Solucioario Números reales ACTIVIDADES INICIALES.I. Realiza las siguietes operacioes. a) ( ) ( ) b) ( ) 8 a) () ( ) ( ) 8 b) ( ) 8 8 ( 8) ( ) 8 8 8.II. Simplifica las epresioes siguietes. 9 a) b) () ( ) 9 a) 8 () ( ) ( ) b) EJERCICIOS PROPUESTOS.. Resuelve estas operacioes. a) b) a),...,v b),8 w.. Halla la fracció irreducible que correspode a los siguietes úmeros racioales. a), b),v c),v a), b) N, w,... N,... 99N N N,... 99 c) N,v,... N,... 9N N N,... 9.. Calcula la fracció irreducible que represeta el resultado de:,, v,v.,, v,v 9 9 9 98
.. Realiza las siguietes operacioes y simplifica el resultado. a) b) a) 9 b) 8.. Cuál de estas epresioes o equivale a a b c? a) (a b) c b) a (b c) c) a (c b) La epresió del apartado b, que equivale a a b c... Razoa co ejemplos si so ciertas las siguietes afirmacioes. a) La suma de dos irracioales es siempre irracioal. b) El producto de dos irracioales es siempre u úmero irracioal. Es falso. Por ejemplo, y so dos úmeros irracioales, y su suma es, úmero racioal. Es falso. Por ejemplo, y so dos úmeros irracioales, y su producto es, úmero racioal... Se quiere vallar u campo rectagular. Se sabe que uo de sus lados mide tres quitas partes de la medida del otro. Además, la diagoal mide m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer el vallado si cada metro de valla cuesta euros y se desperdicia u % del material empleado. Los lados mide a y a. Etoces: D a El perímetro mide a a 8, m. a a 9 a a a, m La valla costaría 8, 8 euros; pero como se desperdicia el % del material, esta catidad represeta el 9% del precio total. Habría que comprar por u valor de 8,9 8, euros..8. Ordea de meor a mayor e cada caso. a), 8, y c), y b),,,v y, v d),9v, y,v a) ; 8 ; 8 y 8 b),,,, <, v <,v c),...,,... d),99...,...,9v,v.9. Sea a y b dos úmeros reales egativos. Si a b, demuestra que el iverso de a es mayor o igual que el iverso de b. a b a a b a b a b b a b b a
.. A partir del desarrollo de ( y), siedo e y o ulos, demuestra que y y. ( y) y y y y y y y y y y y Solucioario.. Represeta e la recta real los siguietes úmeros. a) b) c) d).. Escribe los úmeros y 9 como suma de dos cuadrados y represeta y 9 e la recta real. 9 9 9.. Represeta e la recta real:. 9.. Desarrolla el valor de la epresió y calcúlala para los casos, y. si si ( ) si si Para, el valor de la epresió es. Para, el valor de la epresió es. Para, el valor de la epresió es... Desarrolla el valor de las siguietes epresioes. a) b) a). Los valores absolutos que iterviee se aula para y. ( ) ( ) si si ( ) si si si si b). Los valores absolutos que iterviee se aula para y. ( ) ( ) si si ( ) si si si si
.. Dados A (, ), B (, ] y C [, ), calcula: a) A B C b) A B C c) A B C a) A B C C [, ) b) A B C (, ) c) A B C C [, ).. Epresa mediate itervalos y gráficamete los siguietes cojutos de úmeros reales. a) b) c) a) (, ) b) (, ] [, ) c) [, ].8. Halla los errores absoluto y relativo que se comete al utilizar, como aproimació de. Error absoluto: E a, Error relativo: E r.9. Calcula las mejores aproimacioes por defecto y por eceso y el redodeo de a la uidad, la cetésima y la diezmilésima. Uidad Cetésima Diezmilésima Defecto,, Eceso,, Redodeo,,.. (TIC) Calcula las siguietes operacioes y da el resultado e otació cietífica. a),8,9 d),, g) b) e), 9,8,9,,, c), f), ( ), a),9 d) g), b),8 8 e),8 c), f),8
Solucioario.. U átomo de hidrógeo (H) pesa, gramos. a) Cuátos átomos de H se ecesita para obteer kg de ese gas? b) Cuál es la masa de, átomos de H? c) Si gramos de hidrógeo molecular ocupa u volume de, L a C y a la presió atmosférica ormal, cuátas moléculas de hidrógeo cotedría u recipiete de L e estas codicioes? a), 8 átomos será ecesarios para jutar ua masa de kg., b),, 9 g,9 kg c) El recipiete de litros cotiee, gramos de hidrógeo, es decir, (, ),89 átomos de hidrógeo. Cada molécula está compuesta por dos átomos, por lo que habrá, moléculas, e total... La masa de la Tierra es de,9 kg, y la de Plutó, de,9. a) Cuátas veces es más masiva la Tierra que Plutó? b) Supoiedo que ambos plaetas fuera esferas perfectas co radios de y km, respectivamete, calcula la desidad aproimada de cada uo de ellos. a), 9 veces mayor es la masa de la Tierra respecto de la de Plutó., 9 Masa,9 kg b) Desidad de la Tierra, Vo lume kg/km,, g/cm km Masa,9 kg Desidad de Plutó,9 Vo lume kg/km,9 g/cm km.. Simplifica las siguietes epresioes. a) b) 8 8 a) c) d) 8 b) 8 8 c) 8 d) 8 8 8 8 8 8.. Opera y simplifica las siguietes epresioes. a) 8 b) a) 8 8 b) 8 8 8
.. Racioaliza los siguietes deomiadores. a) b) a) b) c) c) 9 9 9!.. Simplifica la epresió. 9 9! 9! 9! 9 8.. (TIC) Desarrolla las siguietes potecias. a) b) a) 8 9 9 8 b) () () () 8 8 9 8 8 8.8. Halla el seto térmio de los desarrollos de: a) 8 9 b) (a ab) 8 a) T 9 8 9 8 8 b) T (a ) (ab) a a b 88a b.9. Calcula el térmio idepediete del desarrollo de la potecia. k T k k k k k k () k k k k k k 9 T 9 9 9 9 8 8 k k
Solucioario.. Calcula: log, log y log. log log log log log log log log.. Sabiedo que log, y que log,, halla: a) log 8 b) log, a) log 8 l og8 l og log log log lo,89 g b) log, log log log (log log) (log( ) ) (log log ),9.. Toma logaritmos e la epresió A ( ). loga log( ) log( ) log log.. Pasa a forma algebraica la siguiete epresió logarítmica. loga log logy loga log log logy loga log A y y.. (TIC) Halla el valor de los siguietes logaritmos co la calculadora. a) log b) log, c) log 9 a)log l, l l b) log,, l, l9 c) log 9, l.. E u cultivo de bacterias, el úmero se duplica cada dos días. U día se cotabiliza bacterias. a) Calcula el úmero de bacterias que habrá días después. b) Cuátos días ha de pasar para que haya el triple de bacterias? c) Si el úmero iicial fuera de, cuátos días tedría que trascurrir para que hubiera el triple? d) Se supoe que la població se estabiliza al alcazar las bacterias. Cuáto tiempo ha de pasar para ello? El úmero de bacterias cuado ha pasado t días es N t. a) Para t N, 8 b) N N t t t log t log log log log t, días log c) El resultado aterior es idepediete del úmero iicial de bacterias. d) t t log t t log log log t log log, días
.. Cierta sustacia radiactiva tiee u período de semidesitegració de años. Calcula la catidad de masa a la que se habrá reducido kilogramo de esta sustacia al cabo de años. La masa al cabo de años será:,, kg, g.. Se deposita e u baco euros durate años. El baco iforma de que el iterés es del,% aual. a) Calcula el capital acumulado supoiedo que la capitalizació es aual. b) A cuáto asciede si es mesual? c) Y si es diaria? d) Iterpreta los resultados obteidos. a) C, b) C, c) C,, d) No se aprecia grades diferecias al cambiar la acumulació aual por la mesual, y so casi isigificates al cambiarla por acumulació diaria. EJERCICIOS Números reales.8. Escribe dos úmeros compredidos etre: a) 9 y b) y a) 9 y. Etre estos dos úmeros está 8 y 9. 9 9 9 9 b),8...,,... Etre ambos está, y,..9. Clasifica los siguietes úmeros e racioales e irracioales. E el caso de los racioales, idica su epresió mediate ua fracció irreducible. a), d), b), e), c), f), a), Irracioal b),,v Racioal N,... 99N N 9 9 N,... c),,v Racioal N,... 99N 89 N 89 99 98 N,... d), Irracioal e),, v Racioal N,... 999N N 99 9 N,... f), Irracioal
Solucioario.. Clasifica estos úmeros idicado a qué cojutos uméricos perteece. a), c) e) g), b), d) f), h) a), es irracioal y real. b), es racioal y real. c) es etero, racioal y real. d) es racioal y real. e) es atural, etero, racioal y real. f), es irracioal y real. g),, es racioal y real. h) es etero, racioal y real... Ordea de meor a mayor estos úmeros.,, 9,;,... 9 El orde es:,, 9.. Represeta los siguietes úmeros reales. a) b) c) d) e) f) 8 8 R.. Idica qué úmeros reales represeta los putos A y B de la figura. A B A B R
Valor absoluto e itervalos.. Desarrolla las siguietes epresioes. a) b) c) d) a) si b) si si si si si si si Se podía haber hecho ( ) ( ) si c) ( ) si si d) si si si si si si si si si.. Dados los cojutos A (, ), B (, ] y C [, ), calcula A B C y A B C. A B C A (, ) A B C {}.. Epresa mediate u itervalo los siguietes cojutos de úmeros reales y represétalos e la recta real. a) b) c) a), ( ) c), ( ) _ b), _ ( ) _ Aproimacioes y errores.. Da la epresió aproimada que se pide e cada caso. a) por eceso co tres cifras decimales b) por defecto co dos cifras decimales c) redodeado a tres cifras decimales a),8 b), c),8.8. Acota el error relativo que se comete al tomar como aproimació del úmero áureo el úmero racioal,8.,8 Error relativo: E r,,,8, 8
Solucioario Notació cietífica.9. Realiza las siguietes operacioes y epresa el resultado e otació cietífica. a) 8 d) b),, e), c), f), a) 8 9, d), b),,, e),, c),,8 f),, Radicales.. Simplifica el valor de cada epresió. a) d) 9 a b) ( ) ( ) b g) j) 8a a e) h) k) c) f) i) 9 l) a) 8 b) () ( () ( ) ( ) 8 ) ( ) c) d) 9 b a 8 a b ab a a b a e) 9 9 f) 8 8 g) h) ( ) i) 9 j) 8a a a a a k) 8 l).. Opera y simplifica. a) () () ()... () 8 b) 8 c) a) () () ()... () 8 8 8 b) 8 c) 8 8
.. Racioaliza los deomiadores. a) a a 8 a y b) c) y d) e) f) a a) a a 8 a a y b) y a y y a a aa a a a y y y y y y c) ( ) ( ) ( ) d) e) f) 8 8 8 8 8 Números combiatorios. Biomio de Newto.. Calcula las siguietes operacioes. a) b) c) d) a) b) 9 c) ( )( )( ) d).. Simplifica las siguietes epresioes. a)! 8!! b) ( )! ( )! c) d)!! ( )!! a)! 8! 8!!! b) ( )! ( )( ) ( )!! c) 9 9 ( )( ) ( )! d)!! ( )! ( )!!!
Solucioario.. (TIC) Realiza los desarrollos de los siguietes biomios. a) ( ) e) b) f) c) g) d) h) a) ( ) 8 b) c) 8 8 8 8 8 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 9 9 e) 8 9 f) 8 8 g) h).. Calcula el térmio que se idica e cada uo de los siguietes desarrollos. a) El quito térmio de ( ) 8 b) El tercer térmio de c) El último térmio de (a b a ) a) T 8 b) T 8 c) T 8 (a ) 8a 9 8
Logaritmos.. Aplicado la defiició, calcula el valor de los siguietes logaritmos. a) log 8 c) log e) log 8 g) log b) log 9 d) log f) log 9 h) log a) log 8 8 b) log 9 9 9 c) log d) log e) log 8 8 f) log 9 g) log 9 9 h) log.8. Calcula, si es posible, el valor de e cada ua de las siguietes epresioes. a) log 8 c) log (8) e) log g) log b) log 9 d) log f) log h) log a a a) log 8 e) log. No eiste. b) log 9. No está defiido. f) log. No está defiido. c) log (8). No está defiido. g) log d) log h) log a a a a a a.9. Sabiedo que log, y que log,, calcula los logaritmos decimales de los siguietes úmeros. a) b), c), d) 8 e) f), a) log log log log log log,98 b) log, log log( ) log log log, c) log, log log log log( ) log log, d) log8 log 8 log( ) log log,8 e) log log (log log),9 f) log, log log log log log log,8
Solucioario.. Sabiedo que log, y que log,, calcula el valor del logaritmo e base de. log log ( ) log log log,,,.. Toma logaritmos decimales e las siguietes igualdades y desarrolla las epresioes. a) P yz c) R y z e) y a b) Q d) a b c f) y (m ) y m a) P yz logp log logy logz b) Q logq log log( y) y c) R y z logr log log logy log logz d) log loga logb logc e) logy log loga log loga log f) log logy log(m ) log log(m ).. Epresa el valor de E e cada caso si que aparezca logaritmos. a) loge log logy logz c) loge log( y) log( y) b) loge log log logy logz d) loge log( ) log ( ) log y y a) loge log log logy logz log E z z 8y b) loge log log logy logz E z c) loge log( y) log( y) E ( y) ( y) y d) loge log( ) log ( ) log E 9 ( ) ( ) 9 ( ).. (TIC) Co la ayuda de la calculadora, obté aproimacioes decimales hasta las milésimas de los siguietes logaritmos. a) log c) log, e) log b) log d) log f) log a) log lo g, d) log log log, lo g b) log log, e) log l l log og,8 og log c) log,,9 f) log l og, log, log
.. Calcula el valor de e cada caso. a), d),, e b) log e) c) f) log log a), log, log, log, log, l og,, log, b) log,8 c), d) e,, l,,99, e) log( ) log log ( ), log f) log log log log log PROBLEMAS.. Al realizar ua ecuesta sobre el iterés de los habitates de ua localidad e relació co los equipos iformáticos, se observó que eactamete el úmero de ecuestados que cotestaro que e su casa había más de u ordeador era el, % del total. Cuátas persoas formaba parte de la muestra si se sabe que era meos de? N,...,... N,... N 89 9 N,... 9 Para calcular el úmero de ecuestados que cotestaro que teía más de u ordeador, se debe multiplicar el 89 total por la fracció irreducible. Por tato, el úmero total de ecuestados debe ser múltiplo de y, al ser meor que, es eactamete... E ua clase se realiza ua ecuesta sobre las aficioes deportivas. El 9,999...% del total de la clase cotesta que practica algú deporte, y la mitad, que le gusta el fútbol. Si la clase tiee como máimo alumos, razoa si so posibles los datos ateriores. N 9, 9 9...,999... N 9,99... N 9 89 9 N,99... 99 Para calcular el úmero de alumos que cotestaro que practica u deporte, se debe multiplicar el total por la fracció irreducible. Por tato, el úmero total de ecuestados debe ser múltiplo de. Pero tambié debe ser par, ya que la mitad afirma que le gusta el fútbol. E cosecuecia, el míimo úmero de alumos e la clase es de. Por tato, los datos o so correctos.
Solucioario.. Calcula de forma eacta el úmero irracioal que represeta la relació etre la diagoal de u petágoo regular y su lado. Comprueba que se trata del úmero áureo. A Para ello, sigue los siguietes pasos: Demuestra que los triágulos DFC y DBC so semejates calculado sus águlos. Demuestra que el triágulo BFC es isósceles. Aplicado el teorema de Tales, calcula la relació etre los lados que E B correspode a la diagoal y el lado del petágoo. F ( ) 9 El águlo iterior de u petágoo regular es 8. D C El triágulo DBC es isósceles, y sus águlos mide 8, y. El triágulo DFC es tambié isósceles, y sus águlos mide, y 8. Por tato, DFC y DBC so semejates. El águlo BCF mide 8. El águlo BFC mide 8 8. Por tato, BFC es isósceles. Supoiedo u petágoo regular de lado : Aplicado el teorema de Tales a los triágulos semejates: A DB D C D C DF E B F _ (E la ecuació de segudo grado, la otra solució es egativa y o tiee setido.) D C DB D C.8. Demuestra que el úmero áureo verifica las siguietes propiedades. a) b) c) a) b) c) ( ).9. El área de u cuadrado es de, cm. Calcula las áreas de sus círculos iscrito y circuscrito, redodeado los resultados co dos cifras decimales. El lado del cuadrado mide,, cm. La diagoal del cuadrado mide,,8 cm. Área del círculo iscrito: S r, 8, cm Área del círculo circuscrito: S r, 8, cm
.. Calcula la medida de la diagoal de u paralelepípedo cuyos lados mide, 8 y cm, respectivamete. Qué tipo de úmero es el resultado? Aproima el resultado redodeado a dos decimales y calcula los errores absoluto y relativo cometidos. d 8 cm. La medida de la diagoal es u úmero irracioal. Redodeado,,8 cm. Error absoluto: E a,8, Error relativo: E r,,8,8.. La diagoal de u cubo mide eactamete, cm. Halla la superficie del cubo aproimado su diagoal por, cm. Calcula el error relativo cometido. Usado el valor aproimado: d aa a, a S a,, cm a a Usado el valor real: a, S a,,8 cm,8, Error relativo: E r,,8,.. E la tabla siguiete aparece las medidas de ua iña y de ua torre. Altura Real Obteida co istrumeto de medida 9 cm 9 cm 8 m m Idica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifica tu respuesta. E el primer caso, el error relativo es. E el segudo, el error relativo es. 9 8 La medida de la iña es más precisa, ya que el error relativo es meor... Javier pretede colocar césped artificial e u jardí cuadrado del que sabe que su lado está compredido etre y metros. El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciede a euros y cétimos, y el presupuesto co el que cueta es de euros. Calcula los costes máimo y míimo, y decide si la obra podrá ser empredida. lado área, coste, Por tato, el presupuesto podría ser isuficiete... El radio de la rueda de ua bicicleta tiee ua logitud compredida etre 9 y cm. Calcula los úmeros máimo y míimo de vueltas completas que dará al recorrer ua distacia de km. 9 r 9,8 logitud rueda,,.º de vueltas 9,8 9 vueltas
Solucioario.. Si u automóvil que costó euros se deprecia u % aual, cuáto valdrá a los años? Cuátos años debe pasar para que su valor sea iferior a euros? A los años, el coche valdrá V,8,8 euros. Para calcular detro de cuátos años su valor será iferior a euros, se resuelve la siguiete iecuació:,8 t,8 t t log,8 log t 8, Deberá pasar, al meos, 9 años... Se llama uidad astroómica (UA) a la distacia media que separa la Tierra del Sol y que equivale a,998 8 km. a) Sabiedo que el de eero la distacia etre la Tierra y el Sol es de, 8 km, eprésala e uidades astroómicas. b) Sabiedo que la distacia media etre Júpiter y el Sol es de, UA, eprésala e kilómetros. 8, a),98 UA,998 8 b),,998 8,9 8 km.. Ua població de coejos aumeta aualmete e u %. Si e el mometo iicial había coejos: a) Cuátos habrá al cabo de años? b) Cuáto tiempo debe trascurrir para que su úmero sea de? c) Si debido a ua efermedad, la tasa de crecimieto cayera al %, cuáto tiempo tardaría la població iicial e triplicarse? a) t P(),, Habrá coejos b), t, t t l og, años log, log c), t, t t, años lo g,.8. El valor de ua vivieda, cuado ha pasado t años desde su adquisició, es V k e t. La vivieda se compró por euros, y a los años valía. a) Calcula el valor de k y. b) Calcula el valor de la vivieda a los años. c) Cuáto tiempo debe trascurrir desde la compra, para que el valor de la vivieda se triplique? d) U trabajador que gaa el salario medio puede comprar ua vivieda de 9 metros cuadrados. Si el salario medio aumeta u % cada año, al cabo de años, cuál será la superficie de la vivieda que podría comprar el mismo trabajador? (supó que el resto de sus codicioes de vida o ha variado.) t k e a) k k e t k e,8 l,8,88 V e,88t b) V e,88 8 l c) V V e,88t t 8,8 años, 88 d) Si el salario medio iicial es S, detro de años dispodrá de u salario S S,, S. S Iicialmete podía pagar co su salario 9 m, por lo que el precio del m salía por V. 9 S Después de años, el m sale por V e 9,88, S. Co su salario podrá comprar u piso de, S m, S.
.9. Segú la escala de Richter, las magitudes de los terremotos se obtiee mediate la fórmula: siedo E la eergía liberada por el seísmo e julios. M l oge,, La eergía liberada por u terremoto de magitud, fue veces la eergía liberada por ua de sus réplicas. Calcula la magitud de esta réplica. Eergía del terremoto:, l oge, loge, E,8, julios Eergía de la réplica: E r,8, julios Magitud de la réplica: M r log(, ),,8, PROFUNDIZACIÓN.8. Sea a u úmero positivo y diferete de la uidad. Demuestra que la suma de a y su iverso es siempre superior a. a y a a a a a a a a a a a.8. Demuestra que si a, b y c so úmeros positivos y diferetes, etoces se verifica la siguiete desigualdad. Utilizado el ejercicio aterior: (a b c) a b c 9 (a b c) a b c a a a a b c b a b b b c c a c c b c b a b a a c c a b c c a 9.8. Demuestra que es u úmero irracioal. Supogamos que es racioal y que, por tato, lo podemos escribir mediate ua fracció irreducible: b a a b a b a es múltiplo de a es múltiplo de a a 9 b 9 b b es múltiplo de b es múltiplo de. a Como a y b so ambos múltiplos de, la fracció o es irreducible. b Se ha llegado a ua cotradicció co lo supuesto, lo cual quiere decir que es falso; por tato, o se puede escribir como ua fracció; es decir, es irracioal..8. Represeta e la recta real el úmero irracioal. Se dibuja y y se suma co ayuda del compás. +
Solucioario.8. Desarrolla la epresió omitiedo los valores absolutos. Como si si.8. Represeta e la recta real el cojuto de valores reales tales que y determíala mediate u itervalo., _ ( ).8. E la siguiete tabla se represeta de distita forma varios cojutos de úmeros reales. Completa la tabla, represetado, cuado sea posible, los diferetes cojutos de cuatro formas diferetes. Itervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamete { } (, ) (, ) Itervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamete [, ] Falta (, ) (, ) { } { },, Falta (, ) (, ) { } { } Falta 8 [, ],,.8. Sabiedo que log es u úmero real compredido etre,8 y,9, calcula dos úmeros reales, lo más próimos posible, etre los que se ecuetre el valor de log.,8 log,9,8 log,9, log,.88. Racioaliza el deomiador de estas epresioes. a) a) b) 8 8 9 b) 8 [Aplicado que a b = (a b) (a + ab + b ).] 8 8
.89. Calcula dos úmeros eteros y positivos m y tales que 8 m. 8 m 8 m m m 8 m m,.9. a) Calcula los desarrollos de ( ) y ( ). b) Escribe el coeficiete de e el producto de los poliomios ( ) ( ). c) Co ayuda de la igualdad: ( ) ( ) ( ) y del coeficiete hallado e el apartado aterior, demuestra que: a) ( )... ( )...... b) El coeficiete de e ( ) ( ) es... c) El térmio de e el desarrollo ( ) es T k k k k El coeficiete de e el desarrollo ( ) es. De los apartados b y c se deduce que k........