Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada utlzando el método de elementos fntos Jaro Madrgal Argáez 1 Jame Barbosa Pérez Manuel Julo García 3 Resumen Este artículo expone la solucón al problema de la dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada medante el Método de Elementos Fntos (Fnte Elements Method, FEM). En este proceso se mplementa el método pesaje resdual en la formulacón débl de la ecuacón dferencal de Laplace con condcones de frontera de Drchlet para el potencal electrostátco. La solucón encontrada se basa en la seleccón de funcones lneales sobre un domno dscretzado en un número fnto de elementos geométrcos. La estratega de solucón se basa en la mplementacón del método de Galerkn en la escogenca de la funcón solucón de la ecuacón de Laplace llevada a su representacón dscreta. Palabras clave Flujo eléctrco, potencal electrostátco, laplace, galerkn, elementos fntos. 1 Físco, Especalsta en óptca técnca. Profesor de físca de la facultad de Cencas Báscas, ITM, Medellín, Colomba. jaromadrgal@tm.edu.co Ingenero Mecánco. Profesor del departamento de Ingenería Mecánca, Unversdad EAFIT, Medellín, Colomba, jbarbosa@eaft.edu.co. 3 Manuel Julo Garca Ruz. Drector del grupo de mecánca computacón Unversdad EAFIT, Medellín, Colomba. mgarca@eaft.edu.co Fecha de recepcón: 13 de julo de 008 Fecha de aceptacón: 4 de septembre de 008 Revsta Tecnológcas No. 1, dcembre de 008
[13] Abstract Ths paper presents the soluton to the problem of the dstrbuton of the electrostatc potental n a square plate by means of the Fnte Elements Method (FEM). In ths process the method s mplemented mnmo remander n the weak formulaton of the equaton dfferental of Laplace wth condtons of border of Drchlet for the electrostatc potental. The found soluton s based on the selecton of lnear functons on a domnon dscreet n a fnte number of geometrc elements. The soluton strategy s based on the mplementaton of the method of Galerkn n the choosng of the functon soluton of the equaton of Laplace taken to ts dscreet representaton. Key words Electrc flow, electrostatc potental, Laplace soluton, Galerkn soluton, Fnte Elements Method (FEM). Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [133] 1. Introduccón El método de elementos fntos es una técnca de aproxmacón numérca que se vene empleando en la solucón de problemas en una ampla gama de ambentes técncos en cenca e ngenería donde solucones numércas son requerdas. En este documento se expone el Método de Elementos Fntos (FEM) de sus sglas en ngles, en la solucón al problema de la dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada con condcones de frontera. El resultado de la aplcacón de esta técnca es comparatvamente aceptable con la solucón analítca tradconalmente expuesta en la lteratura centífca 4. El FEM se utlza para desarrollar un procedmento que permta ponderar una funcón solucón de mínmo resduo o error, tal que se pueda determnar el comportamento de una funcón en una regón acotada. La eleccón de la funcón solucón al problema se determna por el método de Galerkn; posterormente, para efectos de la solucón del problema propuesto, la ecuacón del promedo resdual es llevada a la forma dscreta 5 medante la formulacón débl y fnalmente evaluada sobre un domno dscretzado en un número fnto de elementos trangulares lneales. De esta manera se expone una solucón al problema de la dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada medante la solucón de la ecuacón de Laplace con condcones de frontera de Drchlet. Los resultados obtendos con esta técnca se comparan con la solucón analítca y se calcula el error. Este ejercco se fundamenta en la formulacón de la técnca de elementos fntos mplementada en el lbro Lecture Notes on Numercal Análss por Manuel García [1] y en el lbro The Fnte Element Method Usng Matlab por Young W. Kwon [3]. 4 M. Sadku. Elementos de Electromagnetsmo Edcón. Compañía Edtoral Contnental, S.A. Méxco, 1998. p. 36. 5 Manuel Julo García. Lecture Notes on Numercal Analyss. Department of Mechancal Engneerng, EAFIT Unversty Medelln, Colomba. Enero de 004. p. 64.
[134] Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada... La solucón analítca está fundamentada en el lbro Elementos de Electromagnetsmo de Sadku [].. Desarrollo del tema.1 Cálculo del potencal electrostátco en la regón nteror El potencal electrostátco aparece en la lteratura como una propedad del campo eléctrco donde la dervada drecconal del potencal electrostátco ndca la dreccón de tendenca del campo eléctrco. La forma como se relaconan matemátcamente estas dos entdades puede expresarse así: V = E (1) Donde V es una funcón escalar que representa al potencal electroestátco, E es el campo eléctrco y es el operador gradente. La escogenca de esta representacón se fundamenta en el hecho de que los campos eléctrcos gozan de la propedad de ser rrotaconales, y matemátcamente se conoce que el rotaconal del gradente de una funcón escalar es sempre cero 6 ( ) = 0 V () Con estos antecedentes y consderando el hecho de que los campos eléctrcos satsfacen la condcón del flujo presentada por la ley de Gauss, de la forma: E = ρ (3) ε r Es drecto el cálculo de (1) y (3) para obtener una relacón entre el potencal electroestátco y la densdad de carga, cuyo resultado corresponde a la ecuacón de Posson, como se puede aprecar: 6 M. Sadku. Elementos de Electromagnetsmo Edcón. Compañía Edtoral Contnental, S.A. Méxco, 1998. p. 157. Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [135] V = ρ (4) ε r Donde es la densdad de carga y ε r es la permtvdad eléctrca del medo. De acuerdo con la geometría del problema es adecuado hacer una representacón del sstema en coordenadas cartesanas, correspondentes a la descrpcón de la ecuacón de Posson para este tpo de geometrías, que se expresa de la forma: d V dx d V ρ( x, + = (5) dy ε 0 Las condcones de frontera para el problema propuesto se expresan en la forma: V ( x) = 0, x = 0,,0 y a V ( x) = 0, x = b,,0 y a V ( = 0, 0 x b,, y = 0 V ( = V, 0 < x < b,, y = a 0 Las cuales corresponden a las condcones de frontera de Drchlet. El método del pesaje resdual consste en asumr una funcón de prueba que contene coefcentes desconocdos por determnar. Para este fn, selecconamos una funcón de peso u y se condcona a que el promedo del pesaje resdual sobre el domno de la funcón sea cero. Ω u d V dx d V + dy ρ( x, dω = 0 ε 0 Aplcando la extensón de Green al teorema de Gauss se obtene una representacón de la ecuacón (7) que permte dvdr el domno en regón nteror y fronteras. Que se puede representar de la forma: (6) (7)
[136] Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada... du Ω dx dv du dv dx + dy dy dω u Ω ρ dω + Γn dv u dn dγ = 0 (8) La prmera ntegral corresponde a la regón nteror del domno, la segunda ntegral corresponde a la fuente de carga en el nteror y la tercera ntegral corresponde al flujo de campo eléctrco en la frontera. La solucón al problema se smplfca para el propósto de este nforme al consderar que la placa no presenta fuentes de carga. De esta forma la segunda ntegral en (8) se hace cero y la ecuacón dferencal (4) se converte entonces en la ecuacón de Laplace, cuya representacón en la forma débl es: Ω du dx dv du dv dv + dω + u dx dy dy Γn dn dγ = 0 (9) La dscretzacón del domno en (9) se desarrolla usando elementos fntos bdmensonales trangulares lneales, para los cuales las varables de nterpolacón son lneales en x y y en la forma de: (, = a + a x + a y ω = ω (10 - a) o ω = ω x 1 3 = [ 1 x y] a a a 1 3 (10 - b) La aproxmacón de la solucón depende de la seleccón de la funcón de prueba. En este proceso se deben determnar entonces los coefcentes desconocdos a para lo cual la funcón de nterpolacón (10 - a) debe representar las varables nodales en los tres nodos del elemento trangular. Susttuyendo los valores de las coordenadas cartesanas de los nodos se obtene: ω e ω = ω ω 1 3 1 x = 1 x 1 x 1 3 y1 a1 y a y 3 a3 (11) Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [137] Desde donde es posble determnar los valores de las constantes a. Para un elemento trangular la matrz del elemento es calculada de la forma: e du [ ] dve du dve K = + Ωe dx dx dy dy dω (1) a partr de funcones del tpo descrtos en (11). Donde K e es la matrz que contene las pendentes de los planos evaluadas en cada nodo del elemento trangular 7. Cada elemento trangular posee nodos asocados con los otros elementos del domno en cuya expansón del domno se construye una matrz A global del sstema que tene dmensones n x n sendo n el número de nodos en el domno. El método de Galerkn seleccona las funcones u y V en el msmo espaco de funcones. La representacón abstracta de la ecuacón (1) es expresada como: a ( V u) = ( u), (13) Cuya expansón a todo el conjunto de funcones en el domno puede generalzarse de la manera sguente: AV, u =, u (14) De acuerdo con las propedades del producto nterno (14) puede rescrbrse en la forma: AV, u = 0 (15) Ya que u es solucón del sstema, en consecuenca la solucón no trval queda de la forma: AV = 0 (16) 7 Kwon, Young W; Bang, Hyocoong. The Fnte Element Method Usng Matlab. 1997. Pag. 90.
[138] Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada... El segundo térmno de (16) corresponde al térmno de los flujos que entran a la regón por la frontera de (9) y estarían descrtos en las condcones de frontera de Von Newman, no tratados en este documento debdo a que no se consderan fuentes externas de campo eléctrco. Así al térmno restante de (16) se aplcan las condcones de frontera de Drchlet y fnalmente se resuelve el sstema de ecuacones lneales para consegur el valor del potencal en los nodos donde este valor es desconocdo y ordenar el arreglo de valores de manera que el valor del potencal sea asgnado al nodo correspondente. Los resultados obtendos pueden aprecarse gráfcamente en la fgura (1). En ésta, el releve de la regón y el colordo representan el valor del potencal. En prmera nstanca no parece haber gran dscrepanca entre las fguras zquerda y derecha, aparte de tres pcos en la solucón analítca. Fgura 1. Dstrbucón del potencal electrostátco Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [139] La solucón analítca más usual es determnada medante la solucón de la ecuacón dferencal (5). Al evaluar en ésta las condcones de frontera de Drchlet descrtas en (6) se obtene V 4V π ( ) o x, y = n= 1,3,5 sen nπx nπ senh b a nπa n senh b y (17) y su representacón grafca punto a punto en un domno más puntual corresponde a la fgura (). Fgura. Solucón analítca No está por demás resaltar el hecho de que ambas solucones, la FEM y la analítca, son aproxmacones numércas, sn embargo la solucón FEM calculada en este ejercco está más acorde con las
[140] Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada... condcones ncales del problema. Los pcos que aparece en la parte derecha de la fgura 1, corresponde a los valores calculados por la ecuacón senosodal 17 para las coordenadas correspondentes a cada nodo del domno, y como puede aprecarse de la fgura, la solucón analítca es más rzada en el extremo más alejado por efecto de la aproxmacón senosodal para el valor del potencal en esa frontera. Un ndcatvo numérco de las aproxmacones obtendas por el método en cuestón es dado por el porcentaje de error calculado respecto a la norma. Éste se determna a partr de los valores del potencal electrostátco calculado por los dos métodos de solucón (FEM y analítco), calculando la norma de la dferenca entre los vectores en comparacón dvdda por la norma del vector de referenca, que en este caso corresponde a Va, la solucón analítca ya que para efectos del problema se ha consderado la solucón FEM como la funcón de prueba del sstema V, aquí * ndca la norma de referenca V Va * % E ( l * ) = V a * Tabla 1. Porcentajes de error entre la solucón analítca y solucón FEM % Error (l ) 18.759 % Error (l ) 5.7674 % Error l : ndca el porcentaje de error con respecto a la norma nfnta 8. % Error l : ndca el porcentaje de error con respecto a la norma eucldana.. Cálculo del gradente del potencal El gradente representa la magntud y la dreccón de la máxma rapdez de ncremento espacal del potencal escalar V. En la ecuacón (1) se puede ver que el gradente del potencal aumenta en la dreccón opuesta a la dreccón del campo eléctrco. 8 Manuel Julo García. Lecture Notes on Numercal Analyss. Department of Mechancal Engneerng, EAFIT Unversty Medelln, Colomba. Enero de 004. p. 1. Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [141] Para este cálculo se parte de que la funcón que descrbe el potencal escalar puede escrbrse en cada regón del domno de la forma ( x V ( x V, = ω, (18) Y su gradente en consecuenca V ( x V + j V, = (19) x y Reemplazando (17) en (18) se tene V = V El valor de ( x ω x + V ω y j (0) V, corresponde al valor del potencal calculado en la seccón anteror para el nodo el cual es una constante calculada en la seccón.1, de manera que en la ecuacón (0) sólo queda calcular la dervada parcal de la funcón base descrta en la ecuacón (10) para cada elemento. De allí puede verse que para un elemento lneal trangular ω = a (1 a) y x ω = a (1 b) 3 y Reemplazando las ecuacones (1) en la (0) se obtene: ω V = V x a ω V = V a 3 j ( b) y ( a)
[14] Dstrbucón del potencal electrostátco en una placa cuadrada... Ecuacones que corresponden a la suma drecconal de los gradentes de los nodos en cada elemento trangular en las respectvas coordenadas. A contnuacón se asgna el valor del promedo del gradente del elemento trangular a cada nodo del msmo elemento. Al fnal cada coordenada nodal tendrá e número de gradentes asgnados como el número de elementos trangulares que compartan dcho nodo. Para efectos de determnar el gradente en cada nodo se calcula el promedo de los gradentes asgnados a éste. En la parte zquerda de la fgura (3) es aprecable la dstrbucón de los gradentes en el domno y en la parte derecha se muestra la dstrbucón del potencal lustrado por el color asgnado. Fgura 3. Líneas de campo eléctrco y dstrbucón del potencal electrostátco Revsta Tecnológcas
Revsta Tecnológcas [143] 3. Conclusones Las dferencas entre la solucón analítca y la solucón FEM observadas en la tabla (1) donde aparecen los porcentajes de error en los nodos cuyos resultados calculados por ambos métodos no son concdentes, dan a entender una dscrepanca debdo a la aproxmacón senodal de la funcón analítca. El error calculado se ha realzado con base en dos solucones que son aproxmacones y que, así la solucón FEM esté más acorde con las condcones ncales del problema con respecto a la solucón analítca que es una funcón armónca senosodal, tambén demuestra que por efectos del pesaje resdual o mínmo resduo esto afecta los resultados del sstema. Lo que se puede extraer de este resultado es que el método de los elementos fntos para la solucón al problema de la dstrbucón del campo electrostátco, arroja resultados consstentes con respecto a otros métodos amplamente dscutdos en la lteratura técnca y centífca. Referencas [1] Manuel Julo García Ruz. Lecture Notes on Numercal Analyss, 008. Fondo Edtoral Unversda Eaft. Department of Mechancal Engneerng, EAFIT Unversty, Medelln, Colomba. [] M. Sadku (1998). Elementos de Electromagnetsmo Edcón. Compañía Edtoral Contnental, S.A. Méxco. [3] Kwon, Young W; Bang, Hyocoong. The Fnte Element Method Usng Matlab. Boca Raton: Crc Press, 1997.