Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics. 1 Clse 1 1.1 Aprendizjes esperdos Identific funciones periódics y sus propieddes gráfics. Reconoce el concepto de rdián y trnsform ángulos este sistem de medición. Reconoce ls funciones circulres, notción, dominios, recorridos, pridd, periodicidd e identiddes básics. Aplic propieddes de ls funciones circulres l resolución de problems. Grfic funciones trigonométrics reconociendo propieddes básics. 1. Funciones Trigonométrics. 1..1 Conceptos previos Definición 1.1 (Función Periódic). Se dice que un función f es periódic de período p R {0} si f(x + p) = f(x) x, x + p dom(f). Observción 1.1. El vlor p corresponde l mínim constnte que stisfce l relción y tmbién es llmdo período fundmentl. Ejemplo 1.1. Considerr l función f (x) = x [x] donde [x] denot l prte enter de x. Definición 1. (L circunferenci unitri S 1 en el plno xy). S 1 = {(x, y) : x + y = 1}. Definición 1.3. Un rdián es l medid de un ángulo del centro de un circunferenci que subtiende un rco de longitud igul l rdio de l circunferenci. Observción 1.. El ángulo totl en un circunferenci es π rdines. MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos) 1
Observción 1.3. Mencionr l trnsformción de ángulos expresdos en grdos rdines y vicevers. Definición 1.4 (Función enrolldo). : Considérese l correspondenci entre números reles y puntos de S 1 señld continución: Ddo θ R, se W (θ) el punto de S 1 que prtiendo de P (1, 0) se desplz en θ uniddes: Si θ > 0, en sentido nti-horrio; Si θ < 0, en sentido horrio. Se define sí l función enrolldo por W : R S 1 : θ W (θ) Observción 1.4. L función enrolldo no es inyectiv, y que como el rdio de S 1 es 1, y su longitud es π, luego: W (θ + nπ) = W (θ) n Z De hecho, es periódic de período π. 1.. Funciones trigonométrics Si W (θ) = (x, y) se definen ls funciones trigonométrics: 1. sen(θ) = y. cos(θ) = x 3. tn(θ) = y x si x 0 4. cot(θ) = x y si y 0 5. sec(θ) = 1 x si x 0 6. csc(θ) = 1 y si y 0 f sen cos tn csc sec cot Dom R R { π } R +nπ:n Z R {kπ:k Z} { π } R +nπ:n Z R {kπ:k Z} Rec [ 1, 1] [ 1, 1] R (, 1] [1, + ) (, 1] [1, + ) R Período π π π π π π P/I Impr Pr Impr Impr Pr Impr Observción 1.5. Se sugiere hcer l relción entre ls nteriores definiciones y ls vists en complemento sobre triángulos rectángulos. Observción 1.6. Mencionr que θ R se tiene que cos θ+sen θ = 1, l igul que sobre triángulos rectángulos. Observción 1.7. Bosquejr lgunos gráficos. MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos)
Ejercicios Propuestos Si W (θ) = (1/3, 8/3) clculr ls seis funciones trigonométrics en θ. Si sen θ = 1/13 y tn θ < 0, determinr los vlores de ls funciones trigonométrics restntes. Observción 1.8. Ls identiddes trigonométrics que se djuntn en nexo de trigonometrí. Estrán disponiblen pr los estudintes en el sitio internet del curso. Clse.1 Aprendizjes esperdos Reconoce funciones sinusoidles identificndo mplitud, periodo, ángulo de fse y ls represent gráficmente. Diferenci ecuciones de identiddes trigonométrics. Resuelve ecuciones trigonométrics.. Función sinusoidl Observción.1. Pr efectos de trbjr con sinusoidles es preciso recordr ls siguientes identiddes cos (α ± β) = cos α cos β sen α sen β sen (α ± β) = sen α cos β ± sen β cos α Definición.1. Un función rel con dominio R de l form donde A, B y C son constntes, se llm función sinusoidl. Principles Crcterístics f(x) = A sen(bx + C) (1) Definición. (Amplitud). Se define l mplitud de un función periódic como l mitd de l diferenci entre sus vlores máximo y mínimo. En l expresión (1) est corresponde A. Observción.. L mplitud A Actú como un expnsión verticl si A > 1 y como contrcción verticl si A < 1. ( ) π Definición.3. El periodo de l función indicd en (1) corresponde. B ( ) C Definición.4. Ángulo de fse : Se trduce como el corrimiento hci l derech en B C B > 0 o hci l izquierd si C < 0, con respecto l gráfico de f(x) = A sen(bx). B C B uniddes si Observción.3. Si se cuent con un función del tipo y = sen x + b cos x, donde R y b 0, ést puede ser escrit como y = A sen(bx + C), donde A = + b, B = 1, y C es tl que tn C = b. Este procedimiento, que puede tener vrintes (form finl con B 1), surge trs observr que: y = sen x + b cos x = [ ] + b + b sen x + b + b cos x donde 1 + b, ( ) ( ) b + b 1 y b + = 1. + b + b MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos) 3
Observción.4. Ls propieddes son nálogs l considerr l form f(x) = A cos(bx + C). Ejercicios Propuestos Escribir en l form y = A sen(bx + C) ls funciones: y = sen x + 3 cos x y = sen x + 3 cos x Clculr ls mplitudes, períodos y ángulos de fse de ls funciones y = 3 sen(4x + 1) y = 5 sen(x x/3) Pr l sinusoide: f(x) = cos x cos Clcule: mplitud y período. Primer pso en l solución: ( x π ) + cos x. f(x) = cos x sen x + cos x = 1 sen x + cos x = = 5 ( 1 5 sen x + ) cos x 5 5 sen(x + ϕ) donde tn ϕ =. Determinr todos los puntos donde l función f(x) = sen(x) + cos(x) lcnz su máximo vlor, su mínimo vlor y cundo se nul. Primer pso en l solución: sen(x) + cos(x) = (cos x sen x) sen x + 1 [ ( π )] = cos 4 + x sen x + 1 = [ ( π ) ] cos 4 + x sen x + 1 = [ 1 ( π ) sen 4 + x 1 ( π ) ] sen + 1 4 = ( π ) sen 4 + x..3 Ecuciones Trigonométrics Definición.5. Un ecución trigonométric es un ecución en que ls vribles o incógnits solo precen en los rgumentos de ls funciones trigonométrics. MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos) 4
Observción.5. Se sugiere comentr respecto del dominio de resolución de l ecución. En tl cso, dd l periodicidd de ls funciones, un ecución tiene infinits soluciones de l form x + kπ, k Z. Observción.6. Se sugiere prtir con ls ecuciones trigonométrics básics sin x =, cos x = y tn x = relcionndo con ls funciones trigonométrics inverss y l circunferenci unitri. Por ejemplo.3.1 L ecución cos t = Consideremos l ecución cos t =, trzmos l rect x = y vemos donde intersect l circunferenci unitri, l rzón pr hcer esto, es que coseno corresponde l coordend x en l circunferenci unitri, queremos sber pr que ángulo t se tiene es coordend x = ) x = En este cso tendrémos l solución t = rccos () en el primer cudrnte y otr solución en el curto cudrnte que puede ser vist como t = rccos () se sigue (por periodicidd) que tods ls soluciones están dds por t = kπ ± rccos () donde k Z Observción.7. Hcer notr l diferenci con Identiddes. Se puede usr ls funciones inverss, ls cules hn sido presentds en cálculo. Ejemplo.1. Cuiddo con elevr l cudrdo! Cundo en un ecución precen sen x y cos x, puede resultr tentdor el elevr l cudrdo pr hcer desprecer un de ls dos funciones (por l identidd fundmentl), este método puede hcer precer soluciones flss, por ejemplo, l despejr sen x en l ecución sen x + cos x = 1 y elevr l cudrdo se tiene sen (x) = (1 cos x) o se pero sen x = 1 cos x, luego l ecución es sen x = 1 4 cos x + 4 cos x 5 cos x = 4 cos (x) cos x (5 cos x 4) = 0 luego cos x = 0 o cos x = 4/5. Note que x = π es solución de cos x = 0 pero x = π originl sen x + cos x = 1 no es solución de l ecución MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos) 5
.3. Ecuciones de l form sen x + b cos x = c Un tipo bstnte común de ecución trigonométric es quell de l form se tiene el siguiente método pr resolverl: 1. Se divide l ecución por + b, nos qued + b sen x + sen x + b cos x = c b + b cos x = c + b. buscmos un ángulo tl que cos α = + b y sen α = b + b ( ) (existe pues, b +b est sobre l circunferenci unitri) +b 3. Reescribimos en l form cos α sen x + sen α cos x = c + b pero cos α sen x + sen α cos x = sen (α + x) sí que es un ecución de tipo básico. sen (α + x) = c + b Ejercicios Propuestos 1. sen(x) 1 = 0. sen x 1 = 0 3. cos x = 1 cos x sen x 4. 3 sen 3x cos 3x = 3 5. 1 tn x = 1 + sen x 1 + tn x 6. sen x + sen 4x = cos 4x + cos 6x 7. tn 3 x 3 sec x = 0 8. sec x + sec x + sec x sec x = 0 9. Resolver el sistem: x + y = α sen x sen y = s. MAT01 Primer Semestre 013 (Complementos) 6