DE DIENTES RECTOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOS

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1 Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 MÉTODOS DE CÁLCUL CULO PARA ENGRANAJES AJES PLÁSTICOS DE DIENTES RECTOS SIMÉTRICOS Y ASIMÉTRICOS Jorg L. Moya Rodríguz, José Albrto Vlázquz Pérz, Rafal Goytisolo Espinosa, Edimir Btancourt Castañda; Facultad d Ingniría Mcánica, Univrsidad Cntral Marta Abru d Las Villas Rcibido: 18/mayo/005 Aprobado: 3/julio/005 El comportaminto d los ngranajs cilíndricos d dints rctos d matrials plásticos s bastant difrnt dl d los ngranajs mtálicos, tanto dsd l punto d vista d las fallas qu s producn, como dl disño d stos ngranajs. Existn difrnts métodos d cálculo para dtrminar las dimnsions d un ngranaj plástico cilíndrico d dints rctos xtriors para satisfacr dtrminados rquisitos d potncia y vlocidad. En st trabajo s analizan las difrnts mtodologías xistnts n la actualidad para l disño d ngranajs cilíndricos d dints rctos xtriors d matrials plásticos, sgún difrnts autors como son Dvorak, Klly, y Fairs y admás por los métodos mplados por la firma CARBOPLAST. Para comparar los rsultados dl cálculo d las tnsions n la bas dl dint por las difrnts mtodologías sbozadas antriormnt s procd a calcular, n una primra fas, las caractrísticas gométricas d una transmisión d ngranajs cilíndricos d dints rctos, dspués s compruba si para s caso spcífico s pudn usar ngranajs plásticos y si la rspusta s afirmativa, ntoncs s calcula la tnsión por cada mtodología. Para l mismo jmplo utilizando las técnicas dl modlado gométrico s dibujó l piñón n 3D. Como l piñón tin una configuración simétrica, para ralizar l análisis mdiant l Método d los Elmntos Finitos s pud utilizar la gomtría d un dint con l objtivo d simplificar los cálculos. Aplicando al modlo las corrspondints condicions d contorno y las mismas cargas y matrial qu s usaron n l jmplo para valorar las difrnts mtodologías, s dtrminaron las tnsions n todo l volumn dl dint, dtrminándos particularmnt la tnsión máxima n la bas dl dint. Con l objtivo d comparar los rsultados s dtrminó cuánto rprsnta cada rsultado obtnido por las difrnts mtodologías con rspcto al valor obtnido a través dl MEF. S ofrc admás una nuva xprsión d cálculo propusta por los autors para l caso particular d los ngranajs plásticos d dints rctos asimétricos. Palabras clav: Engranajs, plásticos, Lwis. Calculation mthods for spur gars with symmtrical and asymmtrical tth Plastic spur gars ar mployd today in many filds of industry. For mchanical nginrs, plastic gars ar a powrful mans of cutting driv cost, wight, nois, and war.plastic gars also opn nw opportunitis for smallr, mor fficint transmissions in many products. Th main failur of ths gars is bnding fractur and thr ar svral calculation mthods for avoid or diminish this failur. Bnding strss valuation in modrn gar dsign is gnrally basd on th mor-than-on hundrd- yar-old Lwis quation with diffrnt modifications. A comparison among today s calculation mthods is mad at this papr. A nw Mthod bas on Finit Elmnt Mthod is proposd. Ky words: Gars, plastics, Lwis. 68

2 INTRODUCCIÓN El comportaminto d los ngranajs cilíndricos d dints rctos d matrials plásticos s bastant difrnt al dl d los ngranajs mtálicos, tanto dsd l punto d vista d las fallas qu s producn, como d su disño. Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 Tabla 1. Factors d srvicio Existn varios métodos d cálculo para dtrminar las dimnsions d un ngranaj plástico cilíndrico d dints rctos xtriors para satisfacr dtrminados rquisitos d potncia y vlocidad. A continuación s sbozan las mtodologías sgún algunos autors, stos son Dvorak, Klly 4 y Fairs 3 y, admás, por los métodos mplados por la firma CARBOPLAST. 6 S hac una comparación ntr los difrnts métodos y s ofrc un método d cálculo para ngranajs plásticos d dints rctos asimétricos. DESARROLLO Difrnts Métodos d Cálculo - Método d cálculo sgún Dvorak Método d cálculo sgún Klly Klly mpla, para l cálculo d tnsions n ngranajs, la cuación d Lwis n su variant original. FP σ = fy [ σ ] s: Tnsión actuant n l pi dl dint, n lb/pulg [s]: Tnsión admisibl dl matrial, n lb/pulg P: Diamtral pitch f: Ancho dl dint, n pulg F: Furza tangncial trasmitida, n libras Y: Factor d forma dl dint, sgún tabla Tabla. Factor d forma () Dvorak prsnta una cuación qu no s más qu una modificación d la cuación d Lwis incorpora la vlocidad n la circunfrncia d paso y l factor d srvicio. 55 S = ( 6 + V ) WPC FYV S [ S ] S (1) S: Tnsión actuant n la bas dl dint n lb/ pulg W: Potncia n HP V: Vlocidad dl polo n pi/min. P: Diamtral pitch C S : Factor d srvicio, sgún la tabla 1 F: Ancho dl dint n pulgadas Y: Factor d forma o factor d Lwis, sgún la tabla [S S ]: Tnsión admisibl n lb/pulg, sgún la tabla 3 69 Tabla 3. Valors d las tnsions admisibls para ngranajs plásticos a 70 F n lb/pulg

3 Método d cálculo sgún Fairs Est método contmpla los cálculos siguints: Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 s kg = sn( φ) 1 1 1,4 Ep Eg (7) Primramnt s calcula la carga dinámica a través d la xprsión siguint: F d ( 00+ 3,8V ) Ft = (3) 00+ 0,8V Fd: Carga dinámica, n kg. V: Vlocidad dl polo dl ngranaj, n m/min. Ft: Furza tangncial actuant sobr l dint, n kg. Esta carga dinámica postriormnt s iguala a la carga actuant sgún la cuación d Lwis, s dcir, Fd = Fs. SbYm F S = (4) 10 S: Esfurzo d cálculo n kg/cm qu dpnd dl módulo, dl matrial y dl númro d ciclos. b: Ancho d la ruda, n cm. m: Módulo, n mm. Y: Factor d Lwis. S asum un valor dl módulo y s pud dspjar l ancho d cara b ncsario para trasmitir la potncia dada. Finalmnt, s iguala la carga dinámica a la carga d dsgast y s dspja l ancho ncsario. Fd = Fw. Fw = Dp. b. Q. kg (5) Dond: Dg Q = (6) Dg + Dp Dg: Diámtro primitivo d la ruda, cm Dp: Diámtro primitivo dl piñón, cm b: Ancho d los dints, cm kg: Factor dl matrial s: tnsión admisibl a contacto, n kg/cm. φ: ángulo d prsión. Ep,Eg: módulo d lasticidad n kg/cm dl piñón y la ruda, rspctivamnt. D los anchos d cara obtnidos por la cuación d Lwis y por la cuación dl dsgast s toma l mayor. Método d cálculo sgún CARBOPLAST Para obtnr l ciclo d vida d un piñón fabricado n PROLON, s calcula l sfurzo básico admisibl n la raíz dl dint usando para llo una modificación d la fórmula d Lwis. Dspués s fija l valor calculado n l j vrtical, s l su proycción n l j horizontal d acurdo al módulo spcífico dl piñón y s dtrmina l ciclo d vida n función d los sfurzos, los cuals pudn convrtirs, d acurdo a la vlocidad, n timpo d vida sprada. Si l torqu a transmitir s l factor qu s conoc, T S = C1 C (8) PD M F Y Y si la potncia s l factor conocido, ntoncs s calculará por: HP S = C1 C (9) PD M F Y n S: Esfurzo admisibl n l dint, n kgf/cm T: Torqu transmitido por l piñón n, kgf/cm PD: Diámtro primitivo dl piñón, n mm M: Módulo d la transmisión, n mm F: Ancho d la cara dl dint n mm Y: Factor d forma dl dint C: Factor d corrcción d opración C : Factor d corrcción d tmpratura 70

4 HP: Potncia transmitida por l piñón n HP n: Vlocidad dl piñón n rpm Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 M = 9550 n N. X Los difrnts parámtros qu intrvinn n la fórmula antrior son stimados y calculados por difrnts gráficos y tablas qu ofrc la firma CARBOPLAST. 6 Validación d los métodos a través d un jmplo d cálculo d una transmisión por ngranajs d plásticos sin corrcción Con la intnción d comparar los rsultados dl cálculo d tnsión n la bas dl dint por las difrnts mtodologías sbozadas antriormnt s procd a calcular, n una primra fas, las caractrísticas gométricas d una transmisión d ngranajs cilíndricos d dints rctos, dspués s compruba si para s caso spcífico s pudn usar ngranajs plásticos y si s afirmativo, ntoncs, por último, s calcula la tnsión por cada mtodología. Como datos auxiliars hipotéticos s asum una transmisión por ngranajs con las caractrísticas siguints: = ( D F n) + ( 115 H Z ) W = 5 kw ha * = 1 b=5,4 mm n1 = 890 rpm c =0,16 m = 4 μc = 0 o aw = 100 mm Zp = 5 Zc = 100 Con sos datos s calcularon todos los parámtros gométricos d la transmisión. Análisis d la posibilidad dl uso d ngranajs plásticos para la transmisión Una vz ralizado l cálculo gométrico s compruba si n la transmisión pudn usars ngranajs plásticos. Cálculo d la furza tangncial 000. M Ft = d 71 Sustituyndo valors n M : M Y por consiguint: = 14, 64N m Ft = 1073, 03N Comprobación d la posibilidad d utilización d ngranajs d plástico n sta transmisión (5): D: Diámtro dl ngranaj, n pulgadas F: Ancho dl dint, n pulgadas n: Vlocidad d la ruda, n rpm H: Potncia trasmitida, n HP Z: Númro d dints d ngranaj Si X s: 1 ó mayor: s rcominda l uso dl plásticos, spcíficamnt d la firma Nylamid. 0,7 a 1: l ngranaj plástico funciona adcuadamnt. 0,445 a 0,71: l ngranaj tin pocas propidads para funcionar adcuadamnt. Mnos d 0,445: no db usars l plástico para rmplazar l mtal. Partindo d los datos inicials y dl cálculo gométrico: D = 3,94 pulg. H = 6,71 HP F = 1 pulg. Z = 5 n = 890 rpm Sustituyndo n (10): X = 3,107.5 (10) Por lo tanto, como l rsultado s mucho mayor qu la unidad s pudn utilizar ngranajs d plástico n sta transmisión. S calcularon ntoncs las tnsions por todos los métodos dscritos antriormnt.

5 Cálculo d las tnsions mdiant l MEF Para los mismos datos usados n los métodos antriors s ralizaron los cálculos d tnsions a través dl Método d los lmntos finitos. Para llo s cró un modlo dl dint, s gnró la malla y s usó como matrial nylon 6/10. 1 Una vz qu xistn todas las condicions s pudn aprciar los rsultados dl comportaminto d las tnsions n todo l volumn dl dint (figura 1). Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 En la figura aparc un dtall d una zona d la bas dl dint (dtall I), qu sgún s obsrva s la más cargada. El rsultado d sta tnsión, la máxima n la bas dl dint, s aproximadamnt 48,17 Mpa. Figura. Dtall d la zona I Comparación ntr los rsultados dl MEF y los difrnts métodos Figura 1. Rsultado dl cálculo d tnsions por l método d los lmntos finitos Con l objtivo d comparar los rsultados s dtrmina cuánto rprsnta cada rsultado obtnido por cada procdiminto, con rspcto al valor obtnido a través dl MEF (tabla 4). Tabla 4. Rsumn d rsultados con rspcto al MEF Métodos Dvorak Klly Fairs Moya Carboplast MEF Rsultados (MPa) % d Difrncia 47,45 30,88 48,41 46,3 34,89 48,17 1,5 133,3 0,49 3,84 9,19 0 Exprsión d cálculo para los ngranajs plásticos asimétricos propusta por los autors Para hallar una xprsión más xacta para l cálculo d tnsions n dints asimétricos s dsarrolló un xprimnto virtual, utilizando l softwar COSMOS Dsign Star. Para llo s dsarrollaron trs tapas: 1) S mantuvo l númro d dints fijo (Z = 17), la corrcción igual a cro (X = 0), y s varió l coficint d asimtría dsd 1 hasta 1,5. S utilizó como matrial nylon 6,10 y s utilizó una furza unitaria, un módulo unitario y una carga unitaria. S dtrminaron ntoncs las tnsions máximas n l pi dl dint. Utilizando l softwar Curv Exprt 1,3 para 7

6 Windows, s dtrminó la cuación d la Tnsión n función dl coficint d asimtría (Wibull Modl): Aquí a= 6,74715 b= 3,861 c= 1,19807 d= -3,85999 C Coficint d asimtría Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 (11) 4) Finalmnt, s mantuvo l coficint d asimtría igual a 1 la corrcción igual a cro, y s varió l númro d dints. S utilizó como matrial Nylon 6,10 y s utilizó una furza unitaria, un módulo unitario y una carga unitaria. S dtrminaron ntoncs las tnsions máximas n l pi dl dint. Utilizando l softwar Curv Exprt 1,3 para Windows, s dtrminó la cuación d la tnsión n función dl númro d dints (Logistic Modl). σ = a. b. ) Postriormnt s mantuvo l númro d dints fijo (Z = 17), l coficint d asimtría igual a 1 y s varió la corrcción dsd 0 hasta 1. S utilizó como matrial nylon 6,10 y s utilizó una furza unitaria, un módulo unitario y una carga unitaria. S dtrminaron ntoncs las tnsions máximas n l pi dl dint. Utilizando l softwar Curv Exprt 1,3 para Windows, s dtrminó la cuación d la tnsión n función dl coficint d corrcción (Exponntial Fit): 3) c. C d b. x σ = a. (1) Aquí: a = 5, b = -0, X = coficint d corrcción a σ = (13) c. z ( 1 + b. ) Aquí: a = 1, b = -0, c = 0, z = númro d dints Para valuar la influncia simultána d los trs parámtros (X, C, Z), n l valor d las tnsions qu surgn n l pi dl dint, s utilizó l softwar Stat Graphics 4,1 Plus, ralizándos un mayor númro d xprimntos. Llgándos a la siguint función (para furzas, módulo y ancho unitarios): 0,45994 σu = 1, ,05* 0,66 C 3,164* C + 4,3* 0,0386* Z 0,1481* X (14) Entoncs, l valor d la tnsión ral n l dint d un ngranaj asimétrico srá l valor calculado por la xprsión antrior, afctado por la carga actuant, l módulo, l ancho d la ruda, y l factor d Lwis. Llamando a la xprsión antrior Cr, s obtin: Ft σ = * Cr (15) m. b. Y F C r 0,45994 = 1, ,05*,0.66 3,164* C 0,0386* Z C + 4,3* 0,1481* X (16) S programaron todos los parámtros antriors n una hoja d cálculo d Excl, y para validar la xprsión s dsarrollaron sit cálculos con l COSMOS Dsign Star. En la tabla 5 s mustra 73

7 la hoja d cálculo n Excl: n sta s pud aprciar l rror d la xprsión obtnida Cntro Azúcar 33(1): nro-marzo, 006 con rspcto al Método d los Elmntos Finitos. Tabla 5. Valors d las tnsions calculadas por la xprsión obtnida y por l MEF CONCLUSIONES 1. Muchos autors coincidn n l critrio d qu la falla principal d los ngranajs plásticos s la fractura dl dint. D hcho todas las xprsions d cálculo qu aparcn n la litratura para l disño d st tipo d ngranajs s limitan a dtrminar las tnsions qu s originan n l pi dl dint dbido a la flxión.. Exist una gran difrncia ntr los valors d las tnsions n l pi dl dint producto d la flxión al aplicar las xprsions propustas por los difrnts autors. Las xprsions más xactas son las d Dvorak y Fairs y las mnos prcisas las d Nlly y las d la firma CARBOPLAST. 3. Las difrnts xprsions d cálculo xistnts para dtrminar las dimnsions d los ngranajs plásticos n función d la solicitación d potncia no tinn n cunta las posibilidads d modificacions gométricas d stos ngranajs, ni las particularidads dl factor d Lwis para stos, l cual n los ngranajs asimétricos dpnd admás dl númro d dints dl ángulo d ataqu y dl ángulo d rspaldo La xprsión d cálculo propusta por los autors para la dtrminación d las tnsions n l pi dl dint d los ngranajs asimétricos ofrc rsultados bastant crcanos a los obtnidos por l MEF. BIBLIOGRAFIA 1. DSM: Enginring Plastic Products, Catálogo, Dvorak, P.: Mor bit for Plastic Gars, Machin Dsign, nro, Pnton Publishing, USA, Fairs, V. M.: Disño d lmntos d máquinas, Editorial Limusa. 4. Klly, J. W.: Polymrs gt in gars, Machin Dsign. sptimbr, Pnton Publishing, USA, Klly, J. W.: Polymrs gt in gars, Machin Dsign, sptimbr, Pnton Publishing, USA, Nylamid, J.: Plásticos d ingniría Consultado n: 7. Prtuz, F. D.: Plásticos d ingniría, CARBOPLAST. S, A., Colombia, 1999.