Memáis II Deerminnes DETERMINNTES Oservión: L morí e esos ejeriios se hn propueso en ls prues e Seleivi, en los isinos isrios universirios espñoles.. Uiliz ls propiees e los eerminnes pr lulr el vlor e,,, R. on.. Si es un mriz ur e imensión uo eerminne vle, lul el eerminne e el e. Por ls propiees e los eerminnes se iene:... Se se que el eerminne e un mriz ur vle que el eerminne e l mriz vle. uál es el oren e l mriz? n Se se que k k, pr un mriz e oren n. Por no, omo: n n n. L mriz será e oren.. Si es l mriz invers e e, uáno vle e, el eerminne e? Se se que, pr mries el mismo oren. Por no, omo: I. José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. Demuesre, sin uilizr l regl e Srrus sin esrrollr iremene por un fil /o olumn, que Inique en pso qué propie o propiees e los eerminnes se esá uilizno. Resno l fil ª l segun erer:, pues l segun erer fil son proporionles.. Sieno que z, lule, sin uilizr l regl e Srrus, el vlor el siguiene eerminne, inino en pso qué propie o propiees e los eerminnes se esá uilizno. z z z z
Memáis II Deerminnes 7. Se l mriz 9. 8 7 Se l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformiones: primero se mulipli por sí mism, espués se min e lugr l fil segun l erer finlmene se muliplin oos los elemenos e l segun olumn por. lulr el eerminne e l mriz, usno pr ello ls propiees e los eerminnes. Ls rnsformiones el resulo e her el eerminne en so son: º. º. Se min os fils, luego el eerminne mi e signo º. Se mulipli un olumn por, luego el eerminne que muliplio por omo 9 7 9 8 7 9 8, 8 7 se enrá que 88 8. Se onsier l mriz Resolver l euión e. En qué sos mie invers l mriz? Luego: ó /. L mriz mie invers siempre que /. José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 9. Se P. Hll os ríes e ese polinomio e gro uro. plino rnsformiones se iene: P Sumno l primer olumn l segun; l ur l erer Desrrollno por l segun fil [ ]. omo se r e r os ríes, s on oservr que P uno o. No: No es neesrio esrrollr el eerminne e form omple, ni mpoo her heho ls rsformiones que hemos inio. srí on oservr que si o el eerminne enrí os fils igules, por no, su vlor serí.. Oener, en funión e,, el eerminne e l mriz Resno l primer fil os ls emás se iene: Desrrollno por l ur olumn:
Memáis II Deerminnes. Se un mriz ur e oren. Si semos que el eerminne e l mriz es 8, uáno vle el eerminne e? Esrie l propie e los eerminnes que hs uso pr oener ese vlor. lul pr qué vlores e se umple que 8, sieno l mriz n Propie: Si es un mriz ur e oren n se umple que k k. Luego, si es e oren,. k k. Por no, 8 ; omo 8 Si, pr que o.. Supueso que, lul el vlor el siguiene eerminne. Uilizno ls propiees e los eerminnes se iene: se ere el for e l primer fil se inroue el en l segun fil se ere el for e l segun olumn José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. onsier, sieno un número rel. lul el vlor e. lul en funión e, los eerminnes e, sieno l rspues e. Eise lgún vlor e pr el que l mriz se siméri? Rzon l respues. I ; ; L úni soluión omún es. Es eviene que no, pues pr ulquier vlor e.
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 7. Ds ls mries 7 lulr el eerminne e l mriz oener el vlor e pr el que iho eerminne vle.,8 punos. Demosrr que l mriz no iene invers pr ningún vlor rel e., punos. Hieno rnsformiones e Guss se iene: esrrollno por l erer olumn [ ]. omo l mriz es e imensión 7. Si se ese que, enones. Un mriz no iene invers uno su eerminne vle. Por no, hrá que ver que. En efeo, plino ls propiees e los eerminnes: 7 sno for omún e l primer fil, pues iene os fils igules.
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 8. Sen α β α k k Esuir pr qué vlores e α β l mriz iene invers. lulr Hllr l mriz invers e. L mriz no iene invers en ningún so, pues su eerminne siempre vle. α α β α α β α α β α α L mriz iene invers, pues. Su invers es ij, sieno ij l mriz e los junos e. Es mriz e los junos es: k k k ij. Luego, ij k k k.
Memáis II Deerminnes 9. Hllr pr qué vlores e es inversile l mriz pr. lulr l invers Pr que un mriz se inversile es neesrio que su eerminne se isino e. Por no, omo o, l mriz será inversile pr oo vlor e. Pr, l mriz que:. L mriz e sus junos es: ij. Luego, su invers es ij / José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 7. Sen,, ls fils primer, segun erer, respeivmene, e un mriz ur M e oren, on em. lul el vlor el eerminne que iene por fils,,. D l mriz, hll os mries X e Y que verifiquen: Y X Y X sieno l mriz rspues e. Uilizno ls propiees e los eerminnes se iene: l fil se le res l fil l fil se le sum l fil se mi l fil por l fil Y X Y X sumno X X / / X Y X Y X resno Y / / Y Hieno l invers: / / / Y L mriz invers e viene por ij, sieno ij l mriz e los junos e.
Memáis II Deerminnes 8. Definiión e rngo e un mriz. lulr el rngo e según los vlores el prámero k. k k Esuir si poemos formr un se e R on ls olumns e según los vlores el prámero k. Inique on qué olumns. Rngo e un mriz es el número e fils o e olumns que es mriz iene linelmene inepenienes. El rngo es mién el oren el mor menor no nulo e es mriz Vmos lulr el rngo por menores; pr filir el rjo rnsformmos l mriz iniil. l olumn ª le resremos l olumn ª: l olumn ª: l olumn ª: k k k k Ovimene h menores e oren que son isinos e ero. Por ejemplo. Luego el rngo, es mor o igul que. Vemos los menores e oren : k k 9, que es nulo si k ; k k 9, que vle si k Por no, el rngo e siempre será. Si k, el º menor es isino e ero; si k, el primer menor es isino e ero; si k ±, mos menores son no nulos. prir e l respues nerior poemos r os soluiones..ª Si k, ls olumns ª, ª ª formn se e R..ª Si k, ls olumns ª, ª ª formn se e R. No. Puee verse que h or posiili: on ls olumns ª, ª ª si k /. No es posile formr se on ls olumns ª, ª ª. José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 9. lul el rngo e l mriz λ λ en funión el prámero λ R. Pr qué vlores el prámero λ R iene invers l mriz? No se pie hllrl. Si se sum l fil ª l ª, λ λ λ λ λ Hieno el eerminne se iene: λ λ λ λ λ Por no: Si λ /, el rngo e es, pues. Si λ, el rngo es es, pues el menor. Si λ /, el rngo es es, pues el menor /. En onseueni, omo un mriz iene invers uno su eerminne es isino e, l mriz enrá invers pr oo vlor e λ /.
Memáis II Deerminnes. lul el rngo e l mriz, según los vlores el prámero 8 9 Esrie ls propiees el rngo que hs uso. Definiión. Rngo e un mriz es el oren el mor menor no nulo; es igul l número e fils linelmene inepeniene e l mriz. Tmién es igul l número e olumns linelmene inepenienes e ih mriz. omo puee oservrse l erer fil e l mriz es proporionl l segun: ; por no puee suprimirse pr el álulo el rngo. Eso es, rngo r 8 r. 9 8 hor vemos que los menores que se formn on ls res primers olumns son nulos, pues ms olumns son proporionles. ormmos un menor e oren on l ur olumn. omo Vlrá uno ; será isino e si. 8 Por no: Si el rngo e es. Si el rngo es. Se hn io inino en el pro. José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. Disuir, en funión el número rel m, el rngo e l mriz m m. Hieno su eerminne se iene: m m m m m m Por no: Si m, omo, el rngo e es. Si m, se iene que l mriz enrá rngo. Puee verse que iene un menor e oren no nulo. Si m, l mriz, que iene rngo pues vrios menores e oren son isinos e.
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. lulr un mriz ur X sieno que verifi X, sieno. Se espej l mriz X: X X X I X lulo e l invers e : ij. omo, l mriz e los junos es ij. L invers es: Por no: I X
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. lulr el rngo e l mriz según los iferenes vlores el prámero rel :, álulo el rngo por menores. El rngo l menos es, pues el menor. Vemos qué ee psr pr que se. Pr ello esuimos los menores e oren. El menor si o. El menor si o /. En onseueni: Si oos los menores e oren son nulos, el rngo e. Si lgún menor e oren es isino e el rngo e.. Deermin un mriz siméri oinie on su rspues sieno que: e 7 Se l mriz siméri:. on eso: 7. El prouo Se iene: 7 7 / 7 / De one: ;,. L mriz pei es:.
Memáis II Deerminnes 7. Se onsier l mriz. λ Deermin l mriz. Deermin los vlores e λ pr los que l mriz iene invers. lul pr λ. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Pr que l mriz eng invers es neesrio sufiiene que su eerminne se isino e. λ λ λ. λ λ λ ± omo λ λ si λ enrá invers., pr los vlores e λ l mriz Si λ,. Su invers, ij José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 8. Sen ls mries Esui, en funión e, el rngo e ls mries. puno lul, pr, l mriz X que verifi X., punos omo semos, el rngo e un mriz es el oren el mor menor no nulo. Tmién es igul l número e fils o olumns que ih mriz iene linelmene inepenienes. Por no, en los os sos, el rngo no puee ser mor que. El rngo es mor o igul que, pues el menor. Pr ver si puee ser hemos su eerminne. uno / Por no: si /, el rngo e es ; si /, su rngo es. omo l mriz es un mpliión e l mriz, onsiermos oro e los menores e oren, M. Ese menor mién se nul pr /. En onseueni: si /, el rngo e es ; si /, su rngo es. No: Porí oservrse que. Pr,. omo, l mriz iene invers. En onseueni: X X. L mriz invers viene por ij, sieno ij l mriz e los junos e, que es: ij. Luego Por no, X
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino 9 7. mriz se le soi el polinomio p, one ini el eerminne e. Diremos que p es el polinomio rerísio e l mriz. Se pie: Enonrr un mriz que eng omo polinomio rerísio p. uáns mries h on ese mismo polinomio rerísio? Si iene invers, emosrr que el polinomio rerísio e l invers,, es p. Oservión: De l leur el enunio se eue que l esriir el polinomio rerísio se h eio omeer un error un err, pues por efiniión p Luego p. Por no, en el enunio se h mio un signo. Ese heho no vrí l respues el pro ; en mio, en el pro esurirímos que lgo fll. Nosoros primos el polinomio rerísio orreo. Si p. Ese sisem iene infinis soluiones, pero por neo se puee hllr un e ells. Es el so e:,,. Por no, l mriz pei es. Si iene invers, su invers es / / / /. Por no, su polinomio rerísio será: p
Memáis II Deerminnes 8. Ds ls mries I 8 ompror que e e que e I e ei. Se M un mriz ur e oren. Se puee segurr que umple que em em? Rzonr l respues. Enonrr os ls mries urs M, e oren, les que em I em ei e 8 8 Por or pre, e 9 8. Por no, e. Luego, e e I e I 8 8 8 Por or pre, e ei. Por no, e I e ei. Es un propie generl. Si son mries urs e l mism imensión, enones e e e. En priulr, em e M M em em em Tmién puee emosrse omno M. Por un pre: M, sieno su eerminne: M Por or pre: Evienemene, oinien. M Si M M I em I Por or pre: em ei Luego, pr que em I em ei es neesrio que Ls mries M uss son e l form: M José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes 9. Se onsier el onjuno M e mries e números reles e l form on Demosrr que ienen invers lulrl punos. Demosrr mién que, si se muliplin os mries e M, se oiene un mriz e M punos. Un mriz ur iene invers uno su eerminne es isino e ero. Se ; omo, l mriz enrá invers. L mriz e los junos es: Luego, ij ij. Si es or mriz e M,, se iene: que evienemene es un mriz e M. José Mrí Mrínez Meino
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. Ds ls mries, Hll l invers e. Resuelve l euión mriil X X. e j 7 Luego, 7 X X X X Eso es, X 7 8 9 8
Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino. Ds ls mries Hll pso pso l invers e l mriz. lul l mriz X que verifique l euión X. El eerminne e vle, L mriz e los junos es: ij. Luego ij / / X X X / /.
Memáis II Deerminnes. Si Pror que pr ulquier vlor e, rngo. Deerminr un pr e vlores reles e pr los ules se rngo oro pr e vlores e e form que rngo. Tommos los menores: M ; M ; M Si, M r. Si, M r. Si, M r. Por no, el rngo e siempre es mor o igul. El rngo si lgún menor e oren es isino e. h más soluiones. Hieno ± ; oro pr e vlores puee ser: ±. Un posiili es omo el menor M r, sieno Pr que r es neesrio que, que se umple si. José Mrí Mrínez Meino