OPTIMIZACIÓN Y ELIMINACIÓN DE ERRORES EN EL CÁLCULO DE MATRICES RIGIDEZ DE ELEMENTOS FINITOS POR INTEGRACIÓN ANALÍTICA

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1 OPTIMIZACIÓN Y ELIMINACIÓN DE ERRORES EN EL CÁLCULO DE MATRICES RIGIDEZ DE ELEMENTOS FINITOS POR INTEGRACIÓN ANALÍTICA Coronl D. Gustavo gustavocoronld@gmail.com Postgrado n Ingniría Estructural, Facultad d Ingniría, Univrsidad Cntral d Vnzula (UCV), Ciudad Univrsitaria, Av. Los Estadios, Los Chaguaramos, Caracas-Vnzula. Baloa M. Trino trino.baloa@ucv.v Vidla N. Libr libr.vidla@ucv.v Instituto d Matrials y Modlos Estructurals (IMME), Univrsidad Cntral d Vnzula (UCV), Ciudad Univrsitaria, Av. Los Estadios, Los Chaguaramos, Caracas-Vnzula. Rsumn. En la optimización dl cálculo d matrics d rigidz d lmntos finitos, a través d técnicas d intgración analítica, s han utilizado sistmas d algbra computacional qu ayudan a intgrar las xprsions logrando disminuir los timpos d jcución. En la aplicación d stas técnicas s hac ncsario sparar l cálculo n varios casos, los cuals toman n cunta qu puda sr nulo cada uno d los coficints dl polinomio qu rprsnta l dtrminant d la matriz d transformación (jacobiano). La intgración analítica d la matriz d rigidz pos vntaja d prcisión rspcto a la numérica cuando los lmntos son d gomtría distorsionada. Sin mbargo n st trabajo s compruba qu las xprsions para l cálculo d la matrics d rigidz provnints d la intgración analítica pudn producir rrors cuando los nodos dl lmnto finito s ncuntran n una frontra qu dlimita gométricamnt los casos d nulidad d cada coficint dl jacobiano, dbido a qu stos coficints son factors n l dnominador d las xprsions para cálculo d la matriz d rigidz y un valor significativamnt pquño d uno d llos rspcto a los dmás pud gnrar una singularidad numérica, hacindo ncsario utilizar otro caso cuya xprsión haya considrado s coficint nulo ants d la intgración. Para vitar stos rrors s propon una método práctico qu part dl studio d la influncia d los parámtros gométricos dl lmnto n l valor d cada coficint dl jacobiano y la dtrminación dl valor mínimo tolrabl d stos con rspcto al término indpndint. Logrando con sto la slcción dl caso más apropiado. Finalmnt s comprobó l bun dsmpño d una subrutina d cálculo por intgración analítica con sta optimización. Palabras clavs: Elmntos finitos, Matriz d rigidz, Optimización, Intgración analítica.

2 1. INTRODUCCIÓN En l análisis structural d mdios continuos con lmntos finitos, los Sistmas d Algbra Computacional (SAC) han sido d gran importancia para l avanc d invstigacions orintadas n obtnr analítica, las matrics d rigidz d algunos lmntos, logrando automatizar técnicas y optimizar cálculos. En 1994 Griffiths [1], prsnta una técnica gnral con l uso d un SAC, con la cual s obtuvo xprsions smi-analíticas, utilizando intgración numérica (Cuadratura d Gauss). Postriormnt n Vidla t al 004 [], s prsnta una nuva técnica gnral compltamnt analítica, con la cual s obtuvo xprsions analíticas para los términos d la matriz d rigidz d un lmnto finito cuadrilátro subparamétrico d ocho nodos, rconocindo l problma d la rutina analítica cuando los coficints dl jacobiano ran pquños, para rsolvr sto introdujron un valor constant qu prmitió obtnr bunos rsultados para los problmas analizados. En los trabajos d Vidla t al, 007 [3]; Coronl t al, 006 [4]; y Baloa t al, 006 [5], s ha dmostrado qu la técnica analítica prsnta vntajas ant los problmas d prcisión d la intgración numérica o smi-analítica cuando s calculan lmntos d gomtrías muy distorsionadas y qu, admás, pud sr más ficint n términos d timpo d jcución qu la técnica smi-analítica. Sin mbargo, n st trabajo s compruba qu pudn prsntars rrors n l cálculo d matrics d rigidz por intgración analítica dbido a la ncsidad d sparar la intgración n difrnts casos. Finalmnt, n st trabajo s propon un método práctico basado n la valuación d la influncia d los parámtros gométricos dl lmnto n los coficints dl jacobiano, l cual prmit liminar los rrors y optimizar la técnica d intgración analítica.. TÉCNICA DE INTEGRACIÓN ANALÍTICA La técnica d intgración analítica s basa n la formulación gnral dl Método d los Elmntos Finitos. En la cual la matriz d rigidz dl lmnto (K ) s xprsa como: ( ) T K B DB dv (1) = V Dond (B) s la matriz d dformación-dsplazaminto, (D) s la matriz constitutiva y (V) rprsnta l volumn dl lmnto.lugo s raliza la trasformación d coordnadas al plano normalizado, tal como s indica n la Ecuación () para lmntos d lasticidad plana. k ij = A B T i D B j t dxdy T k ij = Bi D B j t dξd () Dond [ ] s l dtrminant d la matriz d transformación d coordnadas o jacobiano y t l spsor d los lmntos.al multiplicar algbraicamnt las submatrics (B T i D B j ) s obtinn las xprsions d los cuatro términos d la submatriz d rigidz (k ij ) para cada una d las rlacions ntr los nodos i y j, dond (i=1..n y j=i..n), sindo n l númro d nodos dl lmnto. k ij = t D1 + D3 dξd D + D3 dξd D + D3 dξd D + D 1 3 dξd (3)

3 La técnica d intgración analítica pud rsumirs a través d los siguints pasos: a) Dsarrollo simbólico d la formulación matricial. a.1) Producto matricial (B T i D B j ) a.) Drivadas d las funcions d forma con rspcto a las coordnadas naturals. a.3) Exprsión polinómica dl dtrminant jacobiano: [ ] a.4) Rlacions d intrpolación gométrica. a.5) Drivadas d las funcions d forma con rspcto a las coordnadas cartsianas: b) Dtrminación d las xprsions d los términos d la submatriz d rigidz. c) Extracción d los coficints constants d cada término dl numrador Idntificación d la Ecuación Caractrística Gnral (ECG) qu rprsnt al polinomio dl numrador d todos los términos. d) Intgración xacta o analítica d la ECG para cada caso n dond uno o varios coficints dl jacobiano san nulos, xcpto l término indpndint. 3. DISCRIMINACIÓN EN CASOS DE INTEGRACIÓN EN LA TÉCNICA ANALÍTICA Al aplicar la técnica d intgración analítica dscrita antriormnt s hac ncsario sparar l cálculo n distintos casos d intgración. Esto s db a qu n la xprsión a sr intgrada s ncuntra l dtrminant dl jacobiano n l dnominador, como s rflja n la Ecuación. (3). Algunos d stos jacobianos s rsumn n la Tabla 1. Tabla 1. Formas polinómicas d los dtrminants d jacobianos d distintos lmntos. Nº d Tipo d Gomtría Dtrminant dl acobiano Dim. Nodos Elmnto Finito dl Elmnto 4 (cuatro) Srndipity Lagrangiano Isoparamétrico = Aξ +B +C D 8 (ocho) Srndipity Subparamétrico = A + Bξ +C D 8 (ocho) Srndipity Isoparamétrico 3 = (Aξ +B) + C +D 3 ξ ξ ξ + (F +G +H ξ ξ 3 I) +( +K + Lξ +M) ξ ξ +E) + D 4 (cuatro) Srndipity Lagrangiano Axisimétrico = A + Bξ +C D Axi. Sim. 8 (ocho) Srndipity Lagrangiano Isoparamétrico ξ =((Aζ+B) +C) +((Dζ+E) (Fζ +Gζ+H +Iζ+) ξ +(Kζ+L) +(Mζ +Nζ+ O) +Qζ +Rζ+S 3D Dond los coficints (A, B, C..X) son distintos para cada tipo d lmnto y son función d las coordnadas nodals d los lmntos n l sistma d coordnadas cartsiano (x, y), y por lo tanto son vistos como constants n la intgración. En los trabajos d Vidla t al [3],

4 Coronl t al [4], y Baloa t al [5], s indica qu los casos dond alguno o varios d stos coficints son nulos. En vista d stos s hac ncsario intgrar analíticamnt cada caso n l qu uno o varios coficints s contmpln nulos. 4. EVIDENCIA DE ERRORES EN LA INTEGRACIÓN ANALÍTICA S pudo notar, n la jcución dl programa ralizado n la invstigación d Coronl t al [4], qu n problmas crcanos a la frontra ntr un caso y otro, xistía una gran difrncia ntr los rsultados d la rutina analítica y la smi-analítica. Para vidnciar sto s prsntan los varios jmplos ralizados con la rutina para l cálculo d la matriz d rigidz dl lmnto finito isoparamétrico d cuatro nodos d lasticidad plana ralizada n Coronl t al [4]. Para cuantificar sta difrncia s introduc la Ecuación (4), %Dif (tr) qu dtrmina la difrncia porcntual ntr cada término d la matriz d rigidz calculada por intgración analítica y la calculada d forma smi-analítica o numérica, y %Dif promdio qu xprsa un promdio d las dfrncias d los 36 términos d la matriz d rigidz d st lmnto. 36 ( K ( tr ) K ( tr )) % Dif ( tr) analítica smi analítica % Dif ( tr ) = 100 ; tr= 1 % Dif Pr omdio = (4) K analítica ( tr ) Ejmplo 1: En la Figura (1) s prsnta un lmnto con una pquña distorsión, l cual ha sido paramtrizado d tal forma qu s mantnga la gomtría para difrnt magnituds d los lados, rprsntados por l parámtro (a). a a * a * a Coord Nodo X Y y a 0 1 x 3 a+(0.0001*a) a+(0.0001*a) 4 0 a Figura 1- Rprsntación paramtrizada d un lmnto con pquña distorsión. En la Tabla () s prsntan los valors d los coficints dl jacobiano A, B, C qu s ncuntra n l dnominador d las xprsions para l cálculo d la matriz d rigidz dl caso I (A=B=0) y caso IV (A=B 0), rspctivamnt. Admás, s prsnta, para distintas magnituds dl parámtro a, l porcntaj d difrncia ntr las rutinas calculado para cada caso. Tabla Ejmplo #1 - Magnitud d los coficints (A y B), comparación dl porcntaj d difrncia ntr los caso IV y I, para difrnts valors dl parámtro (a). Normal (Caso IV) Obligando al (Caso I) a A =B C % Dif. promdio A =B C % Dif. promdio 0,,5E-07,50E ,33 0,50E-03 0,01,5E-05,50E-061,7 0,50E-01 0, ,5E-03,50E+039,05 0,50E+01 0, ,5E+05,50E ,98 0,50E+09 0,01

5 El alto difrncia (%Dif.) obtnido con l caso IV s db a rrors n la intgración analítica ya qu l lmnto d la Figura (1) s prácticamnt cuadrado y la intgración numérica s muy prcisa al calcular stos lmntos.con stos rsultados s concluy qu n stos casos crcanos a la frontra s ncsario obligar qu los coficints A y/o B san nulos y lograr qu s calcul la matriz d rigidz con l caso qu mjor la rprsnt. Admás, s compruba qu los coficints A y B pudn tomar valors numéricamnt altos, dpndindo d la magnitud d los lados dl lmnto, y sguir sindo ncsario qu san nulos. 4. Ejmplo : En la Figura () s prsnta un lmnto qu tin dos lados d longitud fija y s varían los otros lados a través d los parámtros ax y ay. En la tabla (3) s prsntan los rsultados d los coficints y l porcntaj d difrncia dl cálculo con l caso IV, para variacions d ax y ay. Figura Rprsntación gráfica dl lmnto distorsionado y d los parámtros ax y ay. Tabla 3 Ejmplo # Coficints y porcntajs d difrncia para distintos valors d ax y ay. - ay = 0 (ax, ay) CASO A B C A/C o B/C % Dif. promdio % Dif. máx ax=ay= 0 I 0,000 0,000 5,0000-0,00 0,00 - ax=ay= 0,05 6,5E-0 6,5E-0 5,015 0,0049 0,00 0,00 ax=ay= 0,03 3,75E-0 3,75E-0 5,0750 0, ,00 0,01 ax=ay= 0,0,5E-0 1,5E-0 5,050 0, ,41,04 ax=ay= 0,005 6,5E-03 6,5E-03 5,015 0,0005 4,54,83 ax=ay=0,003 3,75E-03 3,75E-03 5,0075 0, ,7 781,37 ax=ay= - 0,003-3,75E-03-3,75E-03 4,995-0, ,7 781,37 ax=ay=- 0,005-6,5E-03-6,5E-03 4,9875-0,0005 4,54,83 ax=ay= - 0,01-1,5E-0-1,5E-0 4,9750-0, ,40,01 ax=ay= -0,03-3,75E-0-3,75E-0 4,950-0, ,00 0,01 Sin ax=ay= - 0,05-6,5E-0-6,5E-0 4,8750-0,0051 0,00 0,00 rror ax=ay= -0,1-0,15-0,15 4,6375 0, ,00 0,00 ax= 0,5 0 0,65 5,650 0,0439 0,01 0,03 - ax= 0,1 0 0,15 5,150 0, ,00 0,00 ax= 0,01 0 1,5E-0 5,015 0, ,00 0,00 ax= 0,008 II 0 1,00E-0 5,0100 0, ,00 0,00 Sin ax= 0,005 análogo 0 6,5E-03 5,0065 0,0005 0,00 0,01 rror ax= 0,001 al 0 1,5E-03 5,0015 0, ,06 0,68 ax= 0,0008 III 0 1,00E-03 5, , ,08 0,67 ax= 0, ,75E-04 5, , ,1,54 Errors d ax= 0, ,5E-04 5, ,0000 0,59 11,6 intgración ax= 0, ,5E-04 5, , ,93 19,79 analítica

6 Para los casos analizados n la Tabla (3) s ncontró qu para l tamaño d los lados fijos d 10 unidads no s producían difrncias ntr las dos rutinas dntro d un rango corrspondint a valors d ax y/o ay ntr ±(0,1; 0.01 ). D igual forma, s stablció una la zona o frontra a valors d ax y/o ay ntr (0,01; -0,01) dntro d la cual comnzaron a prcibirs rrors considrabls d la intgración analítica. Para st jmplo s obsrvó qu dntro d sta zona los valors dl trmino indpndint C tindn hacia l valor d C dl lmnto dl caso I, y qu l rango d rrors s ncuntra ntr (0.0005; ) rspcto a la rlación ntr los coficints y l trmino indpndint (A/C y/o B/C). 4.3 Ejmplo 3: En la Figura (3) s mustra un caso más gnral y dsfavorabl, dond los nodos, 3 y 4 prsntan alguna distorsión. ax4 ax3 Coord 4 3 ay4 ay3 Nodo X Y y 10-ax 0+ay 3 10+ax3 10+ay3 1 ay 4 0+ax4 10-ay4 x 10 ax= Σaxi ; i=..4 ay= Σayi ; i=..4 ax Figura 3 Caso gnral d distorsión crca d la frontra. Para tnr consistncia con l jmplo antrior, s stablc qu la suma d todas las pquñas distorsions (axi, ayi para i= 4) db sr igual a las distorsions ax y ay dl jmplo antrior. Los rsultados s prsntan n la Tabla 4. Tabla 4 Ejmplo #3 Porcntaj d difrncia para distintos valors d axi y ayi. ax = ay 0,10 0,05 0,03 0,01 Caractrísticas d axi, ayi CASO A B C A/C B/C Simétrico axi=ay= 0,333 Asimétricos iguals ax=ax3=ay=ay3=0,3 y ax4=ay4=0,4 Simétrico axi=ay= 0,16667 Asimétricos iguals ax=ax3=ay=ay3=0,015 y ax4=ay4=0, Simétrico axi=ay= 0,01 Asimétricos iguals ax=ax3=ay=ay3=0,011 y ax4=ay4=0,008 Simétrico axi=ay= 0,00333 Asimétricos iguals ax=ax3=ay=ay3=0,003 y ax4=ay4=0,004 % Dif. promdio % Dif máx. IV 3,889E-01 3,889E-01,4111E+01 0, , ,00 0,0 IV 4,775E-01,00E-01,3948E+01 0, ,0099 0,00 0,0 IV,076E-0,076E-0,4958E+01 0, , ,03 0,17 IV,494E-0 1,43E-0,4950E+01 0, , ,08 0,47 IV 1,47E-0 1,47E-0,4975E+01 0, , ,37 1,96 IV 9,970E-03 1,748E-0,4980E+01 0, , , 1,19 IV 4,163E-03 4,163E-03,499E+01 0, , ,59 567,33 IV 4,998E-03,497E-03,4990E+01 0,0000 0, ,4 >1000

7 En la tabla (4) s nota qu, al igual qu n l jmplo #, los valors d C oscilan crca dl valor d la constant para l lmnto prfctamnt cuadrado dl caso I (C= 5,00), mintras qu A y B disminuyn su valor a mdida qu los valors d disprsión son más pquños. 5. MÉTODO PRÁCTICO PARA ELIMINACIÓN DE ERRORES S hac ncsario dfinir un valor mínimo tolrabl (tolrancia) d los coficints (A,B,,X) qu prmita hacr la discriminación d los casos para stos problmas límits y gnralizar las rutinas analítica consiguindo qu los valors d los coficints qu san mnors a la tolrancia s anuln sin importar su magnitud. S stablc ntoncs qu para stos casos los coficints prsntan un valor nulo rlativo al mínimo tolrabl. Exprsando st mínimo como (TOLmin), s tin la siguint rlación lógica: Si ( X < TOLmin ) ntoncs X = 0, para X= A, B.X (5) En la Tabla s compruba la proporcionalidad qu xist ntr los coficints dl jacobiano y su término indpndint, por lo cual s stablc qu TOLmin db sr la mínima rlación acptabl ntr los coficints y l término indpndint dl jacobiano., lo cual lo indpndiza dl tamaño. Los pasos a sguir para la dtrminación dl valor mínimo tolrabl (TOLmin) para los coficints son los siguints: a) Aplicar la técnica d intgración analítica al lmnto finito. S dstaca qu la dificultad d sto dpnd dl jacobiano dl lmnto y hasta los momntos han sido pocos los lmntos qu s han logrado intgrar. b) Ralizar un programa computacional qu contnga la rutina d cálculo d la matriz d rigidz d intgración analítica y la rutina smi-analítica o numérica, admás d adicionar una rutina para l cálculo d las difrncias promdios ntr ambas. c) Ralizar los jmplos 1,, 3 y otros d una forma más gnral y xhaustiva. d) Obtnr las rlacions d cada coficint dl jacobiano con su término indpndint. ) Dfinir l rango d la rlación d coficints n l cual s prsntan los rrors para cada uno d los jmplos qu s plantn. f) Dfinir l valor mínimo tolrabl (TOLmin) d la rlación ntr los coficints qu proporcion las mnors difrncias n todos los jmplos studiados. 6. ELIMINACIÓN DE ERRORES EN EL ELEMENTO FINITO ISOPARAMÉTRICO DE CUATRO NODOS DE ELASTICIDAD PLANA A partir d los jmplos dos y trs s logró dtctar l rango dond s producn las difrncias producto d los rrors d la rutina analítica, y s dtrminó la rlación ntr los coficints A y/o B, con l trmino C. En la Tabla 3 y 4 s mustran las rlacions ntr los coficints. Finalmnt, s pudo notar qu l valor mínimo n la rlación (A/C) o (B/C), a partir dl cual los rrors d la rutina analítica no ran tolrabls, y qu nvolvía a todos los casos studiados, ra ±(0,01). S ralizaron múltipls prubas con l programa para los valors xtrmo tolrancia ntr (0,05 y 0,005), y s obsrvó qu las difrncias ntr las rutinas, obligando al cálculo con otro caso, staban dntro d un rango acptabl y variaba poco, por lo qu s dcidió stablcr l valor mínimo acptabl d los coficints A y/o B n 0,01 dl valor dl término C, qudando rsulto l problma. Las rlacions lógicas qu asignan la nulidad d los coficints s xprsan:

8 TOLmin = 0,01 * C (6) Si ( A < TOLmin ) ntoncs A= 0 (7) Si ( B < TOLmin ) ntoncs B= 0 (8) Es important rsaltar qu con sto s logró gnralidad n la rutina analítica, con lo cual s considra apta para sr utilizada n un programa d lmntos finitos. Rsaltando la ficincia n timpo qu sta rutina proporcionaría al programa. 7. CONCLUSIONES S comprobó qu las difrncias ntr la intgración d la matriz d rigidz d forma analítica y la smi-analítica o numérica para lmntos finitos crcanos a la frontra gométrica ntr un caso y otro s dbn a rrors d la intgración analítica. S ncontró un método práctico para stablcr los valors mínimos tolrabls (tolrancia) d los coficints dl polinomio qu rprsnta l dtrminant dl jacobiano d los lmntos finitos n función al término indpndint dl polinomio. S stablció un valor mínimo d los coficints dl jacobiano dl lmnto finito isoparamétrico d cuatro nodos plano, y s comprobó l bun funcionaminto d sta rutina d cálculo. 8. REFERENCIAS [1]. Griffiths, D.V., Stiffnss Matrix of th Four-Nod Quadrilatral Elmnt in Closd Form. Intrnational ournal for Numrical Mthods in Enginring, vol. 37, pp , []. Vidla, L., Baloa, T., Aplicación d la matmática simbólica para obtnr n forma analítica los términos d la matriz d rigidz d un lmnto finito cuadrilátro subparamétrico d ocho nodos. Mmorias Simón Lamar d Ingniría Estructural Ingniría Sismorrsistnt, IFI 004. pág [3]. Vidla L., Baloa T., Griffiths D.V., Crrolaza M., Exact intgration of th stiffnss matrix of an 8-nod plan lastic finit lmnt by symbolic computation. Numrical Mthods for Partial Diffrntial Equations, Volum 4, Issu 1, Pags 49 61, 007. [4]. Coronl, G., Baloa, T., Vidla, L., Optimización dl cálculo d la matriz d rigidz n forma analítica d un lmnto finito isoparamétrico d cuatro nodos n lasticidad plana. VIII Intrnational Congrss on Numrical Mthods in Enginring and Applid Scincs, CIMENICS 006. [5]. Baloa, T., Vidla, L., Cálculo d la matriz d rigidz d lmntos finitos isoparamétricos d ocho nodos n lasticidad plana. VIII Intrnational Congrss on Numrical Mthods in Enginring and Applid Scincs, CIMENICS 006.