! Calclo de límies Límies laerales Aproimació a po. por defeco (izq.), por eceso (der.) Para qe eisa límie iee qe eisir límies laerales y qe ao el límie e el po como los laerales sea igal a úmero qe o sea ifiio. Ideermiacioes : 0/0, /, 0,, 0 0, 0, -. Fcioes racioales ; g()/g() 0/0 ó / 0/0 Se hace el cociee de poliomios. / Se divide por el X de mayor grado.. Fcioes irracioales ; g()/g() 0/0 ó / Mliplicamos por el cojgado de la raíz arriba y abajo 3. L Hopial, se deriva e el merador y e el deomiador a la vez. 4. 0 Se rasforma e el primer o segdo caso. Ejemplo : Lim f ( ) 0 g( ) Lim f( ) g ( ) o_ bie 0 Lim g ( ) 0 f ( ) Da / o 0/0., 0 0, 0 ( 08 800 ) Si el límie iede a ifiio se hace por el úmero e e Lim( + f ) Dode F() iede a 0. Si iede a K se hace por Logarimos eperiaos L( L. ) L. k L( L. ) L. k Lim Lim 0 0 L( L. ) L. k / L. L. / f ( ) ( ) Lim Lim Lim Lim Lim 0 0 0 0 0 0 L. k 0 e k k ( ) 0. Mliplicado y dividiedo por s cojgado Comparació de Ifiios : Log b < < a < k <! <
" Tema : Scesioes Es a aplicació de los úmeros arales sobre los reales. Scesió acoada : N c R/ a c Ua serie coverge cado s límie eise, será divergee cado s límie sea ±. Toda scesió covergee esá acoada y el valor de covergecia es la coa. Carácer de a scesió : Covergee : si el límie del ermio geeral es fiio Divergee : si el límie del ermio geeral es + o - ifiio Oscilae : si carece de límie (o es iga de las aeriores) MONOTONIA N a+ > a : creciee N a+ < a : decreciee Si o se verifica esas dos codicioes so oscilaes Para esdiar s moooía > Creciee > 0 creciee a+ N < Decreciee a a+ < 0 decreciee a Igales 0 igales Para calclar los límies podemos ilizar odo meos L Hopial. Comparació de ifiios : Log b < < a < K <! < Crierio de STOLZ Lim a b Lim a b a b (beo para elimiar facoriales o érmios ifiios co relació) Y Lima Lim a b b b + + a Solo si se cmple : {b } es moóoa creciee co Lim {b } ± ó {b } es moóoa creciee y lim {a } Lim {b } 0. Comparació co oras scesioes Dado a E el qe o sabemos Lim a, Si hay b > a e el qe el Lim b K y ambié Hay c < a e el qe el Lim c K eoces ambié el Lim a es K. Teorema : Sea a y b dos scesioes de úmeros reales ales qe a > 0 para odo pereeciee a los úmeros reales Lima Si : y Eoces Lim a b b + + Lima a b Limb 0 o Limb
$ Tema : Series Dada la scesió {a } la serie formada por los érmios de dicha scesió se represea como : a y correspode a la sma de odos los érmios de la scesió. Carácer de a serie. Covergee : Cado la sma es úmero real. Divergee : Cado la sma da + o - ifiio. Oscilae : Cado o es iga de las aeriores. Sma de a serie geomérica. S a + ar + ar + ar 3 +...+ ar - + ar + ar + R < Serie covergee a ar R - Serie oscilae Sma R Serie divergee R Propiedades geerales de las series méricas. a S eoces K a K S Solo si k es º real disio de 0 Si a es divergee o podemos saber ada.. Al sprimir añadir o modificar úmero fiio de érmios de a serie el carácer de a serie o se modifica, si bie cado la serie sea covergee la sma pede serse alerada. Codició ecesaria para la covergecia: Sea : a Calclamos : Lima Si k 0 la serie coverge o diverge (Coiar el problema) Si k 0 la serie diverge (Fi del problema) k Covergecia de series co solo érmios posiivos A. Teorema :Toda serie de érmios posiivos es covergee o divergee, pero ca oscilae. B. Teorema : Alerado arbirariamee el orde de los érmios, descompoiedo arbirariamee cada o de los smados, o se alera el carácer de la serie, i varía s sma.. Crierio de Cachy o de la Raíz. Calclamos : Lim a k Si k < la serie coverge (Fi) Si k > la serie diverge (Fi) Si k o sabemos (Coiar) Fcioa co : ( ), ( ) p(). Crierio de D Alember o del cociee. Calclamos : Lim a a Si k < la serie coverge (Fi) Si k > la serie diverge (Fi) Si k o sabemos (Coiar) k
a 3. Crierio de Raabe. Calclamos : Lim a k Si k < la serie diverge (Fi). Si k > la serie coverge (Fi). Si k o sabemos (Coiar). Fcioa cado el crierio de la raíz o el cociee sale Log a 4. Crierio del Logarimo. Calclamos : Lim log( ) Si k < la serie diverge (Fi). Si k > la serie coverge (Fi). Si k o sabemos (Coiar). Noa : El logarimo pede esar e calqier base. 5. Crierio de comparació. Sea : a b Si a diverge eoces b diverge. Si b coverge eoces a coverge. 6. Crierio de comparació por paso al límie. k Bscamos el carácer de a y sabemos el carácer de b. Eoces : Lim a b Si k 0 y k eoces ambas series iee el mismo carácer. Si k 0 y si b coverge eoces a coverge. Si k y si b diverge eoces a diverge. Series de comparació S. Geomérica : a + a r + a r + a r 3 +... + a r Si r < serie covergee Si r serie divergee S. Armóica geeral : /( p )+ /( p ) + /(3 p ) +...+/( p ) Si p > serie covergee Si p serie divergee k 0 α 7. Crierio de Prisheim : Calclamos : Lim a kqe cmpla y k <± Si α > la serie coverge Si α la serie diverge Noa : Crierio de comparació co la serie armóica geeral camflado
Covergecia de series co érmios calesqiera A. Sea : a. Esdiamos : a y a Si a coverge (ss érmios so posiivos) decimos qe a coverge absolamee y qe, por lo ao, coverge (Fi) Si a diverge eoces pede ocrrir qe: a coverge. Se dice qe la serie coverge codicioalmee. a diverge. La serie es icodicioalmee divergee. B. E oda serie absolamee covergee se pede alerar arbirariamee el orde de los érmios si qe alere s sma. C. E oda serie es absolamee covergee qe ega valores posiivos y egaivos la serie de érmios posiivos y la serie de érmios egaivos será covergees por separado.. Teorema de Leibiz : a serie alerada es covergee si se cmple las sigiees codicioes : Es moóoa decreciee e valores absolos y El limie e el ifiio es 0 (Lim a 0). Crierio de Diriche (Para series aleradas) Dado a b c a coverge si se cmple las sigiees codicioes, de o cmplirse es divergee : Si b esá oalmee acoada y {c } a scesió moóoa decreciee qe coverge e 0 3. Crierio de Abel. Dado a b c, eoces a coverge si : b de úmeros reales, coverge. {c } es a scesió moóoa decreciee y acoada. Operacioes co series. Dadas a y b covergees de smas a y b respecivamee eoces se verifica qe : a ± b es ambié covergee y s sma es : a ± b.. Sea la serie p formada por : p a b + a b - + a 3 b - +... + a - b 3 + a - b + a b La serie así defiida e la qe a y b so covergees y a al meos es absolamee covergee, e ese caso la serie p es covergee y s sma es a b.
& Tema 3 : Fcioes de variable real. Fció real de variable real Fció creciee e el iervalo I cmple :, I, < f() f( ) Fció decreciee e el iervalo I cmple :, I, < f() f( ) Si ssiimos el y el por < y > lo hacemos esricamee. Fció es moóoa creciee o decreciee si lo es para odo R. Fció es par si : f() f(-) Fció es impar si : f() -f(-) Fció es periódica si : f() f( + a ) (Dode es º eero y a es el periodo) Limie de a fció e po Spoemos y f() diremos qe Lim f( ) Lcado al aproimar la a idefiidamee al valor a la fció se aproima idefiidamee al valor l. Lim f( ) f( I, R) a L+ε dode a I Lim f( ) L L a L-ε > ε 0, > δ 00 / < a< δ f () L< ε I a-δ a a+δ Límies laerales Dada a fció f() se dice qe iee limie por la derecha del po a y se represea como : Lim f( ) L a + ε > 0, δ > 0/ 0< a< δ f( ) L < ε I Codició ecesaria y sficiee para qe f() ega límie e a es qe eisa los límies por la derecha e izqierda y qe coicida. Cálclo de límies (ifiiesimos e ifiios) Se dice qe f() es ifiiesimo e a si se compora la fció de la misma maera qe ora e dicho po. Tabla de ifiiesimos : Lim se( ) Lim g( ) Lim 0 0 0 Lim ar co g ( ) Lim arcse( ) Lim 0 0 0 Lim Lim ( cos( )) 0 0 Lim e Lim ( + ) 0 0 Lim L( + ) Lim 0 0 Se e odas esas fcioes se pede ssiir f() por, mieras qe f() ieda a 0. Regla de L Hopial Para 0/0 y /
Coiidad f() es coia e pe po a si se cmple : ε > 0, δ > 0/ 0< a < δ f( ) f( a ) < ε Es codició ecesaria y sficiee para qe sea coia e po qe Lim f () fa () a f() es coia e iervalo I si es coia e odos los pos de ese iervalo. Discoiidad (Tipos). Discoiidad eviable : Si f() o esá defiida e el po (a) o el limie de la fció cado iede a (a) o es igal a la fció e dicho po.. Discoiidad de ª especie : Si e el po eise los límies laerales pero o coicide. 3. Discoiidad de ª especie : Cado algo de los límies laerales o o eise o so ifiios.
% Tema 6 : Derivabilidad Dado y f() e iervalo I se defie la derivada de f() represeado como f () como : F Lim f ( ) Lim f ( '( ) h f 0 + ) ( 0) 0 h 0 h h 0 h Si ese límie eise diremos qe la fció es derivable TEHOREMA : Toda fció derivable e 0 es coia e dicho po (Ojo al corario NO!!!!) Tabla de derivadas dadas, v f() y k, m, a cosaes PRIMITIVAS DERIVADAS PRIMITIVAS DERIVADAS y k y 0 y g( ) y /cos y ( + g y k y k y sec ( ) y sec() g() y + v y + v y cosec( ) y -cosec() cog( y v y v + v y cog( ) y - /se y -( + co v ' v' y y arcse ( ) ' v v y m y m m- y arccos( ) ' y ' y arcg( ) ' + y ' y arccog( ) ' + y L ' y seh( ) y cosh( ) y lg a y Le ' ' y cosh ( ) y seh () ' a La y a y a La y gh () ' cosh y v y v (v L + v /) y argcosh() ' y se( ) y cos( ) y argseh() ' + y cos( ) y -se( ) y arggh() ' Derivadas laerales Sea f() a fció defiida e iervalo abiero y sea 0 po geerico de ese iervalo, llamamos derivada e 0 por la derecha o izqierda y se represea : Por la derecha de 0 Por la izqierda de 0
F Lim f ( h f 0 + ) ( 0 ) ' + ( 0) F Lim f ( h f 0 ) ( 0 ) ' ( 0) h 0 h h 0 h Es codició ecesaria y sficiee para qe eisa derivada e po qe eisa derivadas laerales y qe coicida. Casos e los qe o hay derivada: Po agloso : Ambas derivadas eise y so fiias, pero o coicide. Po de Iversió : Ambas derivadas laerales so + o - co el mismo sigo a la vez. Po de reroceso : Si so ifiio pero co sigo disio. Derivada de la fció iversa Si y f() qe cmple qe es derivable e 0 y además qe f ( 0 ) o es cero eoces cmple : Qe la fció iversa f - (y) defiida como : f '( y0) f '( 0) Es derivable e 0, de hecho so coias e el mismo iervalo Derivada de fcioes paraméricas Cado o se pede despejar o es my complicado, y respeco de se hace la derivació implicia. Pasos : - Se deriva co y co y idepediee, pero las qe derivemos co y poemos dy/d. - Agrpo e lado los érmios co dy/d 3- Dejo solo el dy/d y lo demás lo paso dividiedo. Derivadas scesivas Para calclar eso de lo qe se raa es derivar scesivamee pero se pede ilizar Leibiz Dado f(), v g(), dos fcioes qe admie derivadas scesivas. ( ) ( ( v ( v ' ( v '' ( v '''... ' v ( + v + + 3 + + + 3 RECOMENDACIONES : Si iees a fció racioal se iee qe descompoer primero, de o eer ada e el merador se rabaja mcho mejor co sbiédolo odo de la sigiee forma : / -. Se sele pasar odo a se o cos, smadole π/
( Tema 7 :Series de poecias Se llama serie poecial a a serie fcioal de la forma a 0 +a +a +...+a +... E oda serie eera eise ciero valor al qe la serie coverge para odo eisee para ciero valor. ( RR, ), para calclar ese iervalo se iliza los crierios de Dalember o del cociee, Cachy o de la raíz Desarrollo e serie de Taylor a ) f'( a) f''( a) f ( a) f( ) f( a) + ( a) + ( a) +... + ( a) +...!!! Desarrollo e serie de Mc Lari : Es igal qe Tailor pero co 0 ) f'( 0) f''( 0) f ( 0) f( ) f( a) + + +... + +...!!! Reso de Lagrage poliomio de Taylor de grado : + f ) ( z) + R a ( + )! ( ) Serie Biómica 3 4 ( + ) + + + + 3 + + m m m m m 4 m... rago covergecia [-,] Operacioes co series de poecias Dado f() a y g() b f(k z) a k z f( p ) a k p f() ± g() (a ± b ) f() g() ( a ) ( b ) Esas operacioes pede cambiar el iervalo de covergecia. Si es a sma el iervalo es la ió de los iervalos. ( ) + ( ) ( ) + ( )... + ( )( ) 0 < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l ( ) +... + + 3 4 0 < 3 4 e + + + + +... +! 3! 4!! -00 < < 00 3 5 7 ( ) se( ) + +... + + 3! 5! 7! ( + )! -00 < < 00 4 6 ( ) cos( ) + +... +! 4! 6! ( )! 3 5 7 ( ) ar co g ( ) + +... + + 3 5 7 + 3 5 7 + 3 3 5 ( ) ar se( ) + + + +... + 3 4 5 4 6 7 (!) ( + ) k kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )( k 3) ( + ) + k + + +! 3! 4! 3 4-00 < < 00 - - -
% Tema 8 :Represeació Gráfica de fcioes. Domiio (esdiar las sigiees fcioes problemáicas) a) Racioales : F() P() / Q() Eoces D R - { Pos qe Q() 0 } b) Raíces : F() P() / Eoces D { / P() > 0 } c) Logarimos : F() Log P() Eoces D { / P() > 0 }. Pos de core co ejes ( e y) Core co eje X : 0 F() Pos (, 0 ) Core co eje Y : y F(0) Pos (0, y ) 3. Sigo El sigo qe oma la fció para deermiados valores, hay qe esdiarlo ere los pos raros del domiio y ere los pos de core del eje X 4. Simerías PAR (Respeco del eje X) : F() F(-) IMPAR (Respeco del orige) : F() -F(-) 5. Periodicidad 6. Asíoas Vericales : Se calcla el límie de la fció cado iede a pos raros e los qe o eise fció y si da + 0 - ifiio es a asíoa. Horizoales : Se calcla si el limie de la fció cado iede a ifiio o meos ifiio da úmero fiio, e ese caso hay asíoa e dicho úmero. Oblicas : (Solo pede eisir si o hay horizoales, para los dos lados) Se calcla m Lim F()/ y Lim F() - m Si se pede calclar odo la asíoa esá e y m + 7. Crecimieo y decrecimieo F () > 0 Crece F () < 0 Decrece Tambié se pede esdiar eso a parir de míimos, máimos y asíoas. 8. Máimos y míimos Hacer F () b) F () 0 (Despejo ) c) Hacer F () Si F ( 0 ) > 0 Es míimo (la crva esá por ecima) Si F ( 0 ) < 0 Es máimo (la crva esá por debajo) 9. Pos de ifleió F () 0 (Despejar ) Si F ( 0 ) 0 No hay ifleió Si F ( 0 ) <> Hay po de ifleió b) Calclar F () 0.Cocavidad y coveidad F () > 0 Cócavo (U) F () < 0 Coveo (/\). Recorrido
Cadro de iegrales imediaas d + c d ' + c + ' d + c + ' d L + c ' ed e + c a ' ad + c La ' se( d ) cos( ) + c ' cos( d ) se( ) + c 'd d ' '( + g ( )) d g( ) + c cos arcse( ) + c 'd d ' '( + co g ( )) d co g ( ) + c se arcg( ) + c + sh ' ( ) ch ( ) + c ch ' ( ) sh( ) + c d ' arg sh( ) + c + d ' arg h( ) + c Ssicioes recomedadas d ' arg ch( ) c + Fció Cambio Cálclos Re (, ) d e d L ; d RL (, ) d L e ; d e d R (,arcg( )) d arcg() d g() ; d cos R (,arcse( )) d arcse() se() ; d cos() d R (,arccos( )) d arccos() cos() ; d -se() d R (,arg h( )) d argh() d h() ; d ch R (,arg sh( )) d argsh() sh() ; d ch() d R (,arg ch( )) d argch() ch() ; d sh() d Ssicioes e iegrales de fcioes rigooméricas circlares Si es impar e SEN cos d arccos(); d ; se( )
Si es impar e COS X Si es par e SEN y e COS Si o es igo de los casos aeriores : CAMBIO GENERAL se g g arcse(); d arcg() ; d ; cos( ) d d ; + cos( ) se( ) + + d arcg() ; d + ; se( ) cos( ) + + Ssicioes e iegrales de fcioes hiperbólicas ; Si es impar e SH X Si es impar e CH X Si es par e SH y e CH Si o es igo de los casos aeriores : CAMBIO GENERAL ch sh h h d argch(); d ; sh( ) d argsh(); d + ; ch( ) + d argch() ; d ; se( ) cos( ) + d argh() ; d ; sh ( ) ; cos( ) + Formla de iegració por pares dv v- v d
Varios Fcioes Hiperbólicas e e e + e seh( ) cosh( ) seh ( ) cosh ( ) arggh( ) seh( )' cosh( ) cosh( )' seh( ) Ojo Si Sigo!! Biomio de Newo m m m m m m ( a + b) a a b a b ab ab + + + + + + m m... 0 m b m m m m m m m Ecacioes de la reca m pediee ; Por la derivada ó co dos pos m ( 0 - ) / (y 0 - y ) ( 0,y 0 ) es po Ecació agee (y - y 0 ) m ( - 0 ) Ecació agee (y - y 0 ) (/m) ( - 0 ) Combiaoria m m!!( m )! m m m m Propiedades : y 0! 0 m m m + Reglas de los logarimos (E calqier base) Log a b c a c b log a b log a + log b log a/b log a - log b log a b b log a b log a /b log a
Trigoomería π 80º π Rad A B se A se cos g H H cos B H H cos B cos ec sec co g se A cos B se A X H B A 0º 30º 45º 60º 90º se 0 3 4 0 cos 4 3 0 0 g 0 3 3 3 Relacioes esdiarlas???? Complemearia : se( π/ - ) cos ; cos (π/-) se Splemearios : se( π- ) -se ; cos (π - ) -cos Opesos : se - -se ; cos - cos Relació fdameal se + cos Dividiédola por se + cog cosec Dividiédola por cos g + sec Trasformacioes al áglo miad se a se a cos a cos a cos a - se g a a g a g a Trasformacioes al áglo doble cos se cos + cos g cos + cos Trasformacioes e sma se( a ± b) se a cos b m se bcosa cos( a ± b) cos a cos b m se a se b g a ± g b g( a ± b) m g a g b Trasformacioes e prodco a + b a b a + b a b se a + se b se cos se a se b cos se a + b a b a + b a b cos a + cos b cos cos cos a cos b se se