz d dsplazamintos como la matriz d tnsions, y los supr-índics n y a indican las matrics otnida d forma numérica y analítica, rspctivamnt. La intgración numérica fu ralizada con cuadratura d Gauss.

8 Distancia Npg8 Npg Npg5 L... L/... L/ L/ L/ L/ L/ L/ Timpo d jcución computacional igura 5. Elmnto d contorno d longitud L.6963 n un dominio Ω La igura 5 mustra un lmnto d contorno n l qu l punto d colocación x s acrca al mismo signdo una lína invisil prpndicular al lmnto, indicado por las figuras n forma d diamant. El primr punto s ncuntra a una distancia r3l, y cada punto s acrca al lmnto asta llgar a una distancia rl/. Los rrors qu toman los coficints d la matriz d tnsions s mustran n la Tala. S utilizan distintos órdns d cuadratura numérica (NPG 8,, 5). a sñalar qu rrors dl 3% aparcn cuando s utiliza un ordn infrior d Gauss (NPG 8) y l punto d colocación stá rlativamnt crca dl lmnto rl/. Al aumntar l ordn d la cuadratura d Gauss a cincunta puntos (NPG 5), l rror s rduc considralmnt, aun cuando l punto d colocación s ncuntra crca dl lmnto. Sin margo, los órdns d alta cuadratura implican altos timpos d jcución computacional y, n un prolma práctico d ingniría (análisis dinámico) con, por jmplo, doscintos mil lmntos d contorno, l timpo d jcución qu s rqr s un poco proiitivo. La situación mpora considralmnt cuando l punto d orign stá muy crca dl lmnto (L/,L/5,L/,L/). En stos casos, la cuadratura numérica s prácticamnt incapaz d llgar a un valor razonal, ya qu l gradint d la intgral cuasi-singular s muy alto y afcta n gran mdida la valuación numérica. Tala. Error (%) n valuación numérica d la matriz d tnsions Distancia Npg8 Npg Npg5 3L... L... La comparación d timpos d jcución computacional otnidas ntr intgracions numéricas y analíticas s mustra n la Tala. Los valors n ésta rprsntan la rlación dl timpo d jcución otnidos para la intgración numérica sor l timpo d jcución d análisis otnidos para la intgración analítica Tn NPG / Ta (Tn timpo d intgración numérica, NGP númro d puntos d Gauss, Ta timpo d intgración d análisis, mdidos n sgundos). Nuvamnt, s considran trs órdns difrnts d la cuadratura (8, y 5). El lctor pud osrvar l norm aorro d timpo d jcución computacional cuando s utiliza la intgración analítica n comparación a la intgración numérica. Est aorro s muy rlvant n prolmas rlacionados con dinámica no linal, ya qu los coficints d las matrics s dn calcular mucas vcs. Tala. Rlacions ntr los timpos d PU d las solucions analítica y numérica (s mustra tamién los timpos d análisis dl PU) Elmntos T n8 /T a T n /T a T n 5/T a T a EJEMPLO DE APLIAIÓN En la igura 6 s mustra una placa n L, somtida a tracción sor un lado vrtical. La gomtría, las condicions d contorno y las cargas s mustran n la figura. Est prolma fu analizado utilizando doc lmntos d contorno (dos por cada lado d la placa como s numra n la igura 6). El análisis numérico s ralizó con cuadratura d Gauss d ordn. La Tala 3 contin los rrors ntr las solucions numérica y analítica, para sólo dos valors n l nodo d control (nodo 5) d la malla: u x 5 y σ x5.

9 En cuanto a la rutina, s pud dcir qu ran muy xtnsas. Sin margo, con la mtodología utilizada n st traajo para optimizar stas rutinas s otuvo una rducción important n l númro d jcucions. Por lo tanto, s gnró un código muy ficint y rápido. igura 6. Placa n L. Gomtría, condicions d contorno y placa dformada Tala 3. omparación d los dsplazamintos y tnsions n l nodo control: cálculo analítico vs numérico Valor Solución analítica Solución Numérica Error (%) u x σ x En dicas talas s mustra qu l rror porcntual para l dsplazaminto n la dircción x s d 7.7%, mintras qu para las tnsions, los rsultados ntr los valors d la solución numérica y analítica n la misma dircción s 6.5%. Est rror tndría a cro si s considra un mayor númro d puntos d Gauss n la intgración numérica, lo cual tndría como conscuncia un aumnto sustancial dl timpo d jcución computacional. ONLUSIONES En st traajo s logró dsarrollar la intgración analítica d lmntos d contorno cuadrática d lasticidad plana. El ojtivo principal dl traajo fu rducir l timpo d jcución computacional para intgrar l lmnto. S otuviron timpos d jcución computacional muy atractivos, n comparación con la intgración numérica utilizando cuadraturas d Gauss. En gnral, para aplicacions d ME, qu implica un análisis dinámico o análisis no-linal, s prtinnt considrar stos rsultados, pusto qu l coficint d la matriz d sr valuado n numrosas ocasions. Adicionalmnt, l sgundo ojtivo dl traajo tamién fu alcanzado al dsarrollar fórmulas analíticas qu prmitan vitar los rrors numéricos otnidos n alguna posición rlativa ntr l punto d colocación y l lmnto d contorno. on la intgración analítica, l usuario pud otnr intgrals prcisas, incluso n l caso n qu los puntos d colocación stén muy crca dl lmnto o qu prtncn al mismo. Al comparar l timpo d jcución computacional d intgración analítica con otnida con la intgración numérica s otin qu la intgración analítica s 388% más rápida, al considrar 5 puntos d Gauss para mjorar a la xactitud n l cálculo por intgración numérica. En conscuncia, mintras mayor sa la cantidad d puntos d Gauss para mjorar la xactitud dl cálculo por intgración numérica, la difrncia n vlocidad srá aún mayor. AGRADEIMIENTOS Los autors dsan agradcr l apoyo financiro dl onsjo d Dsarrollo intífico y Humanístico (DH) d la Univrsidad ntral d Vnzula para la ralización d st traajo. No mnos important s agradcr a la Escula d Matmáticas d la acultad d incias y al ntro d Invstigación Métodos Numéricos n Mcánica Estructural dl Instituto d Matrials y Modlos Estructurals (IMNEME-IMME) amos d la misma institución por l apoyo rciido. REERENIAS Br, G., Smit, I., Dunsr,. (8). T oundary lmnt mtod wit progrmming. Nw York: Spring. Bria,.A. & Domínguz, J. (998). Boundary Elmnts: A Introductory ours. Soutampton, England : WIT Prss. Bria,.A., Tlls, J.., Wrol, L.. (98). Boundary lmnt tcniqus: Tory and applications in nginring. Brlin : Spring. Gadimi, P., Dastiman, A., Hossinzad, H.. Solution of Poisson s quation y analytical oundary lmnt intgration. s.l. : Applid Matmatics and omputation, Vol.7, Issu, Huanlin, Z., Zongrong, N., angzng,., Zongwi, G. (8). Analytical intgral algoritm applid to oundary layr ffct and tin ody ffct in ME for anisotropic potntial prolms. s.l. : omputrs & Structurs, Vol. 86, Issus 5-6,

10 Kan, J.H. (99). Boundary Elmnt Analysis in Enginring ontinuum Macanics. Englwood liffs, Nw Jrsy : Prntic Hall. Katz,. (985). Analytical intgration of isoparamtric D-oundary lmnts. Lak omo, Italy : Prcdinigs of Bounday Elmnts VII Intrnational onfrnc, Vidla, L., Ocoa, R., Aparicio, N., rrolaza, M. (996). Explicit Intgration of t Stiffns Matrix pf a our- Nodd -Plan Elasticity init Elmnt. s.l. : ommunucations In Numrical Mtods In Enginring, Vol, Kikuci, M. (989). Application of t symolic matmatics systm to t finit lmnt program. s.l. : omput. Mc. Vol. 5, -7. Niu, Z., Wndland, W.L., Wang, X., Zou, H. (5). A smi-analytical algoritm for t valuation of t narly singular intgrals in tr-dimnsional oundary lmnt mtods. s.l. : omputr Mtods in Applid Mcanics and Enginring, Vol.9, Issus 9-, Padi, G.S., Snoi, R.A., Moy, S.S.J., Mccarty, M.A.. Analytic intgration of krnl sap fuction product intgrals in t oundary lmnt mtod. s.l. : omputr & Structurs. Vol 79, Tang, W.. & nnr, R.T. (5). Analytical intgration and xact gomtrical rprsntation in t twodimnsional lastostatic oundary lmnt mtod. s.l. : Applid Matmatical Modlling. Vol 9, Salvadori, A.. Analytical intgration in D ME lasticity. s.l. : Intrnational Journal for Numrical Mtod in Enginring, Vol 53, Salvadori, A. & Tmponi, A.. Analytical intgrations for t approximation of 3D yprolic scalar oundary intgral quations. s.l. : Enginring Analysis wit Boundary Elmnts, Vol. 3, Issu. Sing, K. & Tanaka, M.. Analytical intgration of wakly singular intgrals in oundary lmnt analysis of Hlmoltz and advction-diffusion quations. s.l. : omputr Mtods in Applid Mcanics and Enginring, Vol. 89, Issu, Vidla, L., Baloa, T., Griffits, D.V., rrolaza. M. (7). Exact intgration of t stiffnss matrix of an 8-nod plan lastic finit lmnt y symolic computation. s.l. : Numrical Mtods for Partial Diffrntial Equations, Vol., Issu, 9-6.