Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions ponncials son:,,, 8 Rpasmos l concpto logaritmo, a qu s frcunt no rcorar qué son los logaritmos o, n l caso más trmo, sin habrlos stuiao nunca urant su carrra stuiantil. Una las opracions invrsas la potncia s la logaritmación, ahí qu si tnmos las siguints potncias: =8; 5 =5, 0 =000; 0 =0.000 si s prgunta Cuál s l invrso (l camin o rtorno) caa una llas? l stuiant rspon conform a la siguint tabla: potncia invrsa 8 8 7 7 9 8 8 9 0 000 000 0 Qu s cirto. Sin mbargo, obsérvs qu n caa potncia (primra columna) s tinn os cantias, la bas l ponnt, n la tabla antrior l rtorno s hizo hacia la bas. No poría habr sio l rtorno hacia l ponnt? Acá s on aparc l concpto logaritmo. Cuano s tin la potnciación a n =b on a, n, b son cualquir númro, (son trs cantias las qu intrvinn: la bas, l ponnt l rsultao), a partir l rsultao istn os posibilias rgrso, (invrsas) uno hacia la bas otro hacia l ponnt. Para rgrsar a la bas s mpla la raíz n-ésima a, para rgrsar al ponnt s mpla l logaritmo bas a b. En ambos casos la opración raíz o la opración logaritmo s l aplica al rsultao b la potnciación; amás, s b hacr intrvnir a la trcra cantia, n l primr caso para sñalar l ínic l raical, n l sguno caso para sñalar la bas.
Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. potncia Rgrso a la bas Rgrso al ponnt 8 8 log 8 7 7 log 7 log 9 8 8 9 log 98 9 0 000 000 0 log 000 D ahí qu l logaritmo s: El logaritmo un númro n s l ponnt al qu b lvars la bas para obtnr icho númro n. Como los logaritmos pun sr bas cualquir númro, habría un númro infinito ifrnts logaritmos, por lo qu n algún momnto los matmáticos acoraron mplar solamnt os tipos logaritmos: a) los logaritmos bas iz (por tratars un sistma cimal), llamaos logaritmos vulgars o logaritmos cimals, rprsntaos simplmnt por l símbolo log sin spcificar la bas, qu s sobrntin qu s 0. b) los logaritmos naturals, rprsntaos por l símbolo ln cua bas s l númro irracional.78888, comúnmnt notao como. D manra smjant a como con s rprsnta l númro vcs qu l iámtro cab n su propia circunfrncia (.), la bas los logaritmos naturals s simboliza con la ltra, o sa qu = 78888. Est númro sal l límit lim tma qu no s st curso, por tanto, no s va a tallar más. 0 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos, no importa cuál sa su bas, toos tinn las siguints propias:. log A log B log AB A. log A log B log B A. A log B log B. Para cambio bas: log C A loga A log C a D éstas, la trcra srá mu útil para rsolvr algunas rivaas logaritmos, como s Eponrá más alant.
Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FÓRMULAS para rivar: ln u u () u u u u () La rivaa l logaritmo natural u, ( u s l argumnto) s una fracción: n l numraor, la rivaa l argumnto; n l nominaor, l argumnto u tal cual. Ejmplo : Hallar la rivaa ln 9. Solución: En st caso, l argumnto s 9, s cir u = 9. Aplicano la fórmula (): Ejmplo : Drivar = ln (7 + ). Solución: En st jmplo, l argumnto s 7 +, s cir qu u = 7 +. Así qu aplicano la fórmula (): 7 7 Ejmplo : Obtnr la rivaa ln 5
Solución: El argumnto s fórmula (): 5, sto s qu u 5 5 5 5 Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática., Utilizano la Ejmplo : Calcular la rivaa ln Solución: El argumnto l logaritmo s, por lo qu mplano la fórmula (): Otro métoo: Como ln s lo mismo qu - ln, s pu aplicar la trcra propia los logaritmos cita n la página, qu lía rcha a izquira s tin qu - ln, s cir qu la función a rivar s ln. aplicano la formula (), tnmos: Qu s l mismo rsultao obtnio antriormnt. Ejmplo 5: Hallar la rivaa ln Solución: El argumnto l logaritmo s, moo qu mplano la fórmula ():
Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. Ejmplo : Drivar. Solución: Emplano la fórmula (), on u = : D on s tin qu: Ejmplo 7: Obtnr la rivaa Solución: Aplicano la fórmula (), on u 5 Ejmplo 8: Hallar la rivaa Solución: Por la fórmula (), n on u Ejmplo 9: Hallar la rivaa Solución: Como s trata un proucto, b mplars la fórmula para rivar implícitamnt tnino n cunta qu ha un proucto ntr las variabls. uv v u v u En on u, v, por tanto: 5
Ejmplo 0: Calcular la rivaa Solución: Como s trata un proucto, b mplars la fórmula implícita tnino n cunta qu ha un proucto ntr las variabls.) ln ln ln Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. u v (rivación Para la primra rivaa s aplica la formula () l logaritmo natural para la sguna la formula (), así: ln ln ln Ejmplo : Drivar sn Solución: La función s la forma sn u; on l argumnto s, Por lo tanto, rivano por la rgla la cana para una trigonométrica, s tin: cos sn cos cos Ejmplo : Hallar la rivaa Solución: La función tin la forma b utilizars () ln sc ln u, on l argumnto s sc, por lo tanto sc ln sc La rivaa pnint tin la forma sc u, sc argumnto la scant s así: on l, por lo qu ahora b mplars la rgla la cana tan sc sc tan sc sc tan
Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. ln - 5 Ejmplo : Obtnr la rivaa, Solución: Como ln - 5 ln - 5 la función tin la forma u n, manra qu mplano la fórmula para rivar potncias: ligo la rgla la cana tnmos: si f ( ) a n f ( ) a n n ; - 5 ln - 5 La rivaa pnint s la forma u n, por lo qu b - 5 mplars nuvamnt la fórmula para rivar por la rgla la cana - 5-5 - 5 ln - 5 ln - 5 Finalmnt - 5-5 simplificano ornano conform a las rglas scritura matmática, llgamos a 8-5 ln - 5-5 7 ln 5 5 Ejmplo : Drivar ln sn 5 Solución: El argumnto l logaritmo natural s Utilizano la fórmula l logaritmo natural: sn 5, por lo tanto u sn 5 7
Prof., Enriqu Matus Nivs sn 5 sn 5 La rivaa pnint sn 5 Doctorano n Eucación Matmática. s un proucto, o sa la forma uv, manra qu aplicano la fórmula l proucto s obtin Ahora, la primra rivaa pnint s la forma sn u sn 5 sn sn 5 5 cos 5 5 sn sn 5 5 5 cos 5 sn sn 5 5 Ejmplo 5: Hallar la rivaa ln Solución: La función a rivar s pu scribir como ln qu toma la forma u n on u ln n -. Utilizano ntoncs icha fórmula s llga a qu: - -- ln ln La rivaa pnint s la forma u por tanto: : ln - ln - ln - ln 8
Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. Ejrcicios: Obtnr la rivaa las siguints funcions:. ln. ln. ln 8. ln 8 5. ln 9 7. ln 7 7 5 8. ln 7 -. ln 7 5 9. ln 7 0... 7. 5. 5. 5. 5 5 7. ln 5 9. ln 0 5 8. ln f 0. f sn(ln ). log -. f 5 ln. f sn ln 5. f 5 ln f. 8. f log 5 9. f ln -. log cos f ln ( ) ln - - 5 7. f ln 0. f ln ln. f ln 5. f z a Driv las siguints funcions ncuntr su Dominio. 9
. f. f - ln - 5. f ln ln ln 5. f ln Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática.. f ln. f Usano la rivación implícita calcular las rivaas :. ln.. ln. cos 5. (ln ) ln -. sn 0