UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel de lleado de uas botellas de bebidas gaseosas tiee ua distribució ormal co media 2 litros y desviació estádar 0.06 litros. Las botellas que cotiee meos de 95 % del coteido eto auciado puede causar ua multa al fabricate por parte del SERNAC, mietras que las botellas que tiee u coteido eto mayor que 2.1 litros puede provocar u derrame del exceso al abrirlas. a Cuál es la probabilidad de que le poga ua multa al fabricate, si se seleccioa al azar ua botella de la producció? Sea X : ivel del lleado de las botellas gaseosas e litros, dode X N2, 0.06. De acuerdo al euciado, si las botellas tiee meos del 95 % del coteido eto auciado es decir 1.9 litros puede causar ua multa. Por lo tato: P X < 1.9 = P Z < 1.9 2/0.06 = P Z < 1.67 = 0.0475 Es decir, hay u 4.75 % de posibilidad que le poga ua multa al fabricate, dode Z N0, 1. b Qué proporció de las botellas puede provocar u derrame al abrirlas? De acuerdo al euciado, se pide: P X > 2.1 = P Z > 2.1 2/0.06 = P Z > 1.67 = 1 P Z < 1.67 = 1 0.9525 = 0.0475 Es decir, aproximadamete 5 de cada 0 botellas puede provocar derrames al abrirlas. c Qué catidad míima de refresco se espera que cotega 99 % de las botellas? Sea M la catidad míima para que las botellas cotega el 99 % de refresco. De acuerdo a esto se ecesita resolver: P X > M = 0.99 P Z > M 2/0.06 = 0.99 P Z < M 2/0.06 = 0.01 Por lo tato: M 2 0.06 = 2.32 M 2 = 0.1392 M = 1.8608 Por lo tato, se espera que tega 1.8608 litros como catidad míima. PRUEBA PARCIAL N o 3 1
d E u día se llea 0 botellas cuál es la probabilidad de que haya e u día más de 4 botellas que pueda provocar u derrame al abrirlas? Sea Y : úmero de botellas que, e u día, pueda provocar u derrame al abrirlas de u total de 0. De acuerdo a esto, se trata de ua variable aleatoria biomial co = 0 y p = P X > 2.1 = 0.0475. Se pide calcular: P Y > 4 = 1 P Y 4 = 1 4 0 0.0475 y 0.9525 0 y y y=0 = 1 0.00770 + 0.03840 + 0.09479 + 0.15442 + 0.18674 = 0.51795 e Utilizado el apartado aterior, cuál es, e u mes de 30 días, el úmero medio de días e los que se produce más de 4 botellas que pueda provocar u derrame al abrirlas? De acuerdo a la variable aleatoria del item aterior, se trata de calcular el valor esperado. Como se sabe EY = p, etoces lo que se pide es EY = 30 0.51795 = 15.5385. Por lo tato, hay 16 días e promedio, e los que se produce más de 4 botellas que pueda provocar u derrame al abrirlas. 2. El tiempo T e segudos que tarda u PC e coectarse a u servidor durate u día laboral sigue ua distribució de Weibull co parámetros α = 1/4 y β = 0.6, mietras que e u día de fi de semaa el tiempo es ua variable aleatoria Expoecial co β = 0.24. a Calcular el tiempo medio que tarda u PC e coectarse al servidor e ambos tipos de días. Primero llamemos T L al tiempo, e segudos, que tarda el PC e coectarse a u servidor durate u día laboral y T F al tiempo, e segudos, que tarda u PC e u día de fi de semaa. Del euciado se sabe que T L W α = 1/4, β = 0.6 y T F Eβ = 0.24. Por lo tato, utilizado el formulario se tiee que: ET L = 0.6Γ 1 + 1 = 0.6Γ5 = 4! 0.6 = 14.4 1/4 ET F = 0.24 6 ptos. b Calcular la probabilidad, para ambos tipos de días, de que u PC tarde meos de segudos e realizar la coexió. Esto se cosigue directamete del formulario, es decir se pide P T L < = F TL = 1 e 0.6 1/4 = 0.87 P T F < = F TF = 1 e 0.24 = 1 6 ptos. PRUEBA PARCIAL N o 3 2
c Si u PC lleva 5 segudos esperado a que se realice la coexió co el servidor durate u día laboral. Cuál es la probabilidad de que la coexió se demore au segudos más? E este caso se pide calcular P T L > 15 T L > 5. Utilizado la propiedad de la probabilidad codicioal se tiee que P T L > 15 T L > 5 = P {T L > 15} {T L > 5} P T L > 5 = 1 F T L 15 1 F TL 5 = e 15 0.6 1/4 e 5 = P T L > 15 P T L > 5 0.6 1/4 = 0.58 6 ptos. d Probar que si X es ua Weibull de parámetro α = 1 se tiee que P X > t 0 + t X > t 0 = P X > t para todo β > 0. Se sabe que si α = 1 etoces la variable aleatoria X es ua expoecial de parámetro β > 0, por lo tato: P X > t 0 + t X > t 0 = P {X > t 0 + t} {X > t 0 } P X > t 0 = 1 F Xt 0 + t 1 F X t 0 t 0 +t = e β e t 0 β = e t β = 1 FX t = P X > t. = P X > t 0 + t P X > t 0 = e t 0 β e t β e t 0 β 7 ptos. 3. E u cierto periódico, la logitud e pulgadas de las columas de aucios clasificados que aparece los lues tiee ua distribució aproximadamete ormal, co ua media de 327 pulgadas y ua desviació estádar de 34 pulgadas. Cosiderar las medidas de lues cosecutivos como ua muestra aleatoria. a Calcular el valor esperado y la desviació estádar de la logitud total e pulgadas de las columas de aucios clasificados para lues. Sea X: logitud de las columas de los aucios, dode X Nµ X = 327, σx 2 = 342. Por otro lado, sea T = i=1 x i la logitud total de las columas para lues. Etoces T Nµ = 327, σ 2 = 34 2, de aquí es fácil ver que el valor esperado de T es 3270 y la desviació estádar es 34 2 = 7.52. 9 ptos. b Calcular la probabilidad de que el total se ecuetre etre 3150 y 3390 pulgadas. P 3150 < T < 3390 = P T < 3390 P T < 3150 = P Z < 3390 3270/7.52 P Z < 3150 3270/7.52 = P Z < 1.12 P Z < 1.12 = 0.8686 0.1314 = 0.7372. PRUEBA PARCIAL N o 3 3
8 ptos. c Calcular la probabilidad de que la logitud promedio de las columas para cada lues se ecuetre etre 314 y 339. Sea X la logitud promedio para cada lues, dode X Nµ X, σx 2 / cuado, es decir, X N 327, 342, Por lo tato, 4. RESOLVER: P 314 < X < 339 = P X < 339 P X < 314 = P Z < 339 327/.75 P Z < 3150 3270/.75 = P Z < 1.12 P Z < 1.21 = 0.8686 0.1131 = 0.7555. 8 ptos. a EL supervisor del proceso de empacado de té e sobres, seleccioa ua muestra aleatoria de 12 sobres y mide el peso eto de cada uo, obteiedo la siguiete iformació: 15.7-15.8-15.8-15.9-15.9-16.0-16.0-16.0-16.1-16.1-16.1-16.2. Si el peso eto de los sobres sigue ua distribució ormal, determiar u itervalo al 90 % de cofiaza para la media poblacioal de las bolas de té. Nota: X 2 = 254.955 Buscamos u itervalo de cofiaza para la media cuado o se cooce la variaza o se dice algo sobre la variaza. Luego S µ X ± t α 2 ; 1 Como e el euciado os dice que la cofiaza es del 90 %, etoces 1 α = 0.9 α/2 = 0.05. De la tabla de la t de Studet calculamos el percetil t α/2 co 1 = 11 grados de libertad. Luego t α/2,11 = 1.796. Ahora calculamos la media y la variaza muestral: X = S 2 = i x i = 15.7 + 15.8 +... + 16.2 12 = 15.96667 1 [X2 X 2 ] = 12 11 [254.955 15.966672 ] = 0.02231 De aquí S = 0.02231 = 0.15 y fialmete: µ 15.97 ± 1.796 0.15 12 µ 15.8922, 16.0478 6 ptos. PRUEBA PARCIAL N o 3 4
b E u país orietal se desea estudiar la variable altura de los idividuos. Para esto se realizó u estudio piloto co ua muestra de persoas la cual arrojó ua media de 170 cm. Calcular el tamaño que debería teer la muestra para obteer u itervalo de cofiaza al 99 % co ua precisió error de u cetímetro. Nota: Usar σ = y asumir que la altura de los idividuos distribuye ormal. Teemos que µ = 170. Además sabemos que σ =. Etoces estamos trabajado co el siguiete itervalo para µ. Como os pide u 99 % de cofiaza, teemos que α/2 = 0.005. σ µ X ± z α/2 µ 170 ± z 0.005 µ X ± 2.58 } {{ } error Queremos u error de u cetímetro, es decir, 2.58 = 1 25.8 =. Luego = 665.64, pero como el tamaño de muestra debe ser etero, debemos hacer ua aproximació, por lo tato = 666. 6 ptos. c U directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obteidos e los test de aptitud por los solicitates de u determiado puesto de trabajo sigue ua distribució ormal co ua desviació estádar de 1.42 putos. Las calificacioes de ueve test está dadas por: 188-190 - 185-187 - 188-187 - 188-189 - 189. Calcular u itervalo de cofiaza del 90 % para la calificació media poblacioal del grupo de solicitates actual. Primero calculamos la media de los datos: X = Xi = 188 + 190 +... + 189 + 189 9 = 187.9 El itervalo de cofiaza para la media, co u 90 % de cofiaza está dado por: µ 187.9 ± 1.645 1.42 9 Puesto que al 90 % de cofiaza α = 0.1, etoces z α/2 = z 0.05 = 1.645 segú tabla, luego: µ 187.12; 188.68 6 ptos. d A partir de los datos ateriores item c, u estadístico calcula para la media poblacioal u itervalo de cofiaza que va desde 187.8 a 188.0 putos. Calcular el ivel de cofiabilidad 1 α 0 % tomado por el estadístico. Teemos que el itervalo de cofiaza calculado por la persoa es: µ 187.8; 188.00 PRUEBA PARCIAL N o 3 5
Luego debemos resolver: 187.9 + z α/2 1.42 9 = 188 z α/2 1.42 = 0.3 z α/2 = 0.21 Por lo tato 1 α = 0.5832 α = 0.8336. Luego el ivel de cofiaza tomado por la 2 persoa es de u 1 α 0 % = 16.64 %. 7 ptos. PRUEBA PARCIAL N o 3 6