2. Encuentra las soluciones de los sistemas siguientes por el método de Gauss, expresándolos en forma matricial:

Transcripción

1 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO UNIDD : Mries TIVIDDES INIILES-PÁG.. Los eleroomésios que vene un en en un grn iu los iene en uro omerios,, y. Vene res mrs e elevisores TV, TV y TV. En un momeno eermino, el omerio iene elevisores e l mr TV, 8 el ipo TV y el TV. El omerio,, y 8, respeivmene. De igul form, el omerio,, y. Por úlimo, ls unies e son, y. Epres, e form oren, los os neriores en un l. En ls fils e l l se hn oloo ls mrs e los elevisores y en ls olumns los omerios, oeniénosel l: TV TV 8 TV 8. Enuenr ls soluiones e los sisems siguienes por el méoo e Guss, epresánolos en form mriil: y z y ) ) y z y 9 y z 7 L resoluión e los sisems puee epresrse en l form siguiene: ) En l primer mriz relizmos l operión elemenl por fils: muliplimos por l primer fil y por l segun, resno los prouos neriores y olono los resulos en l segun fil (F F F ), y oenemos l segun mriz. 9 7 L segun mriz proporion l soluión:, y -. ) En l primer mriz relizmos ls operiones elemenles por fils: F F F y F F F y oenemos l segun mriz. En es mriz relizmos l operión elemenl por fils 9F F F y oenemos l erer mriz L erer mriz proporion l soluión: -, y, z -.

2 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO TIVIDDES e RESOLUIÓN DE PROLEMS-PÁG. 9. Ls ees e l fmili. Un mre e fmili, que ron l urenen, oserv que, si esrie res vees seguis su e, oiene un número que es igul l prouo e su e mulipli por l e su mrio y ls ees e sus uro hijos. Qué e iene uno e los uro miemros e l fmili? Supongmos que l e e l mre es e 9 ños; imponieno ls oniiones el prolem, oenemos: P H H H H P H H H H P H H H H 7 7 Luego l mre iene 9 ños, el pre iene 7 y los uro hijos ienen, respeivmene,, 7, y ños. Oservmos que si primos e que l mre iene 8 ños oenemos l mism respues, e igul que pr 7,, ños. Es eir, inepenienemene e l e e l mre, nos slen ls ees el pre, 7 ños, y ls ees e los hijos:, 7, y ños. En generl l mre enrá y ños, y y ños. hor ien: yyy P H H H H P H H H H y yyy y y y y y y y ( y y) Desomponemos en fores: 7 7. Luego ls ees serán: P 7 ños, H ños, H 7 ños, H ños y H ños.. Dos números. Enuenr os números les que su sum, su prouo y su oiene sen igules. Llmmos, y los números. Se ee umplir que: Resolvieno: y y y y Pr y, se iene que Pr y -, se iene que, enones L soluión váli es:, y -. y y. y y y. Euión que no iene soluión.. y ±

3 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO TIVIDDES e NUEVS TENOLOGÍS-PÁG.. Ds ls mries M y. Hll l mriz X que verifique l igul M - X M I. En l siguiene imgen poemos ver l soluión e es ivi. L mriz uni I l hemos inrouio meine el operor I O el menú Mries, omo vemos en l imgen. L mriz X l hemos hllo espejánol en l igul : X M ( I) M -. D l mriz Hll l invers pr -.. Hll los vlores e pr los ules es mriz no iene invers. En l siguiene imgen poemos ver l resoluión e es ivi. L mriz no iene invers pr y. Pr - oenemos l mriz invers e que vemos en l imgen.

4 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO. Resuelve l euión: En l siguiene imgen poemos que ls soluiones e es euión son - y -.. Esui el rngo e l mriz m m m en funión e los vlores e m. En l siguiene imgen poemos ver que el eerminne e es mriz se nul pr los vlores m y m - y pr esos vlores el rngo e l mriz es y respeivmene. Pr oos los emás vlores e m el rngo e l mriz será pueso que su eerminne es no nulo. 7

5 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO TIVIDDES FINLES-PÁG.. uro ompñeros,,,, D, e seguno e hillero, se les pie que responn l pregun: rees que lguno e vosoros prorá ese urso? Di quiénes. Ls respuess son: opin que y D; opin que y el mismo; opin que, y D; D opin que el mismo. Epres ese enunio en un mriz. Epresmos l informión el enunio en un l, ponieno un en el so que un iniviuo opine e oro que prorá el urso y un en so onrrio. D D Los vlores e l l n lugr l mriz. lul,, y e pr que se umpl. 7 Opermos e igulmos los elemenos e ls mries resulnes: 8

6 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO 7 7 Resolvieno el sisem oenemos:,, y 9.. Ds ls mries:, y ; lul: ) ) ) ) e) Los resulos e ls operiones son: ) ) ) ) e) Un empres e eie e oliv elor res lies: norml, er y virgen er y posee res mrs X, Y, Z, isriuyeno su prouión en uro lmenes. Ls miles e liros lmenos en el primer lmén vienen epresos en l mriz: X Y Z El seguno lmén iene el ole que el primero, el erero l mi y el uro el riple. Qué volumen e prouión e eie iene en uno e los lmenes, y en ol, e li y e un e ls mrs? Ls mries i, on i,,,, muesrn el volumen e eie e uno e los lmenes: 9

7 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO El volumen ol e eie lmeno e li y e un e ls mrs es: T. lul los prouos posiles enre ls mries:,, y D Los prouos posiles son: D D

8 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO. Oén ls mries y que verifiquen los siguienes sisems mriiles: ) 8 ) 9 ) 7 Resolvieno los sisems por reuión oenemos: ) y ) y ) y 7. Hll, en so, os ls mries que onmuen on: ) ) Se X un mriz e imensión ulquier. En so se umplirá: ) X X., R on X ) X X

9 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO., R on X 8. Pr ls mries y, omprue que se umplen ls siguienes propiees e l rsposiión e mries: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) En pro oenemos: ) y ( ) ) y ( ) ) y ( ) ) y ( ) TIVIDDES FINLES-PÁG. 9. Desompón ls mries s en sum e un mriz siméri y or nisiméri: ) ) ) 7

10 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO L esomposiión e l mriz M es M S H, sieno S l mriz siméri, M M S y H l mriz nisiméri, M M H. En so se oiene: ) ) ) 7. Ds ls mries y, lul 97 y 9. En uno e los os sos lulmos ls poenis suesivs e y. I - I (- I) I I - I eéer. Oservmos que ls poenies e l mriz se repien e uro en uro. sí: 97 ( ) I I lulno ls poenis suesivs e oenemos que:

11 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO 8 Poemos oninur y oservr que ls poenis pres siguen un ley e reurreni y ls impres or. Es eir: Si n es pr: n n n y si n es impr: n n n. Por no, 9 9. Uilizno ls operiones elemenles por fils, oén mries ringulres equivlenes ls siguienes mries: ) ) ) ) Relizno l operión elemenl F F F, oenemos: ) Relizno ls operiones elemenles F F F, F F F y F F F, oenemos: ) Relizno ls operiones elemenles F F F, F F F y F - F F, oenemos: 8. Hll ls mries inverss e ls siguienes mries hieno uso e l efiniión e mriz invers: ) ) ) ) Se se umplirá - I:

12 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO Proeieno omo en el pro nerior, oenemos: ) ) No eise -. lul ls mries inverss e ls mries que siguen por el méoo e Guss-Jorn: ) ) ) Uilizno el méoo e Guss-Jorn oenemos: ) Relizmos ls siguienes operiones elemenles por fils: F F F ; F / F y F F - F.. L mriz invers e es ) Relizmos ls siguienes operiones elemenles por fils: F F - F ; F F - F ; F F F y F F - F.. L mriz invers e es

13 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO ) Proeieno omo en el pro nerior, oenemos que l mriz invers e es:. Ds ls mries, y, enuenr, en so, l mriz X que umple: ) X ) X ) X ) Despejmos l mriz inógni X y oenemos: X ( ) -. Operno on ls mries enemos: 8 X ) Despejmos l mriz inógni X y oenemos: X - ( ). Operno on ls mries enemos: 7 X ) Despejmos l mriz inógni X y oenemos: X - -. Operno on ls mries enemos: X

14 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO. lul el rngo e ls siguienes mries: ) ) ) Relizmos operiones elemenles en ls fils e ls mries, oenieno mries equivlenes, es eir, on el mismo rngo. ) Rngo e Rngo e. ) Rngo e Rngo e Rngo e. ) Rngo e Rngo e Rngo e.. ) Esrie uro mries e imensión que engn, respeivmene, rngo,, y. Rzon u respues. ) Esrie uro mries e oren que engn, respeivmene, rngo,, y. Rzon u respues. En mos sos eisen múliples respuess. ) L mriz e imensión, - on rngo es, por ejemplo, - on rngo es, por ejemplo, - on rngo o no es posile onsruirls. ) Un ejemplo porí ser: - on rngo : - on rngo : 7

15 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO - on rngo : - on rngo : 7. lul el rngo e ls siguienes mries según los vlores el prámero. ) ) ) Ls soluiones son: ) Rngo e Rngo e Rngo e Si - el rngo es, y si - el rngo es. ) Rngo e Rngo e Rngo e Si y - el rngo es. Si - o rngo es. ) Rngo e Rngo e Rngo e Si - y el rngo es. Si - el rngo es. Si el rngo es. 8. Diuj el grfo e uro véries, uy mriz soi es l mriz M. Supón que l mriz nerior eermin los ongios ireos e un eermin enferme. Hll, lulno M y M, los ongios e seguno y erer oren e los elemenos el grupo. Diujmos el grfo: M 8

16 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO lulmos M : M Los vlores e los elemenos e es mriz muesrn los ongios inireos e seguno oren. sí, por ejemplo: ini que se ongi sí mismo rvés e o l eisir los minos -- o --. ini que ongi rvés e un erero l eisir el mino --. lulmos M : M Los vlores e los elemenos e es mriz muesrn los ongios inireos e erer oren. sí, por ejemplo: ini que ongi rvés e oros os iniviuos l eisir los minos --- o ---. ini que ongi rvés e oros os iniviuos l eisir los minos --- o ---. TIVIDDES ESO UNIVERSIDD-PÁG. 8. Enre ino persons hy l siguiene relión e influenis: influye sore ; E sore D;, D y E influyen sore. Se pie: ) onsruye l mriz e influenis: M. ) Hll l mriz e influenis e os eps: M. 9

17 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO ) Inerpre l sum e ls fils e M y e sus olumns. Diujmos el grfo on ls reliones e influenis que se esrien en el enunio. ) Tenieno en uen que los iniviuos e ls fils influyen sore los iniviuos e ls olumns, omo puee verse en el grfo, l mriz e influenis es: M E D E D ) L mriz e influenis en os eps es M : M El signifio e los elemenos que vlen es: : influye en rvés e. : D influye en rvés e. : E influye en rvés e D. : E influye en rvés e. ) L sum e ls fils es,,, y, respeivmene. Esos vlores signifin: Fil Sum e l fil Signifio Primer Segun Terer ur Quin influye en un person, no influye en nie influye en un person D influye en un person, E influye en os persons, y D L sum e ls olumns es,,,,, respeivmene. Esos vlores signifin: olumn Sum e l olumn Signifio Primer Segun esá influenio por persons,, D y E esá influenio por un person,

18 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO Terer ur Quin no esá influenio D esá influenio por un person, E E hones influenio. Sen ls mries y, ) Deermin el vlor e los prámeros y pr que se umpl. ) Deermin el vlor e pr el ul se verifi. ) Si, enones: Igulno érminos: ) Si, enones: Igulno érminos: {. Sen ls mries I e, eermin pr que se verifique l euión I O, one O es l mriz uyos elemenos son nulos. Operno: I

19 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO Igulno érminos, oenemos:. Un invesigor méio esui l ifusión e un virus en un polión e oys e lororio. En ulquier semn, hy un proili el 8% e que un oy infeo venz l virus y un % e que un oy no infeo quee infeo. ulmene, hy oys infeos por el virus. uános esrán infeos l próim semn? Y enro e os semns? Se esilizrá el número e oys infeos? L mriz, P, e ls proilies e rnsiión es: Infeo Infeo, No inf eo,8 No inf eo, P,9 Esrán infeos l próim semn:,, P X X,8, Esrán infeos enro e os meses:,, P X X,8, ,,,, De or form: P X X,8,9,8, lulmos el vlor esionrio: Se X es, enones: y, P X es X es,8,,9 y y,,y,8,9 y,8,y,8,y { y 8 Si y, enones: 899. y

20 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO. Un resieni loj esuines que esuin en un ful e ienis. Toos los que esuin memáis más e un hor un í ls esuin menos e un hor l í siguiene. Un ur pre e los que esuin memáis menos e un hor un í ls esuin más e un hor l í siguiene. L mi e los esuines hn esuio memáis hoy más e un hor. uános ls esuirn más e un hor mñn? Y pso mñn? Y l erer í? ómo evoluionn el número e esuines e pro on el pso el iempo? L mriz, P, e ls proilies e rnsiión es: hor hor hor, hor,7 P Y l mriz e eso, represenno l polión ul en uno e los os esos, es: X L mriz el í siguiene es:, P X X,7 7 L mriz el seguno í es:, P X X,7 7 L mriz el erer í es:, 9 P X X,7 lulmos el vlor esionrio: Se X es, enones: y P X es X es,,7 y y,y,7 y,y,y { y Si y, enones: y. Enuenr ls mries que onmun on..

21 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO Se X l mriz que onmu on. Se umplirá X X, enones: Igulno érminos: Ls mries que onmun on iene l form, X sieno y números reles ulesquier. 7. lul, rzonno el proeimieno, l mriz 7, sieno. Relizmos ls poenis suesivs e l mriz. Enones, 7 7

22 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO 8. Un forí e mueles fri res moelos e esnerís, y, un e os mños, grne y pequeño. Proue irimene esnerís grnes y 8 pequeñs e ipo ; 8 grnes y pequeñs e ipo, y grnes y pequeñs e ipo. esnerí grne llev ornillos y sopores, y esnerí pequeñ llev ornillos y sopores, en ulquier e los res moelos, ) Represen es informión en os mries. ) Hll un mriz que represene l ni e ornillos y e sopores neesrios pr l prouión iri e uno e los seis moelos-mño e esnerí. ) Ls mries son: Tmños Grne Pequeño 8 Moelos 8 Tornillos Sopores Grne Pequeño ) L mriz que represen l ni e ornillos y e sopores neesrios pr l prouión iri e uno e los seis moelos-mño e esnerí es el resulo el prouo que sigue: Tornillos 8 Sopores 9. D l mriz, hll l mriz que umpl. Resolvieno l euión mriil, oenemos: ( I) ( I) - Ls mries I y ( I) - son: L mriz es: I y ( I)

23 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO PROYETO DE INVESTIGIÓN-PÁG. 9 Un esuio sore el empleo El 7% e l polión lorl e un omuni uónom iene rjo y el reso esá en pro. Se prevé que ño se esruirán un % e los empleos, por lo que el goierno emprene un progrm e reivión eonómi on el que promee empler nulmene l % e los pros. ) umpliénose l previsión, será mejor o peor l siuión l ño siguiene? Qué sueerí l o e os ños? ) Si ls oniiones se mnienen, lul l evoluión el empleo en los próimos iez ños. ) Si ls ifrs iniiles fuesen e un % e empleo y un % e pro, ómo evoluionrí l siuión? ) Si ño el % e los que ienen empleo psn l pro, y el % e los pros enuenrn empleo, form l mriz e rnsiión y esui omo evoluionrí. e) Si el % e l polión lorl esá en pro y se esruyen ño un % e los empleos, hi qué siuión se evoluionrí empleno nulmene l % e los pros? uál eerí ser el pln e empleo pr que el pro no lnzse el %? ) L siuión el enunio puee epresrse en l form:,9, 7 7, P X X,,8 7, Oservmos que se proue un esenso el empleo. Lo que ourre l o e os ños es:,9, 7, 7,7 P X X,,8 7, 9, De or form:,9,,9, 7,8, 7 7,7 P X X,,8,,8,7, 9,

24 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO El empleo vuelve esener por seguno ño onseuivo. Es el momeno e her onjeur y onfirmrls o refurls. ) Enonrremos omo resulos:,78, 7 9, P X X,,,,7, 7 8,7 X,,9, P X,7, 7 8, X,8,,9 P X,8, 7,9 X,,, P X Se oserv el ráer esionrio e l siuión. lulmos, por ejemplo, enro e ños.,, 7,7 X,,, P X Se ee oservr que el ráer esionrio resie en l mriz, y no en ls ifrs iniiles e empleo, X. Se oserv, emás que ls os olumns e l mriz ienen igulrse, o se: el resulo finl, l o e iero número e psos, no epene e l siuión iniil. Se enonrrí l o e y ños: X,8, y X,7, El ermieno progresivo l vlor e esilizión se reliz on myor o menor rpiez según el eso e pri. Y si mimos los vlores e l mriz? ) En ese so los resulos son:,8 P,,, P,7,7,,,..., P,,,99,99, ) Resolvemos el sisem mriil P X es X es. 7

25 Memáis plis ls ienis Soiles II SOLUIONRIO,9,,,8 y y,9, y,,8 y y,, y,, y {,, y L euión nerior juno on y, nos l soluión:,7 e y,.,9, 88 e) En ese so ls mries son: P y X.,,9 L evoluión e l siuión puee epresrse en l form:,9, 88 8 P X X,,9 Oservmos que se proue un esenso el empleo. Pueen lulrse los vlores el empleo en los ños suesivos, unque vemos si es siuión presen un ráer esionrio.,9,,,9 y y,9,y,,9y y y,,y y,7 y, Oenemos el mismo resulo que en l siuión nerior. Se l mriz, vemos l relión enre y pr que el pro no lne el %. y ( ) y ( ) ( ) y y y y y y y y ( ) y ( ) Pr que el pro no lne el % se umplirá: <. Operno en l esigul se oiene: >. 8