Invsigación Económica ISSN: 085-667 invcon@srvidor.unam.mx Faculad d Economía México ÁNGELES CASRO, GERANDO; VENEGAS-MARÍNEZ, FRANCISCO Valuación d opcions sobr índics bursáils y drminación d la srucura d plazos d la asa d inrés n un modlo d quilibrio gnral Invsigación Económica, vol. LXIX, núm. 7, nro-marzo, 00, pp. 43-80 Faculad d Economía Disrio Fdral, México Disponibl n: hp://www.rdalyc.org/ariculo.oa?id=606800 Cómo ciar l arículo Númro complo Más información dl arículo Página d la rvisa n rdalyc.org Sisma d Información Cinífica Rd d Rvisas Ciníficas d América Laina, l Carib, España y Porugal Proyco académico sin fins d lucro, dsarrollado bajo la iniciaiva d accso abiro
invsigación conómica, vol. LXIX, 7, nro-marzo d 00, pp. 43-80 Valuación d opcions sobr índics bursáils y drminación d la srucura d plazos d la asa d inrés n un modlo d quilibrio gnral G Á C F V -M * I Mucho s ha aprndido n los úlimos años sobr l uso (para cobrura) y l abuso (para spculación) d los producos drivados financiros, sobr odo d los qu inn como subyacns índics bursáils, pro mucho quda odavía por aprndr sobr sus fcos n las conomías n los ámbios local y global. Evidnmn, los mrcados d drivados no originaron la crisis d 008, sólo la xacrbaron al gnrar una burbuja spculaiva. El orign d la crisis s db ubicar n la rcsión sadounidns y l impaco d ésa, n un norno d globalización, sobr l rso d la conomía mundial. D la misma manra, la racción qu uviron los mrcados d insrumnos d duda an la crisis financira d finals d 008 y principios d 009 poco uvo qu vr con la prdicción, d muchos modlos conómicos disponibls, sobr su comporamino. Por odo so s ncsario conar con un modlo d quilibrio gnral qu prmia valuar drivados sobr índics Manuscrio rcibido n agoso d 009; acpado n novimbr d 009. * Escula Suprior d Economía, Insiuo Poliécnico Nacional (IPN), <gangls@ipn.mx> y <fvngas@yahoo.com.mx>, rspcivamn. Los auors agradcn los valiosos comarios d dos dicaminadors anónimos. 43
44 G Á C F V -M bursáils y drminar d manra conjuna la srucura d plazos d la asa d inrés. Exisn n la liraura spcializada varios modlos d quilibrio gnral qu inn como objivo drminar los prcios d los difrns acivos disponibls n la conomía, por jmplo: Cox al. (985a), Grinols y urnovsky (993), Schmddrs (998) y Vngas-Marínz (00), (006), (008) y (009), nr oros. Asimismo, s ncunran n la liraura divrsas aproximacions para modlar la dinámica d la asa d inrés cora (la asa d inrés insanána), como por jmplo: Cox al. (985b), Longsaff (989), Vngas-Marínz y Gonzálz-Aréchiga (00) y L y Li (005). En l prsn rabajo s dsarrolla un modlo socásico d quilibrio gnral n una conomía poblada por consumidors-producors idénicos y compiivos qu oman dcisions d producción, consumo y porafolio. Suponindo qu: ) xis un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva, ) dicho índic s conducido por un movimino gomérico browniano y 3) la cnología s guiada por un procso markoviano d difusión, noncs s drminan, n l quilibrio, l valor d una opción d compra sobr dicho índic y la srucura d plazos d la asa d inrés. Una d las caracrísicas disinivas dl modlo propuso s qu produc asas coras con dinámicas alrnaivas a las nconradas n Cox al. (985b). Asimismo, sa invsigación gnraliza l modlo d Longsaff (989) sobr la dinámica d la asa cora al considrar l comporamino racional d los agns. ambién s discu sobr las vnajas n la simación d los parámros d la curva d rndimino obnida. En paricular, s musra qu los simadors obnidos d los parámros son más simpls d calcular qu los propusos n l caso d Cox al. (985b). Por úlimo, s llva a cabo una simación d la srucura d plazos cuando la asa cora s la asa d los Crificados d la sorría d la Fdración (CEES). En conclusión, l prsn arículo prsigu cuaro objivos, l primro d llos consis n valuar una opción d compra sobr un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva. El sgundo s proporcionar dinámicas d la asa cora alrnaivas a las obnidas n Cox al. (985b). El rcr objivo s gnralizar l modlo d Longsaff
Í 45 (989) con la inclusión d consumidors-invrsionisas maximizadors d uilidad. Por úlimo, l cuaro consis n drminar d manra ndógna, n l quilibrio, una srucura d plazos d la asa d inrés asociada a un mrcado d bonos cupón cro qu s min a difrns vnciminos y qu s ngocian a dscuno. Esa invsigación s ha organizado d la siguin manra. En la próxima scción s prsnan los supusos básicos qu rign a la conomía n cusión. En la scción 3 s dscribn los acivos y sus prcios. A ravés d la scción 4 s sablc la rsricción prsupusal dl consumidor racional rprsnaivo. En la scción 5 s caracrizan las posibilidads d producción n la conomía. En l ranscurso d la scción 6 s plana l problma d dcisión dl agn rprsnaivo. En la scción 7 s obinn las condicions d primr ordn dl problma dl consumidor. En la scción 8 s caracriza l prcio d una opción d compra sobr un índic bursáil a ravés d la solución d una cuación difrncial parcial linal d sgundo ordn. En la scción 9 s driva un procso alrnaivo para la asa cora d inrés n l quilibrio y n la scción 0 s xamina su dinámica. En l ranscurso d la scción s plana l problma d valuación d un bono cupón cro. En la scción s discu sobr la simación d la curva d cros. En la scción 3 s caracriza l prcio d un bono cupón cro, ngociado a dscuno, como la solución d una cuación difrncial parcial parabólica y d sgundo ordn con condicions d fronra. En la scción 4 s dfin l ipo d xpcaivas qu drminan la srucura d plazos d la asa d inrés. En l ranscurso d la scción 5 s obinn los simadors d los parámros asociados a la srucura d plazos. En la scción 6 s raliza una aplicación dl modlo obnido d asa cora. Por úlimo, n la scción 7 s prsnan las conclusions, así como las limiacions y sugrncias para fuuras invsigacions. S Con l propósio d obnr solucions analíicamn raabls, los supusos d la conomía s manndrán lo más simpls posibl. Considr una
46 G Á C F V -M conomía poblada por individuos con gusos idénicos con vida infinia y qu son maximizadors d uilidad. Los consumidors son a su vz producors. La conomía produc y consum un solo bin gnérico d carácr prcdro. Los consumidors inn accso a: ) un acivo subyacn (un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva), ) una opción uropa d compra sobr dicho subyacn y 3) la paricipación con capial n l procso producivo. odos los prcios d los acivos sán xprsados n érminos rals, s dcir, n érminos d unidads dl bin d consumo. El valor dl índic bursáil s drmina asociando a cada puno d dicho índic un valor n érminos d bins. Por úlimo, s supon qu xis un mrcado d bonos cupón cro a disinos vnciminos qu s ngocian a dscuno y qu inn asociada una srucura d plazos d la asa d inrés, la cual s drminará d manra ndógna n l quilibrio. A Suponga qu l valor n érminos rals, S, d un índic bursáil qu conin al íulo d capial qu mi la mprsa rprsnaiva in una dinámica socásica conducida por l movimino gomérico browniano, d al forma qu ds = μ s S d + s S du [] dond l parámro d ndncia, μ s, rprsna l rndimino mdio sprado, l parámro d volailidad, s, s la variación insanána dl rndimino dl acivo subyacn y l procso {U } 0 s un movimino browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad (Ω U, F U, U ) juno con su filración aumnada U = {F U } 0. S supon qu las funcions μ s y s dpndn dl impo, s dcir, μ s = μ s () y s = s (), y s drminarán, posriormn, d manra ndógna.
Í 47 R En lo qu sigu s supon qu l individuo rprsnaivo mi una opción (uropa) d compra y manin l subyacn (l valor dl índic bursáil n érminos rals) para cubrirs dl posibl jrcicio d la opción. En s caso, la riquza ral, x, dl individuo, n cada insan, sá drminada mdian: x = S + ν + k [] dond ν = ν (S,) s la prima qu rcib l agn por la misión (vna) d la opción d compra sobr l índic bursáil y k s l capial (bins qu s dsinan a la producción, y ). San w = S /x la proporción d la riquza qu l individuo asigna a la nncia dl índic bursail para cubrir l vnual jrcicio d la opción, w = ν /x la proporción d la riquza qu asigna a la opción sobr l índic d prcio ν (S,), y w w la proporción complmnaria d capial, k, qu dsina a la producción, y. En conscuncia, la volución d la acumulación d la riquza ral sigu la cuación difrncial socásica: dx = x w dr s + x w dr ν + x ( w w )rd c d dond r s l coso d rposición l capial (la asa d inrés qu paga un bono cupón cro miido por l gobirno para financiar su gaso). El rndimino dl acivo con risgo (l índic bursáil) saisfac dr s dν = = µ d + du S s S [3] y l rndimino d una opción sobr dicho índic sá dado por: dr ν dν = ν [4]
48 G Á C F V -M En s caso, l rndimino d la opción s obin mdian la aplicación dl lma d Iô a ν (S,), lo cual conduc a o con y ν ν ν dν = d + ds + S d S S dν = μ ν ν d + ν ν du ν ν µ ν ν µ + + SS SS S S ν ν ν SS ν [5] En virud d [3] y [4], la rsricción prsupusal s pud scribir como: dx r + ( µ r) w + µ r w = x + ( w S + wv ) du S v c d x [6] S rquir spcificar un pago al vncimino dl conrao d opción, s dcir, ν (S,) = max (S K,0). P En sa scción s dfin l procso d producción n la conomía. Suponga qu los consumidors son, a su vz, producors y qu l procso d producción y in la forma:
Í 49 dond y dy = M(y )d + N(y )dw M ( y ) = κ( θ y ) [7] [8] N( y ) = ν y [9] Las canidads κ, θ y ν son consans posiivas y {W } 0 s un movimino Browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad (Ω W, F W, W ) juno con su filración aumnada W = {F W } 0. Suponga ambién, por simplicidad, qu Cov(dU,dW ) = 0. El parámro θ rprsna l valor d largo plazo d la producción, s dcir, l procso y prsna rvrsión a la mdia, l parámro κ s la vlocidad d ajus hacia l valor d largo plazo, θ y ν s l parámro d volailidad d la producción. En s caso, dw rprsna las flucuacions propias dl produco dbidas a cambios cnológicos o cambios n l prcio d rposición d los bins d capial. En lo qu sigu s supon una función d producción dl ipo y = Ak ; véans, al rspco, Rblo (99), Harrod (939), y Rivas-Acvs y Vngas-Marínz (00). Por simplicidad s supondrá, n lo qu sigu, qu A =, d al forma qu y y k son indisinos. P S supon qu l consumidor rprsnaivo obin saisfacción por l consumo d un bin d carácr prcdro. La uilidad sprada dl ipo von Numann-Morgnsrn, V, al impo d un individuo rprsnaivo, advrso al risgo y compiivo (omador d prcios) in la siguin forma: s V E δ u cs ys s (, ) d F [0]
50 G Á C F V -M dond c s s l consumo al impo, δ s la asa subjiva d dscuno y F s la información rlvan disponibl hasa l impo. En s caso, W U F F F. Así pus, l consumidor oma dcisions d consumo y porafolio d al manra qu s maximic su saisfacción. Es dcir, l consumidor dsa drminar la raycoria d consumo y las proporcions d su riquza qu va a asignar, n cada insan, a los difrns acivos disponibls n la conomía d al forma qu su saisfacción por l bin d consumo sa máxima. C La maximización d [0] suja a [6] y [7] conduc a la condición d Hamilon-Jacobi-Bllman d un problma d conrol ópimo socásico. Dicha condición sá dada por dond δs 0 max u( c, y ) + J c, w, w { s s c + J xx r + ( µ S r) w + ( µ ν r) w x + J xxx ( w s + w ν ) + J ym ( y ) + J yyn y δs J x, y, max E u( cs, ys ) ds c, w, w F [] s la función d uilidad indirca y J(x,y,) s la variabl d co-sado. Si s oma como candidao d solución a J(x,y,) = H(x,y ) δ y s supon qu u(c, y ) = ln(c ) + φln(y ), φ > 0, s in qu la cuación d Hamilon- Jacobi-Bllman s ransforma n
Í 5 0 c c φ y δ H H xx r µ S r w µ ν r w x + H xxx ( w s + wv ) + H ym ( y ) + H yyn y [] = max ln + ln + + ( ) + ( ) c, w, w En s caso, s saisfac qu H(x,y ) = g(y ) ln(x ) + f(y ) para algunas funcions g(y ) y f(y ). Dspués d drivar la cuación [] con rspco d las variabls d conrol, la condición ncsaria sobr l consumo s c x g y = [3] y las condicions d primr ordn sobr w y w son, rspcivamn, µ S r = w s + w S ν [4] y µ r = w + w ν S ν ν [5] dond w = w y w = w son invarians n l impo. Las dos úlimas cuacions pudn sr rscrias n érminos maricials como: s s s ν w µ S r = w µ r ν ν ν Las cuacions anriors, [4] y [5], confirman qu los prmios al risgo d mrcado ano dl subyacn como dl drivado coincidn, s dcir, µ S r µ r = ν S ν
5 G Á C F V -M La inuición d so s qu l movimino browniano modla jusamn l risgo d mrcado dl acivo subyacn, so s, modla las flucuacions d su prcio, las cuals podrían sr advrsas para l agn rprsnaivo. Ahora bin, d acurdo con la cuación [5], la cual fu obnida d la aplicación dl lma d Iô para obnr l cambio marginal n la prima d la opción, s in qu l conrao d opción hrda l risgo dl subyacn; al y como ra d sprars. Por úlimo, s imporan hacr noar qu la coincidncia d los prmios al risgo prmiirá valuar la opción d compra sobr l índic bursáil. C Con l fin d valuar la opción d compra, considr la solución d squina dada por w = y w = 0. En s caso, las condicions [4] y [5] s ransforman, rspcivamn, n: µ r = S S [6] y μ ν r = S ν [7] D la úlima cuación s sigu qu + + ν = ν ν ν µ S ss r ss S S v S ν Si s uiliza ahora la cuación [6], s obin + ( + ) + ν = ν ν s s ν s S r S v S r S S S ν Oras modologías para valuar drivados s ncunran n Vngas-Marínz (005).
Í 53 o + + ν ν ν s ν = S rs S r 0 S [8] con la condición d fronra ν (S,) = max(s K,0) Así pus, n condicions d quilibrio, l prcio d la opción, ν (S,), db saisfacr la cuación [8]. D hcho, s in qu ν (S,) = S Φ(ξ ) K r( ) Φ(ξ ) [9] dond la función Φ(ξ) s la función d disribución acumulada d una disribución normal sándar ε~ N(0,), s dcir, con Φ ξ ε ξ p ε ( ε ξ) = dε = Φ ξ π = y ξ = + + ln S K r S S ξ = ξ S La cuación [9] proporciona la prima o l prcio d una opción uropa d compra sólo n función d información disponibl al impo (momno n qu s valúa l insrumno), a sabr: l valor dl índic bursáil, l plazo por vncr dl conrao, l coso d rposición dl capial, l prcio d jrcicio
54 G Á C F V -M (o prcio srik), y la volailidad; aunqu sa úlima ndrá qu simars como la dsviación sándar d un rgisro hisórico d los rndiminos dl índic. Los supusos bajo los cuals [9] s válida son: l valor dl acivo subyacn s conducido por l movimino gomérico browniano, s dcir, los rndiminos son normals con mdia y varianza proporcionals al impo; la volailidad dl prcio dl acivo subyacn s manin consan a ravés dl impo; l mrcado opra n forma coninua, s dcir, no hay fins d smana ni días fsivos; no xisn oporunidads d arbiraj, so s, no s posibl gnrar ganancias librs d risgo (aunqu s podría suponr quilibrio gnral, lo cual ciramn llva a qu no xisan oporunidads d arbiraj). U A coninuación s prsna una fórmula alrnaiva para la asa d inrés d quilibrio. Obsrv qu a parir d [6], s cumpl qu r = µ S S [0] En lo qu sigu s supon qu µ S >. La asa d inrés d quilibrio s S pud rscribir d la siguin forma: r = ( w w ), s s v s v v w w x J J x xx dond w = y w = 0. En fco, s suficin obsrvar qu J x = δ g( y ) x Por lo ano, x J xx/j x =. La condición d quilibrio [0] srá d uilidad para drminar la asa d inrés insanána (o asa cora).
Í 55 D En sa scción, a parir dl procso para la función d producción, s drmina la dinámica socásica d la asa cora. Si s dfinn µ s = µ s y y = y n [0], s in qu s s r = γy dond Por lo ano, San γ = µ d r = κ γ / θγ / r d γ / ν r dw s s + a = κγ ½, b = θγ ½, = γ ½ ν D sa manra, + dr = a b r d r dw [] con a, b y canidads posiivas. Si s dfin ab = κθ = 4 noncs la cuación [] s pud rscribir como dr = a r d + r dw 4 []
56 G Á C F V -M En la cuación anrior l parámro a rprsna la vlocidad d ajus. Es dcir, si las asas d inrés son dmasiado grands o dmasiado pquñas con rspco d un valor d largo plazo, noncs las asas s ajusan con vlocidad a a mannrs crca d dicho valor d largo plazo. El parámro s la volailidad (por unidad d impo) d la asa insanána d inrés. V Considr un mrcado n dond los agns compran y min promsas d pago d una unidad monaria n l fuuro, librs d risgo crédio. Esas promsas qu s compran a dscuno srán llamadas bonos cupón cro. Sa B(,) l prcio n l impo d un bono qu s compra a dscuno con vncimino al impo, >, y qu paga una unidad monaria al vncimino, s dcir, B(,) = [3] La curva d rndiminos o srucura d plazos o, simplmn, curva d cros, n l impo, d un bono con vncimino, sá dada por R(, ) = ln B(, ), > [4] La asa forward insanána f(,) s dfinida por la siguin cuación: R, f, s = ds [5] Equivalnmn, = f, R, [6] La asa d inrés insánana o asa d inrés spo o, simplmn, asa cora a la qu los agns pudn comprar y vndr bonos s
Í 57 r R, lim R, = = [7] o r f, lim f, = = [8] Obsrv qu cuando, l plazo dl bono s hac cada vz más y más pquño. En conscuncia, crca d, l bono vncrá casi insanánamn y su rndimino s aproximará a la asa insanána d inrés, a sabr, r. Asimismo, crca d, la asas cora y forward insanánas son indisinguibls. Ahora bin, un bono d mono M qu paga la asa spo r, aumnará su valor, duran l insan d, n dm = M r d [9] Esa cuación s válida con oda crza n, ya qu r s conocida n. Sin mbargo, dspús d l nivl d la asa cora s inciro. En oras palabras r s un procso socásico, sujo a dos rquriminos. Primro, r s una función coninua dl impo. Sgundo, s supon qu r sigu un procso markoviano. Dando por supuso so úlimo, l comporamino fuuro d la asa cora, dado su valor acual, s indpndin dl pasado. En oras palabras, la disribución d r +u dado r, u, sólo dpnd d la información disponibl n l impo s dcir, sólo dpnd dl valor d r. Los procsos qu son coninuos y markovianos son llamados procsos d difusión. Esos procsos pudn sr dscrios a ravés d una cuación difrncial socásica d la forma: dr = α(r,)d + β(r,)dw [30] dond {W } 0 s un movimino browniano dfinido sobr un spacio fijo d probabilidad quipado con una filración (Ω, F, {F } 0, ). D acurdo con [3], las funcions α(r,) y β(r,) sán dadas por
58 G Á C F V -M α( r, ) = a r 4 y β( r, ) = r Asimismo, s supon qu n l mrcado d bonos no xisn cosos d ransacción (comisions impusos) y qu la información sá disponibl para odos los agns d forma simulána (información prfca y simérica). odos los invrsionisas acúan n forma racional (maximizan uilidad y mplan oda la información hisórica y acual). Admás, odos los invrsionisas inn xpcaivas homogénas y l mrcado sá n quilibrio, n conscuncia, no xin oporunidads d arbiraj. El prcio d bono cupón cro qu s coloca n y qu al vncimino paga una unidad monaria s dnoará mdian B = B(r,,), o n forma más simpl como B = B(,) cuando no sa ncsario dsacar la dpndncia con la asa cora. Así, la asa cora s la única variabl d sado d la srucura d plazos. D En la prsn scción s drmina d manra ndógna la srucura d plazos d la asa d inrés asociada al mrcado d bonos. A parir d la cuación [30], s sigu por l lma d Iô qu db = Bμ(r,,)d + B(r,,)dW [3] dond B B B µ ( r, ; ) = α β B + r + r [3]
Í 59 y ( r, ; ) = β B B r [33] Considr ahora un invrsionisa qu al impo mi una canidad w d bonos con fcha d vncimino y prcio B y simulánamn compra una canidad w d bonos con fcha d vncimino y prcio B. El valor dl porafolio s Π = w B w B. Si s dnoan W = w B y W = w B, l lma d Iô conduc a dπ = (W μ(r,, ) W μ(r,, ))d + (W (r,, ) W (r,, ))dw [34] Suponga qu las canidads W y W s slccionan d al forma qu y W W M r, ; = ( r, ; ) ( r, ; ) M r, ; = ( r, ; ) ( r, ; ) En conscuncia, l sgundo érmino n la cuación [34], l cual modla l risgo d mrcado, s cro. Por lo ano, la cuación [34] oma la forma d = M ( r, ; ) ( r, ; ) ( r,, ) ( r, ; ) ( r, ; ) ( r ) µ µ, ; d [35] D sa manra, l porafolio s libr d risgo d mrcado. Si los mrcados sán n quilibrio, l porafolio db producir l mismo rndimino qu l qu s obin por hacr un dpósio a la asa r. Si l rndimino dl pora-
60 G Á C F V -M folio fura mayor, l porafolio pud sr comprado con fondos prsados a la asa r, n caso conrario l porafolio s vndido y las ganancias son prsadas, lo qu produc oporunidads d arbiraj. Al comparar las cuacions [9] y [35], s sigu qu: o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ r, ; r, ; µ r,, r, ; r, ; r, ; = r µ ( r, ; ) r r, ; µ r, ; r = r, ; [36] Obsrv qu los cocins n cada lado d la cuación [36] son iguals para fchas d vncimino arbirarias y, s sigu qu la razón μ(r,,) r /(r,,)s indpndin d. Sa λ(r,) l valor común d al razón, noncs µ r, ; r λ( r, ) =, r, ; [37] A la canidad λ(r,) s l llama l prcio d risgo mrcado, s dcir, l valor qu l mrcado asigna al risgo. La canidad λ(r,) ambién pud inrprars como l rndimino adicional,por la xposición al risgo, por unidad d volailidad. La cuación [37] s pud rscribir como μ(r,,) r = λ(r,) (r,,) [38] Si s susiuyn la cuacions [3] y [33] n [38], s in qu B B α, λ,, β r, r + ( r ) + ( r ) ( r ) B + B r B = 0, r [39] juno con la condición final B(r,,) =.
Í 6 Una vz qu la forma d la dinámica socásica d la asa spo r, xprsada n la cuación [30], ha sido drminada y l prcio d risgo mrcado ha sido spcificado, λ(r,), noncs l prcio dl bono, asociado a la dinámica d r, s obin como solución d la cuación [36]. Posriormn, s calcula la srucura d plazos R(,) d la asa d inrés con la cuación siguin: R, ln B, = A parir d la fórmula anrior, una vz qu s drmin l vcor d prcios d bonos a odos los plazos con fcha inicial, s pud calcular l vcor d asas (anualizadas) d inrés a odos los plazos con fcha d rfrncia. S [40] Si r s la asa cora nural al risgo, s dcir, si l prmio al risgo s cro, noncs l prcio d un bono cupón cro, B = B(,), qu s coloca n y qu paga una unidad monaria al vncimino, saisfac la cuación difrncial parcial parabólica no linal: B + + B B r a r r 4 r r B = 0 [4] S propon una solución d [4] n érminos d variabls sparabls como sigu: = + + B A, r D, C, r, [4] Claramn, A(,) = D(,) = C(,) = 0, ya qu l valor nominal dl bono sá dado por + + = = B A, r D, C, r,
6 G Á C F V -M En l apéndic s musra qu ( ) / a a a A(, ) = ln + + ( ) 3 3 ( + ( ) ) D, = + = C, / a + ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Una vz qu s han drminado las funcions A(,), D(,) y C(,) sás s susiuyn n la cuación [4] para calcular l vcor d prcios d bonos cupón cro a odos los plazos con fcha d inicio. E Con bas n las cuacions [4], [40] y [4], la srucura d plazos s drmina mdian = R, ln B, r D, A, C, r = [43] Pud vrificars, fácilmn, qu lim R, ln B, a = [44]
Í 63 Como s mncionó ans, si las asas d inrés son dmasiado grands o dmasiado pquñas con rspco d un valor d largo plazo, noncs las asas s ajusan con vlocidad a (a = κγ ½ ) a mannrs crca d R(, ). E Rcurd qu la cuación difrncial socásica dl comporamino d la asa cora sá rprsnada por: dr = a r d + r dw 4 [45] Considr l cambio d variabl X = r y calcul las parcials d primro y sgundo ordn d X con rspco a r. Eso s, X = = r r X X = = r r r r X [46] X = 0 El lma d Iô conduc a dx X X = + r X a r r d + + 4 r = a r r X + X 4 r X d + d X W r X r dw
64 G Á C F V -M = a r d + dw X x X = X + X r = ad + d W X a r r + d + 4 r r X r dw [47] Por lo ano, s in qu X X = a + u, =,,, N dond u ~ N(0, ). D sa manra, E[X X ] = a [48] y Var[X X ] = [49] Así pus, si Y = X X, los simadors d a y s obinn a ravés d las siguins cuacions y N Y = â N = N Y N = = [50] D acurdo con la cuación [45] para drminar la dinámica socásica d la asa cora spo s ncsario simar los parámros a y b. Para llo, las cuacions [49] y [50] proporcionan simadors qu son muy simpls d calcular.
Í 65 E En sa scción s llva a cabo una aplicación dl modlo propuso. La asa cora s la asa d CEES a 7 días. La gráfica musra la curva d cros n un priodo d.4 años. La asa cora acual (4 d marzo d 005) sá dada por r = 0.0765. Los simadors d la volailidad, ˆ, y vlocidad, â, calculados, con un rgisro hisórico d daos diarios d amaño 90, a parir d la cuación [50], sán dados por â = 0.06 y ˆ = 0.360. Como pud obsrvars la gráfica musra l comporamino ípico d una srucura d plazos (curva d rndimino). Es dcir, d acurdo con la cuación [4], R(,) s una función cóncava qu s sabiliza alrddor d R(, ) = 0.4. G Curva d cros simada (j horizonal n años y j vrical n nivls d asas) R(,) 0.4 0. 0. 0.08 0.06 0.04 0.0 0 0 0.5.5
66 G Á C F V -M C S ha dsarrollado un modlo d quilibrio gnral n una conomía socásica poblada por agns idénicos, con vida infinia, maximizadors d uilidad, compiivos y advrsos al risgo para valuar un drivado sobr un índic bursail y para drminar una srucura d plazos d la asa d inrés. El risgo d mrcado fu modlado con l supuso d normalidad d disinas variabls financiras y conómicas, aunqu so podría vrs como una limiación dl modlo, los prcios (óricos) qu s obinn proporcionan una rfrncia imporan n las dcisions d los agns para paricipar n un mrcado. El modlo propuso ha proporcionado dinámicas para la asa cora difrns a las obnidas n Cox al. (985b) gnralizando, como un rsulado dl quilibrio gnral, l modlo d asa cora d Longsaff (989). Asimismo, con los simadors obnidos d los parámros, los cuals son muy sncillos d calcular, s llvó a cabo la dducción d la srucura d plazos cuando la asa cora s la asa d CEES a 7 días. Varios d los rsulados obnidos n l ranscurso d sa invsigación mrcn algunos comnarios adicionals. Por jmplo, cuando los agns son xpusos al risgo d mrcado és afca d manra imporan su comporamino. En fco, si un consumidor-invrsionisa oma dcisions d consumo y porafolio n un ambin drminisa, noncs l agn pud drminar su raycoria ópima d consumo (o al mnos so s lo qu dic la orodoxia noclásica). Minras qu n l caso socásico, inforunadamn, la raycoria d consumo ya no pud sr drminada por l agn porqu l consumo s convir n variabl alaoria, siuación qu sá más acord con la ralidad. Por oro lado, las cuacions [4] y [5] sablcn qu, n l quilibrio, los prmios al risgo d mrcado ano dl índic bursáil como d una opción uropa d compra sobr él coincidn, algo qu ra d sprars y qu sá d acurdo con hchos silizados obsrvados. Asimismo, la cuación [9] proporciona la prima o l prcio d una opción uropa d compra sobr un índic bursáil n función d información disponibl al momno n qu s valúa l insrumno; s rsulado coincid con l d Black y Schols (973) y Mron (973).
Í 67 Por úlimo s imporan mncionar qu l modlo pud sr xndido n varias dirccions, por jmplo: fala incorporar volailidad socásica n l comporamino d la asa cora y considrar oras formas funcionals disponibls n la liraura para la función d uilidad. A Dspués d drivar parcialmn la cuación [4] con rspco d y r, s ncunra qu: B = + + B A D C r r [A.] B = + C B D r r [A.] y B = + C + C B D r 4 r r r [A.3] Si s susiuyn las xprsions [A.], [A.] y [A.3] n la cuación [4] s in: + A D + C C + r r r D r + C 8 r + a r + 4 D C r = 0 r [A.4]
68 G Á C F V -M Dspués d dsarrollar la xprsión anrior, s sigu qu + A D + C r r C r + r D + r r DC + C + 8 8 4 C ac + ad r r = 0 8 r D Equivalnmn, A + D + D r + C a D + C + = 0 8 4 C + C r a D [A.5] Si s driva con rspco d r, s in qu D + D + + = r r C C a D 0 [A.6] A fin d qu [A.6] s cumpla para oda r s ncsario qu s saisfaga D = D [A.7] juno con C = a C D [A.8]
Í 69 La cuación difrncial ordinaria [A.7] s dl ipo d Riccai. Considr sa cuación scria n la siguin forma, D, = D( ) [A.9] A parir d la cuación anrior, s in D D, du ( s, ) = ds =, U s, [A.0] El lado izquirdo d la cuación [A.0], s pud rscribir como D, du D du = 0 U U ( / ) D,, [A.] La ingral qu aparc n [A.] s calcula mdian ingración por fraccions parcials, so s, U du D du = ( / ) ( U + ( / ))( U ( / )) D,, 0 0 [A.] No qu l ingrando n [A.] s pud rscribir como A0 B0 = + ( U + ( / ))(( U ( / )) U + / ) U / ) D lo anrior, s in l siguin sisma d cuacions linals A 0 + B 0 = 0
70 G Á C F V -M y B0 A0 = La solución d s sisma d cuacions s A 0 = [A.3] y B 0 = [A.4] Al susiuir [A.3] y [A.4] n [A.], s obin U du D du = ( / ) (( U + ( / ))(( U ( / )) D,, 0 0 D(, ) du D(, ) du = + 0 U + ( / ) 0 U ( / ) = ln U + ( / ) U ( / ) = ln U + ( / ) = ln = ln + 0 D(, ) D(, ) 0 (, ) D D, ( / ) D, ( / ) + D, ( / ) D, ( / ) + ln U + ( / ) 0 ( / ) ln 0 + ( / ) 0 [A.5]
Í 7 No qu n la cuación [A.5] s ha considrado qu D(,) = 0 y qu ln( ) = 0. Si s susiuy la cuación [A.5] n la cuación [A.], s in: D, du D du = 0 U U ( / ) D,, = ln + D, / D, ( / ) D, ( / ) = ln D(, ) + ( / ) = ( ) [A.6] dond s ha supuso qu la canidad qu aparc dnro dl valor absoluo s posiiva. Por lo ano, ln D, D, + = ( ) [A.7] D la cuación [A.7], s obin ln D, D, + = ( ) [A.8] Equivalnmn, = D, + ( ) ( ) [A.9]
7 G Á C F V -M La función D(,) saisfac la cuación difrncial [A.7]. Sin mbargo, obsrv qu [A.9] no cumpl la condición final D(,) = 0. Por lo ano, s roma la cuación [A.6] suponindo ahora qu l argumno dl valor absoluo s una canidad ngaiva, lo qu conduc a ln D(, ) + = D, Al dspjar D(,), s in ( ) [A.0] = D, + ( ) ( ) [A.] o D, = + ( ) ( ) [A.] Esa función sí saisfac la cuación difrncial [A.7] y cumpl la condición final D(,) = 0. Así, sa solución s susiuy n la cuación difrncial parcial [A.8], lo cual llva a C = a C D = a C + ( ) ( ) [A.3] La cuación difrncial [A.3] s d variabls sparabls, así
Í 73 (, ) C (, ) C (, ) du s = a U + ( ) ( ) ds [A.4] Al rsolvr la ingral dl lado izquirdo d la cuación [A.4], s in qu du C( ) du = 0 a U U a = C(, ) du 0 U a C,, U 0 = ln U 0 (, ) a C = a 0 a ln U ln = a C, ln a / = ln a C, a a C = ln, a dond s ha omado n cuna qu C(,) = 0 y s ha supuso qu C(,) < a/. Por lo ano,
74 G Á C F V -M (, ) C du = a ln a a C, U 0 [A.5] Considr ahora l lado drcho d [A.4] y dfina l cambio d variabl ( s) U = +, noncs así s du = ds = U ds + ( ) U ds = U U du ( ) [A.6] El lado drcho d la cuación [A.6] s rsulv por fraccions parcials, so s, s dsan drminar A y B als qu Es dcir, y Por lo ano, = + = ( ) + U A B U U U U A U BU U U A + B = A =
Í 75 U A U U U U U B U = + d d U d ( ) = s + ( s ln ln + ) = ( s) s ln + ln ln + = ln 4 + = ln 4 ( ) ( ( ) ) ln ( ) Si, por un lado, s susiuy [A.7] n [A.6] y, por oro lado, s susiuyn [A.5] y [A.6] n [A.4], s in qu [A.7] (, ) C (, ) C du = U a + a + a C ( ) = ln ln, 4 ( s) ( s) ds ( ( ) ) Al dspjar C(,) d la cuación anrior, s in qu = C, ( ( ) ) ( ) / a + [A.8] [A.9]
76 G Á C F V -M Obsrv qu C(,) < a/ y qu si =, noncs C(,) = 0. S pud vrificar, d manra sncilla, qu [A.] y [A.9] cumpln con [A.8]. Ahora bin, si s susiuyn [A.7], [A.8], [A.] y [A.9] n [A.5], s obin qu A a + + + + ( ( ) / ) 4 ( ) / ( ) ( ) = 0 La xprsión anrior s pud rscribir como: a ( ( ) / ) ( + ( ) ) = ( ) A a ( + ) + ( ) [A.30] Por lo ano, = A, a + ( ) ( ) + ds ( ) ( ) ds [A.3] Para calcular la primra ingral, dl lado drcho d la cuación anrior, ( s) s dfin l siguin cambio d variabl sa u = +, d dond du = u ds u ds. En conscuncia, = ( ) a 3 ( u) a 4 4u u du = 3 u u u u du [A.3]
Í 77 La ingral dl lado drcho d [A.3] s calcula d nuvo por fraccions parcials. Eso s, 4 4u u A B C = + + u u u u u = ( ) + ( ) u ( u) A + u B A u C B La solución dl sisma gnrado s A = 0, B = 0 y C =. Por lo ano, a 4 4u u a 4 u u u u u u u 3 3 ( ) d = + d d a 4 = du 3 u u d u a = 4 3 ln ( s) + a a a ( ) = + 3 ( ) 3 ( + ) ( s) A coninuación s calcula la sgunda ingral qu aparc n [A.3], s dcir, ( s) ds = + ( s) 4 + = 4 + ( s) s ( s) ( s) ds ds [A.33]
78 G Á C F V -M ( + ( ) ) = ln ( 4 ) + = ln + ( ) / [A.34] No qu la ingral qu aparc n la sgunda igualdad d [A.34], ya fu rsula n [A.6]. Por úlimo, si s susiuyn las cuacions [A.33] y [A.34] n [A.3], s obin qu ( ) / a A(, ) = ln ( + + ) 3 a ( ) a ( ) 3 ( + ) [A.35] La xprsión anrior s pud rscribir como: a A(, ) = ln ( + + ) a + 3 ( ) a ( + ) 3 [A.36] Claramn, si =, noncs A(,) = 0.
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