IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si 0 Sa la función continua f: R R dfinidas por f() si > 0 ['5 puntos] Calcula l valor d k [ 5 puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa Calcula l valor d k Como la función s continua n R (nos lo dic l problma), s continua n 0 Si f() s continua n 0, tnmos f(0) lim f() lim f() f(0) (0 k) k; lim f() lim 0 0 0 0 lim f() lim ( k) (0 k) k 0 0 0 {, aplicamos la Rgla d L Hopital } lim 0 0 {simplificando} lim 0 0 Igualando las trs prsions tnmos k Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa si 0 Nustra función s f() si > 0 Como nos pidn la rcta tangnt n, la rama s f() La rcta tangnt s y f() f ()( ) f(), f() - ( ) - ( - ) f (), f () ( ) ( ) La rcta tangnt pdida s y ( ) ( ) Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 Sa I d 0 ['75 puntos] Eprsa la intgral I aplicando l cambio d variabl t [0 75 puntos] Calcula l valor d I Eprsa la intgral I aplicando l cambio d variabl t Calculamos º la intgral indfinida I d Cambio t t t d -tdt Sustituyndo, tnmos t ( t)( t I tdt {difrncia d cuadrados} ) ( t ) dt t {simplificando} - (t t )dt t
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna t t -( - ) - t (/)t {quito cambio} - ( ) (/) ( ) ( ) (/) ( ) Calcula l valor d I I d [ ( ) (/) ( ) ] 0 ( ( ) (/) ( ) ) ( ( - 0 ) (/) ( 0 ) ) 0 0 / / Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 Considra l siguint sistma d cuacions con dos incógnitas k y ky k - y - [0 5 puntos] Pruba qu l sistma s compatibl para cualquir valor dl parámtro k [ punto] Espcifica para qué valors dl parámtro k s dtrminado y para cuáls indtrminado [ punto] Halla las solucions n cada caso Pruba qu l sistma s compatibl para cualquir valor dl parámtro k k k Sa A k, la matriz d los coficints y A * k k la matriz ampliada - - - Como obsrvamos rango(a), pusto qu sólo tin dos columnas Para qu l sistma sa compatibl rango(a) rango(a * ), por tanto rango(a * ) tin qu sr mnor qu, lugo dt(a * ) A * 0 k k k k A * k k C C k k 0, por tnr dos columnas iguals; lugo rango(a) rango(a * ), - - C C 0 0 lugo l sistma s compatibl indpndintmnt dl valor d k Espcifica para qué valors dl parámtro k s dtrminado y para cuáls indtrminado En A los mnors d ordn son k k, k - y k - k k k, si lo igualamos a 0 las solucions son k y k - Si igualamos los otros dos dtrminants a 0, la solución s k - Si k y k -, rango(a) rango(a * ) nº d incógnitas, lugo l sistma s dtrminado Si k, A y A * - - - En A como - - - - 0, lugo rango(a) rango(a* ) nº d incógnitas, por tanto l sistma s dtrminado (rcordamos qu l dtrminant d A * s 0) - - Si k -, A - y A * - - - - - - - En A como - F F 0 0, lugo rango(a) (la matriz sólo tin una fila con lmntos - F (/)F 0 0 distintos d cro)
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna - - En A * como - - F F 0 0 0, lugo rango(a * ) (la matriz sólo tin una fila con - - F (/)F 0 0 0 lmntos distintos d cro) Como rango(a) rango(a * ) < nº d incógnitas, por tanto l sistma s indtrminado Halla las solucions n cada caso Si k, k - y k, rango(a) rango(a * ) nº d incógnitas, lugo l sistma s dtrminado Vamos las solucions, para lo cual lgimos sólo dos cuacions (la ª y ª) ky k - y - k k k - - 0 - --k Lo rsolvmos por Cramr, 0 ; y (,y) (0,), y s l k --k k --k - - diésmos a k l valor saldría lo mismo Si k -, rango(a) rango(a * ) < nº d incógnitas, por tanto l sistma s indtrminado Sólo ncsitamos una cuación Tomamos la ª D - y - tnmos -y Tomando y λ R, -λ (,y) (-λ,λ), con λ R Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 San los puntos A(0,0,), B(,0,-), C(0,,-) y D(,,0) [ punto] Halla la cuación dl plano π dtrminado por los puntos A, B y C [0'5 puntos] Dmustra qu los cuatro puntos no son coplanarios (c) [ punto] Calcula la distancia dl punto D al plano π Halla Ia cuación dl plano π dtrminado por los puntos A, B y C Para la cuación dl plano ncsitamos un punto, l A(0,0,), y dos vctors indpndints, l AB(,0,-) y AC (0,,-) La cuación gnral dl plano s π 0 dt(ax, AB, AC) y z 0 Su vctor normal s n (,,) Dmustra qu los cuatro puntos no son coplanarios y z- Adjuntos 0 - primra 0 - fila () y(-) (z-)() Para qu los cuatro puntos no san coplanarios, l punto D(,,0) no db d prtncr al plano π Como () () (0) 0 7 0, lo cual s absurdo, lugo D no stá n π y los cuatro puntos no son coplanarios (c) Calcula la distancia dl punto D al plano π Aplicando la fórmula d(d, π) ( ) ( ) ( ) 0 7 7 u n
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna Opción B Ejrcicio opción B, modlo Sptimbr 0 Sa la función f dfinida por f() para - [ 5 puntos] Estudia las asíntotas d la gráfica d la función f [ 5 puntos] Halla los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f Estudia las asíntotas d la gráfica d la función f() - La rcta a s una asíntota vrtical (AV) d f() si lim a [ (f() ] Como lim f() lim [ - /0 ] ( - / > 0); la rcta s una AV d f() - lim f() lim [ - /0 - ] - - La rcta y b s una asíntota horizontal (AH) d f() si Como lim f() lim lim - ( - ) lim (f() b ± [ /- ] 0 la rcta y 0 s una AH d f() n Como lim f() lim f(-) lim { / ; aplicamos L Hopital}, f() no tin AH n - Como tin AH, f() no tin asíntota oblicua (AO) Vamos la posición rlativa Como lim [f() - 0)] lim ( - ) [ /- ] 0-, f() stá por dbajo d la AH n (l damos a l valor 00) Halla los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f M stán pidindo la monotonía, qu s l studio d f () f() Vmos qu la función no stá dfinida n - - - - - (-)(-) - (-) (-) f () ( -) ( -) ( - ) Si f () 0; - 0, d dond 0 ( - s una ponncial y no s anula nunca) Como f (-) - /() < 0, f () < 0 n < 0, lugo f() s strictamnt dcrcint n (-,0) Como f () - /() ()/() > 0, f () > 0 n (0, )-{}, lugo f() s strictamnt crcint n (0, )-{} Por dfinición n 0 hay un mínimo rlativo qu val f(0) 0 / Aunqu no lo pidn un sbozo d la gráfica s :
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna Ejrcicio opción B, modlo Sptimbr 0 9 - Sa f: R R la función dfinida por f() [0 75 puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa [ 5 puntos] Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f, la rcta y 5 y l j d abscisas Calcula l ára d dicho rcinto Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f() 9 - n l punto d abscisa Sabmos qu la rcta tangnt d f n s y f() f ()( ) 9 - f(), lugo f() 8/ f () -/ -/, lugo f () -/, por la rcta tangnt s y (-/)( - ) Oprando tnmos qu la rcta tangnt s y -/ 5/ Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f, la rcta y 5 y l j d abscisas Calcula l ára d dicho rcinto 9 - La gráfica d f() ( a -/, b 0, c 9/), s la d una parábola muy parcida a - (ramas hacia abajo y con vértic n (0,9/) (0, 5)), pro un poco más abirta (al star multiplicada por /) y dsplazada unidads hacia arriba n l j OY, s dcir l vértic lo tin n (0,) Vmos qu los corts con l j OX son (-,0) y (,0), porqu d 9 0 obtnmos ± (9) ± La rcta y 5 s y -/ 5/, como hmos visto n l apartado antrior s la rcta tangnt n Con dos puntos s suficint para dibujarla Para, y ; para y 0, 5 Puntos (,) y (0,5) Un sbozo d las gráficas pdidas s: Dond m pidn l ára A, qu vmos s l ára dl triángulo bajo la rcta ntr y 5, mnos l ára bajo la parábola ntr y 9- Ára pdida A (/)(5 )() - d [9/ /] [(7/ 7/) (9/ - /)] 5/ u, Ejrcicio opción B, modlo Sptimbr 0 Considra l sistma d cuacions con trs incógnitas - y λ λy λz λ - - y λz 0 [ 5 puntos] Clasifícalo sgún los distintos valors dl parámtro λ [ punto] Rsuélvlo para λ 0 y λ - 5
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna Clasifícalo sgún los distintos valors dl parámtro λ - 0-0 λ * La matriz d los coficints dl sistma s A 0 λ λ y la matriz ampliada A 0 λ λ λ - - λ - - λ 0 Si dt(a) A 0, rango(a) rango(a * ) nº d incógnitas El sistma s compatibl y dtrminado y tin solución única - 0 Adjuntos A 0 λ λ primra ()(λ λ) (-)(λ) 0 λ λ 0, - - λ fila Rsolvindo la cuación λ λ 0 λ(λ), obtnmos λ 0 y λ - Si λ 0 y λ -, dt(a) A 0, rango(a) rango(a * ) nº d incógnitas El sistma s compatibl y dtrminado y tin solución única Si λ 0-0 A 0 0 0 - - 0 d cros y - 0 0 A y A * tinn l mismo rango porqu la última columna d A * s - - 0 0 * A 0 0 0 0 En A como - - 0, tnmos rango(a) rango(a * ) < nº d incógnitas, l sistma s - - compatibl indtrminado y tin infinitas solucions Si λ - - 0 A 0 - - - - - y - 0 - - - - 0 * A 0 - - - En A como - - 0, tnmos rango(a) 0 - - - - - En A * como 0 - -F-F - - 0 0, por tnr dos filas iguals, tnmos rango(a) - - 0 - - 0 Como rango(a) rango(a * ) < nº d incógnitas, l sistma s compatibl indtrminado y tin infinitas solucions Rsuélvlo para λ 0 y λ - Para λ 0, tnmos rango(a) rango(a * ), por tanto sólo ncsitamos cuacions (Tomo las dl mnor d A distinto d cro con l qu hmos dtrminado l rango, s dcir la ª y la ª) - y 0 - - y 0 E E - 0, d dond 0 y 0 Tomamos z a R, con lo cual la solución dl sistma s (,y,z) (0, 0, a) con a R Para λ -, tnmos rango(a) rango(a * ), por tanto sólo ncsitamos cuacions (Tomo las dl mnor d A distinto d cro con l qu hmos dtrminado l rango, s dcir la ª y la ª) - y - -y - z - Tomamos y a R, con lo cual - a y z a, y la solución dl sistma s (,y,z) (-a, a, -a) con a R 6
IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna jrcicio opción B, Sptimbr 0 [ 5 puntos] Halla l punto simétrico d P(,,-5) rspcto d la rcta r dfinida por - z 0 y 0 - z 0 Simétrico d P(,,-5) rspcto d la rcta r : y 0 D la rcta tomo un punto, hacmos 0 y rsulta z 0 y -, l punto sría A(0,-,0) y un vctor dirctor u n n {producto vctorial d los vctors normals d cada plano qu forman la rcta} i j k Adjuntos 0 - primra i() j() k() (,-,) La rcta n vctorial s (,y,z) (0,-,0)λ(,-,) 0 fila Trazamos l plano π prpndicular a la rcta r (su vctor normal n pud sr l vctor dirctor d la rcta, s dcir n u (,-,) qu pas por l punto P(,,-5) Calculamos l punto Q intrscción d la rcta con l plano El punto Q s l punto mdio dl sgmnto PP dond P s l simétrico buscado Un plano parallo al pdido s - y z K 0 Como pasa por l punto P(,,-5) tnmos --5K0, d dond K y l plano π s - y z 0 Ponmos la rcta r n paramétricas para sustituirla n l plano r :(,y,z) (λ,--λ,λ) Sustituimos r n π (λ) (--λ) (λ) 0 6 λ 0, d dond λ - y l punto Q s Q((-),--(-),(-)) Q(-, 0, -) Q s l punto mdio dl sgmnto PP, s dcir (-, 0, -) ( ()/, (y)/, (-5z)/ ) Igualando tnmos - ()/, d dond - - -6 0 (y)/, d dond y 0 - - (-5z)/, d dond z - 5 El punto simétrico pdido s P (,y,z) P (-6, -, ) 7