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1 PÍTULO : MTRIES. ONEPTO E MTRIZ ivi e inrouión En el IES Virgen e ovong e El Enrego se esá esrrollno un ivi soliri e reogi e juguees. Se hn reprio ls res por ursos, e moo que los lumnos lumns e º e ESO reogen juguees riionles, los e º e ESO juegos e mes los e º e ESO juegos elerónios. urne l primer semn se reogieron juguees en º e ESO, en º en º; l segun semn los esuines rjeron juguees en primero, en seguno en erero. Los profesores enrgos, sisfehos por el resulo e l ivi, eiieron reompensr los niños niñs ofreiénoles rmelos por juguee riionl, morenios por juego e mes un pinho por juego elerónio. uno se enern el reso e grupos el insiuo º e ESO, º º e hiller, eien priipr, l semn siguiene ren juguees riionles, juegos e mes elerónios. El Equipo ireivo, mu orgulloso e l impliión e oos los esuines, eie uplir los premios. uános juguees e ipo se reogieron? uános pinhos, rmelos morenios een omprr omo premio? Si los rmelos uesn un énimo, los morenios énimos los pinhos énimos, uáno les osrá los profesores reompensr sus lumnos? Sugereni: Orgniz l informión en form e ls. ole Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios ª semn ª semn ª semn Premios Juguees riionles Juegos e mes Juegos elerónios rmelos Morenios Pinhos Preio por uni ose ol rmelos Morenios Pinhos nliz: Hrís sio resolver el prolem sin usr ls ls? Te h preio más fáil on l informión oren? onoes lgun siuión e l vi oiin similr l prolem plneo? us oros ejemplos one l informión ul es funmenl pr enener mejor qué esá ourrieno... efiniión Ls mries son un e ls herrmiens más uss enro el Álger Linel esán sois un onjuno e os numérios orenos. Enonrmos ls mries en muhs ienis: Soiologí, Eonomí, emogrfí, ísi, iologí L ie inuiiv e mriz es mu senill, puiénose efinir un mriz omo un l e números orenos, números que pueen provenir e experimenos, enuess, nálisis eonómios, e. Por no: Se llm mriz e oren m n un onjuno e números reles ispuesos en m fils en n olumns, e l form: n n m m mn Ls mries se represenn por lers músuls,,, Los elemenos e l mriz los números se represenn en generl por ij, one los suínies i, j nos n l posiión que oup el érmino: i,,..., m fil j,,..., n olumn sí, el érmino es el elemeno que esá en l primer fil en l erer olumn. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul LirosMreVere.k Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

2 .. imensión e un mriz El número e fils m el número e olumns n nos l imensión e l mriz m n. es un mriz e imensión... Igul e mries os mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules: Si x z =, =, x =, = z =. ; ; ij ij ;, pr que ee umplirse que: ivies resuels Ini l imensión e ls siguienes mries: ; ; ; L mriz es e imensión porque iene os fils res olumns. L mriz es e imensión porque iene un fil uro olumns. L mriz es e imensión porque iene res fils un olumn. L mriz es e imensión porque iene res fils res olumns. eermin los vlores e, pr que ls mries sen igules ; x Pr que os mries sen igules een ener l mism imensión, requisio que umplen. emás, hn e ser igules los érminos que oupn l mism posiión. Por no ee ser x =, =, =, =. ivies propuess. Uiliz mries pr represenr l informión siguiene: Un griulor uliv lehugs, nrnjs melones. urne el ño h reogio mil lehugs, kilos e nrnjs melones. En los ños neriores su prouión h sio e, respeivmene. Por lehug reie un énimo, por kilo e nrnjs énimos por melón énimos. Esrie l mriz e sus gnnis el ño.. nliz los siguienes elemenos e u enorno eermin si son mries o no:. Un lenrio.. L lsifiión e l Lig e fúol o ulquier oro epore.. El iso uro e un orenor.. Un rmrio one se gur un oleión e ops. e. Los lineles e un supermero. f. Un pnll e elevisión. g. El oleo e l Loerí Primiiv, e l Quiniel el Euromillón. h. Los uzones e un vivien. i. Los pupires e un lse.. Propón oros elemenos e u enorno que se mries o puen represenrse meine mries.. TIPOS E MTRIES Si el número e fils es isino el número e olumns m n l mriz se llm rengulr. enro e ls mries rengulres enemos los siguienes ipos: Mriz fil: Es quell que sólo iene un fil. es un mriz fil. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

3 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo Mriz olumn: Es l que sólo iene un olumn. es un mriz olumn. Si el número e fils es igul l número e olumns m = n se hl e un mriz ur. enro e ls mries urs es imporne esr que los elemenos ij en que los os suínies son igules formn l igonl prinipl, los elemenos en que n j i one n es el oren e l mriz formn l igonl seunri. En el onjuno M n e ls mries urs e oren n, e esr los siguienes ipos e mries: Mriz ringulr: Es quell mriz en l que los elemenos siuos por enim o por ejo e l igonl prinipl son nulos. Ejemplos: Mriz Tringulr. Inferior Mriz. Tringulr. Superior Mriz igonl: Es quell mriz en l que los elemenos que no esán en l igonl prinipl son nulos: j i ij si Ejemplos: Mriz Eslr: Es quell mriz igonl en l que los elemenos e l igonl prinipl son oos igules. Mriz Uni Ieni: Es l mriz eslr en l que los elemenos no nulos son igules. Se represen por I. I En osiones se ñe un suínie que ini l imensión e l mriz. Mriz Nul: Es quell en l que oos sus elemenos son ero. Mriz nul e mño. ivies resuels lsifi ls mries siguienes: = ; = ; = ; = ; e E = L mriz es rengulr e imensión. L mriz es un mriz ur e imensión o simplemene. L es ur e imensión. L mriz es un mriz ur e imensión, es l mriz nul e ih imensión. L mriz E es un mriz fil e imensión. igonl seunri igonl prinipl

4 . OPERIONES ON MTRIES ivi e inrouión L siguiene l muesr los resulos e l Lig e fúol espñol / uno equipo jueg omo lol omo visine: En s uer Tol Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P.. relon Rel Mri léio. Mri Vleni.. Sevill.. Villrrel.. hlei. ilo R.. el e Vigo.. Málg R... Espnol Ro Vlleno R. Soie Elhe.. Levne.. Gefe.. R.. eporivo Grn.. S.. Eir U.. lmerí óro.. omple l l e l ereh, fijánoe priniplmene en: o Qué eerís her heho en so e que los equipos huiern eso orenos e iferene form en ms ls. o ómo eliges rjr on los números por qué. o Qué imensiones ienen ls ls on los os En s / uer l que oienes. o ómo hrís resuelo el prolem inverso: os los resulos oles los oenios En s, eerminr los resulos e los equipos uno jugron omo Visines. El sisem e punuión e l Lig punos por jugr un prio, punos por viori, puno por empe punos por erro. o Esrie un mriz que represene esos os sore l punuión o Uiliz ih informión pr eerminr los punos logros por equipo uno jueg omo lol, omo visine en ol. o Oserv ls imensiones e ls ls e pri e l mriz e punuión, e inen relionrls on ls ls e Punos que s e oener... Sum s os mries e imensión m n, se efine l sum e mries + omo quell mriz uos elemenos son l sum e los elemenos que oupn l mism posiión: ij ij ij L sum e mries es un onseueni e l sum e números reles, por lo que ls propiees e l sum e mries Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

5 serán ls misms que ls e l sum e números reles: - Propie soiiv. - Elemeno neuro l mriz nul. - Elemeno opueso : + = - Propie onmuiv: + = +.. Prouo e un número eslr por un mriz El prouo e un número rel k por un mriz = ij es or mriz e l mism imensión uos elemenos son los prouos e los elemenos e l mriz por el número k: k k ij k ij k k k k k k k k k k l mriz, el prouo e l mriz por es:. El prouo e un número por un mriz iene ls siguienes propiees: - Propie isriuiv respeo e l sum e mries. k k k - Propie isriuiv respeo e l sum e números: k l k l - Propie soiiv mix: k l k l - El onjuno e mries M mxn respeo e ls operiones sum e mries prouo por un número rel M mxn,+, k iene esruur e espio veoril... Prouo e mries El prouo e mries no es un operión n senill omo l sum e mries o el prouo e un mriz por un número rel, que no neesin e grnes oniiones. Pr poer muliplir os mries, sus imensiones een umplir uns oniiones. Sen ls mries e imensiones m n n p es eir, el número e olumns e l mriz es igul l número e m uos elemenos, en ese oren, omo un mriz e imensiones p fils e l mriz. Se efine el prouo son e l form: ij n ij ij ij ij ik kj ij k Es eir, el elemeno se oiene muliplino eslrmene los elemenos e l primer fil e l mriz por los elemenos e l primer olumn e l mriz, sí suesivmene. Vemos un prouo e mries esrrollo pso pso: imensión El número e olumns e es igul l número e fils e, por lo no se pueen muliplir en ese oren. L mriz prouo iene ns fils omo ns olumns omo. Que el prouo esé efinio no impli que lo esé el prouo. s ls mries efinio no efinio Pr que esén efinios mos prouos iene que umplirse que si l imensión e l mriz es mm l mriz ee ser n m, sieno ls imensiones e ls mries prouo: nn e quí se onlue que el prouo e mries NO TIENE L PROPIE ONMUTTIV. Si ls mries son urs e oren n, el prouo e mries iene ls siguienes propiees: - Propie soiiv: - Elemeno neuro I: I I - Propie isriuiv respeo e l sum e mries: m n, l imensión e Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

6 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo.. Mriz invers Enre ls propiees e ls mries no se h nomro l exiseni el elemeno simério o elemeno inverso, que no exise ih propie. Sin emrgo, h mries urs pr ls ules exise or mriz que mulipli por ells nos l mriz uni elemeno neuro. efiniión Si un mriz ur exise or mriz, mién ur, que mulipli por l mriz nos l mriz uni, se ie que l mriz es un mriz regulr o inversile l mriz se le llm mriz invers e se represen por : I Si un mriz ur no iene mriz invers, se ie que l mriz es singulr. L mriz invers verifi ls siguienes propiees: - L invers e l mriz invers es l mriz originl: - L invers el prouo e os mries es el prouo e ls inverss e ls mries mino su oren: - L invers e l rspues e un mriz es igul l rspues e l mriz invers: Pr hllr un mriz invers isponremos e vrios méoos isinos. En ese em veremos os: Resolver un sisem e euiones El méoo e Guss Jorn Se. Hll l mriz invers meine un sisem e euiones. Plnemos l mriz hllmos el prouo: ee verifirse que = I, por no: I Resolvieno pr,, : Ese méoo se ompli si h muhos érminos no nulos uno mor es l imensión e l mriz. Se, hll l mriz invers meine un sisem e euiones. e nuevo, plnemos l mriz hllmos el prouo: ee verifirse que = I, por no: I Resolvieno pr,, : omo hemos viso, ese méoo resul lorioso sólo lo hemos uilizo on mries e oren. emás, eemos ener en uen que no siempre exise mriz invers, por lo que porímos her eso rjno en le.

7 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo Méoo e Guss Jorn El méoo e Guss-Jorn pr hllr l mriz invers onsise en onverir l mriz iniil en l mriz ieni, uilizno rnsformiones elemenles. Llmmos rnsformiones elemenles : - Inermir el oren e l fil i por l fil j. Lo esriimos omo j i - Susiuir l fil i por el resulo e muliplir o iviir oos sus elemenos por un número. Lo esriimos omo i i - Susiuir l fil i o l fil j por l sum e ms, muliplis por números no nulos. Lo esriimos omo j i i mplimos l mriz esriieno l mriz ieni juno l originl, plimos ls rnsformiones elemenles e moo que l mriz iniil se rnsforme en l mriz ieni. ivies resuels lul on el méoo e Guss Jorn l invers e l mriz Esriimos l mriz ieni juno l mriz : vmos relizno rnsformiones elemenles l izquier, usno onverirl en l mriz ieni: Por no: omprno ese méoo on el nerior, poemos ver que es muho más simple rápio. Hll l mriz invers e on el méoo e Guss Jorn. Por no, enemos que: Hll l mriz invers e Esriimos l mriz ieni juno l mriz opermos omo se explió nes: Por no, l mriz invers que:

8 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo.. Mriz rspues un mriz e imensiones n m, se llm mriz rspues e se represen por, l mriz que se oiene l mir ls fils e por sus olumns, por lo que l mriz será e imensión m n. Un mriz ur se ie que es siméri uno oinie on su rspues:. Pr que un mriz se siméri los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl een ser igules. Si un mriz ur es igul l opues e su rspues,, se ie que es nisiméri. Pr que un mriz se nisiméri ee umplirse que los elemenos simérios respeo e l igonl prinipl sen opuesos, los elemenos e l igonl prinipl nulos. on ls mries rspuess se umplen ls siguienes propiees: - L rspues e un sum e mries es igul l sum e ls mries rspues: - L rspues e un prouo e mries es igul l prouo en oren inverso e ls mries rspuess: ivi resuel Pr ls mries:, reliz el prouo. El primer pso onsise en rsponer ls mries: Es eir: poemos ompror l propie nerior: Por no:.. Rngo e un mriz Se llm rngo e un mriz l número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. ivi resuel eermin el rngo e ls mries: L erer fil e se ouvo sumno ls os primers fils. Ess os primers fils son inepenienes, por lo que el rngo e es. L erer fil e se ouvo resno l segun fil l ole e l primer. El rngo e es. Pr hllr el rngo e un mriz se pueen usr ls rnsformiones elemenles pr inenr her el máximo número posile e eros, inenno ringulr l mriz méoo e Guss; sin emrgo, será más fáil hllr el rngo usno eerminnes, omo veremos en el píulo siguiene.

9 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo ivies resuels lul el rngo e l siguiene mriz según los vlores el prámero : Soluión El rngo e es mriz será omo máximo pues es un mriz e imensión x. Vmos relizno rnsformiones elemenles hs onverirl en un mriz ringulr. Inermimos fils pr ener un en l posiión. hor rmos e onseguir eros, pr lo que l segun fil le resmos l primer fil mulipli por : Vemos que si + = l segun fil es nul, por lo que su rngo serí. Por no: + = = e quí: rg rg En un pís, exisen res eropueros inernionles, ; en oro pís exisen,, ; en un erer pís exisen os. ese el eropuero slen vuelos on esino,, os vuelos on esino. ese el eropuero slen vuelos on esino, os vuelos on esino. ese el eropuero sólo sle un vuelo on esino. ese eropuero el pís, slen os vuelos uno e los eropueros el pís. Se pie, expresr meine mries: Los vuelos el pís l. Los vuelos el pís l. Los vuelos el pís l, neesien o no efeur rsoro en el pís. Soluión El esquem e los vuelos es: Represenmos los vuelos ese fils hs olumns Represenmos los vuelos ese fils hs olumns Represenmos los vuelos ireos ese fils hs olumns: Los vuelos ese hs on o sin rsoro serán:

10 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo ivies propuess. Esrie res mries fil.. Esrie res mries olumn.. Esrie res mries urs e imensión, respeivmene.. Esrie l mriz uni e imensión,.. Esrie l mriz nul e imensión,.. s ls mries, lul: + +. Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. s ls mries lul.. lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries:,,,. Resuelve l euión mriil M + N = P sieno: M, N, P. lul el rngo e ls siguienes mries:,,, EJERIIOS PROLEMS.. - s ls mries, lul: Pr ls mries lul. Es el prouo onmuivo?. - lul los prouos posiles enre ls mries,..- s ls mries lul..- Pr ls mries,, reliz ls siguienes operiones si es posile: + e f g. - Es posile que pr os mries no urs puen exisir?. - lul pr l mriz Enuenr los vlores e pr que l mriz onmue on l mriz.

11 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo. - lul n, pr n N, sieno ls siguienes mries:. Se ie que os mries onmun si =. l mriz hll ls mries que onmuen on.. - Enuenr os ls mries, el oren orresponiene, que onmuen on ls mries:. - Sen ls mries m E m x m x,,,,. lul uno e los prouos, E, E, E..- Sen z x z x os mries e oren, en ls que x,, z enon vlores numérios esonoios. eermin, rzonmene, los vlores e x,, z R e mner que =. Es posile el álulo e? Rzon l respues..- Se l mriz lul, si exisen, ls siguienes mries: Un mriz, l que. Un mriz l que. - lul ls mries inverss, si exisen, e ls siguienes mries:.- s ls mries lul..- l mriz. Hll l mriz invers e. omprue que - = - = I. Hll un mriz l que =, sieno.- lul l mriz invers e. - s ls mries oén, si proee, -..- Sen ls mries lul l mriz invers e Hll el prouo e l invers e por l invers e. Qué relión exise enre l mriz el pro nerior es mriz? Jusifi l respues.

12 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo. Se omprue que = lul..- Sen ls mries:,. Hll. lul l mriz invers e. omprue si es igul o es igul..- Resuelve l euión mriil M + N = P sieno,. - Sen ls mries,. lul + I. eermin l mriz pr que = + I. - Sen ls mries,. Resuelve l euión =. - lul el rngo e ls siguienes mries:. - lul el rngo e ls siguienes mries según los vlores el prámero :.- eermin ls mries que son soluiones el siguiene sisem:. - Oener ls mries e que verifiquen los siguienes sisems mriiles.. - Uilizno ls operiones elemenles por fils, oén mries ringulres equivlenes ls siguienes mries: M N P

13 . - En un emi e iioms se impren inglés lemán en uro niveles os molies: grupos reuios grupos normles. L mriz expres el número e persons, según el ipo e grupo, one l primer olumn orrespone los ursos e inglés, l segun los e lemán ls fils, los niveles primero, seguno, erero uro respeivmene. Ls olumns e l mriz,,,, reflejn el no por uno e,,,, esuines omún pr mos iioms que siguen urso reuio primer fil urso norml segun fil pr uno e los niveles. Oener l mriz que proporion el número e esuines por moli e iiom. Sieno que l emi or euros por person en grupos reuios euros por person en grupo norml, hllr l ni que oiene l emi en uno e los iioms.. - Tres esriores presenn un eior, l r l enilopei, l minu que se reoge en l l jun: Hors e rjo onferenis s Vijes Esrior Esrior Esrior El eior pg l hor e rjo euros, l onfereni euros el vije euros. Si sólo piens pgr, respeivmene, el %, el % el % e lo que orresponerí esrior, qué gso enrí el eior?. - Un fári proue os moelos e lvors,, en res erminiones: N, L S. Proue el moelo : unies en l erminión N, unies en l erminión L unies en l erminión S. Proue el moelo : unies en l erminión N, en l L en l S. L erminión N llev hors e ller hor e minisrión. L erminión L llev hors e ller, hors e minisrión. L erminión S llev hors e ller, hors e minisrión. Represen l informión en os mries. Hll un mriz que exprese ls hors e ller e minisrión emples pr uno e los moelos.. - Sen os mries e igul oren, un número. Se se que + = +. Jusifi el resulo.. - Sen os mries urs e igul mño. Si son siméris, nliz si, enones, mién lo es su prouo. Si l respues es firmiv, jusifíquese; en so onrrio, ese un onrejemplo que lo onfirme. r. - Se l mriz M, sieno r s os números reles les que r s. lul M, M, M M k pr k N. s. - Se el onjuno e mries efinio por: M ;, R omprue que, M, mién + M M Enuenr os ls mries M, les que =.. - Se ie que un mriz ur es orogonl si se verifi que = I one es l mriz rspues e e I es l mriz ieni. Si son os mries orogonles e igul mño, nliz si es un mriz orogonl.. onsier ls mries, efinis omo: ij i j, i, j,, i j, i,; j,, i j, i,,;, j, ij ij onsrue ls res mries. Hll ls rspuess, eermin uál o uáles e ls mries es siméri. nliz uáles e los prouos,,,,,,, o pueen relizrse. eermin el rngo e ls res mries,. z. l mriz: M z x en l que se verifi x + + z =. x lul M. lul P = M + I. omprue que P = P. omprue que P M = M P = O. Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

14 RESUMEN efiniión e mriz Tl e números orenos imensión e un mriz El número e fils m el número e olumns n L imensión e l mriz nerior es. Igul e mries os mries son igules si ienen l mism imensión si los érminos que oupn l mism posiión son igules = ij = ij i,j Tipos e mries Sum e mries Prouo e un rel por un mriz Prouo e mries Mriz fil: Mriz olumn: Mriz ringulr e imensión : Mriz igonl: Mriz eslr: Mriz uni: Se sumn los elemenos que oupn l mism posiión: ij ij ij Es or mriz e elemenos los e l mriz muliplios por el número: k k ij k ij ij n ij ij ij ij ik kj ij k Mriz invers I / / / / Mriz rspues Se oiene mino fils por olumns. Rngo e un mriz Número e fils o olumns e l mriz que son linelmene inepenienes, es eir, que no pueen oenerse prir e ls emás fils o olumns e l mism mriz. UTOEVLUIÓN El rngo e l mriz es. s ls mries ;.- L imensión e l mriz es: x x.- L mriz es: un mriz fil ur rspues rengulr.- L sum e ls mries es:.- El prouo es:.- Ini qué firmión es ier Ls mries se pueen muliplir Ls mries no se pueen muliplir ms ienen mriz invers Sus mries rspuess son igules Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo

15 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo s ls mries ; ; ; E.- L mriz ieni es l mriz: ; ; E;..- El prouo e ls mries E es: E E E E.- L mriz invers e l mriz es:.- L mriz rspues e l mriz es:.- El rngo e l mriz es: no iene pénie: Prolems e mries en ls P...U. Se l mriz. omprue que verifi I = O, on I l mriz ieni O l nul. lul. sánoe en los pros neriores sin reurrir l álulo e inverss, hll l mriz que verifi l igul + I = efine rngo e un mriz. Un mriz e fils olumns iene rngo. ómo vrí el rngo si quimos un olumn? Si suprimimos un fil un olumn, poemos segurr que el rngo e l mriz resulne vlrá os? Se un mriz m n Exise un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? Se puee enonrr un mriz l que se un mriz fil? Si exise, qué oren iene? us un mriz l que = sieno l mriz el veor x, se pie oener rzonmene: El veor l que =. Toos los veores les que =. Toos los veores les que =. Sen I ls mries urs siguienes: I Se pie lulr, explino oos los psos neesrios: Ls mries. Los números reles pr los ules se verifi I + = I +. l euión mriil: one es un mriz ur e mño, se pie: lul el vlor o vlores e pr los que es euión iene soluión. lul en el so =. Un mriz se ie que es ringulr si el primer elemeno e su segun fil es. Enuenr os ls mries ringulres les que.

16 Memáis plis ls ienis Soiles II. º hillero. píulo : Mries uor: Leii González Psul Revisores: Álvro Vlés Jvier Rorigo omprue rzonmene que: Si el prouo e os mries urs es onmuivo, enones se eue que el prouo e los uros e ihs mries es igul l uro el prouo e ihs mries. L mriz sisfe l relión + I = O, sieno I O, respeivmene, ls mries e oren uni nul. lul rzonmene esriieno oos los psos el rzonmieno uilizo, los vlores que hen que = + I, sieno que l mriz verifi l igul = + I. lul ls mries reles urs e oren, e, que sisfen ls euiones: one: Si e son ls mries neriores, lul + +. lul oos los vlores reles x,, z, pr los ules se verifi =, one z x Tenemos ls mries e I lul l mriz invers e. lul l mriz = + I. eermin los números reles que umplen: = x + I, = z + I, Sen ls mries: z x z x os mries e oren en ls que x, z R enon vlores numérios esonoios. eermin, rzonmene, los vlores e x, z R e mner que =. Es posile el álulo e? Rzon l respues Se + I = un expresión mriil, one eno l mriz ur e oren : e I es l mriz ieni e oren orresponiene: Qué imensión iene l mriz? eermin los elemenos que inegrn l mriz, eso es, ij q. lul + I. Sen os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: Sen e os mries esonois. Resuelve el siguiene sisem e euiones: Se llm rz e un mriz l sum e los elemenos e su igonl prinipl. Hll, mriz e mño, sieno que l rz e es ero. Se un mriz que iene res fils; se l mriz que resul e susiuir en l ª fil por l sum e ls ors os. Qué ee ourrir enre ls fils e pr que engn el mismo rngo? s ls mries se pie: Enonrr ls oniiones que een umplir, pr que se verifique =. Pr = = =, lulr. enomos por M l mriz rspues e un mriz M. onsier:,, lul. eermin un mriz que verifique l relión.