ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA

ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

PÁGINA LEGAL Primer edición, Editoril Universitri, 2014. Clle 23 No. 565 e/ F y G, Veddo, L Hbn, Cub. E-mil: eduniv@mes.edu.cu Teléfono: (+537) 837 4538 e ISBN versión electrónic 978-959-16-2275-4 Todos los derechos reservdos José Miguel Mrín Antuñ, Profesor Emérito. Fcultd de Físic de L Universidd de L Hbn. Cub. E-mil: mrin@fisic.uh.cu

Índice Introducción 7 1 Clsificción de ls ecuciones integrles 9 1.1 Ecución integrl de Fredholm............................ 9 1.2 Ecución integrl de Volterr............................ 10 1.3 Problems que conducen ecuciones integrles.................. 11 2 Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 15 2.1 Propieddes....................................... 16 2.2 Núcleos Iterdos.................................... 20 2.3 Método de proximciones sucesivs pr l ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo............................... 24 2.3.1 Desiguldd de Cuchy-Bunikovsky.................... 25 2.3.2 Teorem de existenci............................ 25 3 Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones de núcleos que cumpln l propiedd A. Núcleos degenerdos. Autovlores y utofunciones 35 3.1 Ides básics...................................... 35 3.2 Núcleos degenerdos................................. 39 3.3 Ejemplos........................................ 41 3.4 Núcleos cerrdos................................... 46 3.5 Teorem de Hilbert-Schmidt............................. 50 3

4 ÍNDICE 3.6 Ecución integrl de Fredholm no homogéne de segundo tipo.......... 56 3.7 Solución de l ecución integrl de Fredholm no homogéne de segundo tipo por el método de proximciones sucesivs....................... 61 3.8 Ejemplos de solución de ecuciones integrles de Fredholm de segundo tipo.............................. 65 3.9 Ecuciones integrles de Volterr.......................... 71 3.10 Solución de ecuciones integrles de Volterr por trnsformds integrles.... 74 3.11 Ejercicios del Cpítulo................................ 76 4 Equivlenci entre los problems de fronter de ecuciones diferenciles y ls ecuciones integrles con núcleo simétrico 77 4.1 Función de Green................................... 77 4.2 Equivlenci entre un problem de Sturm-Liouville y un ecución integrl con núcleo simétrico. Propieddes de los utovlores y ls utofunciones del problem de Sturm-Liouville....... 87 4.2.1 Teorem de equivlenci........................... 87 4.2.2 Propieddes de los utovlores y de ls utofunciones del problem de Sturm-Liouville................................ 90 4.3 Equivlenci entre el problem de Sturm-Liouville en vris dimensiones y un ecución integrl multidimensionl......................... 95 5 Ecución Integrl de Fredholm de Segundo Tipo. Teorí Generl 99 5.1 Trnsformción de l ecución en un sistem lgebráico.............. 99 5.2 Determinnte de Fredholm. Menores de Fredholm................. 105 5.2.1 Introducción.................................. 105 5.2.2 Convergenci de ls series de Fredholm................... 108 5.2.3 Relción entre el determinnte de Fredholm y los menores de Fredholm. 109 5.3 Alterntiv de Fredholm............................... 112 5.3.1 Primer teorem de Fredholm......................... 112 5.3.2 Segundo teorem de Fredholm........................ 114 5.4 Ecución no homogéne de Fredholm pr D(λ) = 0. Tercer Teorem de Fredholm119

ÍNDICE 5 5.4.1 Núcleos iterdos................................ 119 5.4.2 Tercer teorem de Fredholm......................... 121 6 Aspectos Complementrios de l Teorí de Ecuciones con Núcleo Simétrico125 6.1 Desrrollo de un núcleo simétrico en serie bilinel................. 125 6.1.1 Convergenci de l serie bilinel l núcleo de l ecución integrl..... 126 6.1.2 Series bilineles pr núcleos iterdos.................... 127 6.1.3 Núcleos definidos positivos y definidos negtivos.............. 128 6.2 Resolvente del núcleo simétrico........................... 132 7 Ecución Integrl de Fredholm de Primer Tipo 137 7.1 Introducción...................................... 137 7.2 Fmili reguld de soluciones proximds.................... 138 7.2.1 Primer teorem de Tíjonov.......................... 139 7.2.2 Segundo teorem de Tíjonov......................... 142 7.2.3 Tercer teorem de Tíjonov.......................... 145 8 Ecuciones Integrles entre Límites Infinitos con Núcleos que dependen de l Diferenci de Vribles 149 8.1 Propieddes del operdor integrl entre límites infinitos con núcleo dependiente de l diferenci de vribles............................. 149 8.2 Autofunciones de l ecución homogéne...................... 151 8.3 Solución de l ecución no homogéne....................... 152 9 El Método de Wiener-Hopf (Método de Fctorizción) 165 9.1 Conceptos iniciles.................................. 165 9.2 Propieddes nlítics de l trnsformd de Fourier............... 168 9.3 Ecuciones integrles en el semieje con núcleos dependientes de l diferenci.. 171 9.4 Esquem generl del Método de Wiener-Hopf................... 176

6 ÍNDICE 10 Respuests los ejercicios 181 Bibliogrfí 183

Introducción L teorí de ls ecuciones integrles lineles es un tem de grn elegnci mtemátic y, l vez, un herrmient eficiente pr cometer l solución de múltiples problems de l Físic Mtemátic. El libro que se present l lector es el resultdo de l experienci del utor como profesor de un curso homónimo que, como postgrdo y dentro del progrm de l Mestrí en Físic de l Fcultd de Físic de l Universidd de L Hbn el utor h imprtido por más de 40 ños. En el libro se desrrolln los spectos fundmentles de l teorí de ls ecuciones integrles que tienen importnci pr l Físic Mtemátic, que son ls ecuciones con núcleo rel, continuo y simétrico. Se bordn, tmbién, los principles métodos de solución de tles ecuciones y l vinculción existente entre ls ecuciones integrles y los problems de fronter de l Físic Mtemátic. Luego se desrroll, ún más, l teorí de ecuciones integrles, estudindo l teorí generl de Fredholm pr ecuciones con núcleo rbitrrio. L teorí generl de ls ecuciones integrles de Fredholm de primer tipo y el método regulrizdor de Andrei Nikoláevich Tíjonov es estudido en un cpítulo prte, por su importnci pr l solución de problems incorrectos de l Físic Mtemátic. De mner especil se desrroll, tmbién, el importnte cso prticulr en el que l ecución integrl de Fredholm es plnted entre límites infinitos, con núcleo que depende de l diferenci de ls vribles. Por último, se estudin los elementos principles del Método de Wiener-Hopf, conocido tmbién con el nombre de Método de Fctorizción, que tiene un mpli plicción en l solución de ecuciones integrles en el semieje (0, ). 7

8 Introducción

Cpítulo 1 Clsificción de ls ecuciones integrles En términos generles, se denomin ecución integrl quell ecución en l que l función incógnit se encuentr bjo un signo de integrción. Si l función incógnit prece sólo linelmente, entonces l ecución integrl es linel. Como puede comprenderse, est definición es muy mpli; sin embrgo, nosotros estudiremos, específicmente, quells ecuciones integrles de myor plicción y que son ls siguientes. 1.1 Ecución integrl de Fredholm Se f(x) un función definid en el segmento x b y K(x, s) un función definid en el cudrdo { x b, s b}. Se ϕ(x) un función desconocid en el segmento x b. Entonces, se llm ecución integrl de Fredholm de primer tipo l ecución que tiene l form que prece continución: K(x, s)ϕ(s)ds = f(x) (1.1) y se llm ecución integrl de Fredholm de segundo tipo l ecución que tiene l form ϕ(x) = λ K(x, s)ϕ(s)ds + f(x) (1.2) En mbs ecuciones definids sí, l función f(x) recibe el nombre de inhomogeneidd de l ecución, de mner que, si f(x) = 0, ls expresiones (1.1) y (1.2) nos definirán ls ecuciones integrles homogénes de Fredholm de primer y segundo tipo, respectivmente. L función K(x, s) se conoce con el nombre de núcleo de l ecución integrl; λ es cierto prámetro. 9

10 José Mrín Antuñ En l definición dd rrib no se hce ningún tipo de especificción sobre ls crcterístics del núcleo K(x, s) de l ecución, slvo que está definido en un cudrdo del plno (x, s). Sin embrgo, dd su vinculción con los problems físicos, nosotros nos interesremos, específicmente, por quellos núcleos que cumpln con ls condiciones siguientes: 1. K(x, s) 0 idénticmente pr x b, s b, 2. K(x, s) es un función rel de sus rgumentos. 3. K(x, s) es continu y, por tnto, cotd pr x b, s b. 4. K(x, s) K(s, x), es decir, el núcleo es simétrico. Pr brevir nuestro desrrollo futuro de l teorí, l conjunto de ests cutro condiciones le llmremos propiedd A, de mner que, si decimos que un núcleo de ciert ecución integrl cumple l propiedd A, estremos suponiendo que stisfce ls cutro condiciones rrib expresds. 1.2 Ecución integrl de Volterr Se f(x) un función definid en el segmento < x < b y K(x, s) un función definid en el triángulo s x b. Entonces, pr l función desconocid ϕ(x) en x b, l ecución, x K(x, s)ϕ(s)ds = f(x) (1.3) se llm ecución integrl de Volterr de primer tipo y l ecución, ϕ(x) = λ x K(x, s)ϕ(s)ds + f(x) (1.4) se llm ecución integrl de Volterr de segundo tipo. Como se observ, ls ecuciones de Volterr son quells en ls que el límite superior de l integrl es vrible. Ls ecuciones de Volterr pueden ser considerds como un cso prticulr de ls de Fredholm, y que, si tommos el núcleo K(x, s) 0 pr s x y K(x, s) 0 pr s > x en ls ecuciones de Fredholm (1.1) y (1.2), ésts se hcen equivlentes ls ecuciones de Volterr (1.3) y (1.4). Ls definiciones rrib dds se refieren ecuciones integrles unidimensionles, donde el núcleo es bidimensionl. Aunque en el desrrollo teórico trbjremos con ests ecuciones, y que se simplificn de est mner los cálculos y demostrciones, en términos generles los resultdos serán extensibles ecuciones integrles en vris dimensiones, ls cules son importntes tmbién en l Físic Mtemátic. L ecución integrl de Fredholm de segundo tipo en tres dimensiones, por ejemplo, es de l form:

Clsificción de ls ecuciones integrles 11 ϕ(m) = λ K(M, P )ϕ(p )dp + f(m) (1.5) V donde M = (x, y, z), P = (ξ, η, ζ) y V es un dominio en el espcio tridimensionl. 1.3 Problems que conducen ecuciones integrles Veremos, hor, lgunos ejemplos de divers índole que conducen ecuciones integrles. 1. Supongmos que en cierto dominio tridimensionl V de fronter S tenemos plntedo el primer problem homogéneo pr l ecución de Helmholtz homogéne, es decir, el problem de Sturm-Liouville: 2 u + λu = 0, M V (1.6) u S = 0 Del cursolibro de Métodos Mtemáticos de l Físic del utor sbemos que l función de Green pr l ecución de Poisson es G(M, P ) = 1 4πr MP + v (1.7) donde l función v es rmónic en el dominio donde se busc l solución del problem: 2 u = f(m), M V (1.8) u S = 0 L teorí desrrolld en el libro menciondo nos conduce que l solución del problem (1.8) se expres en l form: u(m) = V f(p )G(M, P )dp (1.9) Por consiguiente, l solución del problem (1.6) puede expresrse como, u(m) = λ G(M, P )u(p )dp (1.10) V que es un ecución integrl de Fredholm de segundo tipo homogéne con núcleo simétrico. K(M, P ) G(M, P )

12 José Mrín Antuñ 2. En el libro de Métodos Mtemáticos de l Físic rrib menciondo vimos que l solución del problem de Dirichlet pr l ecución de Lplce en el interior de ciert región bidimensionl S de fronter formd por l curv cerrd C: 2 u = 0, M S (1.11) u C = f(m) podí ser buscd como un potencil de doble cp, u(m) = C cos ϕ(m, P ) r MP ν(p )dl P (1.12) y pr l función de densidd dipolr ν(m) obtuvimos l ecución, donde ν(x) + 1 π l 0 K(x, s)ν(s)ds = 1 f(x) (1.13) π K(x, s) = cos ϕ(x, s) r(x, s) (1.14) es el núcleo de l ecución integrl (1.13), que es un ecución integrl de Fredholm de segundo tipo. 3. Consideremos el siguiente problem de Cuchy pr un ecución diferencil ordinri de orden n: n 1 ϕ (n) + k (x)ϕ (k) (x) = f(x) (1.15) k=0 ϕ() = 0, ϕ () = 0,..., ϕ (n 1) () = 0 Buscmos l solución de este problem en l form: ϕ(x) = 1 (n 1)! x donde y(x) es un nuev función incógnit. De (1.16) tenemos: ϕ (k) (x) = pr todo 1 k n 1 y 1 (n 1 k)! x y(s)(x s) n 1 ds (1.16) y(s)(x s) n 1 k ds (1.17) ϕ (n) (x) = y(x) (1.18)

Clsificción de ls ecuciones integrles 13 Colocndo (1.17) y (1.18) en l ecución del problem (1.5), se obtiene: con y(x) + x K(x, s) = K(x, s)y(s)ds = f(x) (1.19) n 1 k=0 k (x)(x s) n 1 k (n 1 k)! (1.20) L ecución (1.19) es un ecución integrl de Volterr de segundo tipo.

14 José Mrín Antuñ

Cpítulo 2 Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo Comenzremos, hor, el estudio detlldo de l ecución de Fredholm homogéne de segundo tipo. Est es: ϕ(x) = λ K(x, s)ϕ(s)ds (2.1) En todo nuestro desrrollo supondremos siempre que el núcleo de (2.1) cumple l propiedd A. Introduzcmos l siguiente notción opercionl. Llmemos A l operdor linel definido por, Au = K(x, s)u(s)ds (2.2) Entonces, en form opercionl l ecución (2.1) puede escribirse de mner equivlente: ϕ = λaϕ (2.3) Introduzcmos el concepto de producto interno de dos funciones u(x) y v(x), integrbles en el segmento [, b], de l siguiente form: (u, v) (v, u) = Pr los núcleos que cumpln l propiedd A se verific que u(x)v(x)dx (2.4) (u, Av) = (v, Au) (2.5) 15

16 José Mrín Antuñ Efectivmente, tenemos que: (u, Av) = = = v(s) u(x) v(s) K(x, s)v(s)dsdx = K(x, s)u(x)dxds = K(s, x)u(x)dxds = (v, Au) LQQD. Aquí, hemos tenido en cuent que el núcleo K(x, s) es simétrico, pues cumple l propiedd A. Es evidente que l ecución (2.1) o su equivlente (2.3) siempre tiene solución trivil, y que l función ϕ = 0 l stisfce. A continución dremos un importnte definición. Definición: Aquellos vlores de λ pr los cules l ecución (2.1) tiene solución no trivil se llmn utovlores de l ecución; ls soluciones no triviles que les corresponden se llmn utofunciones de l ecución. Como l ecución integrl (2.1) se define completmente por l expresión de su núcleo K(x, s), muchs veces se dice que son los utovlores y ls utofunciones del núcleo o, equivlentemente, los utovlores y ls utofunciones del operdor A. Estos utovlores y utofunciones tienen ls siguientes propieddes. 2.1 Propieddes. 1. Ls utofunciones de l ecución (2.1), correspondientes distintos utovlores, son ortogonles en el segmento [, b]. Demostrción: Se ϕ 1 (x) l utofunción correspondiente l utovlor λ 1 y ϕ 2 (x) l utofunción correspondiente l utovlor λ 2 y que λ 1 λ 2. Entonces, podemos escribir: 1 λ 1 ϕ 1 (x) 1 λ 2 ϕ 2 (x) K(x, s)ϕ 1 (s)ds (2.6) K(x, s)ϕ 2 (s)ds (2.7) Multipliquemos (2.6) por ϕ 2 (x) y (2.7) por ϕ 1 (x) y restemos mbs expresiones. Entonces, utilizndo l notción opercionl, obtenemos:

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 17 Restemos (2.8) y (2.9) e integremos. Nos qued: ( 1 λ 1 1 λ 2 1 λ 1 ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) ϕ 2 (x)aϕ 1 (s) (2.8) 1 λ 2 ϕ 2 (x)ϕ 1 (x) ϕ 1 (x)aϕ 2 (s) (2.9) ) (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x)) = (ϕ 2 (x), Aϕ 1 (s)) (ϕ 1 (x), Aϕ 2 (s)) 0 (2.10) L iguldd cero es en virtud de (2.5), y que el núcleo es simétrico. Como por hipótesis λ 1 λ 2, finlmente qued: Demostrd l propiedd. (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x)) ϕ 1 (x)ϕ 2 (x)dx 0 (2.11) Debemos señlr que, si un mismo utovlor λ k le corresponden vris utofunciones linelmente independientes, es decir, si el utovlor es degenerdo, siempre podemos logrr que dichs utofunciones sen ortogonles entre sí, plicndo el método de ortogonlizción desrrolldo en el curso de Métodos Mtemáticos de l Físic. Siempre considerremos que dich ortogonlizción está y relizd. Por otr prte, si ϕ 1 (x) es un utofunción correpondiente l utovlor λ 1, entonces, como l ecución es homogéne, l función ψ 1 (x) = Cϕ 1 (x) tmbién será un utofunción correspondiente λ 1. Por consiguiente, siempre podemos elegir un constnte tl que se cumpl que l norm l cudrdo, ϕ 2 ϕ 2 (x)dx = 1 (2.12) En tl cso diremos que el sistem de utofunciones es ortonormdo (es decir, ortogonl y de norm unitri). Tmbién considerremos siempre que este proceso está efectudo, es decir, que siempre ls utofunciones y son ortonormles. 2. Todos los utovlores de l ecución (2.1) son reles. Demostrción: L demostrción l relizremos por reducción l bsurdo. Supongmos que -contrrio l tesis- ciert utofunción ϕ(x) = α(x) + iβ(x) corresponde un utovlor complejo λ = µ + iν donde ν 0. Entonces,tenemos l identidd y, efectundo l conjugción complej: ϕ λaϕ (2.13) ϕ λ A ϕ Aϕ (2.14)

18 José Mrín Antuñ pues, l cumplir K(x, s) l propiedd A y ser, por lo tnto rel, A A. Como λ λ, y que ν 0 y ϕ ϕ, deberá cumplirse l primer propiedd, es decir: ϕ(x)ϕ (x)dx ϕ(x) 2 dx = 0 (2.15) Pero (2.15) signific que ϕ(x) 0, es decir es l solución trivil. Por consiguiente λ no es un utovlor, y que -por definición- utovlor es quel vlor de λ pr el que l solución es no trivil. Por lo tnto, λ tiene que ser rel. Demostrd l propiedd. 3. A cd utovlor de l ecución (2.1) pueden corresponder, solmente, un número finito de utofunciones linelmente independientes. Demostrción: Supongmos que l utovlor λ 0 de l ecución (2.1) le corresponden ls utofunciones Entonces, tendremos ls identiddes: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) (2.16) 1 λ 0 ϕ k (x) K(x, s)ϕ k (s)ds (2.17) pr todo k = 1, 2,..., n. Ls expresiones (2.17) son los coeficientes de Fourier del núcleo K(x, s) en l bse (2.16). De l teorí de Fourier sbemos que si un sistem de funciones {ψ i (x)} es ortonormdo, es decir, si (ψ i, ψ k ) = δ ik (2.18) entonces, pr tod función f(x) del espcio de funciones ψ i (x) tiene lugr l desiguldd de Bessel: fk 2 f 2 (2.19) donde f k = (f, ψ k ) son los coeficientes de Fourier de l función f(x) en l bse ψ k (x) y f 2 = (f, f) f 2 (x)dx (2.20) es el cudrdo de l norm de l función f(x). L desiguldd (2.19) se cumplirá, con myor rzón ún, si l sum es finit. Por consiguiente, los coeficientes (2.17) stisfcen l desiguldd de Bessel: n λ 2 0 1 ϕ 2 k(x) K 2 (x, s)ds (2.21)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 19 Integrndo (2.21) respecto x en [, b], obtenemos: Es decir: n 1 λ 2 0 n ϕ 2 k(x)dx ϕ 2 k(x)dx λ 2 0 K 2 (x, s)dsdx (2.22) K 2 (x, s)dsdx (2.23) Llmndo M = mx K(x, s), pues el núcleo cumple l propiedd A y, teniendo en cuent l ortonormlidd de ls utofunciones ϕ k (x), de (2.23) obtenemos que: n λ 2 0M 2 (b ) 2 (2.24) L expresión (2.24) signific que el número n es cotdo y, por consiguiente, l utovlor λ 0 le corresponde, sólmente, un número finito de utofunciones. Demostrd l propiedd. En el cso en que n > 1 se dice que el utovlor λ 0 es degenerdo y l número n se le llm multiplicidd o rngo de degenerción del utovlor. 4. En un segmento cotdo [ l, l] del eje λ sólo puede hber un número finito de utovlores de l ecución (2.1). Demostrción: Supongmos que en el segmento [ l, l] hy N utovlores λ 1, λ 2,..., λ N los cules les corresponden ls utofunciones ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ N (x). Obtengmos un vlorción pr el número N. Tenemos ls identiddes: 1 λ k ϕ k (x) K(x, s)ϕ k (s)ds (2.25) pr todo k = 1, 2,..., N. Estos son los coeficientes de Fourier del núcleo K(x, s) en l bse de ls utofunciones considerds. Por consiguiente, se cumple l desiguldd de Bessel: N ϕ 2 k (x) λ 2 k K 2 (x, s)ds (2.26) Integrndo (2.26) respecto x entre y b y teniendo en cuent l ortonormlidd de ls utofunciones, obtenemos: N 1 λ 2 k K 2 (x, s)dsdx (2.27)

20 José Mrín Antuñ Llmndo M = mx K(x, s) y teniendo en cuent que, como l < λ k < l, pr tod k se cumple que λ 2 k < l2, de (2.27) obtenemos que: Es decir: N l 2 M 2 (b ) 2 (2.28) L expresión (2.29) signific que N es un número cotdo. Demostrd l propiedd. Est curt propiedd tiene dos evidentes corolrios: Corolrio 1 N l 2 M 2 (b ) 2 (2.29) Los utovlores de l ecución (2.1) con núcleo que cumpl l propiedd A pueden ser ordendos en form creciente: λ 1 < λ 2 <... < λ n <... (2.30) Ello es evidente, y que, por l propiedd 2 son reles y, por l propiedd 4, no existen puntos de cumulción en el eje λ. Corolrio 2 Los utovlores de l ecución (2.1) cumplen que lim λ n = (2.31) n lo que es evidente, y que l propiedd 4 signific que no hy puntos de cumulción en el eje λ y, por tnto, l sucesión de utovlores tiene que ser divergente. Ls propieddes de los utovlores y ls utofunciones enuncids y demostrds quí, nos serán de grn utilidd posteriormente. 2.2 Núcleos Iterdos. Supongmos dd ciert función integrble en [, b] ψ 0 (x), y consideremos el núcleo K(x, s) de l ecución integrl (2.1). Construymos l siguiente sucesión de funciones: ψ 1 (x) = K(x, s)ψ 0 (s)ds (2.32) ψ 2 (x) = K(x, s)ψ 1 (s)ds (2.33)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 21... ψ n (x) =... K(x, s)ψ n 1 (s)ds (2.34) Expresemos ls funciones (2.32),..., (2.34),... trvés de ψ 0 (x). Tenemos: ψ 2 (x) = { K(x, t) } K(t, s)ψ 0 (s)ds dt { } K(x, t)k(t, s)dt ψ 0 (s)ds K 2 (x, s)ψ 0 (s)ds (2.35) donde hemos llmdo K 2 (x, s) De mner completmente nálog: K(x, t)k(t, s)dt (2.36) ψ n (x) = { } K(x, t) K n 1 (t, s)ψ 0 (s)ds dt K n (x, s)ψ 0 (s)ds (2.37) donde K n (x, s) = K(x, t)k n 1 (t, s)dt (2.38) Obvimente, (2.36) es un cso prticulr de (2.38) pr n = 2, donde K 1 (x, s) K(x, s). Ls funciones dds por (2.38), con n = 1, 2,... se denominn núleos iterdos de orden n. Evidentemente, pueden ser escritos de l siguiente form: K n (x, s) =... K(x, t 1 )K(t 1, t 2 )...K(t n 1, s)dt 1...dt n 1 (2.39)

22 José Mrín Antuñ donde se integr n 1 veces. Utilizndo l notción opercionl, tendremos que lo nterior puede ser escrito en form compct: ψ 1 = Aψ 0 (2.40) ψ 2 = Aψ 1 A(Aψ 0 ) A 2 ψ 0 (2.41)... ψ n = Aψ n 1 A n ψ 0 A p (A q ψ 0 ) (2.42) donde p + q = n, y que -en virtud de (2.39)- podemos escribir que, K n (x, s) = Así, en form opercionl, el operdor A q debe interpretse como: K p (x, t)k q (t, s)dt (2.43) A q ψ = K q (x, s)ψ(s)ds (2.44) donde K q (x, s) es el núcleo iterdo de orden q. Tiene lugr el siguiente teorem. Teorem Si el núleo K(x, s) de l ecución (2.1) cumple l propiedd A, entonces, todos sus núcleos iterdos cumplen, tmbién, l propiedd A. Demostrción: Es evidente, de cuerdo con (2.39), que si K(x, s) es rel, continuo y cotdo en el cudrdo { x b, s b}, K n (x, s) tmbién lo será, de mner que sólo tenemos que comprobr l simetrí del núcleo iterdo y que no es idénticmente nulo. Comprobemos que K n (x, s) = K n (s, x). Pr n = 2 tenemos que, como K(x, s) es simétrico: K 2 (x, s) = K(x, t)k(t, s)dt K(s, t)k(t, x)dt K 2 (s, x) (2.45) Suponiendo, hor, que se cumple que K n 1 (x, s) = K n 1 (s, x), hllmos que

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 23 K n (x, s) = K(x, t)k n 1 (t, s)dt K(t, x)k n 1 (s, t)dt K n (s, x) (2.46) por lo que, por inducción complet, qued demostrd l simetrí de todos los núcleos iterdos. Comprobemos, hor, que los núcleos iterdos no son idénticmente nulos. Supongmos lo contrrio, es decir, que hy núcleos iterdos idénticmente igules cero y se K m (x, s) el núcleo iterdo de menor orden idénticmente nulo. Es decir, que y K k (x, s) 0, 1 k < m (2.47) Existen dos posibiliddes: K m (x, s) 0, K k (x, s) 0, k > m (2.48) 1. que m se pr: m = 2p. Entonces, por (2.43), tendremos K 2p (x, s) = En virtud de l simetrí de los núcleos iterdos, (2.49) signific que K p (x, t)k p (t, s)dt 0 (2.49) K 2p (x, x) = K p (x, t)k p (t, x)dt K 2 p(x, t)dt 0 (2.50) lo que signific que K p (x, s) 0 con p < m = 2p. Esto contrdice (2.47). Por lo tnto, no se puede dmitir que hy núcleos iterdos idénticmente nulos con m pr. 2. que m se impr: m = 2p + 1. Entonces, por (2.43) de nuevo, tendremos: K m+1 (x, s) K 2p+2 (x, s) = K p+1 (x, t)k p+1 (t, s)dt 0 (2.51) en virtud de (2.48). Pero, entonces, en virtud de l simetrí de los núcleos iterdos: K m+1 (x, x) = [K p+1 (x, t)] 2 dt 0 (2.52) de donde concluimos que K p+1 (x, s) 0 con p + 1 < m = 2p + 1 lo que, de nuevo, contrdice (2.47). Por consiguiente, debemos concluir que ningún núcleo iterdo es idénticmente nulo. Por tnto, los núcleos iterdos cumplen l propiedd A.

24 José Mrín Antuñ Demostrdo el teorem. Tiene lugr otro importnte teorem. Teorem Si l función ϕ(x) es utofunción del núcleo K(x, s) con utovlor λ 0, entonces, es utofunción del núcleo iterdo K n (x, s) con utovlor λ n 0. Demostrción: Por hipótesis, se cumple l identidd: ϕ λ 0 Aϕ (2.53) Colocndo (2.53) reiterdmente en su derech, obtenemos, utomáticmente, que ϕ λ 0 A(λ 0 Aϕ) λ 2 0A 2 ϕ... λ n 0A n ϕ (2.54) L identidd (2.54) signific que, efectivmente, Demostrdo el teorem. ϕ λ n 0 K n (x, s)ϕ(s)ds (2.55) Los núcleos iterdos serán utilizdos en l construcción, por proximciones sucesivs, de l solución de l ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo, lo que nos dedicremos en el próximo epígrfe. 2.3 Método de proximciones sucesivs pr l ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo. Nos dedicremos buscr un utofunción y su utovlor pr l ecución ϕ(x) = λ K(x, s)ϕ(s)ds (2.56) donde el núcleo K(x, s) cumple l propiedd A. Recordemos, previmente, un relción útil.

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 25 2.3.1 Desiguldd de Cuchy-Bunikovsky En el libro de Métodos Mtemáticos de l Físic vimos que, pr dos funciones f(x) y g(x) del espcio L 2 [, b] se cumplí l llmd desiguldd de Cuchy-Bunikovsky O, de form compct: [ f(x)g(x)dx f 2 (x)dx g 2 (x)dx] 1/2 (2.57) (f, g) (f, f)(g, g) f 2 g 2 (2.58) L demostrción de est desiguldd puede hcerse si nos perctmos de que [f(x) + λg(x)] 2 dx 0 (2.59) Al desrrollr l expresión (2.59) se obtiene: g 2 λ 2 + 2(f, g)λ+ f 2 0 (2.60) Pr que (2.60) se cumpl pr culquier λ, debe cumplirse que el discriminnte (f, g) 2 f 2 g 2 0 (2.61) de donde, utomáticmente, se desprende l desiguldd (2.58). 2.3.2 Teorem de existenci Psemos enuncir y demostrr el siguiente teorem de existenci: Teorem L ecución integrl (2.56) con núcleo que cumpl l propiedd A, tiene, l menos, un utovlor y un utofunción. Demostrción Dividiremos l demostrción en cutro prtes. 1. Construcción de ls proximciones sucesivs.

26 José Mrín Antuñ Como el núcleo K(x, s) cumple l propiedd A, existirá l menos, un punto (x 0, s 0 ) tl que K(x 0, s 0 ) 0. Escojmos como proximción de orden cero l función ψ 0 (x) = K(x, x 0 ) (2.62) y construymos l sucesión de proximciones sucesivs de l siguiente form: ψ 1 (x) = K(x, s)ψ 0 (s)ds Aψ 0 (2.63)... ψ 2 = Aψ 1 A 2 ψ 0 (2.64)... ψ n = Aψ n 1 A n ψ 0 (2.65) Es evidente que l sucesión funcionl {ψ n (x)} obtenid no es trivil, y que, por ejemplo ψ 1 (x 0 ) = K(x 0, s)k(s, x 0 )ds = K 2 (x 0, s)ds 0 (2.66) pues K(x, s) cumple l propiedd A. Por tnto, ψ 1 (x) 0. Igul rzonmiento nos conduce concluir que ψ n (x) 0. Introduzcmos l notción: N n ψ n 2 Entonces tendremos: ψ 2 n(x)dx (2.67) N n = (ψ n, ψ n ) = (A n ψ 0, A n ψ 0 ) = (A(A n 1 )ψ 0, Aψ 0 ) = = (A n 1 ψ 0, A n+1 ψ 0 ) =...... = (A p ψ 0, A q ψ 0 ) Ahor bien, de cuerdo con (2.58), tenemos que: N n (ψ p, ψ q ) ψ p (x)ψ q (x)dx (2.68) (ψ p, ψ p )(ψ q, ψ q ) N p N q (2.69)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 27 y, en prticulr: N n N n 1 N n+1 (2.70) Es fácil ver que ningun de ls funciones ψ n (x) de nuestr sucesión es idénticmente nul, pues si suponemos, por ejemplo, que ψ n (x) 0 y ψ n+1 0, entonces, por (2.70): N n N n 1 0 = 0 (2.71) y, como N n ψ n 2 0, de (2.71) concluirímos que N n 0 lo que implicrí que ψ n (x) 0, contrrio lo supuesto.así pues, ningun función de l sucesión es idénticmente nul y, por tnto, ningun norm N n es igul cero. Por consiguiente, podemos introducir un sucesión normlizd de funciones dd por: ϕ n (x) = ψ n(x) Nn (2.72) Ls funciones (2.72) tienen, evidentemente, norm unitri. Como, de cuerdo con (2.65) ψ n (x) = tendremos, pr ls funciones ϕ n (x), de (2.73): K(x, s)ψ n 1 (s)ds (2.73) donde, ϕ n (x) = µ n K(x, s)ϕ n 1 (s)ds (2.74) µ n = Nn 1 N n (2.75) De est form quedn construíds ls proximciones sucesivs. Nuestro objetivo será demostrr que ls proximciones sucesivs (2.74) convergen un función que stisfce l ecución (2.56). Pr ello, demostremos primero l convergenci de l sucesión numéric {µ n }, definid por (2.75). Es decir, vemos l segund prte de l demostrción. 2. Convergenci de l sucesión numéric {µ n } Demostrremos que µ n λ 0 pr n. Pr ello, demostremos que l sucesión {µ n } es monóton no creciente y cotd por debjo. Ello implicrá su convergenci. Tenemos:

28 José Mrín Antuñ µ n = = Nn 1 Nn 1 N n = N n N n N n Nn 1 N n Nn 1 N n N n = µ n+1 (2.76) Nn 1 N n+1 N n+1 N n donde, en el denomindor, hemos tenido en considerción l expresión (2.70). L desiguldd (2.76) nos dice que, efectivmente, l sucesión {µ n } es monóton no creciente. Por otr prte, plicndo (2.74) l desiguldd de Cuchy-Bunikovsky, tendremos: ϕ n (x) 2 µ 2 n µ 2 n K(x, s)ϕ n 1 (s)ds K 2 (x, s)ds 2 ϕ 2 (s)ds (2.77) De (2.77) y teniendo en cuent que ls funciones ϕ n (x) son normlizds, por lo que l segund integrl es igul l unidd, obtenemos: ϕ n (x) 2 µ 2 n K 2 (x, s)ds (2.78) Integrndo (2.78) respecto x entre y b y teniendo en cuent que ϕ(x) son normlizds, obtenemos: donde hemos llmdo 1 µ 2 nc 2 (2.79) C 2 = Por lo tnto: K 2 (x, s)dxds (2.80) µ 2 n 1 C 2 (2.81) Es decir, tomndo sólo l ríz positiv, pues de (2.75) se ve que µ n son números positivos: µ n 1 C (2.82)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 29 donde, de cuerdo con (2.80), 0 < C <, y que el núcleo K(x, s) cumple l propiedd A. L expresión (2.82) signific que, efectivmente, l sucesión {µ n } es cotd por debjo. Por lo tnto, est sucesión converge. Denotemos su límite por: lim n µ n = λ 0 1 C (2.83) Psemos, hor, un tercer fse de l demostrción del teorem de existenci. 3. Determinción del utovlor y de l utofunción de l ecución (2.56). L convergenci de l sucesión numéric {µ n } no implic, necesrimente, l convergenci de l sucesión funcionl {ϕ n (x)}. Por ello, supongmos que se cumple l convergenci uniforme de ls subsucesiones pr e impr: {ϕ 2m (x)} ϕ(x), m = 0, 1, 2,... (2.84) {ϕ 2m+1 (x)} ϕ(x), m = 0, 1, 2... (2.85) que demostrremos en l curt prte de est demostrción del teorem de existenci. Tendremos, de cuerdo con (2.74): ϕ 2m (x) = µ 2m K(x, s)ϕ 2m 1 (s)ds (2.86) ϕ 2m+1 (x) = µ 2m+1 K(x, s)ϕ 2m (s)ds (2.87) Por consiguiente, hciendo n, obtenemos, teniendo en cuent (2.86) y (2.87): ϕ(x) = λ 0 K(x, s) ϕ(s)ds (2.88) ϕ(x) = λ 0 K(x, s) ϕ(s)ds (2.89) Evidentemente, ls funciones ϕ(x) y ϕ(x) son normds y no identicmente nuls. Anlicemos ls funciones: ϕ(x) = ϕ(x) ϕ(x) (2.90)

30 José Mrín Antuñ ϕ(x) = ϕ(x) + ϕ(x) (2.91) Sumndo (2.90) y (2.91), obtenemos: Restndo (2.90) y (2.91), obtenemos: ϕ(x) λ 0 K(x, s) ϕ(s)ds (2.92) ϕ(x) λ 0 K(x, s) ϕ(s)ds (2.93) Los resultdos (2.92) y (2.93) indicn que el método de proximciones sucesivs nos d ls funciones ϕ(x) y ϕ(x) que stisfcen l ecución (2.56). Por lo tnto, qued demostrd l existenci de l solución. Aquí son posibles tres csos: 1) ϕ(x) 0, ϕ(x) 0. Entonces, de cuerdo con (2.92) y (2.93), concluimos que ϕ(x) es un utofunción de l ecución (2.56) correspondiente l utovlor λ 0 y que ϕ(x) es un utofunción de l mism ecución correspondiente l utovlor λ 0. 2) ϕ(x) 0. Entonces, de (2.92) y (2.93) concluimos que ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) y, por lo tnto, existe l utofunción ϕ(x) de l ecución (2.56) correspondiente l utovlor λ 0. En este cso (2.84) y (2.85) nos permiten firmr que l sucesión {ϕ n (x)} converge uniformemente ϕ(x). 3) ϕ(x) 0. Entonces, de (2.91) concluimos que ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) 0 y, por lo tnto, existe l utofunción ϕ(x) de l ecución (2.56) correspondiente l utovlor λ 0. En este cso, l sucesión {ϕ n (x)} no converge (no tiene límite), y que ls subsucesiones pr e impr, de cuerdo con (2.84) y (2.85), tienen límites diferentes. Sin embrgo, l sucesión {( 1) n ϕ n (x)} será convergente uniformemente ϕ(x). De est mner qued demostrd l existenci de, l menos, un utofunción y un utovlor de l ecución (2.56), lo que demuestr el teorem de existenci. Pero, pr poder decir que el teorem está totlmente demostrdo, es necesrio demostrr ún que ls convergencis uniformes (2.84) y (2.85) tienen lugr. Eso lo bordremos en l curt prte de est lrg demostrción. 4. Demostrción de l convergenci uniforme de {ϕ n (x)} pr índices pres e impres. En virtud de que ls funciones ϕ n (x) son normlizds, llmndo M = mx K(x, s) y utilizndo l desiguldd de Cuchy-Bunikovsky, tendremos, por (2.74): b { ϕ n (x) = µ n K(x, s)ϕ n 1 (s)ds µ n K 2 (x, s)ds ϕ 2 n 1(s)ds} 1/2 (2.94)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 31 de donde: ϕ n (x) µ n M b µ 1 M b M 0 (2.95) pues, como l sucesión µ n es monóton no creciente, µ n µ 1. Por consiguiente, l sucesión funcionl {ϕ n (x)} es uniformemente cotd. Por otr prte, como el núcleo K(x, s) es continuo, tendremos que, pr ε > 0, existirá un δ > 0 tl que si x x < δ, se cumplirá que: K(x, s) K(x, s) < ε µ 1 M 0 (b ) (2.96) Por consiguiente: ϕ n (x ) ϕ n (x ) µ n K(x, s) K(x, s) ϕ n 1 (s) ds µ 1 M 0 K(x, s) K(x, s) ds < µ 1 M 0 ε(b ) µ 1 M 0 (b ) ε (2.97) donde hemos tenido en cuent (2.95), (2.96) y que µ n µ 1. L expresión (2.97) nos estblece que l sucesión {ϕ n (x)} es continu en [, b]. Como {ϕ n (x)} es uniformemente cotd y continu, de cuerdo con el teorem de Arzelá, de ell puede scrse un subsucesión {ϕ np (x)} convergente en medi, es decir, tl que: I mp,n p ϕ mp (x) ϕ np (x) 2 dx < ε, m p, n p > N(ε) (2.98) Demostremos que l subsucesión que podemos elegir es l de subíndices de igul pridd. Sen m y n números de igul pridd y nlicemos l siguiente expresión, donde tenemos en cuent que ls funciones son normlizds: I m,n = = 2 2 [ϕ m (x) ϕ n (x)] 2 dx ϕ 2 m(x)dx + ϕ 2 n(x)dx 2 ϕ m (x)ϕ n (x)dx = 2 b ϕ m (x)ϕ n (x)dx = 2 ψ m (x)ψ n (x)dx (2.99) Nm N n Aquí hemos tenido en cuent l definición (2.72). De cuerdo con (2.68), tenemos que: N k = (ψ k, ψ k ) (ψ p, ψ q ) (2.100)

32 José Mrín Antuñ donde p + q = 2k. Por consiguiente, si hcemos m + n = 2k, tendremos k = (m + n)/2 que es un número entero, pues m y n son de l mism pridd. Por lo tnto, tendremos que: N m+n 2 = ψ 2 m+n (x)dx = 2 ψ m (x)ψ n (x)dx (2.101) Colocndo (2.101) en (2.99), tendremos: I m,n = 2 2 N m+n 2 (2.102) Nm N n Como N k > 0 y, demás, N m+n 2 < N m N n, por lo tnto, siempre se cumplirá que: Anlicemos, hor, l siguiente expresión: 0 < I m,n < 2 (2.103) = 2N m+n 2 2N m+n 2 1 2 I m,n = 2 I m 2,n Nm 2 N m 1 2N m+n 2 Nm N n Nm 2 N n 2N m+n 2 2 = N n+m 2 = µ m µ m 1 Nm N m 1 N n+m 1 2 (2.104) donde hemos tenido en cuent l definición (2.75). De cuerdo con es mism definición, (2.104) nos d: 2 I m,n 2 I m 2,n = µ m µ m 1 1 µ 2 m+n 2 1 (2.105) L desiguldd en (2.105) viene dd por ser l sucesión {µ n } monóton no creciente, bjo el supuesto de que n > m. De form completmente nálog, concluimos que: De (2.105) y (2.106) concluimos que: 2 I m,n 2 I m,n+2 = µ 2 m+n 2 +1 µ n+1 µ n+2 1 (2.106) I m,n I m 2,n, I m,n I m,n+2 (2.107)

Ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo 33 Es decir, que, en generl: donde m, m, n y n son todos números de l mism pridd. I m,n I m,n, m m n n (2.108) Tomndo, hor, en (2.108) m = N y n p n, por el teorem de Arzelá tendremos: I m,n I N,n I N,np < ε (2.109) Por consiguiente, qued demostrdo que ls subsucesiones con índices de igul pridd de l sucesión {ϕ n (x)} convergen en medi y, como dichs subsucesiones son, su vez, uniformemente cotds y continus, tmbién convergen uniformemente. De est mner, quedn rigurosmente estblecids ls convergencis uniformes (2.84) y (2.85). Nótese que l relción (2.108) nos está diciendo que I m,n es monóton no creciente y, como, demás, por (2.103), es cotd por debjo con cot igul cero, se deduce que, pr m, n, I m,n 0 lo que, igulmente, grntiz l convergenci en medi de ls subsucesiones con subíndices de igul pridd. Demostrdo el teorem de existenci. Es conveniente hcer ls siguientes observciones: 1. En primer lugr, debemos señlr que este teorem no es válido pr l ecución de Volterr y puede no ser cierto pr ls ecuciones de Fredholm con núcleos no simétricos, es decir, núcleos que no cumpln l propiedd A. 2. En segundo lugr, el lector puede comprr l firmción de este teorem con el teorem demostrdo en el cpítulo de Espcios Funcionles del libro de Métodos Mtemáticos de l Físic del utor pr los operdores utoconjugdos totlmente continuos.

34 José Mrín Antuñ

Cpítulo 3 Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones de núcleos que cumpln l propiedd A. Núcleos degenerdos. Autovlores y utofunciones 3.1 Ides básics El teorem de existenci que cbmos de demostrr en el cpítulo nterior, nos permite firmr l existenci de, l menos, un utovlor y un utofunción pr todo núcleo que cumpl l propiedd A. Desrrollremos, hor, un procedimiento pr hllr todos los utovlores y tods ls utofunciones de un ecución integrl de Fredholm de segundo tipo con núcleo que cumpl l propiedd A, prtir del utovlor y de l utofunción cuy existenci está grntizd por el teorem del epígrfe nterior. Se K(x, s) un núcleo que stisfg l propiedd A y se λ 1 el utovlor correspondiente l utofunción ϕ 1 (x) de este núcleo, hlldos -digmos- por el método de proximciones sucesivs. Vemos el siguiente núcleo uxilir: H 2 (x, s) = K(x, s) ϕ 1(x)ϕ 1 (s) λ 1 (3.1) Este núcleo csi cumple con l propiedd A. Decimos csi, pues, evidentemente, como K(x, s) cumple l propiedd A, (3.1) es simétrico, es continuo (pues ϕ 1 (x) es cotd) y es rel. Pero puede suceder que H 2 (x, s) 0. Tienen lugr los siguientes teorems. 35

36 José Mrín Antuñ Teorem. Culquier utofunción del núcleo (3.1), ϕ 2 (x), correspondiente l utovlor λ 2, es, tmbién, utofunción del núcleo K(x, s) y es ortogonl ϕ 1 (x). Demostrción: Se ϕ 2 (x) un utofunción de H 2 (x, s) correspondiente l utovlor λ 2. Esto signific que se cumple l identidd λ 2 ϕ 2 (x) λ 2 H 2 (x, s)ϕ 2 (s)ds K(x, s)ϕ 2 (s)ds λ 2 ϕ 1 (x) λ 1 ϕ 1 (s)ϕ 2 (s)ds (3.2) Clculemos el producto interno de ls funciones ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), teniendo en cuent (3.2). Tenemos: (ϕ 1, ϕ 2 ) = ϕ 1 (x)ϕ 2 (x)dx = λ 2 [ ] = λ 2 ϕ 1 (x) K(x, s)ϕ 2 (s)ds λ 2 λ 1 [ ] = λ 2 ϕ 2 (s) K(x, s)ϕ 1 (x)dx [ ϕ 1 (x) ds λ 2 λ 1 [ ϕ 2 1(x) ] H 2 (x, s)ϕ 2 (s)ds dx = ] ϕ 1 (s)ϕ 2 (s)ds dx = ϕ 1 (s)ϕ 2 (s)ds ϕ 2 1(x)dx (3.3) Pero, como ϕ 1 (x) es utofunción del núcleo K(x, s) con utovlor λ 1 y es, demás, normlizd, se cumple que y K(x, s)ϕ 1 (x)dx 1 λ 1 ϕ 1 (s) (3.4) ϕ 2 1(x)dx = 1 (3.5) Sustituyendo (3.4) y (3.5) en (3.3), obtenemos que (ϕ 1, ϕ 2 ) = 0 lo que signific que mbs funciones son ortogonles. Además, de (3.2), como l últim integrl l derech es cero, nos qued que ϕ 2 (x) λ 2 K(x, s)ϕ 2 (s)ds (3.6)

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 37 lo que signific que ϕ 2 (x) es, tmbién, utofunción del núcleo K(x, s) con utovlor λ 2. Demostrdo el teorem. Teorem. Si ϕ 2 (x) es utofunción del núcleo K(x, s) correspondiente l utovlor λ 2 y es ortogonl l utofunción ϕ 1 (x) del mismo núcleo correspondiente l utovlor λ 1, entonces, ϕ 2 (x) es, tmbién, utofunción del núcleo H 2 (x, s). Demostrción: Por hipótesis, ϕ 2 (x) es utofunción del núcleo K(x, s) y se cumple que (ϕ 1, ϕ 2 ) = 0. Por lo tnto, restndo l identidd (3.6) l expresión obtenemos: λ 2 λ 1 ϕ 1 (x)(ϕ 1, ϕ 2 ) 0 (3.7) ϕ 2 (x) λ 2 K(x, s)ϕ 2 (s)ds λ 2 ϕ 1 (x) ϕ 1 (s)ϕ 2 (s)ds = λ 1 [ = λ 2 K(x, s) ϕ ] 1(x)ϕ 1 (s) b ϕ 2 (s)ds = λ 2 H 2 (x, s)ϕ 2 (s)ds (3.8) λ 1 lo que signific que, efectivmente, ϕ 2 (x) es utofunción del núcleo H 2 (x, s). Demostrdo el teorem. Los dos teorems nteriores sirven de bse pr hllr tods ls utofunciones de un núcleo K(x, s) que cumpl l propiedd A. El procedimiento es el siguiente: 1. Por el método de proximciones sucesivs hllmos ϕ 1 (x), λ 1. 2. Construimos el núcleo uxilir (3.1). Pueden drse dos posibiliddes: () H 2 (x, s) 0. En este cso el núcleo K(x, s) no tiene más utofunciones, pues l únic utofunción posible de H 2 (x, s) en este cso serí l función cero (ponemos utofunción entre comills, pues, por definición, l utofunción no puede ser idénticmente nul). (b) H 2 (x, s) 0. Entonces, hllmos por el método de proximciones sucesivs su utofunción ϕ 2 (x) y su correspondiente λ 2. En virtud de los teorems demostrdos, est función será utofunción de K(x, s).

38 José Mrín Antuñ 3. Construimos el núcleo uxilir: H 3 (x, s) = H 2 (x, s) ϕ 2(x)ϕ 2 (s) λ 2 K(x, s) 2 ϕ k (x)ϕ k (s) λ k (3.9) De nuevo pueden drse dos posibiliddes: () H 3 (x, s) 0. En este cso, no existirán más utofunciones de K(x, s) fuer de ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x). (b) H 3 (x, s) 0. En este cso, hllmos l utofunción ϕ 3 (x) con el utovlor λ 3 que lo serán, tmbién, del núcleo K(x, s). Continundo este proceso, en generl, llegmos construir el núcleo uxilir: con n entero. H n (x, s) = K(x, s) En generl, tienen lugr dos csos posibles: n 1 ϕ k (x)ϕ k (s) λ k (3.10) () Que ninguno de los núcleos uxilires (3.10) se idénticmente nulo: H n (x, s) 0 pr tod n. Entonces, obtenemos un sucesión infinit de utofunciones de K(x, s) y sus correspondientes utovlores: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x),... (3.11) λ 1, λ 2,..., λ n,... (3.12) (b) Que, prtir de ciert n, todos los núcleos uxilires (3.10) sen idénticmente igules cero; es decir, que se cumpl que H n (x, s) 0, H n+1 (x, s) 0 (3.13) En este cso, pr K(x, s) hllmos un número finito de utofunciones y de utovlores: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) (3.14) Además, como según (3.13) H n+1 (x, s) = K(x, s) λ 1, λ 2,..., λ n (3.15) n ϕ k (x)ϕ k (s) λ k 0 (3.16)

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 39 concluimos que el núcleo K(x, s) se expres en términos de sus utofunciones en l form K(x, s) = n ϕ k (x)ϕ k (s) λ k (3.17) 3.2 Núcleos degenerdos Surge un importnte concepto. Definición: El núcleo K(x, s) se llm degenerdo si puede ser escrito en l form K(x, s) = n u k (x)v k (s) (3.18) donde u k (x) y v k (s) son funciones integrbles. Est definición es generl y no exige l simetrí del núcleo. El procedimiento de búsqued de todos los utovlores y ls utofunciones del núcleo K(x, s) desrrolldo rrib nos permite enuncir el siguiente teorem. Teorem Si el núcleo K(x, s) cumple l propiedd A y tiene un número finito de utovlores y de utofunciones, entonces, es degenerdo. Demostrción: L demostrción de este teorem viene dd por el propio procedimiento rrib indicdo. Si H n+1 (x, s) 0, entonces, el número de utovlores y de utofunciones del núcleo K(x, s) es finito y éste puede expresrse por l fómul (3.18), lo que signific que, efectivmente, es degenerdo. Demostrdo el teorem. Tiene lugr un formidble teorem, recíproco del nterior. Teorem. Si el núcleo K(x, s) es degenerdo, entonces, tiene un número finito de utovlores no myor que el orden de degenerción n. Demostrción:

40 José Mrín Antuñ Por hipótesis, el núcleo K(x, s) es degenerdo, es decir, tiene l form dd por l fórmul (3.18). Entonces, l ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo pr este núcleo será: ϕ(x) = λ K(x, s)ϕ(s)ds = λ = λ n u k (x)v k (s)ϕ(s)ds = n u k (x) v k (s)ϕ(s)ds (3.19) Por lo tnto ϕ(x) = n α k u k (x) (3.20) donde α k = λ v k (s)ϕ(s)ds (3.21) son ciertos números. Colocndo (3.20) en l ecución (3.19), obtenemos: = λ n m=1 n n n α k u k (x) = λ u k (x)v k (s) α m u m (s)ds = m=1 n n n α m u k (x) v k (s)u m (s)ds = λ α m u k (x)c km (3.22) m=1 donde c km = son ciertos coeficientes. De (3.22) obtenemos, por lo tnto: v k (s)u m (s)ds (3.23) α k = λ n c km α m (3.24) m=1 Es decir, hemos obtenido el siguiente sistem homogéneo de n ecuciones lgebráics con n incógnits, pr determinr ls α k :

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 41 (λc 11 1)α 1 + λc 12 α 2 +... + λc 1n α n = 0 λc 21 α 1 + (λc 22 1)α 2 +... + λc 2n α n = 0 (3.25)... λc n1 α 1 + λc n2 α 2 +... + (λc nn 1)α n = 0 Pr que este sistem teng soluciones no triviles, tiene que cumplirse que su determinnte se nulo, es decir: (λc 11 1) λc 12... λc 1n λc 21 (λc 22 1)... λc 2n............ λc n1 λc n2... (λc nn 1) = 0 (3.26) (3.26) es un ecución lgebric de grdo n pr determinr λ. Dich ecución tiene, cundo más, n ríces λ 1, λ 2,..., λ n. Demostrdo el teorem. Como consecuenci de mbos teorems, podemos concluir l siguiente firmción que, de hecho, y está demostrd. Teorem. Pr que el núcleo K(x, s) que cumpl l propiedd A teng un número finito de utovlores es necesrio y suficiente que se degenerdo. 3.3 Ejemplos Vemos lgunos ejemplos ilustrtivos de los procedimientos desrrolldos en estos dos epígrfes. 1. Hllr tods ls utofunciones y todos los utovlores de l ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo: Tenemos que el núcleo es π ϕ(x) = λ cos(x s)ϕ(s)ds (3.27) 0 K(x, s) = cos(x s) (3.28) y que, por ejemplo, en x 0 = 0, K(x, x 0 ) = cos x 0. Por lo tnto, por proximción inicil tommos l función

42 José Mrín Antuñ Construimos ls proximciones sucesivs: ψ 1 (x) = ψ 2 (x) = π 0 π... Clculmos el cudrdo de l norm: 0 N n ψ n 2 = ψ 0 (x) = cos x (3.29) cos(x s) cos sds = π cos x (3.30) 2 cos(x s) π 2 cos sds = ( π 2 ) 2 cos x (3.31) ( π ) n ψ n (x) = cos x (3.32) 2 π 0 ( π 2 Por consiguiente, ls proximciones normlizds son: Evidentemente ) 2n ( π ) 2n+1 cos 2 xdx = (3.33) 2 ϕ n (x) = ψ n(x) 2 = cos x (3.34) Nn π lim ϕ n(x) = n 2 π cos x ϕ 1(x) (3.35) Por lo tnto, (3.35) será l utofunción de (3.27) buscd por el método de proximciones sucesivs. Además, tenemos que: µ n = Nn 1 N n = 2 π Por lo tnto, el utovlor correspondiente l utofunción (3.35) será: (3.36) λ 1 = lim n µ n = 2 π Hllemos, hor, ls demás soluciones. Pr ello, construimos el núcleo uxilir: (3.37) H 2 (x, s) = K(x, s) ϕ 1(x)ϕ 1 (s) λ 1 2 cos x 2 cos s π π cos(x s) = = cos x cos s + sin x sin s cos x cos s sin x sin s 0 (3.38) 2 π

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 43 Como ls utofunciones de H 2 (x, s) son utofunciones tmbién de K(x, s), hllemos por proximciones sucesivs un utofunción del núcleo uxilir. Evidentemente, pr x 0 = π/2, H 2 (x, x 0 ) = H 2 (x, π/2) = sin x 0. Por lo tnto, por proximción inicil tommos: ψ 0 (x) = sin x (3.39) y construimos ls proximciones sucesivs: ψ 1 (x) = ψ 2 (x) = π 0 π 0... sin x sin s sin sds = π sin x (3.40) 2 sin x sin s π 2 sin sds = ( π 2 ) 2 sin x (3.41) ( π ) n ψ n (x) = sin x (3.42) 2 Clculmos el cudrdo de l norm: N n ψ n 2 = π 0 ( π 2 Por consiguiente, ls proximciones normlizds son: ) 2n ( π ) 2n+1 sin 2 xdx = (3.43) 2 ϕ n (x) = ψ n(x) 2 = sin x (3.44) Nn π Su límite nos drá l utofunción del núcleo uxilir H 2 (x, s), que será otr utofunción del núcleo K(x, s): El utovlor correspondiente será: ϕ 2 (x) = lim n ϕ n (x) = 2 sin x (3.45) π λ 2 = lim n µ n = 2 π (3.46) Nótese que el utovlor λ 1 coincide con el utovlor λ 2. Continundo el proceso, cremos el núcleo uxilir H 3 (x, s) = cos(x s) 2 cos x 2 cos s π π 2 π 2 sin x 2 sin s π π = = cos x cos s + sin x sin s cos x cos s sin x sin s 0 (3.47) 2 π

44 José Mrín Antuñ Como H 3 (x, s) 0, podemos firmr que no existen más utovlores, ni utofunciones y que el núcleo K(x, s) es degenerdo de orden dos y que puede escribirse como: K(x, s) = 2 ϕ k (x)ϕ k (s) λ k = cos x cos s + sin x sin s (3.48) El resultdo obtenido medinte el desrrollo teórico es, en el ejemplo visto, evidente, prtir de l identidd trigonométric del coseno de l diferenci de dos ángulos: K(x, s) = cos(x s) = cos x cos s + sin x sin s (3.49) De est mner hemos hlldo ls dos utofunciones de l ecución (3.27): ϕ 1 (x) = Ambs utofunciones corresponden l mismo utovlor: 2 2 π cos x, ϕ 2(x) = sin x π (3.50) λ 1,2 = 2 π (3.51) que es, por tnto, degenerdo. En el ejemplo desrrolldo hemos querido ilustrr, con lujo de detlles, l plicción del método de proximciones sucesivs pr l obtención de un solución de l ecución integrl y el método de obtención del resto de ls soluciones con yud del núcleo uxilir. Sin embrgo, es necesrio destcr que el penúltimo teorem de este epígrfe nos ofrece un método sencillo pr hllr ls utofunciones y los utovlores de un ecución integrl de Fredholm homogéne de segundo tipo con núcleo degenerdo, y se éste simétrico o no simétrico. Efectivmente, si el núcleo de l ecución integrl tiene l form (3.18), entonces, l solución podrá proponerse como l expresión (3.20). Clculndo los coeficientes c km por l fórmul (3.23), puede construirse l ecución lgebric pr hllr ls λ n, utovlores de l ecución. Los coeficientes α k de (3.20) se proponen de mner que ls utofunciones sen ortonormds. Ilustremos este método con los siguientes ejemplos. 2. Resolver por el método nteriormente descrito l ecución integrl (3.27) del primer ejemplo. Tenemos que el núcleo es degenerdo de orden dos: K(x, s) = cos(x s) = cos x cos s + sin x sin s (3.52) Por lo tnto, de cuerdo con l fórmul (3.20), proponemos l solución como:

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 45 ϕ(x) = 2 α k u k (x) = α 1 cos x + α 2 sin x ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x) (3.53) Clculmos por (3.23) los coeficientes c km : c 11 = c 21 = π 0 π 0 cos 2 sds = π 2, c 12 = π cos s sin sds = 0, c 22 = 0 sin s cos sds = 0 (3.54) π 0 sin 2 sds = π 2 Por lo tnto, l ecución (3.26) dquiere, en este cso, l form: (3.55) λ π 1 0 2 0 λ π 1 = 0 (3.56) 2 de donde ( λ π 2 1) 2 = 0, es decir, λ = 2/π, que es el único utovlor del núcleo. Exigiendo que ϕ 1 2 = ϕ 2 2 = 1, obtenemos, pr α 1 y α 2 el vlor (2/π) 1/2, de mner que ls utofunciones del núcleo serán ϕ 1 (x) = 2 2 π cos x, ϕ 2(x) = sin x π (3.57) correspondientes, mbs, l utovlor λ = 2/π. Este resultdo, por supuesto, es idéntico l obtenido en el ejemplo 1. 3. Resolver l ecución integrl Aquí el núcleo π ϕ(x) = λ x cos sϕ(s)ds (3.58) 0 K(x, s) = x cos s (3.59) unque no es simétrico, es degenerdo de orden uno. De cuerdo con el teorem menciondo, existirá un solo utovlor y un sol utofunción. Est últim tendrá l form, de cuerdo con (3.20): Colocndo (3.60) en (3.58), obtenemos: ϕ(x) = αx (3.60) π π αx = λ x cos sαsds = αλx s cos sds αλxc (3.61) 0 0 donde el coeficiente c -único en este cso- de cuerdo con (3.23) es, integrndo por prtes:

46 José Mrín Antuñ c = π 0 s cos sds = 2 (3.62) Por lo tnto, el determinnte (3.26) nos d l ecución linel 2λ 1 = 0, por lo que el utovlor de l ecución (3.58) es: λ = 1 (3.63) 2 De l condición ϕ 2 3 = 1 hllmos que el coeficiente α =, por lo que l utofunción π 3 será: ϕ(x) = 3 π 3 x (3.64) y qued resuelto el problem. De cuerdo con l teorí desrrolld, est solución es únic. Obsérvese que, unque el núcleo (3.59) en este cso no es simétrico, sin embrgo l plicción de los resultdos del teorem menciondo es válid. 3.4 Núcleos cerrdos Dremos el siguiente concepto. Definición: L función f(x), integrble en el segmento [, b], se llm ortogonl en ese segmento l núcleo K(x, s) si, Tiene lugr un importnte teorem. Teorem. Af K(x, s)f(s)ds = 0 (3.65) Pr que l función f(x), integrble en [, b], se ortogonl l núcleo K(x, s) que cumpl l propiedd A es necesrio y suficiente que se ortogonl tods ls utofunciones de dicho núcleo. Demostrción: 1. Necesidd. Por hipótesis, se cumple (3.65). Entonces, si ϕ k (x) son ls utofunciones del núcleo K(x, s), tendremos que

Cálculo de todos los utovlores y ls utofunciones 47 ϕ k λ k Aϕ k, k = 1, 2,... (3.66) Multiplicndo (3.66) por f(x) e integrndo entre y b, obtenemos: f(x)ϕ k (x)dx = (f, ϕ k ) (f, λ k Aϕ k ) λ k (f, Aϕ k ) λ k (ϕ k, Af) 0 (3.67) donde hemos tenido en cuent l propiedd (2.5) del cpítulo 2 pr los núcleos que cumpln l propiedd A y l expresión (3.65). (3.67) signific que f(x) es ortogonl ls ϕ k (x). Demostrd l necesidd. 2. Suficienci. Por hipótesis, (f, ϕ k ) 0 y tenemos que demostrr que ello 1implic que Af 0. Hgámoslo por reducción l bsurdo; supongmos que Af 0. Entonces, podremos construir ls proximciones sucesivs, tomndo como proximción inicil l función ψ 0 = f(x) (3.68) Entonces, pr ls proximciones sucesivs tendremos ls expresiones: ψ 1 (x) = Af 0 (3.69) ψ 2 (x) = A 2 f 0 (3.70)... ψ n (x) = A n f 0 (3.71) Pero, como (f, ϕ k ) 0, teniendo en cuent l propiedd (2.5) y l fórmul (2.34) de este cpítulo en el teorem de los núcleos iterdos, tendremos: (ψ n, ϕ k ) = (A n f, ϕ k ) (f, A n ϕ k ) = ( = f, ϕ ) k 1 (f, ϕ λ n k λ n k ) 0 (3.72) k Introduciendo ls proximciones y normlizds,