L plbr mtemátics proviene del término griego mthemtiké o cienci por excelenci, pues los sbios de Greci opinbn que tods ls leyes de l vid y del mundo físico se podín expresr por medio de los números. Ls mtemátics son un cienci experimentl que bs su desrrollo en l intuición y l lógic. Te hs preguntdo lgun vez por qué l nombrmos en plurl: ls mtemátics? Como hbrás observdo en cursos psdos, est cienci se puede dividir en vris rms: geometrí, álgebr, etc. L ritmétic es l cienci de los números y está fundmentd en ls relciones que se pueden estblecer entre ellos medinte operciones, y en sus propieddes. COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
PARA EMPEZAR.... Clcul: 8 ( + 6 + 9 )( : 6 9) ( ) + ( ) ( 6) 7 ( 7) ( 6 9) 7 ( + ) ( )( + ) 6 ( 7 ) : ( ) Representr los siguientes números en l rect rel: 0 -/ / -/ / / Clculr: g) h) + 7 + 7 + : + : : Si un empres gn.000 mensules netos y le umentn ls gnncis un 6 %, cuánto dinero supone l subid?. Un lbñil construye 8 m de pred en hors de trbjo. Le flt por levntr m. Cuánto tiempo trdrá si trbj l mismo ritmo? 6. Si un person cobr un slrio neto de 7, cuál será su slrio bruto si los descuentos suponen en totl un 8 %? 7. Escribir en form de potenci: (-) (-) (-8) (-8) : (-) (-) (-) 0 7 (-) :(-) : LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
PARA RECORDAR. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Como bien sbes ls mtemátics surgen de l necesidd de contr, ordenr, comprr o jugr. De est mner surgieron los números nturles. Qué números formn el conjunto de los números nturles? Con qué letr se designn? Con los números nturles se pueden relizr ls operciones ritmétics de sumr, restr, multiplicr, dividir, etc. Si cogemos dos números nturles culesquier y los summos el resultdo tmbién es un número nturl. Pero que sucede si los restmos? Podrís encontrr dos números nturles cuy rest no lo se? Por qué crees que sucede esto? Los números nturles no son suficientes l hor de expresr cierts cntiddes como ls deuds, ls temperturs bjo cero, etc. Por eso tenemos l necesidd de mplir este conjunto ñdiéndole los números negtivos. De est mner obtenemos el conjunto de los números enteros que están formdos por los números nturles (positivos), los números negtivos y el cero. Con qué letr se design l conjunto de los números enteros? Con los números enteros se pueden relizr entonces ls operciones ritmétics de sumr y restr, y qué sucede con l multiplicción y l división? Si multiplicmos dos números enteros culesquier, el resultdo seguirá siendo un número entero? Y qué sucede si dividimos dos números enteros? Al dividir números enteros, nos encontrmos con un dificultd similr l de l rest de números nturles. Si considermos por ejemplo l división : 7 su resultdo no corresponde con ninguno de los números que formn el conjunto de los números enteros. Ests divisiones se dejn indicds de l form y reciben el nombre de frcciones. 7 El conjunto que result de ñdir los números enteros los números frccionrios se represent con l letr Q y se llm conjunto de los números rcionles porque se pueden expresr medinte un rzón:. b Los números rcionles son, pues, los que se pueden expresr en form de frcción. Intent expresr en form de frcción los siguientes cocientes de números enteros: -0' ' -' - Crees que puede existir lgún número frccionrio de l form respuest.? Ayúdte de un ejemplo pr rzonr tu 0 El conjunto de los números nturles es: N {,,,, } El conjunto de los números enteros es el formdo por los números nturles (positivos), los números negtivos y el cero: Z {, -, -, -, 0,,,, } El conjunto de los números rcionles, es el conjunto de los números que se pueden expresr de l form, donde y b son números enteros y b 0. b COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
PARA PRACTICAR 8. 9. Como ves en este digrm los números enteros son un prte del conjunto de los números rcionles. Sbrís explicr por qué? Rzon si ls siguientes firmciones son cierts o no. Todo número nturl es entero. Ningún número rcionl es nturl. Algún número nturl es entero. Algún número rcionl es entero. Q Z N 0. Cuál es el menor número nturl? Y el menor número entero?. Clsific los siguientes números indicndo el conjunto menor l que pertenecen. -, 8/, -9/,, -7/9, /, 0. Los números nturles, enteros y rcionles se representn sobre un rect numéric eligiendo un punto de origen pr el 0. Dibuj un rect y represent sobre ell los números: ', -8/, /0, -/, -,, '8 Si representmos sobre l rect numéric todos los números rcionles, cuántos puntos quedn sin cubrir? PARA RECORDAR. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Propieddes de ls operciones: Ls operciones con números enteros presentn ls siguientes propieddes. Complet l column de l derech comprobndo cd propiedd con un ejemplo. Operción Propiedd Expresión nlític Ejemplo Sum (rest Multiplicción (división) Asocitiv Conmuttiv Elemento neutro Elemento opuesto Asocitiv Conmuttiv Elemento neutro ( + + c + ( b+ + b b+ + 0 + ( 0 ( b ) c ( bc ) b b Distributiv respecto de l sum b+ c b+ c LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS. Propieddes de ls operciones: Ls operciones con números rcionles presentn ls siguientes propieddes. Complet l column de l derech comprobndo cd propiedd con un ejemplo. Operción Propiedd Expresión nlític Ejemplo Sum (rest Multiplicción (división) Asocitiv Conmuttiv Elemento neutro Elemento opuesto Asocitiv Conmuttiv Elemento neutro c e c e + + + + b d f b d f c c + + b d d b + 0 b b + 0 b b c e ce b d f b d f c c bd db b b Elemento inverso b b Distributiv respecto de l sum c e c e + + b d f b d b f PARA PRACTICAR. Clcul: [ ] 7 ( 9) + + g) h) i) [ ] [ ] [ ] ( + 6 + ) ( 6 + ) [ ] 6 ( 9+ 7 ) ( + + 6) 8 ( ) 7 (6 ) + [ : ] [( ) ] + + ( 9 ) + 7 [ ] 8 6 ( + 7) 6 + [ ] 6 ( 9) + 6: + 8 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
. Efectú ls siguientes operciones: + + 8 8 9 + 87 8 7 7 0 0 7. Clcul: 9 : 6 8 6 6 6 6 6 7 + + PARA APRENDER. EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL. Clsificción de ls expresiones decimles: Como hemos visto todo número rcionl se puede expresr de l form ( b 0 ) lo que represent el b cociente indicdo entre dos números enteros. El número rcionl que represent tiene un expresión deciml. Efectú el cociente que se indic en los siguientes números frccionrios: 6 6 Qué similitudes y diferencis encuentrs entre los resultdos obtenidos? Pr obtener l expresión deciml de un frcción, se efectú l división entre el numerdor y el denomindor y el cociente puede ser: Número entero 8, 9 El cociente es un número entero. Deciml excto 7 ', ' Número finito de cifrs decimles. Deciml periódico Puro ) 0'6, '6 Un o vris cifrs decimles se repiten indefinidmente (periodo). (N º infinito de cifrs decimles) Mixto 7 ) 0 '8, '90 6 66 Hy lgun cifr deciml que no form prte del periodo (nteperiodo). 6 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 6. Clsific ls siguientes expresiones decimles: ' 0'067 '6666 8'89898989 '0000000000 ' PARA APRENDER Expresión deciml de un número rcionl: Hemos visto que pr clsificr los números rcionles según su expresión deciml tenemos que relizr el cociente que se nos indic. Pero, podrímos sber de ntemno, sin hcer l división, si l expresión deciml de un número rcionl es exct, periódic pur o periódic mixt? Te dmos un serie de puts pr que pueds verigurlo. º Simplific l frcción. º Descompón el denomindor en fctores y observ los fctores que hs obtenido: Fctores del denomindor Sólo precen potencis de o de. No prece ningun potenci de o de. Aprecen potencis de o de junto lgun distint de o de. Tipo de deciml Excto Periódico puro Periódico mixto PARA PRACTICAR 7. Indic el conjunto menor l que pertenecen los siguientes números y en cso de que sen rcionles indic sin hcer l división si su expresión deciml es un número deciml excto, periódico puro o mixto. 0'777... j) ' k) '799... - l) '... 9'7 m) -98 8'... n) 0 / o) / g) 9/6 p) / h) /9 q) / i) /8 r)... COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES 7
PARA APRENDER. PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN. En ocsiones nos interesrá obtener l frcción que nos h origindo un número deciml. A est frcción se le llm frcción genertriz. A continución vmos ver como se puede hllr. Pso de deciml excto frcción: Obtén l frcción genertriz de los siguientes números decimles exctos: ' 0' -7' Pso de deciml periódico puro frcción: Ejemplo: Obtén l frcción genertriz de '. N '... 00 N '... Res tndo: 00 N '... N '... 99 N - (En l práctic bst con hcer l últim operción) N ' - 99 99 frcción genertriz Pr hllr l frcción genertriz de un número deciml periódico puro l número sin com se le rest l prte enter y se divide entre tntos nueves como cifrs tiene el periodo. Pso de deciml periódico mixto frcción: Ejemplo: Obtén l frcción genertriz de '6. N '666... 0 N '666... Res tndo : 000 N 6'66... 000 N 6'66... 0 N '666... 990 N 6 N '6 6-990 990 frcción genertriz Pr hllr l frcción genertriz de un número deciml periódico mixto l número sin com se le rest lo nterior l periodo y se divide entre tntos nueves como cifrs tiene el periodo seguidos de tntos ceros como cifrs tiene el nteperiodo. 8 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 8. Hllr l frcción genertriz de: 0'8666... ' g) 9'7... '77... '... h) '... 8'7 '... i) ' PARA RECORDAR 6. POTENCIACIÓN. Potencis de exponente nturl: Un potenci es un form brevid de escribir un producto de vrios fctores igules. - El número que se repite ( se llm bse. - El número de veces que se repite l bse (n) se llm exponente. - n es el resultdo y se llm potenci. n... n veces Ejemplo: 6 ( ) ( )( )( )( )( ) COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES 9
Signo de un potenci: - Si l bse es positiv, l potenci es siempre positiv. y el exponente pr, l potenci es positiv. - Si l bse es negtiv, y el exponente impr, l potenci es negtiv. Ejemplo: suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur + + suuuuuuuuuur suuuuuuuuuur suuur + + Operciones con potencis: Producto de potencis de l mism bse. Cociente de potencis de l mism bse. Potenci de un producto (mismo exponent. Potenci de un cociente (mismo exponent. Potenci de un potenci. m n m+n m n m-n : m m m b b m m m :b :b m ( ) n m n suuur suuuuur / / / : / / / suuuuur suuuuuur suuur suuur suuur : 6 suuur suuur suuur Ejemplo: - : - - - - - - 7 - : - - - - - Potencis de exponente cero: Tod potenci de exponente cero es igul l unidd: 0 Demostrción: b : b b b b b 0 Ejemplo: 0 : 0 7 0 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
Potencis de exponente negtivo: Tod potenci de exponente negtivo es igul l unidd dividid por es mism potenci con exponente positivo: -n n Demostrción: 0 n 0 n 0 n : n n Ejemplo: 0 0 0 : 6 6 6 PARA PRACTICAR 9. 0. Clculr: 8 (- ) 0-6 (- ) 7 Escribir en form de un sol potenci: g) 6 i) j) 6 g) k) 6 h) l) 7 7 7 6 : :. Efectú ls operciones siguientes: 7 : g) 7 h) 8 : 8. Clcul. + : 6 ( )( 6 )( : ) + + 7 ( ) + 6 8 : + COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
PARA RECORDAR 7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. A continución te proponemos un serie de problems en los que queremos que utilices lo que hs prendido hst hor de los números rcionles en l resolución de problems relciondos con situciones cotidins como porcentjes, proporciones, grifos, etc. Recuerd que hy un herrmient que fcilit l resolución de muchos problems: l regl de tres. PROBLEMA : Qué porcentje debe subir el sueldo de un person que gn 00, pr que el nuevo sueldo se? PROBLEMA : En un cj, de cd bols son zules. Hy bols zules en l cj. Cuánts bols tiene l cj? PROBLEMA : Un grifo rroj 8 litros de gu por minuto y otro litros. Abiertos simultánemente los dos grifos sobre un depósito de 600 litros, cuánto trdrán en llenrlo? LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS LA LETRA DEL NIF. El ministerio de Economí y Hciend h estblecido pr el cálculo del Número de Identificción Fiscl (NIF), un procedimiento consistente en ñdir un letr de control l DNI. L form de clculr est letr es bstnte sencill. Ddo un DNI culquier (6, por ejemplo), lo primero que hy que hcer es obtener el resto de su división por, cuyo resultdo debe estr comprendido entre 0 y. En nuestro ejemplo ese resto es 7. A continución se consult l tbl siguiente, pr obtener definitivmente l letr de control ñdir l DNI. Resto obtenido Letr de control Resto obtenido Letr de control 0 T N R J W Z A S G 6 Q M 7 V 6 Y 8 H 7 F 9 L 8 P 0 C 9 D K 0 X E B El NIF en nuestro ejemplo serí el 6V. Si se produjer un error y se grbr como NIF 6V, se detectrí que es incorrecto pues el DNI 6 tiene 0 como resto y por tnto l letr debe ser l C, en lugr de l V. Evitr ese y otros errores usules es el objetivo que se persigue con l introducción del NIF. Comprueb con tu DNI que tu letr de control se corresponde con l tbl. Es correcto el DNI 678D? COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
PARA ENTRENAR. Clcul: { } 7 9 6 + 0: + 6 + 6 8 0 + +. Clculr: 7 7 8 60 0 : 6. Clculr: + 0 7 + 6 7 6 : 6 7 + 7 + 6 : 7 9 7 7 + + 7. Escribe en form de porcentje: En un clse de 7 lumnos, los / son niñs. De 000 persons encuestds, 00 prefieren el pn integrl. De cd cutro hbitntes del mundo, uno vive en Chin. Los mres y océnos ocupn 6.00.000 kilómetros cudrdos; el áre totl de l superficie del plnet es de 09.880.000 kilómetros cudrdos. es el % de 7.. Si un producto cuest.000 y se le plic un 6% de IVA, qué cntidd supone el IVA? LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
6. Si l slrio de un trbjdor se le plic un retención en concepto de IRPF del 9%, un descuento del '% pr l Seguridd Socil y un 0'7% pr un mutulidd profesionl, cuál es su slrio neto si su slrio bruto es de 00? 7. Clsificr los siguientes números en N, Z y Q (indicndo si son decimles exctos, periódicos puros o periódicos mixtos cundo proced. 0'0... 6'... g) '... '6 ' h) 6'0... '0... '... i) - 8. Hllr l frcción genertriz de: ' 6'0... 6'... '... ' 8'666... 9. Clculr el vlor de ls siguientes potencis: ( ) + + ( ) ( ) ( 7) + 9 0. Expres como un únic potenci: h) o) () i) p) j) q) k) r) 7 9 : l) s) : m) t) 7 () () g) 6 6 6 n) u) ( ) :( ) :. El 6 % de los tornillos que hce un máquin son defectuosos. Un dí, fbricó 8 tornillos defectuosos. Cuántos tornillos fbricó ese dí? ( ) : 6 8 8 : 9 9 0 ( ) COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
. Clculr: g) h) i) 6 : 6 6 ( )( ) 9 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) :. Expres en form generl l propiedd socitiv de l sum de frcciones y demuéstrl con un ejemplo.. Clcul: 6 + 6 + ( ) ( ) ( 6) ( ) + + + ( 6 ) ( )( 6 ) ( 7) ( ) + + + + ( 6 ) ( 7 ) ( ) ( 6 ) + + + + ( 6 ) ( ) ( 7 6) ( ) ( ) + + + + + ( 9 ) + 7 g) (0 ) ( :) + (9 ) 6 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
. Clcul: + 7 + 9 6 6 8 + + 6 + 6 : 7 + + 6 6 + 6 + 6 7 + 6. Un person tiene un sueldo bruto mensul de 00. Cuál será su nuevo sueldo si el sueldo nterior se increment un %? 7. Se dquiere un mercncí cuyo precio es.000. Si dicho precio debe ser recrgdo con un 6 % por pgo plzdo y un % por trnsporte, cuál será el precio finl de l mercncí? 8. Un person h pgdo 00 por un rtículo cuyo precio er 00. Qué % de descuento le hn hecho? 9. Clculr: : : 7 : 6 7 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES 7
0. Clcul: 8 6 7 6 9 bc 9 89 ( ) ( ) b b. Expres ls siguientes expresiones medinte un únic potenci: i) j) 6 g) k) 6 9 9 h) l) ( 7). Efectú: + + 0 + + + + + + 7 : + + + + + 7 : : 6 8 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
. Clcul, simplificndo cundo se posible: g) + 6 9 + + 6 6 : + : + h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) 7 0 6 : + : + 6 7 8 0 + : 9 7 9 7 : 7 + 6 0 + + 6 ( ) COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES 9
. Clcul: g) h) i) j) : 6 0 6 9 ( )( ) 7 7 7 + : 6 : + 6 : + 6 + : 6 :. Reliz ls siguientes operciones: 8+ + 6 : { } 7 + + 0: 6: 8: 9 + : + ( 8:6) ( ) + ( ) + 7 + 8: 6. Si el precio del kilo de pn, que ntes costb, vle hor 8, cuál es el porcentje de incremento? 0 LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER MÁS. Hll l frcción opuest de -/.. Escribe l propiedd distributiv respecto de l sum de frcciones.. Qué clse de decimles son los siguientes números rcionles? ' ' g) 7'0 ' ' h) ' 0'000000 '. Hll l frcción genertriz de los siguientes números decimles: 0 97666...... 7 60777... 777.... Represent sobre l rect numéric /6, -9/, 7/, -/, -/, -/. 6. Un supermercdo hce l ofert "pgue dos y lleve tres". A qué descuento equivle est ofert? 7. Simplific y clcul: g) h) : ( ) 8 9 9 : : : : : : : + 8 + : 0 i) j) k) l) m) : + + 8 + + : + : + + + : + + : + + : + 7 + : n) o) p) q) r) s) t) + 6 : + 8 6 + : + 0 : + : 8. Hll el vlor de: : + : : + + + 8 : + + : COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
9. Hll l frcción genertriz de: 0'6 ' 8'676767 '7888 ' 0' 0. Clcul: g) h) i) ( ) ( ) ( x x ) 7 7 7 8 8 j) k) l) m) n) o) p) q) 6 ( ) 0 0 r) s) t) u) v) w) x) y) 8 ( z) ) b ) c ) d ) e ) f ) ( ( ( 7 6. Clcul simplificndo siempre que se posible: + 6 + 8 7 6 : : + : + + : + + 6 g) 9 + + + 9 + : + + 8 : 8 + + : 0. Un lumno se lment de que en su clse hn probdo de cd. Su migo le contest que no se queje, que en su clse hn probdo de cd 7. Dónde hy más suspensos? Por qué?. Un gricultor vende / de su cosech y luego /7 de lo restnte. Si le quedn ún 0 kg, cuánto cosechó?. Dibuj en l rect numéric los números: 9/, -/, /, -8/7.. En qué porcentje debe subir el sueldo de un person pr que ést pse de gnr 00 cobrr 70? 6. Si un instituto h psdo de tener 6 lumnos tener 78, qué porcentje de vrición h sufrido el número de lumnos? 7. En un depósito hy 60 litros de gu. Dos fuentes vierten 6 y litros por minuto, mientrs que por un boc de riego slen 8 litros por minuto. Clcul l cntidd de gu que hy en el depósito l cbo de hor. LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
8. Clculr plicndo ls propieddes de ls potencis: (-) (-) - - - g) (- ) 0 h) i) 7 : 9. Clcul, simplificndo: g) h) i) j) 7 b b b c b c 9-8 9 ( ( ( ( xy) xyx xy yyxy yy 6 6 6 6 6 6 + + b :b bb b k) l) m) n) o) p) q) r) s) ( x y z) ( x y z) ( pq )( pq ) 6 + ( ) + yz xz x : : x y y z 6 ( )( : : ( ) :( :) 0. Sin hcer l división, di qué tipo de deciml son los siguientes cocientes indicdos: 7 7 7 9,,,,,,,,, 6 7 6 7 6. Dos migos vn de excursión y el primer dí recorren / del tryecto. El segundo dí /, y el tercero, el resto que son km. Cuál es el tryecto de l excursión?. De un bidón se sc primero l mitd de su contenido. Después se sc l quint prte, quedndo sí litros. Cuál es l cpcidd del bidón?. Un grifo rroj 6 litros por minuto y otro 8 litros. Pero hy un gujero y se escpn litros por minuto. Abiertos los tres conductos, en cuánto tiempo llenrán 00 litros?. Simplific: 7 b 7 b g) 6 9 h) 0 m 6 8m n i) 7 6 8 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS RACIONALES
. Simplific: 8 7 9 0 7 9 0 8 0 6. Clcul: 0 : ( ) 7 + : 6 ( ) : : ( ) 7 + : ( + 7. Complet ls siguientes frses: Los números con infinits cifrs decimles periódics se llmn números... Los números que no se pueden expresr por medio de un frcción se llmn números... Los números rcionles e irrcionles l juntrlos formn el conjunto de los números... 8. Cuánts cifrs decimles tienen los números rcionles periódicos puros? Y los mixtos? 9. Averigu cuáles de los siguientes números no son rcionles: 7 8 67... 9 0000... 0. Rzon si ls siguientes firmciones son verdders o flss: Los únicos números que se pueden expresr por medio de un frcción son los números decimles exctos y los decimles periódicos. Si un número es rcionl entonces siempre es un deciml excto. Los números decimles negtivos no pueden ser rcionles. Un número deciml periódico no puede ser rcionl. LOS NÚMEROS RACIONALES COLEGIO VIZCAYA
Pitágors vivió en Greci hci el ño 00. C. Él y sus discípulos creron lo que se conocí como l escuel pitgóric con l que intentbn explicr todos los fenómenos que les rodebn. Ellos creín que todo es número y que tods ls coss se podín expresr con números enteros y frccionrios. Sin embrgo, su fmoso teorem cuestionó est concepción del mundo. L medid de l hipotenus de un triángulo rectángulo cundo los ctetos miden es. h + El cálculo de su expresión deciml nos d lugr un número con infinits cifrs decimles no periódics. '670908806887097 Es decir, no es un número frccionrio y que su expresión deciml no es exct ni periódic. COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
PARA EMPEZAR.. Expres ls siguientes ríces como un potenci de exponente frccionrio. 7 Expres en form de ríz: 7. Clcul expresndo en form de potenci: 8 6 9 7 6 8 :b x :y 6 0. Clcul por proximción con dos decimles: 8, 8',. Clcul ls siguientes ríces: 8 8 9+ 9 + + 9 PARA APRENDER. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. El conjunto de los números más grnde que conocemos hst el momento es el conjunto de los números rcionles que se pueden escribir como el cociente indicdo de números enteros, b 0 o bien como un b número deciml si hcemos el cociente que se nos indic. Además hbímos observdo cómo ese cociente podí ser un deciml excto (nº finito de cifrs decimles) o un deciml periódico (infinits cifrs decimles pero periódics). Tomemos el siguiente número deciml: '7008076887797609 Cuánts cifrs decimles tiene? Es un número periódico? Existe un tipo de números que tienen un número infinito de cifrs decimles que no son periódics y que no se pueden expresr medinte un frcción, es decir, no podemos clculr l frcción genertriz de dichos números como hcímos con los decimles periódicos. Como los números rcionles son los que se pueden expresr por medio de un frcción (rzón), los números que no se pueden expresr con un frcción se llmn números irrcionles. Los números irrcionles son quellos cuy expresión deciml tiene infinits cifrs decimles no periódics y design con l letr I. El conjunto que result de unir el conjunto de los números rcionles (Q) con el de los irrcionles (I) se llm conjunto de los números reles, se denot con l letr R y llenn l rect numéric si los representmos todos. 6 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
Ejemplo: Los números π,968979866879 '670908806887097 '7008076887797609 y en generl tods ls ríces cudrds, cúbics no excts de números enteros son irrcionles. Ls operciones con números reles son ls misms que con los números rcionles y se cumplen ls misms propieddes: socitiv, conmuttiv, elemento neutro, elemento opuesto y distributiv respecto de l sum. PARA PRACTICAR 6. Reliz un dibujo medinte el cul expliques qué conjuntos formn los números reles y qué conjuntos están incluidos en otros. 7. Clsificr los siguientes números: g) k) ' -7 h) '666 l) ' ' m) ' '77 i) n) - '6 o) 7 j) 0 p) 8' PARA APRENDER. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Vmos representr sobre l rect numéric. El número ' como es irrcionl y tiene infinits cifrs decimles es imposible representrlo en l rect numéric con exctitud como hcemos con los demás números. Sin embrgo hy un método que nos permite representrlo con exctitud. Sbemos que se corresponde con l hipotenus de un triángulo rectángulo de cteto. h + Dibujmos sobre l rect numéric un cudrdo de de ldo. - - 0 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES 7
Ahor bst con trzr con l yud de un compás un rco de circunferenci de centro 0 y rdio l digonl. - - 0 Pr representr,, construiremos triángulos rectángulos cuy hipotenus vlg,, - 0. EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. El vlor bsoluto de un número rel es l distnci que lo sepr del cero. Siempre es positivo y se represent entre brrs n. -' ' '7 '7 - - - - - 0 PARA PRACTICAR 8. Represent sobre l rect rel el número 0. 9. Entre dos números enteros, cuántos rcionles hy? Y cuántos irrcionles? 0. Cuántos números irrcionles hy comprendidos entre dos rcionles?. Si sobre l rect numéric representmos todos los números reles, cuántos puntos quedrán sin pintr?. Los ldos de un rectángulo miden cm y cm. Su áre es un número irrcionl?. El ldo de un cudrdo mide cm. Su áre es un número irrcionl? 8 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
.. Clcul: 8 8 8 8 Rzon si son verdders o flss ls siguientes relciones: + 7 + 7 7 7 7 7 g) 7 7 h) 0 7 7 8 8 6. Clcul el vlor de x que cumple: x 0 x+ x 6 PARA APRENDER. APROXIMACIÓN Y ERROR. Aproximción: Como l expresión deciml de muchos números tiene infinits cifrs decimles, nos result imposible escribirlos l completo. Por est rzón pr relizr operciones con ellos tommos un número limitdo de cifrs decimles, es decir, tommos un proximción del número ddo. Por ejemplo, si tommos el número son proximciones de π. π,968979866879 los números π, π, π, π,6 Ls proximciones π, y π, son proximciones por defecto (el nº proximdo es menor que el excto) y ls proximciones π, y π,6 son proximciones por exceso (el nº proximdo es myor que el excto). Llmmos proximción de un número culquier otro número cercno él. A l hor de proximr un número se suelen utilizr normlmente ls técnics de truncmiento y redondeo. Truncmiento: Se eliminn ls cifrs hst el orden que se quier. Redondeo: Pr redonder un número hst un orden, se ponen ls cifrs nteriores ese orden y l cifr del orden se dej igul si l que le sigue es < y se le ument un unidd si l que le sigue es. El resto de cifrs se eliminn. Ejemplo: Aproxim el número '6067977997896960976687... Truncmiento Redondeo Hst ls décims Hst ls centésims Hst ls milésims 6 6 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES 9
Error: Cundo proximmos un número, como no estmos trbjndo con el número excto se cometen errores. El error será más pequeño cunto más cifrs decimles consideremos. Si proximmos 7 '6706909006769 hst ls milésims por redondeo: Cuál es el error que estmos cometiendo? Puede ser un número negtivo? Se llm error bsoluto de un proximción l distnci que lo sepr del número excto. E nº-prox. Cundo clculmos el error bsoluto, es interesnte clculr tmbién lo que se llm error reltivo. El error reltivo nos indic cuál es el error que se comete por unidd, es decir, no es lo mismo equivocrse en m cundo medimos el perímetro de un moned que cundo medimos l circunferenci de un plnet. Se llm error reltivo de un proximción l error que se comete por unidd. Se clcul dividiendo el error bsoluto entre el número. EE : r n Ejemplo: Clcul el error bsoluto y reltivo que se comete l proximr: π,9... por '. E '9... ' 0'009... E 0'009... : '9... 0'00006... r 0'09 por 0'09. 9 00 99 E 0'09 00 00 00 00 Er : 0'0 % 00 00 ) 0'6 por 0'67. 67 00 0 E 0'67 00 00 00 00 E : 0'00 0'% 00 600 00 0 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 7. 8. Hllr proximciones hst ls centésims por truncmiento y redondeo de los siguientes números. '67 9'800 8'9 7' 8' -0' Hll los errores que se cometen l proximr: / por '67 /9 por 0' 7/9 por 0'77 / por 0' /7 por 07 /7 por '66 9. Si el diámetro de un circunferenci mide 8 m, y se proxim π con l frcción, cuánto 7 mide su longitud? Compr este resultdo con el que se obtiene tomndo π '6 y clcul los errores. COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
PARA RECORDAR. RADICACIÓN. Ríz de índice n: En l unidd nterior hemos trbjdo con potencis y hemos estudido ls propieddes de ls operciones con ells. Como bien sbes existe un operción que es l invers l de elevr un número un potenci: clculr su ríz cudrd, cúbic, curt L ríz de índice n de un nº es otro número tl que el º elevdo l potenci n d el º. n b n porque b - A b se le llm rdicndo. - n se le llm índice de l ríz. - es l ríz y se llm rdicl. A ls ríces de índice n se les suele denominr rdicles sin más, con el fin de brevir su nombre. Teniendo en cuent l definición, complet el siguiente recudro. Rdicl Índice Rdicndo Ríz Potenci 8b 8 b Potencis de exponente frccionrio: Normlmente trbjmos con potencis de exponente entero, sin embrgo qué podrí significr l potenci /? Y l potenci /? Intentemos descubrirlo. Vmos tomr l siguiente iguldd que todos conocemos: 97 Ahor elevmos los dos miembros de l iguldd l potenci /: 9 ( 7 ) Teniendo en cuent ls propieddes que hemos estudido de ls potencis: 9 7 7 7 7 Luego prece ser que tnto 9 como 9 dn como resultdo 7. Hemos encontrdo dos forms diferentes de representr l ríz cudrd. Cómo se representrá l ríz cúbic de un número en form de exponente frccionrio? Cómo representremos l potenci / con un ríz? Un potenci con exponente frccionrio es igul un ríz de índice el denomindor y de rdicndo un potenci de l mism bse cuyo exponente es el numerdor. b n n () b n b b n porque LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
PARA PRACTICAR 0.. Escribir en form de potenci: 8 g) 7 b h) 8 Expresr en form de ríz: 9 6 7 bc 7 b 0 PARA APRENDER 6. OPERACIONES CON RADICALES. A l hor de operr con rdicles lo podemos hcer tnto en form de rdicl como potenci de exponente frccionrio. Si vmos trbjr con potencis de exponente frccionrio, ls regls seguir son ls misms que hemos visto pr ls potencis, por ejemplo: 7 + - 6 : 6 Rdicles igules o equivlentes: Los rdicles 6 0,,, tienen todos l mism ríz ' Aunque simple vist prezcn rdicles diferentes todos ellos son igules o equivlentes. Pr comprobr que los rdicles nteriores son igules los vmos expresr en form de potenci de exponente frccionrio: 6 0,,, Qué puedes decir de ls potencis que precen en los exponentes? Propiedd fundmentl de los rdicles: Si se multiplicn o dividen por un número el exponente del rdicndo y el índice de l ríz, el resultdo de l ríz no vri. Ejemplo: 6 8 : 0 0 x 8 x x : 6 6 6 x x x y y y 0 0 6 : 6 Est propiedd nos permite mplir rdicles (multiplicndo) o simplificr rdicles (dividiendo). COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
PARA PRACTICAR. Clcul por mplición tres rdicles equivlentes : b.. Complet: 9 6 6 Descompón el rdicndo en fctores y simplific: 6 6 000 0 6 00 000000 PARA APRENDER Introducción y extrcción de rdicles: Ejemplo: ) Siempre que el exponente del rdicndo se myor que el índice de l ríz, se pueden extrer fctores de l siguiente form: 6 x y x xy y y xy xy 8 ) Si el exponente del rdicndo es menor que el índice de l ríz, entonces descomponemos el rdicndo en fctores: y y y y ) Al igul que hemos extrído fctores fuer del rdicl, tmbién podemos introducir fctores ctundo de form invers. Serís cpz de introducir los fctores en los siguientes rdicles? x xy PARA PRACTICAR. Extrer todos los fctores posibles de los siguientes rdicles: g) 8 h) 8 i) 6 9 0 b 98 b c 7 7x y j) k) l) 8x y 9x y 7 7 08 b 7 7 m 7 mn 6 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
6. 7. Introducir dentro del rdicl todos los fctores posibles que se encuentren fuer de él: g) h) b x y m 8b Simplific y extre todos los fctores que se pued: 6 b 6 9 i) j) k) b m b b b b 6 PARA APRENDER Reducción de rdicles índice común (homogeneizr): Pr multiplicr y dividir rdicles v ser necesrio que tengn el mismo índice, si esto no es sí, hy un serie de psos muy sencillos que nos permiten obtener rdicles equivlentes que tengn el mismo índice. A este proceso se le llm reducir rdicles índice común o homogeneizr rdicles. Vmos considerr los siguientes rdicles: 6, x, Primero se hll el m.c.m. de los índices, que será el índice común todos los rdicles. Índices:,, 6 m.c.m. (,, 6) Pr escribir con índice, dividimos entre el índice del rdicl (: 6) y lo mplificmos por 6: Se oper nálogmente con los otros rdicles: 6 6 6 6 6 9 x x x Como ves hemos obtenido tres rdicles equivlentes los primeros pero todos ellos con el mismo índice. Si te hs ddo cuent, reducir rdicles índice común es similr escribir frcciones con común denomindor (recuerd que los rdicles se pueden escribir como un potenci de exponente frccionrio). Reducir rdicles índice común (homogeneizr) es obtener otros rdicles semejntes ellos pero con el mismo índice. PARA PRACTICAR 8. Reducir índice común los siguientes rdicles:, 7, 6 x,, m 6 x, x y, 7 b, b, x x,, b 6 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
PARA APRENDER Multiplicción y división de rdicles: Pr multiplicr o dividir rdicles es necesrio que tengn el mismo índice, si no es sí, tendremos que reducirlos índice común. Ls regls seguir l hor de multiplicr y dividir rdicles son ls siguientes: b b n n n : b :b n n n Ejemplo: 7 7 6 6 6 6 m.c.m.(, 6) 6 : : 6 7 6 6 7 6 : : : 8 9 8 9 m.c.m.(, ) PARA PRACTICAR 9. Reliz ls siguientes operciones: g) h) 6 x 9x y : 8x xy xy xy 7 6 x y : b b x y 6 x x x i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) 8 b x x b 8 : 6 9x y 8x b b x y x 6 b : b m 6m n b : 6 b 6 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER Rdicles semejntes: Dos rdicles son semejntes si tienen el mismo rdicndo y el mismo índice. Pr ver si dos rdicles son semejntes tenemos que extrer fuer del rdicl todos los fctores posibles y simplificr si se puede. Ejemplo: Los rdicles y son semejntes (índice, rdicndo ). Los rdicles 8 y simple vist prece que no son semejntes, sin embrgo 8 se le pueden extrer fctores fuer. 8 Entonces 8 y son semejntes (índice, rdicndo ). 8 8 Los rdicles x y x prece que tmpoco son semejntes pero x se puede 8 simplificr por : x x, sí que sí son semejntes (índice y rdicndo x). PARA PRACTICAR 0. De los siguientes rdicles, grup quellos rdicles que sen homogéneos y los que sen semejntes: 6,, 8 6, 9, 7 g) 8 6, 6,,, 6 0,, 0 b, b, b, b, b b, b, 8 b, b PARA APRENDER Sum y rest de rdicles: Pr poder sumr y restr rdicles, estos tienen que ser semejntes. Antes de operr hy que extrer todos los fctores que se pued y simplificr, después l form de ctur l hor de operr es similr l de sumr y restr monomios. Ejemplo: + 7 + 7 8 x 7 x x 8 7 x x + 7 + + 6 + 7 COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES 7
PARA PRACTICAR. Sumr los siguientes rdicles: g) h) i) j) k) 98 + 8 + 8 6 + 7+ 8 87 + 8 + 89 80 + 80 0 0 + 09 6 7 8 8+ 7 8 + 7 7 8 0 + 7 + 7 8 + 6 + 700 + 8 0 8 8 6 + + l) 8b 8b + 8b b 88b PARA APRENDER Potenci y ríz de un rdicl: L potenci p de un rdicl, es otro rdicl del mismo índice cuyo rdicndo está elevdo l potenci p. p n n p porque p p n n L ríz r de un rdicl es otro rdicl con el mismo rdicndo y cuyo índice es el producto de los índices. r n rn n r nr porque Ejemplo: 6 6 0 0 PARA PRACTICAR. Reliz ls siguientes operciones: g) 9 h) 6 bc i) j) k) 6 7 ( ) ( b b ( 8 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER Rcionlizción: En ls operciones con rdicles y denomindores, pr simplificr lguns expresiones es necesrio que en los denomindores no prezcn rdicles. El proceso por el cul se obtiene un rdicl sin ríces en el denomindor se llm rcionlizción. Vemos unos ejemplos muy sencillos: Ejemplo: y y x y x y x x x x x x 6 6 6 PARA PRACTICAR. Qué es rcionlizr el denomindor de un frcción?. Rcionliz: g) h) 6 7 9x i) j) k) l) c 9c 6b b 6 x. Son igules y? Rzon tu respuest COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES 9
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS DOS NÚMEROS CON NOMBRE. Hst el momento hs conocido un número que prte de su importnci en ls mtemátics, como muchos irrcionles, lo nombrmos con un letr porque no se puede escribir con tods sus cifrs, ese número es π '9 y nos relcion l longitud de l circunferenci con su diámetro. ( π longitud circunferenci / diámetro). Este número tiene infinits cifrs decimles no periódics, es decir, es un número irrcionl como puedes comprobr en el siguiente desrrollo:,96897986687908897699970809799078606860899868 087067988086i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oy en dí se hn clculdo y más de un millón de cifrs decimles de π. Pitágors y el número de oro. Pitágors, filósofo y mtemático griego, nció en el 8. C. en l isl de Smos, situd en el Mr Egeo y fue instruido entre otros por Thles de Mileto (6. C.-7. C). Hci el 0. C. tuvo que exilirse y se instló en un coloni en Croton, l sur de Itli. Allí glutinó un círculo cerrdo de discípulos entre los que podín ingresr mujeres (en ese entonces y durnte mucho tiempo ls mujeres no ern dmitids en ls escuels). Est nuev socición se conoce como l escuel pitgóric. Entre ls mplis investigciones mtemátics relizds por los pitgóricos se encuentrn el estudio de los números pres e impres y de los números primos y de los cudrdos. Desde el punto de vist de l ritmétic, cultivron el concepto de número, y es sí como llegron tribuirles propieddes físics e incluso divins ls cntiddes y mgnitudes. En el cmpo de l geometrí el grn descubrimiento de l escuel fue el conocido Teorem de Pitágors. 0 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
El pentágono estrelldo fue el símbolo elegido por los seguidores de Pitágors que pensbn que en el mundo sólo hbí cbid pr los números frccionrios. L csulidd hizo que no sólo su fmoso Teorem dier origen los números irrcionles si no que en su propio símbolo se encuentr un número irrcionl: el número de oro. Al trzr ls digonles en un pentágono regulr se form otro pentágono semejnte él. L relción de semejnz que hy entre los dos pentágonos se conoce como proporción áure y su rzón de semejnz es el número de oro que se design con l letr grieg Φ ('fi'): + Φ '680988798988086866... L relción que hy entre l digonl del pentágono y su ldo tmbién es el número de oro. El número de oro en el rte y en l nturlez. El número de oro prece en muchs de ls proporciones que gurdn edificios, esculturs, objetos, prtes de nuestro cuerpo, plnts y nimles. A lo lrgo de l histori, muchos rtists hn precido l bellez y rmoní de l proporción áure pintndo y construyendo grndes cudros y obrs rquitectónics como el Prtenón de Atens, l pirámide de Keops, el Hombre de Vitruvio de Leonrdo D Vinci El Prtenón de Atens. Ls pirámides de Keops. Se puede comprobr que ncho / ltur Φ L ltur de un cr / mitd de l bse Φ Hombre de Vitruvio de Leonrdo D Vinci. En ese dibujo se propone un Hombre perfecto en el que ls relciones entre ls distints prtes del cuerpo son proporciones áures. L ltur del cuerpo y l longitud entre los extremos de los brzos cundo están extendidos, l ltur del hombre y l distnci del ombligo l punt de ls mnos, ls flnges de los dedos, l longitud de l cbez y su nchur COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
En l nturlez, tmbién prece l proporción áure en el crecimiento de ls plnts, piñs, girsoles, distribución de ls hojs en los tllos, dimensiones de insectos y pájros y l formción de crcols.. El Prtenón es un edificio que se encuentr en l Acrópolis de Atens. Su fchd es un rectángulo que tiene l propiedd de que el cociente de sus dimensiones es el número áureo. Si l ltur, que es el ldo menor, mide 8 m, cuánto mide l nchur de l fchd? Utiliz l proximción centesiml de Φ.. Ls trjets de crédito y los documentos de identidd tienen form rectngulr y el cociente de sus dimensiones es el número de oro. Si el ldo menor mide mm, cuánto mide el ldo myor? Utiliz l proximción hst ls milésims de Φ.. L hoj DIN-A tiene dimensiones tles que l longitud es igul l nchur por. Si el ldo pequeño mide cm, cuánto mide el ldo myor? Utiliz l proximción centesiml de l ríz cudrd.. El número π se h expresdo clásicmente por medio de proximciones frccionris 7 7 0 (Arquímedes, 0. C.), (Liu Hui, 60 d. C.), (Fiboncci, 0 d. C.). 7 0 8' ) Compr estos vlores con el de π '9 y di cuál es el orden del error cometido. LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
PARA ENTRENAR. Clsific los siguientes números: - g) ' j) ' / 7/ h) 8/9 k) /6 ' '79 i). De los siguientes rdicles, grup quellos rdicles que sen homogéneos y los que sen semejntes:, 0,, 6, b, b, b, b 6 7 b, b, 6 b, b 6 7,, 7, 6 7, 7, 9 9. Hll el error bsoluto y reltivo que se cometen l proximr: /7 por 0'7 / por '66 / por 0'8. 7/ por '. 8/ por '67.. Extrer todos los fctores posibles de los siguientes rdicles: 7 9 b c g) 7 6x y h) 0b 8 i) 80bc 8 6 x y z 8 j) 8 xy 8x y k) mn 8 60x y z 7 9 8 7m n l) 6 7 m n 9 9b c. Introducir dentro del rdicl todos los fctores posibles que se encuentren fuer de él: mn p m np bc 7c g) 7 h) xy x y 6 i) b b COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
6. Reducir índice común los siguientes rdicles: 6,, 6,,, 7 x, x, x b, b, 9 b 6 9 8 x, m 6 m, x, x y 0 7 7. Sumr los siguientes rdicles indicdos: g) h) i) j) 8. Clcul: 7 0 7 7 + 67 7 + 6 7 80 + 0 00 0 + 9 7 8 98 7 0 0 + 80 800 0 + + 80 6 6 9 80 0 + 98 6 80 : 8 g) h) i) j) k) l) m) n) b : 6 b 6 9 6 b b b b : b b : b : 9x : x 8 b : m n: m n m : 7m 8x y z : x y z bc bc c c b b c 6 6 x x 6 x 7 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
9. Rcionliz: 6 9 g) x h) 7x 6 7 x 0. Comprueb psndo potenci de exponente frccionrio ls igulddes: 6. Clcul: 0 8 h) x i) x 0 6 6 j) n n n k) 0 x l) 6x b 8 x x x 6 m) g) x y. Sbiendo que +, represent en l rect rel. xy :. Cuál es el perímetro del trpecio de l figur? 7 8. Clcul: 8 + 0 + 7 6 7 0 + xyz : xyz 6 9 + 0 6 7 6 x x x COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES
PARA APRENDER MÁS. Simplific y extre: 7 6b 8 b c g) 7 6 h) 7 6 00b 9 6. Clsific los siguientes números: - 6 0'8777... g) '79... j) / 9'... h) / k) - ' i) /9 l) '8797.. De los siguientes rdicles, grup quellos rdicles que sen homogéneos y los que sen semejntes: 8,, 6,, 6 g) 8, b, ( 6, 6, h) 7, 7, 9, 6, 6 0 6, 6, 7 7, (, 6. Extrer todos los fctores posibles de los siguientes rdicles: 0 7 8 k) 6 p) 6 9 b g) 6 l) 0 6 b q) 8 b h) 0 m) 8 r) 6 b c i) 0 8 b n) 000 s) x j) 7 8 6b o) b c t) 96y b b c 8x y 6 6 b c 6 9 0 8x y z. Introducir dentro del rdicl todos los fctores posibles que se encuentren fuer de él: h) xy x y n p m 7b i) - - - 0 b b x x 8 g) j) m xm - b bx 0 x b 000 bx 0 6. Reducir común denomindor los siguientes rdicles: mn, m p, m p b, b 6 9 y, x, m 7 xy, x y, x y 6, b, b 7. Clcul: 8 + 8 + 6 7 g) 76 + 0 + 8 7 h) - -8-7 i) 0 6 6 + 87 j) b b c 0 7 b c k) x y : x y l) x 7 700 + 8 + 87 7 0 7 + 08 00 8 7 + 686 + 68 : 6 x xy x y ( x y ): ( 6 ) 6 x y 6 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
8. Rzionliz: g) 8 b 8 b x y h) x 6 y x 6 6 6 bc 9. Reliz ls siguientes operciones: + 8 8 n) 8 + + 7 + 00 0 + o) 8 + 98 8 6 8 + 7 p) -0 0-0 - + -0 9 0 9 7 bxyz xyz6 bxz q) 08 + 6 + 7 0 7 + 7 8 r) 6 9 + 7 6 7 8 9 6 8 6 bz bc cz s) 8 8+ 6 9 9 6 g) + 0 t) 8+ 7 7 8 h) 9 xy: xz 6 u) x : 6x i) xyz 6 xyz 8xyz v) x 6x + 9x j) + 8 + 0 w) 0 8 8 k) 7 7 + bc 6 8 x) l) x y x y : mz mz y) m) 8 + 8 7 z) m p m p x mp x 6 0 9 8 8 7 7 + 0. Reliz ls siguientes multiplicciones y divisiones: b b g) 6 7 x x x h) b b i) 6 b bc bc j) c 6 b c : k) 7 8c 9b : l). Redonde los siguientes números: '89 hst ls décims. '86 hst ls centésims. '6 hst ls milésims. '677 hst ls diezmilésims. '76 hst ls millonésims. xy : xy 6 b : b bc b cb b c b c bc c b 6 7 b c : bc COLEGIO VIZCAYA LOS NÚMEROS REALES 7
. Rcionliz el denomindor: 6 g) b j) h) k) i) n 7 b c bc l). Clcul: 6 7 mn 7mn 8x x y 8 b g) bc 7 b 8 h) bc. Qué operción previ es preciso relizr pr multiplicr o dividir rdicles de distinto índice? Cómo se efectú?. Qué propiedd se emple en l simplificción de rdicles? 6. Qué se entiende por rdicles semejntes? Dí si se pueden trnsformr en semejntes x y xy, 9x y. 7. Son igules? y. 9 y. y. 8 y. 8. Rzon si son cierts ls siguientes igulddes: 9 8 9 8 9 8 7 9. Clcul l ríz séptim de 80000000. 0. Reliz ls siguientes operciones: x x x x 6x 8 7 8 m n p m n p m n g) b b b 8 8 m n y : 6m n y i) j) k) x: x 6 + 0 7 8 6 + h) x y : xy l) 6x. Indic si son cierts ls siguientes igulddes rzonndo tu respuest: Todo número rcionl es un deciml excto. Todo número irrcionl es un deciml no periódico. Todo número rel es un deciml ilimitdo periódico o un deciml ilimitdo no periódico.. Escribe en cd cso, si es posible, un número que verifique ls siguientes condiciones: No rcionl, rel, myor que 0 y menor que. Rcionl, negtivo y periódico puro. No rel, entero y menor que 0. Rcionl que no teng expresión frccionri.. Responde rzondmente: Puede ser negtivo el error bsoluto? Es cierto que el redondeo del número 0 9999... culquier cifr es siempre? Puede suceder que dos números diferentes tengn el mismo redondeo? Es posible que un número teng dos proximciones distints un mismo orden de unidd? Cuál es el error máximo cometido si se redonde un número ls milésims? 8 LOS NÚMEROS REALES COLEGIO VIZCAYA
Un sucesión es un conjunto de números ordendos. Conoces muchs sucesiones, como l de los números nturles,,,, ; los números pres,,6,8 ; o los múltiplos de cinco,0,,0, En l evolución de l mtemátic ls sucesiones son tn ntigus como los números nturles y sirven pr estudir, representr y predecir fenómenos que ocurren en el tiempo de form intermitente. Fiboncci. Un de ls sucesiones más fmoss que existen es l llmd sucesión de Fiboncci. Est sucesión surgió cundo el mtemático itlino Leonrdo de Pis (80-0), conocido como Fiboncci ("hijo de Bonccio") plnteó el siguiente problem en su libro Liber bci ("Libro del ábco"): "Un prej de conejos trd un mes en lcnzr l edd fértil, prtir de ese momento cd vez engendr un prej de conejos, que su vez, trs ser fértiles engendrrá cd mes un prej de conejos. Cuántos conejos hbrá l cbo de un determindo número de meses?" Si hcemos un recuento de los conejos que tenemos cd mes obtenemos l siguiente sucesión:,,,,, 8,, º mes º mes º mes º mes º mes Pres de conejos 8 Como puedes observr cd término es igul l sum de los dos nteriores. Est sucesión es muy importnte y que prece con much frecuenci en l nturlez. Por ejemplo: - Culquier vriedd de piñ present siempre un número de espirles que coinciden con dos términos de l sucesión de Fiboncci. - Ls rms y ls hojs de ls plnts se distribuyen buscndo siempre recibir el máximo de luz pr cd un de ells. Por eso ningun hoj nce justo en l verticl de l nterior. L distribución de ls hojs lrededor del tllo de ls plnts se produce siguiendo secuencis bsds en est sucesión. COLEGIO VIZCAYA SUCESIONES 9
PARA EMPEZAR.. Clcul el vlor de ls siguientes potencis: 0 7 ( ) Clcul el vlor numérico de ls siguientes expresiones lgebrics: 6 (n - ) - pr n 8 - n - pr n 0 n pr n PARA APRENDER. SUCESIONES DE TÉRMINOS REALES. Observ ls siguientes colecciones de números ordendos, serís cpz de deducir cuáles vn ser los siguientes tres números?,,,,,6,,,9,6,,6,,,6,8,0,,,,,,,8,,,,7,9,,, A ests colecciones de números que se comportn siempre cumpliendo un determindo orden, es decir, gurdn un regulridd les llmmos sucesiones. Cd uno de los números que formn l sucesión se llm término y se designn medinte un letr con un subíndice que indic el lugr que ocup en l sucesión:,,,,, 6 6,,, 6, 8, 0, 6,,, 7, 9,, 6,,, 9, 6,, 6 6,,,,,, 6 8, Un sucesión de números reles es un conjunto infinito de números ordendos, cd uno de los cules recibe el nombre de término de l sucesión.. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN. Vmos considerr l sucesión de los números pres,,6,8,0,, y vmos determinr l regl generl que nos permite clculr todos sus términos: 6 8 0 6 6. n n Término generl Est últim expresión se conoce como término generl de l sucesión. 0 SUCESIONES COLEGIO VIZCAYA
Consideremos hor l siguiente sucesión, serís cpz de determinr l regl generl que sigue est sucesión? 9 6 6 6 6. n Término generl El término generl de un sucesión, n, es l expresión lgebric que permite clculr culquier término prtir del lugr que ocup. Ejemplo: Encuentr el término generl de ls siguientes sucesiones y clcul 0 : {,,7,9,,... } + + 7 + 9 + +.... n n + 0 0 + {,, 0, 7, 6,... } + + 0 + 7 + 6 +.... n n + 0 0 + 0 Pr encontrr el término generl debes encontrr un regl que relcione el vlor de cd término con el lugr que ocup. + + 7 + 9 + +... n n + 6,,,,,... + + + + 6 +. n+ n 0 n 0 + 0 0 COLEGIO VIZCAYA SUCESIONES
PARA PRACTICAR... Di cuáles son los términos, y 6 de ls siguientes sucesiones: Escribe l expresión del término generl de ls siguientes sucesiones: { 67890,,,,,...} { 0,,, 6, 8,... } {, 0., 0. 0, 0. 00, 0. 000,... } {,,,,,... } {,, 8, 6,,... } { 8,,,,,...} { 96,,,,,...} { 680,,,,,...} 7 9,,,,,... 6 7 8 {,,,,,...} Construye un sucesión que cumpl: El primer término es y cd uno de los siguientes es l sum del nterior más. El primer término es y cd uno de los siguientes es el nterior multiplicdo por. 6. 7. Clcul los términos, 7 y 0 en ls sucesiones definids por estos términos generles: n n + n n n+ ( n ) Hz un sucesión con términos, y, siendo los siguientes términos l sum de los tres nteriores. 8. 9. 0. Escribe los cutro primeros términos de l sucesión con término generl: n n n+ n+ n n + n n n + n n n Obtén los cutro primeros términos de cd sucesión:, n n+ n, n n n Escribe el término generl de ests sucesiones: { 6,,,,,...} { 69,,,,,...} { 00,,,,,...} 870,,,,,... { } SUCESIONES COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER. PROGRESIONES ARITMÉTICAS. Qué es un progresión ritmétic? Uxue está en muy bj form físic y h decidido que este ño v hcer lgo de ejercicio. Se h propuesto correr un crrer ciclist y pr ello se h puesto un pln de entrenmiento. El primer dí v correr 6 km, el segundo 0 km, el tercero km, y sí sucesivmente irá ñdiendo km cd dí. Si notmos los km que recorre Uxue cd dí obtenemos un sucesión: { 608,,,,,...} Como vemos l diferenci entre los km recorridos en dos dís consecutivos es siempre. Ls sucesiones en ls que los términos se clculn sumándole un cntidd fij l término nterior se llmn progresiones ritmétics. Un progresión ritmétic es un sucesión de números reles en l que cd término (menos el primero) se obtiene prtir del nterior sumándole un número fijo d, que se llm diferenci. Ejemplo: Di si ls siguientes sucesiones son progresiones ritmétics y en tl cso indic l diferenci. {, 7,, 7,,... } 7 + 7 + 7 + + Es un progresión ritmétic de diferenci d { 7,,,,,... } 7 7 Es un progresión ritmétic de diferenci d - { 90,,,,,...} + 9 + 9+ 0 + 6 No es un progresión ritmétic COLEGIO VIZCAYA SUCESIONES
PARA APRENDER Término generl de un progresión ritmétic. En un progresión ritmétic cd uno de sus términos es igul l nterior más l diferenci d, entonces podemos escribir: + d + ( ) d + d ( + + d + d + ( ) d + d ( + + d + d + ( ) d + d ( + + d + d + ( ) d 6 + d ( + + d + d + ( 6 ) d + n d n El término generl de un progresión ritmétic es: + n d n Ejemplo: Clcul el término generl de ls siguientes progresiones ritmétics. Cuál es el término 0? { 8,,,,,...} n + ( n ) + n n d Luego 0-9 0 {,, 6, 0,,... } { 60,,,,,,... } n + ( n ) + n n 6 d Luego 0-67 0 6 n 6 + ( n ) ( ) 6 n + n + 8 d Luego 0 + 8 0 PARA PRACTICAR. Encuentr el término generl de ls siguientes progresiones ritmétics: {,9,,7,... } { 6,,0,,... },,0,,...,,,,... SUCESIONES COLEGIO VIZCAYA
. Hll los siete primeros términos de un progresión ritmétic: Cuyo primer término es y su diferenci. Cuyo primer término es - y su diferenci. Cuyo tercer término es 7 y su diferenci. Cuyo quinto término es 7 y su diferenci -.. Hll el término generl de un progresión ritmétic si su primer término es y su diferenci es.. Hll el término generl de un progresión ritmétic si sus dos primeros términos son y 9. Hll tmbién el vigésimo.. Clcul el término que ocup el lugr 0 de un progresión ritmétic cuyo primer término es igul - y l diferenci es. 6. Hll el primer término de un progresión ritmétic donde 8 y d -. 7. En un progresión ritmétic se sbe que -, 9 y 6. Hll 7. 8. Hll el noveno término de l progresión ritmétic { 7, 0,, 6,... }. 9. Clcul l diferenci de un progresión ritmétic donde y 6 8. 0. Cuál es el término generl de un progresión ritmétic cuyo primer término es y el es? COLEGIO VIZCAYA SUCESIONES