Fundamentos Físicos de la Ingeniería. (Cuatrimestre de Mecánica)

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1 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Superior de Ingenieros Cmino de los Descubrimientos s/n 409 Sevill AUNTES DE Fundmentos Físicos de l Ingenierí (Cutrimestre de Mecánic) INGENIERÍA INDUSTRIAL Enrique Drke Moyno

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3 CNTENIDS E. DRAKE i CNTENIDS Vectores libres.mgnitudesesclresyvectoriles.... Definición geométric de vector. Clsificción Vectores libres. Sum y producto por un esclr Bses vectoriles. Componentes de un vector. Coordends de un punto roducto esclr roducto vectoril roducto mixto Doble producto vectoril Cinemátic del punto 7. Introducción...7. Algunos elementos de l geometrídecurvs...7..ecucionesdeuncurv...7..longituddeuncurv Triedro intrínsecoodefrenet curvturyrdiodecurvtur Cinemátic del punto. Generliddes Componentes intrínsecs de l velocidd y l celerción Determinción cinemátic de elementos geométricosdeltryectori... 6.Movimientoselementles Movimiento rectilíneo Movimientocirculr Movimiento rmónicosimple(m..s.) Movimientohelicoidluniforme(m.h.u.) Movimientocentrl Descripción del movimiento plno de un punto en coordends polres Conceptodevelociddreolr Teorem fundmentl del movimiento centrl Vectores deslizntes 7. Definicióndevectordesliznte.Momento...7.Sistemdevectoresdeslizntes...7..Resultnteymomentoresultnte Cmpo de momentos: ecuciónypropieddes Momento áxico invrintes ejecentrl Sistemsprticulres Vectorsuelto rdevectores Vectoresconcurrentes Vectoresprlelos... 4.Equivlencidesistemsdevectoresdeslizntes Reduccióndesistemsdevectoresdeslizntes Clsificcióndesistemsdevectoresdeslizntes Equiproyectividd...4 Cinemátic del sólido rígido 5. Definiciónde sólido rígido: condición geométricde rigidez...5. Condición cinemáticderigidez:equiproyectividddelcmpodevelociddes...5 DT. FÍSICA ALICADA III

4 ii E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA 3. Movimiento de rotción Rotcióndeejepermnente Rotción instntáne Movimiento de trslción Trslción instntáne Trslciónpermnente Movimientohelicoidltngente Descripción del movimiento instntáneo de un sólido rígido: clsificción Cmpo de velociddesdel sólido rígido Cmpo de celerciones del sólido rígido...30 Movimiento reltivo 33. Derivción temporl en triedros móviles: fórmulsdeoisson Notciónydefinicionesenelmovimientoreltivo Composicióndevelociddes Composición de velociddes ngulres Composición de celerciones: teorem de Coriolis Composición de celerciones ngulres res cinemáticos. Sólidos en contcto puntul Movimiento plno 4. Definicióndemovimientoplno.ropieddes...4. Centro instntáneo de rotción(c.i.r.) DefinicióndelC.I.R...4..ropieddesdelC.I.R DetermincióndelC.I.R Teorem de los tres centros o de Aronhold-Kennedy Introducción l Dinámic 45.LeyesdeNewton Dinámic del punto mteril untomterillibre unto mteril vinculdo. rincipio de liberción Integrles primers: teorems de conservción Teorem de l energí Teoremdelcntidddemovimiento Teorem del momento cinético Dinámicensistemsdereferencinoinerciles Aproximción l dinámicdeunrotor Energí cinéticderotción.momentodeinerci L segund ley de Newton pr l rotción...5 Estátic 53. Introducción Equilibrio del punto mteril Equilibrio del punto sobre un superficie lis Equilibrio del punto sobre un curv lis Equilibrio del sólido rígido Condición estátic de rigidez. Teorem de trnsmisibilidd Condiciones de equilibrio del sólido Desvinculción de sólidos Desvinculción de un contcto puntul y liso Desvinculcióndepresdeenlceusules(lisos) Teoremdelstresfuerzs rincipio de frgmentción Contctos reles entre sólidos.rozmientosecodecoulomb Estudioexperimentldelfuerzderozmiento LeyesdeCoulomb Deslizmientoinminenteyvuelcoinminente...6 DT. FÍSICA ALICADA III

5 VECTRES LIBRES E. DRAKE VECTRES LIBRES. Mgnitudes esclres y vectoriles.- Un mgnitud físic es culquier propiedd físic susceptible de ser medid. Ejemplos: el tiempo (t), l velocidd ( v), l ms (m), l tempertur (T ), el cmpo eléctrico ( E). Ls mgnitudes físics se pueden clsificr en: Mgnitudes esclres, que son quélls que quedn completmente determinds medinte el conocimiento de su vlor expresdo medinte un cntidd (un número rel) seguid de un unidd ( excepción de ls dimensionles). Ejemplos: el tiempo (t), l ms (m), l tempertur (T ), l crg eléctric (q), el coeficiente de rozmiento (µ). Mgnitudes vectoriles, que son quélls que no quedn completmente determinds por su vlor (cntidd y unidd), sino que requieren demás el conocimiento de l dirección y el sentido de su ctución, e incluso en lgunos csos el conocimiento de su rect soporte o de su punto de plicción. Ejemplos: l velocidd ( v), l celerción ( ), l fuerz ( F ), el cmpo eléctrico ( E). Mgnitudes tensoriles, que no son, por el momento, objeto de nuestr tención.. Definición geométric de vector. Clsificción.- El concepto de vector es un concepto mtemático con interés físico, y que permite representr o describir ls mgnitudes vectoriles, sí como operr con ells. Un vector geométrico es un segmento orientdo dotdo de los siguientes elementos: ) módulo (es su longitud, proporcionl l vlor de l mgnitud físic); b) rect soporte (es l rect l que pertenece el segmento); c) dirección (es l dirección de su rect soporte); d) sentido (es l orientción del segmento, indicd medinte un flech y que permite definir cuál es su origen y cuál su extremo); y e) punto de plicción (es el origen del segmento). Los vectores geométricos se pueden clsificr en: DT. FÍSICA ALICADA III punto de plicción sentido módulo rect soporte (dirección) Vectores libres, que son los que quedn definidos medinte su módulo, dirección y sentido. or tnto, son invrintes nte trslciones en el espcio. Ejemplo: l resultnte de tods ls fuerzs que ctún sobre un sólido rígido. Vectores deslizntes, que son los que quedn definidos medinte su módulo, dirección, sentido y rect soporte. or tnto, son invrintes nte deslizmientos lo lrgo de su rect soporte. Ejemplos: l velocidd ngulr, l fuerz que ctú sobre un sólido rígido. Vectores ligdos, que son los que quedn definidos medinte su módulo, dirección, sentido y punto de plicción. No existe ningúnmovimientoque losdeje invrintes. Ejemplos: l velocidd, elmomentode un fuerzrespecto unpunto. En principio, cd mgnitud físic vectoril, según su nturlez, puede ser representd por un de ests tres clses de vectores. Sin embrgo, en ocsiones, es l nturlez del problem físico concreto l que determin que un mism mgnitud se describ medinte un u otr clse de vectores. Así, por ejemplo, un fuerz se comport como un vector desliznte cundo ctú sobre un sólido rígido, y como un vector ligdo cundo lo hce sobre un sólido deformble. 3. Vectores libres. Sum y producto por un esclr.- Los vectores libres dmiten l definición de ls operciones sum y producto por un esclr con un serie de propieddes lgebrics (definición lgebric de vector). No obstnte, el primer requisito pr poder operr con vectores libres h de ser l definición de un relción de equivlenci.

6 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA L relción de equivlenci entre vectores libres está implícit en l propi definición de éstos, de tl modo que diremos que dos vectores libres son equivlentes (y escribiremos = b) cundo tengn respectivmente igules sus módulos, sus direcciones y sus sentidos (podrán tener diferentes, por tnto, sus rects soporte y sus puntos de plicción). b c = b = c= d d L sum de vectores libres, + b, se define medinte ls conocids como regl del prlelogrmo o regl del triángulo, y present ls siguientes propieddes lgebrics: Conmuttiv: Asocitiv: + b = b + ( + b)+ c = +( b + c) Existenci de elemento neutro: + 0 = Existenci de elemento opuesto: +( ) = 0 b + b + b b L operción sum, junto l existenci de elemento opuesto, permite definir l rest o diferenci de vectores, b, como: b = +( b) b - b - b El producto de un vector libre,, por un esclr, λ (número rel), se define como un nuevo vector libre, λ, cuyo módulo es igul l producto del esclr (en vlor bsoluto) por el módulo del vector originl, cuy dirección es l mism que l del vector originl, y cuyo sentido es el mismo o el opuesto l del vector originl según el esclr se positivo o negtivo, respectivmente. Est operción present ls siguientes propieddes lgebrics: Asocitiv respecto l producto por esclr: Distributiv respecto l sum de vectores: Distributiv respecto l sum de esclres: Existenci de esclr unidd: = λ (µ ) =(λµ) λ ( + b)=λ + λ b (λ + µ) = λ + µ = 4. Bses vectoriles. Componentes de un vector. Coordends de un punto.- Un bse de vectores libres en el espcio ordinrio tridimensionl E 3 es culquier tern de vectores, B = { v, v, v 3 }, tl que todo vector libre,, se pued expresr como combinción linel de los mismos, es decir: = v + v + 3 v 3 Se dice entonces que [,, 3 ] son ls componentes del vector en l bse vectoril B, lo cul se puede expresr del siguiente modo: =[,, 3 ] B obien =[,, 3 ] (si no hy mbigüedd respecto l bse) or tnto, un mismo vector tendrá un tern distint de componentes en cd un de ls infinits bses posibles. Desde un punto de vist geométrico, un bse vectoril en el espcio ordinrio E 3 es culquier tern de vectores que no sen colineles ni coplnrios. > 0 < 0 v 3 v v vectores colineles vectores coplnrios bse vectoril de E 3 DT. FÍSICA ALICADA III

7 VECTRES LIBRES E. DRAKE 3 r describir el espcio ordinrio, se puede definir un sistem de ejes coordendos crtesinos, X X X 3,lculselesoci un bse crtesin ortonorml, { u, u, u 3 } (formd por tres vectores unitrios, perpendiculres entre sí, que siguen ls direcciones de los ejes X, X y X 3, respectivmente). Cundo el sistem de ejes crtesinos es XY Z, se prefiere l notción { ı, j, k} pr su bse ortonorml socid. L posición de un punto genérico,, respecto un sistem de ejes crtesinos, X X X 3, qued unívocmente definid medinte su vector de posición: = p u + p u + p 3 u 3 X 3 ( q,q,q) x 3 Se denominn coordends crtesins del punto en dicho sistem de ejes ls componentes de su vector de posición en l bse ortonorml socid, es decir, l tern (p,p,p 3 ). Conocids ls coordends crtesins del origen y del extremo de un vector, bst restrle ls primers ls segunds pr obtener ls componentes crtesins del vector. or ejemplo, ddos los puntos (p,p,p 3 ) y Q(q,q,q 3 ), es inmedito clculr ls componentes del vector Q: Q = Q =[q p,q p,q 3 p 3 ] X u 3 pu 3 3 u u pu pu x ( p,p,p ) 3 X 5. roducto esclr.- Ddos dos vectores, y b, que formn un ángulo θ (0 θ π), se denomin producto esclr, b, l esclr (número rel) que result de multiplicr los módulos de mbos vectores por el coseno del ángulo que formn: b < b > b = b cos(θ) b. > 0 Signo b. < 0 El producto esclr present ls siguientes propieddes geométrics: ) Condición de ortogonlidd: si 0 b, entonces b =0 b b. = 0 b = b) royecciones ortogonles: b = proy [ b ]= b proy b [ ] Aplicciones: *si u =, entonces u = proy u [ ] } proy [ ] b cos ( ) b b cos ( ) *si{ u, u, u 3 } es ortonorml, =( u ) u +( u ) u +( u 3 ) u 3 c) Métric (permite medir distncis y ángulos): Módulo de un vector, : = Distnci entre dos puntos, y Q: d(, Q) = Q = Q Q } proy [ ] b d, ( ) Ángulo formdo por dos rects, r y s: Cosenos directores de un rect, r: cos(θ) = b b b s r cos(α i )= u i (i =,, 3) u u 3 3 u r DT. FÍSICA ALICADA III

8 V V 4 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA El producto esclr present ls siguientes propieddes lgebrics: Asocitiv respecto l producto por un esclr: (α ) b = (α b)=α ( b) Conmuttiv: b = b Distributiv respecto l sum: ( b + c) = b + c Cnceltiv: x = x b = = b + c (siendo c x y, por tnto, x c =0) Respecto l producto esclr en componentes crtesins, destcremos: ) roducto esclr de los vectores de un bse crtesin ortonorml, { u, u, u 3 }: u 3 { u si i = j u i u j = δ ij = (δ 0 si i j ij : delt de kronecker) u u i = ( i =,,3) b) roducto esclr de dos vectores rbitrrios, y b (se deduce del punto nterior y de ls propieddes lgebrics): Aplicciones: * d(, Q) = b = b + b + 3 b 3 Q Q = (q p ) +(q p ) +(q 3 p 3 ) * cos(α i )= u i i = (i =,, 3) (obsérvese que: cos (α )+cos (α )+cos (α 3 )=) Finlmente, como plicción geométric del producto esclr, se puede deducir l ecución vectoril norml del plno, π, que ps por el punto (x,y,z ) y que es norml l vector N =(α, β, γ). Si (x, y, x) es un punto genérico del plno π, entonces: N N =0 N ( )=0 N = N que, efectundo el producto esclr en componentes crtesins, se trduce en que todo punto (x, y, z) que pertenezc l plno π debe stisfcer l ecución generl: α(x x )+β(y y )+γ(z z )=0 X Z N x x Y 6. roducto vectoril.- Ddos dos vectores, y b, que formn un ángulo θ (0 θ π), se denomin producto vectoril, b, un nuevo vector cuyo módulo es igul l producto de los módulos de mbos vectores por el seno (en vlor bsoluto) del ángulo que formn, cuy dirección es l perpendiculr l plno π definido por los dos vectores originles, y cuyo sentido viene ddo por l regl de l mno derech (si colocmos nuestr mno derech de form que los dedos sign el sentido de giro desde el primer vector,, hci el segundo vector, b, por el cmino más corto, entonces el pulgr extendido punt en el sentido de b). módulo: b = b sen(θ) b = dirección: ( b) plno π sentido : r. mno derech ( b) b b El producto vectoril present ls siguientes propieddes geométrics: ) Condición de prlelismo: si 0 b, entonces b = 0 b b b = 0 DT. FÍSICA ALICADA III

9 x V VECTRES LIBRES E. DRAKE 5 b) royecciones ortogonles: Áre = Áre = b Aplicciones: b = proy [ b ]= b proy b [ ] *si u =, entonces u = proy u [ ] *Elmódulo del producto vectoril de dos vectores, b, es igul l áre del prlelogrmo que tiene como ldos mbos vectores, o -lo que es lo mismo- es igul l doble del áre del triángulo que tiene mbos vectores como dos de sus ldos. proy [ ] b } sen ( ) b b sen ( ) } proy [ ] b El producto vectoril present ls siguientes propieddes lgebrics: No es socitivo: Anticonmuttiv: ( b c) ( b) c b = b Asocitiv respecto l producto por un esclr: (α ) b = (α b)=α ( b) Distributiv respecto l sum: ( b + c) = b + c Cnceltiv: x = x b = = b + λ x (siendo λ un prámetro rel, λ IR) Respecto l producto vectoril en componentes crtesins, destcremos: ) roducto vectoril de los vectores de un bse crtesin ortonorml y dextrógir,{ u, u, u 3 }: u u = u 3 ; u u 3 = u ; u 3 u = u u j u i = u i u j ; u i u i = 0 (i, j =,, 3) u u u 3 u i = ( i =,,3) b) roducto vectoril de dos vectores rbitrrios, y b (se deduce del punto nterior y de ls propieddes lgebrics): b = u u u 3 3 b b b 3 Finlmente, como plicción geométric del producto vectoril, se puede deducir l ecución vectoril de l rect, r, que ps por el punto (x,y,z ) y que tiene l dirección del vector ν =(α, β, γ). Si (x, y, z) es un punto genérico de l rect r, entonces: ν ν = 0 ν ( )= 0 ν = ν y, plicndo l propiedd cnceltiv del producto vectoril, se obtiene: = + λ ν X Z x r Y de donde se deducen ls ecuciones prmétrics (seprndo en componentes crtesins) y ls ecuciones en form continu (eliminndo el prámetro λ) de l rect r: x = x + λα y = y + λβ z = z + λγ (ec. prmétrics) x x α = y y β = z z γ (ec. en form continu) DT. FÍSICA ALICADA III

10 V V V x 6 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA 7. roducto mixto.- El producto mixto, ( b c), present ls siguientes propieddes geométrics: ) El vlor bsoluto del producto mixto de tres vectores, ( b c), es igul l volumen del prlelepípedo que tiene como rists esos tres vectores: b Volumen c = Áre h ( b c) = b c proy ( b c) [ ]=Volumen b) Condición de coplnriedd (pr, b y c no nulos): Aplicción: ( b c) =0, b y c son coplnrios proy [ ] ( b c ) } h c b Áre = b c * Tres vectores,, b y c, constituyen un bse vectoril del espcio ordinrio E 3 si, y sólo si, ( b c) 0. El producto mixto present ls siguientes propieddes lgebrics: ermutbilidd cíclic: ( b c) = b ( c ) = c ( b) Antipermutbilidd cíclic: ( b c) = b ( c) El producto mixto en componentes crtesins de tres vectores rbitrrios,, b y c, se expres: ( b c) = Aplicciones: 3 b b b 3 c c c 3 * roducto mixto de los vectores de un bse ortonorml dextrógir, { u, u, u 3 }: 0 0 u 3 u ( u u 3 )= = u u u i = ( i =,,3) * Ecución del plno, π, que ps por tres puntos no linedos, (x,y,z ), (x,y,z ) y 3 (x 3,y 3,z 3 ). Todo punto (x, y, z) que pertenezc l plno π debe stisfcer l ecución: x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z =0 (coplnriedd de,, 3 ) X Z x 3 x x 3 Y 8. Doble producto vectoril.- ( b c) = b ( b) c ( c) =( c) b ( b) c Aplicciones: * Desrrollo del producto esclr de dos productos vectoriles: ( b) ( c d)= c [ d ( b)]= c [( b d) ( d) b ]=( c)( b d) ( d)( b c) * Resolver, pr l incógnit x, el sistem de ecuciones vectoriles { x = b x = α ( x ) = b = x ( x ) = b = x = b + α DT. FÍSICA ALICADA III

11 CINEMÁTICA DEL UNT E. DRAKE 7 CINEMÁTICA DEL UNT. Introducción.- Se dice que un cuerpo se hll en movimiento respecto otro cundo existe un cmbio continuo de su posición reltiv lo lrgo del tiempo. L rm de l Físic que se dedic l estudio del movimiento de los cuerpos es l Mecánic, yést se subdivide en ls siguientes disciplins: Cinemátic, que describe geométricmente el movimiento sin tender sus cuss. Dinámic, que conect el movimiento y sus crcterístics con ls cuss (fuerzs) que lo producen. Estátic, que estblece ls condiciones de equilibrio mecánico (usenci de movimiento). El punto mteril es un modelo mtemático consistente en un punto geométrico (sin dimensiones) dotdo de un ms finit y distint de cero (densidd másic infinit). L utilidd de este modelo rdic en que: - proporcion un punto de prtid reltivmente simple pr el desrrollo teórico de l mecánic de modelos más complejos; - proxim el comportmiento dinámico de quellos cuerpos cuys dimensiones propis son muy inferiores ls dimensiones promedio de sus desplzmientos (por ejemplo, los cuerpos celestes); - permite estudir el movimiento del centro de ms de culquier sistem mecánico.. Algunos elementos de l geometrí de curvs.- El movimiento de un punto en el espcio ordinrio tridimensionl, E 3, gener un curv lbed (tryectori). En consecuenci, l descripción geométric del movimiento de un punto (objeto de su Cinemátic) requiere el previo conocimiento de lgunos elementos de l geometrí de curvs... Ecuciones de un curv. L ecución vectoril de un curv, C, viene dd por un función vectoril de vrible rel: r = r (λ) = (λ) =[x(λ),y(λ),z(λ)] ; (con λ IR) Z ( ) de donde, seprndo ls componentes crtesins, se obtienen ls ecuciones prmétrics: x = x (λ) y = y (λ) z = z (λ) y, eliminndo en ests últims el prámetroλ, se lleg ls ecuciones implícits: respectivmente, sends superficies en E 3 cuy intersección es l curv C. X { F (x, y, z) =0 F (x, y, z) =0 r ( ) C Y, ls cules corresponden, or otr prte, λ no es el único prámetro posible pr describir l curv C (existen infinitos). Así, por ejemplo, l definición de un nuevo prámetro µ medinte el cmbio: λ = λ(µ) permitirí l siguiente reprmetrizción de C: r = r [ λ(µ)]= r (µ) DT. FÍSICA ALICADA III

12 8 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA Ejemplo: * L circunferenci de ecución vectoril: r = r (θ) =[ cos (θ),sen (θ), 0] Z y de ecuciones prmétrics crtesins: x = cos (θ) y = sen (θ) z =0 se puede reprmetrizr medinte el cmbio θ = π φ, resultndo l nuev ecución vectoril: X r Y r = r (φ) =[ sen (φ),cos (φ), 0] L eliminción del prámetro φ (o del prámetro θ) conduce ls ecuciones implícits: corresponden un superficie cilíndric y un plno cuy intersección es l circunferenci... Longitud de un curv. { x + y =0 z =0, que Se denomin prámetro nturl o prámetro rco, s, de un curv, C, l longitud del segmento de curv (rco) comprendido entre un punto de elección rbitrri, 0 (origen de rcos), y un punto genérico,. Suponiendo que l curv C está prmetrizd inicilmente en λ, y diferencindo su ecución vectoril, se obtiene el vector desplzmiento elementl, d r, como: s r Z d r = d r dλ dλ = [ dx dλ, dy dλ, dz ] dλ dλ ero el elemento de rco, ds,yelmódulo del vector desplzmiento elementl, d r, soninfinitésimos equivlentes, es decir: or tnto: ds = d r = r lim s 0 s = d r ds = ( ) dx + dλ ( ) dy + dλ ( ) dz dλ dλ e, integrndo est ecución entre los puntos 0 y, se obtiene un relción finit entre los prámetros s y λ: s λ (dx ) ( ) ( ) dy dz s = ds = + + dλ dλ dλ dλ 0 λ 0 X r + r r r ( ) s r ( 0 ) s () s ds = dr 0( s = 0) Medinte l reprmetrizción λ = λ(s), y seprndo en componentes crtesins, se lleg ls ecuciones prmétrics nturles de l curv C: x = x(s) y = y(s) z = z(s) Ejemplo: Y C Y * r l circunferenci de ecución vectoril: r = r (θ) =[ cos (θ),sen (θ), 0] se deduce fácilmente que s = θ (eligiendo el origen de rcos, 0,en θ =0); y, por tnto, l reprmetrizción nturl conduce : r = r (s) =[ cos (s/),sen (s/), 0] r ( ) Z s () s= X 0( s = 0) DT. FÍSICA ALICADA III

13 CINEMÁTICA DEL UNT E. DRAKE 9.3. Triedro intrínseco o de Frenet. En cd punto,, de un curv, C, de ecución vectoril r = r (s), se define el triedro intrínseco o triedro de Frenet, { T, N, B }, constituido por: Z d r Ts () Bs () T = (vector tngente unitrio) ds d T d r Ns () ds ds N = d = (vector norml principl) T d r C ds ds X Y B = T N (vector binorml) r () s s () r ls derivds respecto l prámetro rco, se us hbitulmente l notción d ( ) ds definiciones de T y N se pueden brevir del siguiente modo: T = r ; N = T T r = r =( ), d ( ) ds =( ). or ello, ls Como crcterístics fundmentles del triedrodefrenet, cbeseñlrquees: ) locl, y que se define en cd punto de l curv, y l dirección de sus vectores vrí en generl de un punto otro; b) intrínseco, y que es crcterístico de l geometrí locl de l curv, e independiente del sistem de coordends con el que se l describe; c) ortonorml, y que los tres vectores que lo constituyen son unitrios y ortogonles entre sí: * T = d r ds = d r ds =. or tnto, T = * T N = T =. or tnto, N = * T = T T =(cte) d( T T ) ds =0 T T =0 T T = N T * B = T N = T N sen(π/) =. or tnto, B = * B = T N = B T y B N En cunto ls direcciones y sentidos de los vectores del triedro de Frenet, obsérvese que: como su propio nombre indic, el vector T es tngente l curv en cd punto: Tds= d r = T d r (dirección de l tngente) y su sentido es el que corresponde vlores crecientes del prámetro rco, s; debido su propi definición, el vector N punt en l dirección y sentido en los que tuerce l curv en cd punto (es decir, hci donde gir su rect tngente): d T ds Nds= d T = N d T l dirección y el sentido del vector B se deducen directmente, plicndo su definición, de los de T y N.Cbeseñlr, no obstnte, que l dirección de B se mntiene constnte lo lrgo de un curv si, y sólo si, ést es pln. DT. FÍSICA ALICADA III

14 0 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA Ejemplo: * r l circunferenci que venimos considerndo, se tiene: r (s) = [ cos (s/),sen (s/), 0] r (s) = [ sen (s/), cos (s/), 0] r (s) = [ cos (s/)/, sen (s/)/, 0] clculándose el siguiente triedro de Frenet: T (s) =[ sen (s/), cos (s/), 0] N (s) =[ cos (s/), sen (s/), 0] B (s) =[0, 0, ] X 0 Z Ns () s Bs () s () Y Ts ().4. Curvtur y rdio de curvtur. Se define l curvtur, κ, de un curv, C, en un punto,,comoelmódulo de l derivd de su vector tngente unitrio respecto l prámetro rco: d T κ = ds = T = r or tnto, si se conocen ls ecuciones prmétrics crtesins de l curv, se puede clculr su curvtur medinte l expresión: κ = (d ) x ds + ( ) d y ds + El vector norml principl, N, se puede redefinir entonces como: ( ) d z ds = (x ) +(y ) +(z ) N = T κ = T = κ N ( ecución de Frenet) El rdio de curvtur, R κ, de un curv, C, en un punto,, es l invers de su curvtur en dicho punto: Ejemplos: R κ = κ * En un circunferenci -de rdio -, l curvtur tiene vlor constnte (κ = /) y, por consiguiente, tmbién es constnte el rdio de curvtur (R κ = ). Nótese, demás, que su rdio de curvtur coincide con su rdio geométrico. * En un rect, el vector T es constnte, y, por tnto, l curvtur es nul (κ =0) y el rdio de curvtur es infinito (R κ = ). bsérvese, demás, que es imposible definir los vectores N y B. = / R = = 0 R = 8 Como crcterístics de κ y R κ, cbe señlr que: son propieddes locles de un curv, es decir, sus vlores vrín en generl de un punto otro; son siempre myores o igules que cero (por definición); cunto más cerrd es un curv en un punto, tnto myor es su curvtur, κ, y tnto menor es su rdio de curvtur, R κ. De hecho, R κ puede interpretrse como el rdio de un circunferenci que proxim, hst l derivd de segundo orden, el comportmiento locl de l curv (circunferenci oscultriz). rect tngente B N T R circunferenci oscultriz centro de curvtur N B T C DT. FÍSICA ALICADA III

15 CINEMÁTICA DEL UNT E. DRAKE 3. Cinemátic del punto. Generliddes.- El movimiento de un punto,, con respecto un sistem de ejes crtesinos, XY Z, qued completmente determindo si se conoce su vector de posición en función del tiempo t: r = r (t) = (t) =[x(t),y(t),z(t)] ero r = r (t) es l ecución vectoril de l curv (tryectori) que describe el punto lo lrgo de su movimiento, y que el tiempo t, prte de su evidente significdo físico, es un prámetro de los infinitos posibles pr describir un curv. Ls ecuciones t-prmétrics de l tryectori se denominn ecuciones horris: X Z x = x(t) y = y(t) z = z(t) C ( tryectori) r () t punto móvil ( ) Si l tryectori viene descrit medinte otro prámetro que no se el tiempo t (por ejemplo, λ), se denomin ley horri l cmbio de prámetro λ = λ(t), unque dich denominción se reserv por defecto pr s = s(t). L velocidd instntáne, v, ylcelercióninstntáne,, del punto se definen, respectivmente, como: Y v = d r = d v = d r r ls derivds respecto l prámetro tiempo, se us hbitulmente l notción d ( ).. componentes crtesins: v =[ẋ, ẏ, ż ], =[.ẋ, y,.. z ]. =. ( ), d ( ) =.. ( ). or ejemplo, en 4. Componentes intrínsecs de l velocidd y l celerción.- Se denominn componentes intrínsecs de l velocidd y l celerción sus respectivs componentes vectoriles en l bse ortonorml que formn los vectores del triedro intrínseco: v = v T T + vn N + vb B = T T + N N + B B Ls componentes intrínsecs de l velocidd se deducen prtir de l definición de velocidd instntáne, y utilizndo l regl de l cden de l derivción: v = d r = d r ds ds = ṡ v T = ṡ T = v N =0 v B =0. Se denomin velocidd esclr, v,lmódulo del vector velocidd, que coincide con l componente tngencil v T (si s 0), l ser ést l únic componente intrínsec no nul: v = v = v T = ṡ Se comprueb, por tnto, que l velocidd, v, de un punto en movimiento es siempre tngente su tryectori: v = v T T Conocid l velocidd esclr en función del tiempo v(t), se puede deducir l ley horri medinte integrción: v(t) = ds = ds = v(t) = s(t) =s(t 0 )+ t t 0 v(t) Ls componentes intrínsecs de l celerción se deducen derivndo respecto l tiempo l velocidd expresd en componentes intrínsecs (y usndo l regl de l cden de l derivción y l primer ecución de Frenet): = d v = d(v T ) = dv d T T + v =. v T + v d T ds. s =. v T + v R κ N =... T = v = s N = v R κ = B =0. s R κ (tngencil) (norml o centrípet) DT. FÍSICA ALICADA III

16 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA Se comprueb, por tnto, que l celerción,, de un punto en movimiento está siempre contenid en el plno osculdor de l tryectori (denominción que recibe el plno definido en cd punto por T y N ): = T T + } {{ } N N } {{ } T N or último, es interesnte comprr ls componentes tngencil, T, y norml, N, de l celerción en cunto l informción que contienen, sus signos posibles y ls circunstncis en que se nuln de form permnente: T informción vrición temporl del módulo de v vrición temporl de l dirección de v signo positivo (movto. celerdo) o negtivo (movto. retrddo) siempre positivo nulidd permnente en el movimiento uniforme en el movimiento rectilíneo N 5. Determinción cinemátic de elementos geométricos de l tryectori.- Conocidos los vectores velocidd, v, y celerción,, de un punto, se pueden determinr directmente prtir de ellos sus componentes intrínsecs, sí como lgunos elementos geométricos de l tryectori (rdio de curvtur y triedro de Frenet): v T = v = v (supuesto que ṡ 0) T = proy v [ ]= v v T v T N = proy v [ ]= v v N R κ = v N = v3 v R N C T = v v, T T N =, N B = v v 6. Movimientos elementles Movimiento rectilíneo. ) Definición: movimiento de un punto cuy tryectori es un rect o segmento rectilíneo. b) ropieddes: c) Ley horri: T = cte = κ =0(cte) = Rκ = N =0 = v T v celerdo generl s = s(t) = v(t) =ṡ(t) = T (t) =. v (t) =.. s (t) v T retrddo m.r.u. T (t) =0 = v(t) =v (cte) = s(t) =s(0) + vt m.r.u.. T (t) = (cte 0) = v(t) =v(0) + t = s(t) =s(0) + v(0)t + t / Not: Ls sigls m.r.u. corresponden l movimiento rectilíneo uniforme; y ls sigls m.r.u.., l movimiento rectilíneo uniformemente celerdo. DT. FÍSICA ALICADA III

17 CINEMÁTICA DEL UNT E. DRAKE Movimiento circulr. ) Definición: movimiento de un punto cuy tryectori es un circunferenci -de rdio - o un rco de circunferenci. b) Ley horri: generl curv pln con κ =/ (cte) = R κ = (cte) θ = θ(t) = ω(t) =. θ (t) = α(t) =. ω (t) =.. θ (t) s(t) =θ(t) = v(t) =ṡ(t) =. θ (t) = ω(t) = T (t) =. v(t) =.. s (t) =.. θ (t) =. ω (t) =α(t), N (t) =[v(t)] / = [ ω(t)] N T R = N v ( t) T st () m.c.u. α(t) = 0 = ω(t) = ω (cte) = θ(t) = θ(0) + ωt s(t) = [ θ(0) + ωt ] = v(t) =ω (cte) = T (t) =0, N (t) =v / = ω (cte) Not: Ls sigls m.c.u. corresponden l movimiento circulr uniforme. c) eriodicidd del cso uniforme: El movimiento de un punto (respecto un sistem de referenci de origen ) esperiódico, deperíodo finito T,sisu vector de posición r (t) = (t) stisfce l ecución: r(t + T )= r(t) ; (pr t) Se puede comprobr que el movimiento circulr uniforme (m.c.u.) es periódico con: T = π ω (período) = ν = T = ω π (frecuenci nturl) d) Descripción vectoril del movimiento circulr: Definimos el vector velocidd ngulr, ω, comounvector desliznte que tiene: módulo: ω = ω =. θ ; rect soporte: el eje de giro; sentido: según l regl del tornillo (el sentido de vnce de un tornillo que gire en el mismo sentido que ); ydefinimoselvector celerción ngulr, α, como: eje de giro α = d ω Se puede comprobr que: (colinel con ω ) v = ω = ω = ω r = d v = α r + ω v = α r } {{ } T + ω ( ω r) } {{ } N eje fijo de referenci DT. FÍSICA ALICADA III N = r Not: El punto en l figur es el centro de l circunferenci descrit por el punto, pero en relidd l expresión v = ω se mntiene válid con tl de que el punto pertenezc l eje de giro (precismente por eso, se dice que ω es un vector desliznte). v T

18 4 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA 6.3. Movimiento rmónico simple (m..s.). ) Definición: movimiento rectilíneo y periódico que se obtiene l proyectr un movimiento circulr uniforme (m.c.u.) sobre un diámetro culquier de l tryectori. Y b) Ecución horri: θ(t) =θ 0 + ωt, donde ω = cte, y θ 0 = θ(0) x(t) = cos(θ 0 + ωt) = r(t) =x(t) ı. x(t) = ω sen(θ 0 + ωt) = v(t). =ẋ(t) ı ẋ(t) = ω cos(θ 0 + ωt) = (t) =.ẋ(t) ı ( t) r x(t) elongción mplitud fse X c) Terminologí específic: x(t) : elongción : mplitud (máxim elongción) θ 0 : fse inicil θ(t) : fse ω : frecuenci ngulr o pulsción T (= π/ω) : período d) Ecución diferencil:. ẋ = ω x =.ẋ + ω x = Movimiento helicoidl uniforme (m.h.u.). ) Definiciones: movimiento de un punto que recorre un hélice con velocidd de módulo constnte; Z movimiento que result de l superposición de un movimiento circulr uniforme (m.c.u.) en un plno y de un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) lo lrgo de un rect norml dicho plno. b) Ecuciones crtesins horris: x(t) = cos(ωt) y(t) = sen(ωt) z(t) =v 0 t c) Crcterizción: se propone como ejercicio el cálculo de: geometrí de l tryectori s, T, N, B, κ, R κ ; X m.r.u. ( v 0 ) zt ()=v 0 t r N ()= t t B T v Y m.c.u. ( ) cinemátic del m.h.u. v,, v, T, N Movimiento centrl. Se dice que el movimiento de un punto es un movimiento centrl si existe un punto fijo (centro del movimiento), tl que l rect soporte del vector celerción,, del punto ps en todo instnte por dicho punto. convergente Mtemáticmente, si llmmos r l vector de posición reltiv de respecto,lcondición de movimiento centrl viene dd por: = r = r = 0 * ( centro ) * ( centro) divergente DT. FÍSICA ALICADA III

19 CINEMÁTICA DEL UNT E. DRAKE 5 Es importnte dvertir que el centro del movimiento,, no h de coincidir necesrimente con el origen de coordends,. recismente eso es lo que pretende subryr el uso del sterisco en nuestr notción: = r r = Sin embrgo, con vists posteriores rzonmientos, conviene observr que, l ser un punto fijo, se verific (cundo se desplz) que: d r = d r = d r = d r = v Descripción del movimiento plno de un punto en coordends polres. Ddo el plno crtesino XY, se definen ls coordends polres ρ (rdil) y θ (cimutl): { ρ = x + y θ = rc tn (y/x) { x = ρ cos(θ) y = ρ sen(θ) Asocid ls coordends polres, se define l siguiente bse ortonorml del plno: { uρ = cos(θ) ı + sen(θ) j dirección rdil u θ = sen(θ) ı + cos(θ) j dirección cimutl Y j y u u de cuy derivción temporl, se obtiene: d u ρ = d u ρ dθ. θ =. θ u θ ; d u θ = d u θ dθ. θ =. θ u ρ or tnto, l cinemátic de un punto móvil,, que reliz un movimiento plno en XY se describe (en coordends polres) medinte los siguientes vectores de posición, r, velocidd, v, y celerción, : r = = ρ uρ = v = d r =.. d v ρ }{{} u ρ + ρ θ u }{{} θ = = v ρ v θ k =(.. i. ρ ρ θ ) } {{ } ρ u ρ +(. ρ. θ + ρ.. x X θ ) u θ } {{ } θ Concepto de velocidd reolr. Se un punto móvil en el plno XY,yse un punto fijo en dicho plno. El elemento de áre brrido durnte un intervlo infinitesiml de tiempo,, por el vector de posición reltiv r = viene ddo por: da = r d r = r d r = r v Nótese l nturlez vectoril del elemento de áre definido: su dirección es l norml l plno (en l figur, dirección k); y su sentido depende de l orientción del brrido. Se denomin velocidd reolr, V A, del punto en su movimiento respecto l punto,láre brrid por el vector de posición reltiv r = en l unidd de tiempo, con signo positivo si el sentido del brrido es ntihorrio, y con signo negtivo en cso contrrio. da = da k * ( punto fijo) Y k posición de después de da * = r * X dr * = dr = r Asignndo l velocidd reolr, V A, l dirección norml l plno del movimiento, se obtiene el vector velocidd reolr, V A, cuy evlución instntáne viene dd por l expresión: da V A = = r v En sentido inverso, se puede decir que l velocidd reolr, V A,eselmódulo dotdo de signo del vector velocidd reolr, V A. DT. FÍSICA ALICADA III

20 6 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA Teorem fundmentl del movimiento centrl. El movimiento de un punto es un movimiento centrl (con centro en )siysólo si es un movimiento plno (en un plno que contiene ) y con velocidd reolr constnte (respecto ). Demostrción: L derivd temporl del vector velocidd reolr, V A, del punto en su movimiento respecto, result ser: d V A = d r v + r d v = v v + r = r } {{ } = 0 or tnto, teniendo presente l condición de movimiento centrl, se deduce de form inmedit que: movimiento centrl r = d V A = 0 V A = cte ero el vector V A no es más que l velocidd reolr V A dotd de l dirección del vector ( r v). En consecuenci, es obvio que el vector V A será constnte si, y sólo si, son constntes l velocidd reolr V A y l dirección del vector ( r v). A su vez, es posible demostrr que l dirección del vector ( r v) es constnte si, y sólo si, el punto semueveenunplno que contiene. En efecto: ) si el vector ( r v) tiene dirección constnte, entonces: r v = V A = C (cte) = r ( r v) = r C = C =0 stisfciendo el punto, por tnto, l ecución vectoril norml de un plno que ps por y es norml C ; b) si el punto se mueve en un plno que contiene, es evidente que tnto el vector de posición reltiv, r,comoel vector velocidd, v, estrán mbos contenidos en dicho plno, y que, por tnto, su producto vectoril, el vector ( r v), tendrá como dirección constnte l norml l plno del movimiento. En definitiv, l demostrción del teorem fundmentl del movimiento centrl h queddo complet l comprobrse que: V A = cte { VA = cte dirección de ( r v) =cte movimiento plno En coordends polres: Un ejercicio complementrio interesnte consiste en, supuesto que el movimiento de un punto es plno, comprobr el teorem fundmentl del movimiento centrl en coordends polres. Eligiendo como polo (origen de coordends polres) l punto respecto l que se v medir el vector velocidd reolr del punto móvil, es decir, tomndo r = r, se tiene: V A = r v = r v = ρ u ρ (. ρ u ρ + ρ. θ u θ )= ρ. θ k = V A = ρ. θ y derivndo l velocidd reolr, V A, respecto l tiempo: or tnto, es obvio que: V A = cte dv A dv A = ρ (. ρ. θ + ρ.. θ )= ρ θ =0 θ =0 u ρ r = r (movimiento centrl con centro en ) DT. FÍSICA ALICADA III

21 VECTRES DESLIZANTES E. DRAKE 7 VECTRES DESLIZANTES. Definición de vector desliznte. Momento.- Un vector desliznte es un vector geométrico que qued crcterizdo por su módulo, dirección, sentido y rect soporte; y que es invrinte, por tnto, nte deslizmientos lo lrgo de su rect soporte. Simbólicmente, un vector desliznte se puede expresr como ( ; ), donde especific el vector como si fuese libre, es decir, define su módulo, dirección y sentido; y represent l rect soporte l que se encuentr sujeto el vector en su posible deslizmiento. r concretr l rect soporte, se puede expresr el vector desliznte como ( ; ), siendo un punto culquier de. L ecución vectoril de l rect soporte es entonces: : = + λ (λ IR) ( ; ) ( ; ) donde es un punto rbitrrio de referenci, y es un punto genérico de. El momento de un vector desliznte, ( ; ), respecto un punto,, se define como: M( ; ) M ( ; )= (con ) Señlremos como propieddes del momento, M ( ; ), que: ) es un vector ligdo l punto ; d (, ) b) es perpendiculr l plno π definido por l rect y el punto ; c) su módulo es igul l producto del módulo del vector por l distnci entre el punto y l rect : M ( ; ) = = proy [ ]= d(, ) ; d) es independiente del punto de plicción de con tl de que dicho punto pertenezc : si =( + ) = + } {{ } = 0 = bsérvese que, como consecuenci inmedit de l propiedd c), el momento de un vector desliznte no nulo respecto culquier punto de su propi rect soporte es nulo: si 0 M ( ; )= 0. Sistem de vectores deslizntes.- Un sistem de vectores deslizntes (en delnte, s.v.d.) es un conjunto, finito o infinito, de vectores deslizntes. De form genéric, un s.v.d. de n vectores deslizntes se puede expresr como: S {( i ; i )} n i= n n n 3 DT. FÍSICA ALICADA III

22 8 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA.. Resultnte y momento resultnte. L resultnte, R(S), deuns.v.d.s es el vector libre que se obtiene de l sum geométric de todos los vectores deslizntes del sistem como si fuesen libres: n R(S) = i El momento resultnte, M (S), de un s.v.d. S respecto un punto (o en un punto ) es el vector ligdo que se obtiene de l sum geométric de los momentos de cd uno de los vectores deslizntes del sistem respecto dicho punto : M (S) = n M ( i ; i )= i= i= n i i (con i i ) Al conjunto { R(S); M (S)}, se le llm reducción del s.v.d. S en el punto (o sistem reducido en ): S red i= { R(S); M (S)} y, por eso, l punto,, respecto l que se clcul el momento resultnte de un s.v.d., se le llm centro de reducción... Cmpo de momentos: ecución y propieddes. Se denomin cmpo de momentos de un s.v.d. S l plicción que hce corresponder cd punto del espcio ordinrio, E 3, el momento resultnte del sistem respecto dicho punto: f : E 3 M (S) L ecución del cmpo de momentos es quéll que permite relcionr entre sí los momentos resultntes de un s.v.d. respecto dos puntos distintos (cmbio del centro de reducción). Deduzcámosl: n n M (S) = i i = ( n + i ) i = i i + ( n ) i = M (S)+ R(S) i= Abrevidmente, qued: i= i= M = M + R obien M = M + R i= Alguns propieddes del cmpo de momentos de un s.v.d. son ls siguientes: ) El cmpo de momentos qued unívocmente determindo si se conocen: L resultnte, R, y el momento resultnte, M, en un punto culquier. Los momentos resultntes, M, M y M 3, en tres puntos no linedos culesquier,, y 3. b) Si l resultnte, R, es nul, entonces el cmpo de momentos es uniforme, es decir, tom idéntico vlor en todos los puntos del espcio: si R = 0 y, E 3 M = M + R }{{} = 0 = M M R = 0 M c) Si l resultnte, R, es distint de cero, entonces los lugres geométricos definidos por los puntos de igul momento resultnte son rects prlels l resultnte R: si R 0 M = M R =0 R y M R = 0 M DT. FÍSICA ALICADA III

23 VECTRES DESLIZANTES E. DRAKE 9.3. Momento áxico. El momento áxico resultnte, M u (S), de un s.v.d. S respecto un eje Γ de dirección u es el esclr que result l proyectr sobre el eje Γ el momento resultnte del s.v.d. respecto culquier punto de dicho eje: M u (S) = u M (S) (con u =; Γ) u M u M M u M r comprobr que est definición es correct, hemos de verificr que en efecto puede ser culquier el punto del eje Γ elegido pr clculr y proyectr el momento resultnte del s.v.d., y que l elección de dicho punto no fect l vlor del momento áxico resultnte: si, Γ y, por tnto, u u M = u ( M + R ) = u M + u ( R ) = u M } {{ } =0.4. Invrintes. Un invrinte de un s.v.d. es culquier mgnitud, crcterístic del mismo, que se independiente del centro de reducción. Aunque no son los únicos, hy dos invrintes fundmentles: ) L resultnte, R, cuy invrinci es evidente prtir de su propi definición, y que se trt de un vector libre. b) L proyección, m, del momento resultnte sobre l dirección de l resultnte: m = R M R = u R M = proy R [ M ] cuy invrinci se demuestr prtir de l ecución del cmpo de momentos: R m u R M m u R M, E 3 R M R = R ( M + R ) R = R M R + =0 { }} { R ( R ) R = R M R.5. Eje centrl. El eje centrl, C, de un s.v.d. (de resultnte no nul) es el lugr geométrico de los puntos del espcio en los que el momento resultnte del s.v.d. tiene módulo mínimo. Es decir, llmndo C un punto genérico del eje centrl, se tiene: C C M C = M min Como consecuenci de l tercer propiedd del cmpo de momentos estudid en el prtdo. (propiedd c), el eje centrl h de ser necesrimente un rect prlel l resultnte R. or otr prte, el momento resultnte, M, de un s.v.d. en un punto rbitrrio puede siempre descomponerse en l sum de dos componentes vectoriles: un, prlel l resultnte R; y otr, perpendiculr dich resultnte: M = M R + M R = m u R + M R donde se observ que l componente prlel l resultnte es invrinte, y que sbemos que tnto l proyección m, comol dirección de l resultnte u R = R/ R, son mbs invrintes de un s.v.d. En consecuenci, el momento resultnte de un s.v.d. tendrámódulo mínimo en quellos puntos del espcio en los que se mínim su componente perpendiculr l resultnte. ero el vlor mínimo posible de un componente es cero. Así que, ntes que nd, procede preguntrse si existe un rect prlel l resultnte en cuyos puntos se nule l componente del momento resultnte perpendiculr l resultnte. Vmos demostrr que en efecto existe dich rect, l cul constituye obvimente el eje centrl, C,dels.v.d. DT. FÍSICA ALICADA III

24 0 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA M R C = 0 proy R [ M C ]=0 R M C = 0 = R [ M + R C ]= 0 = R M + R ( R C )= R M +( R C ) R R C = 0 = R M R C C = R + R R Teniendo en cuent que C es un punto genérico de un rect, y que, por tnto, l expresión: R C R = λ corresponde un prámetro esclr vrible, se obtienen ls siguientes conclusiones: u R C C M C = M min = m u R M L ecución vectoril del eje centrl C viene dd por: R m u R C C C = R M R + λ R M min C* C C* M R donde es culquier punto en el que se conozc el momento resultnte, M,dels.v.d. El vlor prmétrico λ =0 corresponde l punto C que se obtiene de proyectr ortogonlmente el punto sobre el eje centrl: C C R C = R C = λ =0 = C R M = R =0 En todos los puntos del eje centrl, el momento resultnte del s.v.d., o bien es nulo (si el invrinte m =0),obienes prlelo l resultnte (si el invrinte m 0), pudiendo expresrse en culquier cso como: M C C = M min R = m u R = m R or último, cbe señlr que los s.v.d. de resultnte nul no tienen eje centrl, y que, tl como se indicó con nterioridd, su cmpo de momentos es uniforme. 3. Sistems prticulres Vector suelto. Es un s.v.d. que const de un único vector: ropieddes: S {( ; )} R = m = M ( ; ) = ( ) =0 = M min = 0 C, y que el momento resultnte es nulo (y, por tnto, tiene módulo mínimo) en culquier punto de l rect soporte del vector desliznte. DT. FÍSICA ALICADA III

25 VECTRES DESLIZANTES E. DRAKE 3.. r de vectores. Es un s.v.d. que sólo const de dos vectores de módulos igules, rects soportes prlels y sentidos opuestos: - S {( ; ), ( ; )} con ropieddes: R = +( ) = 0 (por tnto, cmpo de momentos uniforme e inexistenci de eje centrl). El momento resultnte M (independiente del centro de reducción consecuenci de l uniformidd del cmpo) es perpendiculr l plno π definido por y, tiene el sentido que result de plicr l regl del tornillo l giro indicdo por el pr de vectores, y su módulo es igul l producto de por el brzo del pr (distnci entre ls dos rects soporte, d(, )): d (, ) M - M = M = + ( ) =( ) = M = = proy [ ]= d(, ) 3.3. Vectores concurrentes. Es un s.v.d. tl que tods ls rects soporte tienen un punto A en común (punto de concurrenci): 3 ropieddes: S {( i ; i )} n i= tl que A i ( i ) 3... M A = 0 m = R M A R =0 = M min = 0 Si existe eje centrl C (es decir, si R 0), entonces el punto de concurrenci, A, pertenece dicho eje (A C ). or tnto, l ecución vectoril del eje centrl C dmite, demás de l expresión generl, l siguiente expresión prticulr: C C C = A + λ R Teorem de Vrignon: el momento resultnte de un s.v.d. concurrentes respecto un punto rbitrrio puede clculrse como el momento respecto dicho punto de l resultnte, R, ubicd en el punto de concurrenci, A: 3.4. Vectores prlelos. E 3 M = M A }{{} = 0 Es un s.v.d. tl que tods ls rects soporte son prlels: S {( i u; i )} n i= con u = + A R = A R A 3 3 n n ropieddes: ( R n n ) = i u = i u = R u = R u (si R 0) M = i= i= i= ( n n i i u = i i ) u = M u ( E 3 ) si R 0 m = i= R M R =0 = M min = 0 DT. FÍSICA ALICADA III 3 n... u n n

26 E. DRAKE FUNDAMENTS FÍSICS DE LA INGENIERÍA Si existe eje centrl C (es decir, si R 0), entonces seguro que dicho eje ps por un punto G, llmdo centro del s.v.d. prlelos, el cul es independiente de l dirección de u y tiene como vector de posición: G = n i= i i or tnto, l ecución vectoril del eje centrl C dmite, demás de l expresión generl, l siguiente expresión prticulr: n i= i C C C = G + λ R Demostrción: si existe eje centrl ( R 0 ), sbemos que M min = 0. Exijmos entonces l existenci de un punto G que pertenezc l eje centrl C pr u: ( n ) M G = i Gi u = 0 ( u) = i= n i= i Gi = n i= i ( G + i )= 0 = G = n i= i i n i= i Teorem de Vrignon: el momento resultnte de un s.v.d. prlelos (de resultnte no nul) respecto un punto rbitrrio puede clculrse como el momento respecto dicho punto de l resultnte, R, ubicd en el centro, G: E 3 M = M G + G R = G R }{{} = 0 4. Equivlenci de sistems de vectores deslizntes.- Se dice que dos s.v.d., S {( i ; i )} n i= y S b {( b i ;Γ i )} m i=,sonequivlentes (S S b ) si verificn ls dos siguientes condiciones: ) tienen l mism resultnte: ) genern idénticos cmpos de momentos: R(S )= R(S b ) M (S )= M (S b ) ( E 3 ) Not: En relidd, l definición de equivlenci entre dos s.v.d. se puede reducir l segund condición en solitrio, y que el cumplimiento de ést implic necesrimente el cumplimiento de l primer. Teorem de equivlenci: Es condición necesri y suficiente de equivlenci entre dos s.v.d. que tengn igul resultnte e igul momento resultnte en un punto (elegido rbitrrimente). Demostrción: Condición necesri: M (S )= M (S b ) ( E 3 ) = M (S )= M (S b ) Condición suficiente: E 3 M (S )= M (S )+ R(S )= M (S b )+ R(Sb )= M (S b ) DT. FÍSICA ALICADA III

27 VECTRES DESLIZANTES E. DRAKE 3 5. Reducción de sistems de vectores deslizntes.- Reducir un s.v.d., S, en un punto, (centro de reducción), es hllr otro s.v.d., S red (sistem reducido en o reducción en ), el cul, estndo constituido solmente por un vector suelto y/o un pr de vectores, es equivlente l sistem originl S. or otr prte, en el prtdo. de este mismo tem, y se definió como sistem reducido en de un s.v.d. S l conjunto: S red { R(S); M (S)} Cuáles son entonces el vector suelto y/o el pr de vectores que constituyen S red, y que vienen simbolizdos o representdos por el conjunto de resultnte, R(S), y momento resultnte, M (S)? S n n n red S S El vector suelto es l propi resultnte del s.v.d. S con un rect soporte,, que ps por el punto. Es decir, se trt del vector desliznte ( R(S); ). El pr de vectores es culquier de los infinitos pres existentes cuyo cmpo de momentos (uniforme) es igul M (S). S red RS ( ) M ( S ) Medinte el teorem de equivlenci, se confirm que el sistem reducido en y el sistem originl son equivlentes ( S red S). En efecto: ) L resultnte de un vector suelto es el propio vector, mientrs que un pr de vectores tiene resultnte nul. or tnto: R(S red )= R(S) b) Un vector suelto tiene momento nulo respecto los puntos de su rect soporte, mientrs que un pr de vectores tiene cmpo de momentos uniforme. or tnto: M (S red )= M (S) Es evidente que un s.v.d. de resultnte nul tendrá el mismo sistem reducido en todos los puntos del espcio: el constituido exclusivmente por un pr de vectores cuyo cmpo de momentos (uniforme) coincid con el cmpo de momentos del s.v.d. originl, o bien, un sistem nulo (si el cmpo de momentos tmbién es nulo). Sin embrgo, un s.v.d. de resultnte no nul tendrá un sistem reducido distinto en cd rect de puntos prlel l resultnte. ues bien, se denomin reducción cnónic, S cn,deuns.v.d.s de resultnte no nul su sistem reducido en culquier punto del eje centrl C : S cn = S red C C { R(S); M C (S)} C C = { R(S); M min (S)} Dependiendo de que el momento resultnte de módulo mínimo, M min (S), se igul cero o distinto de cero, pueden drse dos tipos de reducción cnónic: ) Si M min (S) = 0, S cn sólo const de un vector suelto: l resultnte deslizndo por el eje centrl, es decir, el vector desliznte ( R(S); C ). b) Si M min (S) 0, S cn const de l resultnte deslizndo por el eje centrl (vector suelto) y de un pr de vectores de momento prlelo l eje centrl. A este sistem, se le denomin torsor. S cn C C RS ( ) C ( si M min ( S) = 0 ) RS ( ) torsor M min ( S) C S cn ( si M min ( S) = 0 ) Aplicción: Lpráctic hbitul -en problems de mecánic- de ubicr el peso totl de un sólido rígido en el centro de grvedd del mismo es un plicción de lo que cbmos de ver. Bjo cierts proximciones, el peso de un sólido constituye un s.v.d. prlelos de resultnte no nul ( M min = 0). or ello, l reducción cnónic de dicho s.v.d. const únicmente del peso totl del sólido (resultnte) deslizndo por el eje centrl. Y se sbe demás que el eje centrl ps por el centro de grvedd, y que éste es precismente el centro del s.v.d. prlelos. dmg C G R = mg DT. FÍSICA ALICADA III