Costrucció del Triágulo de Sierpiski co latas de Refresco o Cerveza Mario Otero Novoa (IES Navarro Villoslada) La asigatura de matemáticas siempre arrastra la imerecida fama de dificultad y de y esto para qué sirve?. Por este motivo me propuse costruir co los alumos de 3º de ESO de Seccioes Biligües del IES Navarro Villoslada ua figura que os permitiese estudiar uo de los temas más complicados del curso: las progresioes. El reto era secillo: coseguir más de 1000 latas de refresco o cerveza para motar el famoso Triágulo Fractal de Sierpiski y relacioarlo co el coteido didáctico de las matemáticas de 3º de ESO. 1) FRACTALES Y TRIÁNGULOS E la década de los 70 se comezaro a estudiar e matemáticas los llamados objetos fractales que, de modo secillo, se puede iterpretar como objetos que se repite a sí mismos idepedietemete de la escala utilizada para observarlos. Estos objetos resultaro ser muy útiles para explicar feómeos aturales y estudiar características geométricas co patroes caóticos (como por ejemplo, medir la logitud de la costa de Iglaterra). El Fractal de Sierpiski Es muy comú e matemáticas que distitos coceptos surja e épocas y lugares diferetes para después ecajar a la perfecció. E este caso, el matemático polaco Waclaw Sierpiski itrodujo su famoso triágulo medio siglo ates del desarrollo exhaustivo de la geometría fractal. Su costrucció es muy simple: 1) Partimos de u triágulo equilátero. 3) Repetimos el proceso co cada uo de los tres triágulos obteidos, si olvidar la elimiació de los triágulos cetrales. 2) Uimos los putos medios de los lados y elimiamos el triágulo cetral. 4) Cotiuamos el proceso de forma idefiida. Este objeto cumple dos propiedades curiosas: se repite a sí mismo a cualquier escala y la repetició ifiita del proceso de costrucció lleva a ua figura que tiee superficie cero y perímetro ifiito, algo que desafía la lógica de la ituició. Otros ejemplos de fractales f El Triágulo de Sierpiski es uo de los iumerables ejemplos de fractales que se puede ecotrar. Si bie, por su importacia histórica o curiosidad, otros famosos so: Espoja de Meger Copo de Koch Cojuto de Madelbrot Romaescu (verdura fractal) 1
2) LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI A lo largo de todo el proceso hemos utilizado el siguiete material: 1092 latas de refresco o cerveza de diámetro 66 mm 12 tubos de adhesivo de motaje 2 moldes de madera 6 botes de pitura de diferetes colores 24 metros de perfil de alumiio Muchas horas de esfuerzo y paciecia Las distitas fases del trabajo fuero realizadas e horas extraescolares por las tardes, ya que ecesitábamos dispoer de u aula etera de trabajo para poder pegar y almacear los triágulos utilizados. Fase 1: Recolecció de las latas l Ua vez motivados y dispuestos a llegar hasta el fial, colocamos u cubo e la etrada del istituto para que todo el mudo colaborase co latas de tamaño estádar. He aquí el resultado de tal proceso: E total, más de 1300 latas. Fase 2: Los primeros triágulos t Llegó el mometo de empezar a pegar latas. El primer objetivo (y el más duro) fue coseguir pegar 121 triágulos de 9 latas cada uo, para lo que usamos dos moldes de madera, 9 tubos de adhesivo de motaje y dos pistolas para hacer el doble de trabajo e el mismo tiempo. Cada triágulo de 9 latas está formado por 3 bloques de 3 latas y requiere utilizar 12 aplicacioes de pegameto, por lo que el motaje preciso de uo de estos primeros triágulos ecesita aproximadamete de 6 o 7 miutos (y eso ua vez que ya se tiee iteriorizada la rutia de trabajo) 2
Fase 3: Los siguietes triágulos triágulos Cuado al fi estuviero listos los 121 triágulos de 9 latas, comezamos a pegarlos etre ellos para así coseguir todos los triágulos deseados. Esta vez ecesitamos otros dos tubos de adhesivo de motaje. Para el resultado fial, hubo que pegar: 1 triágulo de 3 latas 1 triágulo de 9 latas (formado por 3 triágulos de 3 latas) 1 de 27 latas (formado por 3 triágulos de 9 latas) 1 de 81 latas (formado por 3 triágulos de 27 latas) 1 de 243 latas (formado por 3 triágulos de 81 latas) 1 de 729 latas (formado por 3 triágulos de 243 latas) Estos so los 6 triágulos que forma parte del motaje fial Fase 4: 4: El color color Para que quedase bie claro el cocepto de fractal, e el proceso de costrucció del triágulo de Sierpiski, usamos 6 colores diferetes para visualizar que e cualquier triágulo está coteidos todos los triágulos ateriores. Hubo que comprar: U bote de capa de imprimació U bote de pitura de cada uo de los siguietes colores: púrpura-mageta, azul lumioso, amarillo real, rojo chia y verde TK-314 U spray de color rojo fosforito para destacar el módulo básico de 3 latas 3
Fase 5: : Preparació del motaje Ua vez listas estas fases, decidimos colocar los triágulos e la pared frotal del istituto usado perfiles de alumiio e las bases de los distitos iveles para darle fuerza y resistecia a la estructura fial. Para aprovechar la esquia y hacer u efecto evolvete, dividimos el cuarto triágulo por la mitad, como se puede observar e el simulacro: Fase 6: : Colocació e la paredp A lo largo de dos días, y recurriedo a escaleras, adamio y taladro, pudimos colocar uestro proyecto y los paeles explicativos e la fachada pricipal del istituto. Visita uestro blog: http://callmeeistei.blogspot.com.es/2013/05/sierpiskis-fractal-triagle.html 4
3) LAS MATEMÁTICAS DEL TRIÁNGULO Las Matemáticas de Sierpiski Esta figura os ayuda o sólo a eteder el cocepto de fractal, sio a visualizar diversos coceptos matemáticos relacioados co las sucesioes: El úmero de latas de cada triágulo viee dado por la progresió geométrica L = 3 Así, el primer triágulo tiee 3 latas, el segudo 9, el tercero 27 La logitud de la base y altura de cada triágulo se obtiee tambié como ua progresió geométrica y ua sucesió: b = d 2 y dode d = 66 mm es el diámetro de ua lata. h ( ) 2 1 3 + 2 = d 2 Además, para llegar a estas expresioes hemos trabajado co radicales, el Teorema de Pitágoras, y la expresió de la altura de u triágulo equilátero e fució de su lado. Iformaci ormació previa ecesaria Ates de comezar el proyecto, era imprescidible saber cuátas latas íbamos a ecesitar y las dimesioes totales de la figura. Para ello, usamos la fórmula que os permite obteer la suma de varios térmios cosecutivos de ua progresió geométrica. E este caso, de los 6 primeros térmios de la sucesió del úmero de latas L 3 = ; así: ( ) ( ) 1 6 3 3 1 3 729 1 S6 = = = 1092 latas 3 1 2 Gracias a todo esto, supimos de atemao las dimesioes que debería teer la pared para poder colocar uestra Sucesió de Triágulos de Sierpiski. Nivel Número de latas L Logitud base b Altura h 1 3 132 mm 123 mm 2 9 264 mm 237 mm 3 27 528 mm 466 mm 4 81 1056 mm 923 mm 5 243 2112 mm 1838 mm 6 729 4224 mm 3667 mm A mis alumos, a que me ha dado la motivació ecesaria como para meterme e algo así. 5