DESARROLLO DE APLICACIONES INFORMÁTICAS CON MODELACIÓN MATEMÁTICA ORIENTADAS AL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL A NIVEL LICENCIATURA

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1 Capítulo 5. Uso de los recursos teológicos e el proceso de apredizaje de las matemáticas DESARROLLO DE APLICACIONES INFORMÁTICAS CON MODELACIÓN MATEMÁTICA ORIENTADAS AL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL A NIVEL LICENCIATURA Víctor Guevara Basaldúa, Víctor Larios Osorio Uiversidad Autóoma de Querétaro México victorguevara1@hotmail.com, vil@uaq.mx Campo de ivestigació: Modelació matemática Nivel: Superior Resume. E este documeto presetamos ua maera de trabajar co la defiició del Cálculo Itegral, defiició a través de Sumas de Riema e la cual se utiliza, por ejemplo, Límites y Sumatorias. Lo que pretedemos co esta forma de ver el Cálculo Ifiitesimal, es diseñar alguas actividades detro de u software iteractivo (que tambié diseñaremos) que cotega los elemetos ivolucrados e el proceso de eseñaza-apredizaje de esta materia ta importate a ivel liceciatura. La modelació matemática y la visualizació so alguos de esos elemetos y, la iteció co el software, es icremetar la aplicabilidad de éstos, logrado así u mejor etedimieto de los coceptos imersos e dicha defiició. Mostramos aquí u acercamieto de lo que co el software los alumos llegar podría llegar a realizar ua vez que éste estuviese debidamete termiado. Dicho trabajo es u proyecto de maestría que se ecuetra a la mitad de su desarrollo, pero que deseamos termiar y aplicar para el siguiete ciclo escolar. Palabras clave: cálculo itegral, modelació matemática, matemática educativa, visualizació, software Itroducció Es bie sabido que e la vida escolar preuiversitaria o uiversitaria u bue úmero de dificultades e los estudiates está asociadas al maejo de los coceptos básicos y o ta básicos del Cálculo diferecial e itegral. Se ha probado iclusive que aú aquellos estudiates que ya ha llevado uo o dos cursos de Cálculo muestra serias deficiecias al mometo de trabajar co los coceptos imersos e esta materia: Aparicio (006 citado e Cabrera y Zaldívar, 007). Por supuesto que esto trae cosigo las cosecuecias más lametables para los estudiates que iteta u desarrollo persoal y profesioal detro de ua preparació cietífica y social importate para su vida. Ua de estas cosecuecias es la deserció escolar que fialmete termia por cobrar costosas facturas a la sociedad. Por ejemplo, e la UNAM deserta el 30% de los 35, 000 alumos que igresa a algua de las liceciaturas, y por tal motivo la sociedad mexicaa pierde 6 milloes 500 mil pesos auales e alumos que o cocluye su carrera profesioal como lo señala Rodríguez (000 citado e García, 006). Cabe señalar tambié que u 5% de alumos que abadoa la liceciatura, lo hace por reprobar materias de matemáticas 1185

2 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa 3 (pricipalmete Cálculo Diferecial e Itegral) e los dos primeros semestres (Aparicio y Ordaz, 006). Es claro que existe u problema co la eseñaza de las matemáticas e geeral, puesto que las estadísticas señala altos porcetajes del disgusto que esta disciplia causa e la mayoría de los estudiates. Particularmete e el área del Cálculo a ivel liceciatura los métodos covecioales de eseñaza lleva a los profesores a teñir de algoritmos sus cursos obteiedo poca gaacia cogitiva y repercutiedo directamete e el currículo: Catoral (1993 citado e Zaldívar, 006). Además de que el estudio del Cálculo tiede a cetrarse e ua práctica algorítmica, se iteta desde los iicios, aplicar los tradicioales métodos rigurosos de demostració matemática: Moreo (005 citado e Cabrera y Zaldívar, 007). No se recooce los mecaismos de producció de los coocimietos i la orgaizació social e el aula, que e cojuto hace posible tal costrucció; es decir, podemos decir que existe ua cofrotació etre la obra matemática y la matemática escolar: Cordero (001 citado e Cabrera y Zaldívar, 007). Por otra parte, muchas veces la eseñaza del Cálculo es presetada e los saloes alejada del mudo e que se desevuelve o se podría desevolver los alumos. Cosideracioes sobre visualizació y modelació matemática Co el propósito de subsaar los problemas que hemos mecioado ateriormete sobre el apredizaje y la eseñaza del Cálculo, itetaremos dar ua idea geeral e este apartado sobre lo que deseamos haga uestro software. Creemos que el trabajo algebraico, algorítmico y operatorio es importate para eseñar Cálculo Itegral, si embargo aquí haremos hicapié e el trabajo co modelació matemática, así como tambié co la visualizació, ya que so elemetos que se puede icluir de maera más secilla al estar trabajado co el software. De la misma maera que lo señala Catoral y Motiel (001) etedemos a la visualizació como la habilidad para represetar, trasformar, geerar, comuicar, documetar y reflejar iformació visual e el pesamieto y el leguaje del que aprede. Por otro lado, sabemos que la modelació matemática es u proceso ivolucrado e la obteció de u modelo matemático. Mietras tato, u modelo matemático de u feómeo o de ua situació es u cojuto de símbolos y relacioes matemáticas que represeta, de algua maera, el feómeo e cuestió. Tal y como 1186

3 Capítulo 5. Uso de los recursos teológicos e el proceso de apredizaje de las matemáticas se señala e Salett y Hei (004), el modelo matemático o sólo permite obteer ua solució particular, sio tambié servir de soporte para otras aplicacioes o teorías. Como podemos ver, el sigificado de estos dos coceptos es muy importate y si se lograse aplicar tal y como se dice e su defiició, sería ua gra gaacia, puesto que prácticamete se apredería muy bie la matemática al mismo tiempo e que ésta se aplicaría para resolver problemas iteresates y más cercaos a la realidad. Precisamete itetaremos platear alguas actividades e las cuales, co ayuda del software, se pueda resolver situacioes que ayude al estudiate a compreder ocioes sobre las Sumas de Riema que se ve e la defiició de la Itegral, todo esto utilizado la visualizació y la modelació como herramietas para el apredizaje. Alguos ejemplos Para acercaros u poco e esto de la modelació matemática veamos los siguietes ejemplos tomados de (Guevara, 008), los cuales os idica que cada preguta sobre u tema o situació puesta e escea es fudametal para llegar a la costrucció de u cocepto más grade que puede formar parte del apredizaje sigificativo sobre la situació señalada. 1. Determiar la presió sobre ua placa triagular sumergida verticalmete e agua y e tal forma que ua base del triágulo está al ivel de la superficie del líquido. Figura

4 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa 3 E la figura aterior se muestra ua represetació de dicha placa y la idea es aalizar a lápiz y papel cómo es que se puede ecotrar la presió que el agua provoca sobre la placa. Alguos de los pasos que se pide cotestar a los alumos so: a) Si divides la placa e frajas horizotales de igual acho. Cuál es el acho e térmios de la altura h y el úmero de frajas? Podrías platear algua expresió para el acho? Cuál es? b) Tomado e cueta que la presió es igual al área de la superficie sumergida por la profudidad de sumergimieto y pesado que las frajas forma rectágulos y o trapecios (como e la Figura 1), ecotrar el valor para l k (la logitud de la fraja k- ésima.) Qué tiee qué ver para esta ecomieda los triágulos ABC y PBQ? Figura c) Cuáto es el área de la figura rectagular sombreada? d) Cuáto es la presió sobre dicha fraja? La presió total sobre la placa triagular se ecuetra sumado las presioes sobre las frajas particulares: P k 1 k ( 1 ) k O bie P k 1 k k 1 k. 1188

5 Capítulo 5. Uso de los recursos teológicos e el proceso de apredizaje de las matemáticas e) Qué sigificados tiee las expresioes ateriores? f) Utilizar los resultados de límites y sumatorias ecesarios para cocluir que la presió total sobre la placa es P 3 O bie P 6. Ecotrar el ritmo al que fluye la sagre a través de ua arteria. Figura 3 La velocidad de la sagre e ua arteria es fució de la distacia al eje cetral de la arteria, es cm decir, la velocidad de la sagre ( ) que está a r cm. del eje cetral de la arteria es s S( r) k( R figura (Ley de Poiseville). r ), dode R es el radio de la arteria y k es ua costate. Ver la siguiete 3 cm La preguta que resolveremos paso por paso es co qué ritmo ( ) fluye la sagre a través de s la arteria? a) Si divides el itervalo [0, R] e sub-itervalos de igual logitud r y te fijas e el sub-itervalo [ r j, r j 1 ], cuál es el área del aillo compredido e dicho itervalo? A dicho aillo llámale aillo r j (Figura 4). 1189

6 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa 3 Figura 4 b) Cuál es la velocidad de la sagre e ese aillo, segú la Ley de Poiseville? c) Al multiplicar el área del aillo y la velocidad, ecuetras su ritmo, cuáto es el ritmo? d) Si haces más fia tu partició de [0, R], más cerca estás de ecotrar el ritmo total e la arteria, esto porque los resultados ateriores so aproximacioes, porqué? Si sumas ora todos los ritmos de flujo ecotrarás el ritmo total de maera exacta. Cuáto es etoces, el ritmo e la arteria? Cabe otar que estas so alguas de las actividades que forma parte de la tesis de Guevara (008) y fuero diseñadas para aplicarlas, e u pricipio, a u grupo de profesores de ivel medio como parte de u diplomado sobre modelació. Metodología La maera como se puede trabajar co el software utilizado la modelació y la visualizació, por ejemplo para el tema de volúmees e sólidos de revolució y Sumas de Riema, la podemos ejemplificar co ua actividad como la que sigue. Se tiee la fució f( x) x Cuál será el volume del sólido obteido al girar la fució sobre el eje de las abscisas e el itervalo [1, 3.5]? Como esta es la preguta a resolver por el método de Sumas de Riema y co la ayuda del software, podemos pesar que, cuado se platea la situació de ecotrar el volume, aú o se ha visto co aterioridad los coceptos i las herramietas ecesarias para poder respoder la preguta co más facilidad (podríamos pesar e ua clase de itroducció e el saló de clase). Por tato, cada actividad cosecuete deberá seguir, cuáto más sea posible, los pricipios de la 1190

7 Capítulo 5. Uso de los recursos teológicos e el proceso de apredizaje de las matemáticas modelació y de la visualizació para que pueda surgir la costrucció del coocimieto sobre el tema de Sumas de Riema y la Itegral Defiida de maera más o meos guiada. Alguas de las situacioes siguietes puede ser: si cosideras ua partició del itervalo [1, 3.5] e 10 subitervalos de la misma logitud, cuáles so los putos que delimita a cada uo de los 10 subitervalos? Cuál es la distacia etre cada par de putos (el acho de cada sub-itervalo)? Cuál es la forma del sólido del cuál debes ecotrar el volume? Podrías hacer u bosquejo? Cooces algua fórmula para ecotrar el volume de formas como la que se está aalizado e esta ocasió? Si cotestaste que o a esta última preguta, etoces puedes recurrir a las situacioes siguietes: Elige alguo de los sub-itervalos costruidos y costruye u cilidro que tega de altura al acho de dicho sub-itervalo y que sea parte del volume que se desea ecotrar. Cómo tedrías qué utilizar la fució para saber el volume del cilidro que has de calcular? Si haces lo mismo (costruyes u cilidro) co los demás sub-itervalos, Qué ta cercao estás del volume que se te pidió calcular? Estas actividades, las podemos resumir co u algoritmo secillo que debe seguirse al trabajar co el software. De esta forma el software se apega mucho a las características que debe teer u bue software, señaladas por Mochó (006). El algoritmo dice que el estudiate: 1. Decide u itervalo adecuado para ecotrar el volume del sólido.. Elige la partició adecuada para dividir uiformemete su itervalo elegido. 3. Calcula el acho de cada itervalo. 4. Calcula el radio de los discos formados. 5. Calcula el volume de los cilidros formados. 6. Calcula el volume aproximado del sólido que costruyó. La iterfaz co la que trabajaría el alumo tiee ua cara como la siguiete: 1191

8 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa 3 Figura 4 Observamos que co la maipulació tato de la fució como de los mismos cilidros el alumo se percata más fácilmete de los coceptos ivolucrados e la defiició de Riema, lo cual ayuda eormemete a reducir los problemas cocerietes al apredizaje de los elemetos idispesables e esta disciplia. El procedimieto que u alumo sigue detro del saló de clases para apreder sobre sólidos de revolució se ve ora reforzado y más agilizado co la ayuda del software porque le permite visualizar las regioes que forma el volume, además de que tambié ayuda a costruir cilidros que aproxima al volume de la regió. Referecias bibliográficas Aparicio, E., y Ordaz, G. (006). Estudio Cualitativo sobre la Reprobació del Cálculo e el área de Ciecia Computacioales y Matemáticas. X Escuela de Iviero e Matemática Educativa pp Sta. Cruz Tlaxcala (006).. 119

9 Capítulo 5. Uso de los recursos teológicos e el proceso de apredizaje de las matemáticas Cabrera, L., y Zaldívar, J. (007). Formació Didáctica e Cálculo Uiversitario. Ua Propuesta Basada e el Diseño de Actividades como Eje Rector. XI Escuela de Iviero e Matemática Educativa pp Mérida, Yucatá Catoral, R., y Motiel, G. (001). Fucioes: visualizació y pesamieto matemático. México: Pearso. García, E. (006). U estudio descriptivo de las iteraccioes e el aula. Elemeto de aálisis e la reprobació y rezago del Cálculo. Tesis de Liceciatura o publicada. Uiversidad Autóoma de Yucatá.México. Guevara, B. V. (008). La Modelació Matemática e la Formació de Profesores de Bachillerato. Tesis de Liceciatura o publicada. Uiversidad Autóoma de Querétaro. México. Mochó, S. (006). Avaces y hallazgos e la implemetació de tecologías para la eseñaza de las matemáticas y las ciecias. E Filloy, E (Comp), Matemática educativa, treita años: Ua mirada fugaz, ua mirada extera y compresiva, ua mirada actual (pp ), México: Cetro de Ivestigació y de Estudios Avazados del IPN y Satillaa. Salett, B. M., y Hei, N. (004). Modelació matemática y los desafíos para eseñar matemática. Educació Matemática, 16 (), Zaldívar, J. (006). U estudio sobre elemetos para el diseño de actividades didácticas e Cálculo. Tesis de liceciatura o publicada. Uiversidad Autóoma de Yucatá. México. 1193