Límite de una Función

Cálculo _Comisión Año 06 Límite de una Función I) Límite Finito Muchas veces interesa analizar el comportamiento de los valores de una función, para valores de la variable independiente cercanos a uno particular Éste estudio lleva a definir un concepto de la matemática superior conocido como ite de la función Noción intuitiva: el Límite de una función es el número real al que se aproiman las imágenes (o valores) de una función cuando la variable independiente se aproima a un número cualquiera En símbolos: sea f la función y L ite y a el valor de la variable independiente Entonces, cuando a f ( ) L (se lee: cuando tiende a a, sus imágenes tienden a L ) O bien: f ( ) L a Ejemplo) Sea la función f ( ), con dominio Df = R Vamos a analizar si la función tiene ite cuando se aproima a, utilizando una tabla de valores Solución: Dando a valores cada vez más próimos a, se construye la tabla: f() f() 4 7,,, 6, 9,9, 6,,99,99,0 6,0,999,999,00 6,00,9999,9999,000 6,000 La interpretación de la tabla lleva a decir que los valores de f se acercan a 6, cuando se acerca a Además, hay dos maneras de aproimarse a : tomando valores menores (por izquierda) o tomando valores mayores (por derecha) Aunque es prácticamente imposible seguir completando la tabla con todos los valores (porqué?), la intuición nos dice que podemos acercar el valor de a tanto como sea posible, o bien, que se aproima infinitamente a (esto es posible por ser un número real), y que los valores de f() se acercarán infinitamente a 6 En éste proceso, notamos que los valores de la función se acercan a 6 cuando se acerca a, es decir, que 6 es el ite de la función en En símbolos: f ( ) ( ) 6 9 Ejemplo ) Sea la función g ( ), con dominio Dg = R {} Vamos a analizar si la función tiene ite cuando se aproima a Elaborado por la Prof Adriana Duarte Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 Solución: Dando valores a cada vez más próimos a, se construye la tabla: g() g() 4 7,,, 6, 9,9, 6,,99,99,0 6,0,999,999,00 6,00,9999,9999,000 6,000 Se observa que los valores obtenidos coinciden con los de la tabla anterior Porqué? Ocurre que las funciones f y g son equivalentes, ecepto en = Este valor pertenece al dominio de f pero no así al dominio de g Sin embargo, la interpretación de la tabla lleva a decir que los valores de g se acercan a 6, cuando se acerca a, tanto por izquierda como por derecha 9 En símbolos: g( ) 6 Tenemos así algo importante que destacar: a) en el estudio del ite de una función no interesa si el valor a pertenece o no pertenece al dominio de la función analizada; la función puede tener ite en ese punto aunque el mismo no forme parte de su dominio b) Dos o más funciones diferentes pueden tener el mismo numero real como ite, para a Recordamos: la distancia entre dos números a y b es el valor absoluto de su diferencia d( a; b) a b Entonces, en los ejemplos anteriores, podemos decir que cuando la distancia entre y se hace cada vez más pequeña, la distancia entre f() y 6 (o g() y 6) también es cada vez más pequeña Cuánto mas cercana está a la distancia entre ellos se aproima o tiende a cero, de igual forma que la distancia entre f() y 6 tiende a cero En símbolos: 0 f ( ) 6 0 Podríamos considerar a f ( ) 6 tan pequeña como quisiéramos, y con eso estaríamos asegurando que 6 es el ite de los valores de f!! cómo? Basta con tomar a tan próimo como sea posible a! O sea: si en forma arbitraria se establece que la distancia de f() a 6 sea menor que un determinado número, esto condicionará que la distancia de a sea menor que un número también Por ejemplo: f ( ) 6 0, ( ) 6 0, 0, f ( ) 6 0,00 ( ) 6 0,00 0,00 Probemos con otro ejemplo La función h ( ) 4 tiene ite - cuando se acerca a? h( ) ( ) 0, 0, ( 4) 0, 0, ( ) 0, 0, Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 h( ) ( ) 0,00 ( 4) 0,00 0,00 ( ) 0,00 0,00 0,00 En ésta función podemos observar que cuando la distancia de h() al ite es un determinado valor prefijado, la distancia entre y a es la tercera parte de ese valor, en cambio en el primer ejemplo, estos valores eran iguales Más generalmente, si no queremos especificar ese número podríamos designarlo (épsilon) siendo cualquier número positivo dado, tan pequeño como se quiera, y para cada épsilon tomado se encontrará que la distancia de a a será menor que un valor que dependerá de épsilon, que llamaremos (delta) En el caso de la función f, resultó, y en el caso de la función h resultó ser (O sea, que la relación entre y dependerá de la función analizada) Entonces, para el primer ejemplo, comprobamos que: ( ) 6 0, 0 / :( Df 0 ( ) 6 ) Tomando la función h, comprobamos que: ( 4) 0, 0 / :( Df 0 ( 4) ( ) ) Para el caso general de tener cualquier función y f (), definida en Df, se dice que: a f ( ) L 0, 0 / :( Df 0 a f ( ) L ) Esta epresión se conoce como la definición formal del ite de una función, o también como la definición épsilon-delta Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 No eistencia de ite finito Cuando la definición anterior no se cumple, se dice que la función no tiene ite en el punto a Por ejemplo ) La función signo, definida como el cociente entre la función valor absoluto y la función identidad, f ( ) Sgn( ), no tiene limite finito en el punto 0, dado que para cualquier entorno con centro 0, no se cumple que para un épsilon dado, sea siempre f() menos L menor a dicho épsilon Límites laterales Se denominan así a los ites que se obtienen cuando la variable tiende a a únicamente por derecha o por izquierda Definición: Dada la función f, el número L es ite lateral derecho si y sólo si 0, 0 / :( Df a a f ( ) L ) Dada la función f, el número L es ite lateral izquierdo si y sólo si 0, 0 / :( Df a a f ( ) L ) Condición de eistencia de ite finito a f ( ) L y f ( ) L y L L f ( ) a a L L En el ejemplo, para la función f ( ), con 0, se obtienen f ( ) y f ( ) y L L f ( ) 0 0 0 L Un entorno E(a;h) es un intervalo abierto de números reales, donde su centro a es el punto medio entre los etremos del intervalo y su radio h es la distancia del centro a uno de los etremos Por ej: E(4;) = (; 6) Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 4

Cálculo _Comisión Año 06 Condición de Unicidad: Sea la función y = f() f ( ) L y f ( ) L L L a a Como ya se dijo anteriormente, una función se define por tramos cuando presenta para cada subintervalo del Dominio, reglas de definición diferentes, por ejemplo: ; si 0 La función f se define: f ( ) 4 ; si 0 ; si La representación gráfica es la siguiente: Esta función nos permite visualizar mejor la idea de ites laterales Si se quiere encontrar el ite de f para los valores = -, = 0, = y =, se procede de la siguiente manera: En = - únicamente se puede encontrar ite por derecha ( porqué?) Es decir: f ( ) 4 En = 0, se calculan ites por izquierda y por derecha: f ( ) 0 y f ( ) ( 4 ), por lo tanto f ( ) 0 0 0 0 En la representación gráfica, la función tiene un salto en = 0 0 En =, no es necesario plantear ites laterales, dado que la función no cambia de regla de definición en un entorno de : f ( ) ( 4 ) En =, f ( ) ( 4 ) 7 y f ( ), y f ( ) Propiedades de ite finito Estas permiten encontrar el ite de funciones, sin necesidad de realizar tablas de valores Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 ) Si f() = K ( f ( ) K K ), entonces a Por ejemplo: ( ) o ( ) ) Si f() =, entonces f ( ) a a Por ejemplo: o ) Si f() = p + q (función lineal), entonces f ( ) paq Por ejemplo: ( ) a o ( 4) 40 4) Si h() = f() a f ) g( ) L L ( g(), y f ( ) L a g( ) L, entonces y a Por ejemplo: ( ) ( ) 7 Infinitésimos Una función es infinitesimal o infinitésima en un número a si y sólo si su ite cuando tiende a a es cero ( ) 0 es inf initésimo en a a En símbolos: ( ) 0 0, 0 / :( Df 0 a ( ) ) a Por ejemplo: f() )= es un infinitésimo en = 0 dado que 0 0 Propiedades de infinitésimos ) la suma o diferencia de dos infinitésimos en a, es otro infinitésimo en a ) el producto de dos infinitésimos en a, es otro infinitésimo en a ) el cociente de dos infinitésimos es una indeterminación (puede dar un numero real distinto de cero, cuando los infinitésimos son de igual orden, o cero cuando el numerados es infinitésimo de orden superior al denominador, o infinito cuando el denominador es de orden superior al numerador) ) f ( ) L f ( ) L, con inf initésimo en a a 6) Si h() = f() g(), y f ( ) L a g( ) L y a 7) Si c es un número real y f ( ) L c f ( ) c f ( ) a a, entonces f ) g( ) L L a a ( Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 6

Cálculo _Comisión Año 06 4 4 Por ejemplo: 6 768 4 4 8) Si h() = f(): g(), y f ( ) L a g( ) L entonces y a a ( ): g( ) L : L ; con L 0 f Por ejemplo: hallar el ite de h ( ), cuando 4 Solución: La función h es racional, por ser cociente de funciones polinómicas y para hallar su ite, se puede aplicar la propiedad Nº 8: ( ) ( h ) 4 ( 4 ) 4 9) Si eiste la función compuesta f g y g( ) L entonces: a g( ) f g( ) f ( ) ( f g)( ) f L a a a Son casos especiales de aplicación de esta propiedad: n n ) f ( ) f ( ) Por ej: 000 a ) f ( ) a n a n f ( ) a Por ej: ( ) Cociente de infinitésimos (Indeterminación 0/0) Qué pasaría si se tiene que hallar el ite de h ( ), cuando? Al aplicar la 4 propiedad correspondiente, se tiene: ( ) 0 h( ), obteniéndose así un cociente de 4 ( 4 ) 0 infinitésimos (se dice que presenta una indeterminación) En efecto, las funciones ( ) f y g ( ) 4 tienden a cero cuando Es posible conocer el ite de la función dada, en =? En general, se recurren a artificios matemáticos (algebraicos, trigonométricos, de racionalización, etc) válidos para transformar la epresión de la función dada en otra, donde la indeterminación ya no eista Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 7

Cálculo _Comisión Año 06 Por ejemplo, en la función h, numerador y denominador se pueden factorear y luego eliminar los factores iguales: h( ) 4 ( )( ) ( )( ) 0 6 Ejercicio : Calcular 9 Solución: Es una indeterminación del tipo 0/0 Se procede multiplicando y dividiendo por el conjugado de la epresión del denominador, con la intención de hacer desaparecer las raíces: 9 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicio : Hallar el ite de la función g( ), cuando Solución: Nuevamente es una situación de indeterminación 0/0 En este caso conviene realizar un cambio de variable, reemplazando el radicando por una epresión que posea raíz quinta, por ejemplo u La nueva variable independiente es u, habrá que reemplazar a por una epresión de u, haciendo: u Además, cuando, se cumple que u Sustituyendo, queda: lim u ( u ) lim Factoreamos el denominador: u u u u ( u ) u 4 4 ( u u u u )( u ) u ( u u u u ) Sabemos que la función no está definida en =, y como el ite eiste, desde el punto de vista gráfico se observa un hueco, que resulta de aislar en la gráfica el punto de coordenadas ; Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 8

Cálculo _Comisión Año 06 Ejercicio : Analizar si la función t( ) tiene ite cuando Solución: Como la función valor absoluto se define por tramos, tendrán que considerar ites laterales, por izquierda y por derecha de - ( ) ()( ) ( ) ()( ) y además: Como los ites laterales son distintos, la función t, no tiene ite en - Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 9

Cálculo _Comisión Año 06 II) Límite Infinito En ocasiones, el comportamiento de una función al aproimarse la variable independiente a un cierto valor, es tal que las imágenes no se acercan a un número real; por el contrario, aumentan en valor absoluto cada vez más Ejemplo) Sean las funciones ( ) ( ) Dg Df y f, con dominio g ( ) con ( ) Vamos a analizar el comportamiento de ambas funciones cuando se aproima a, utilizando una tabla de valores Solución: Dando a valores cada vez más próimos a, tomados por izquierda y por derecha, se construye la tabla: f() f() g() g() 0 0-0,9 0, 0 0,9-0, 0 0,99 0 4,0 0 4 0,99-0,0 0 0,999 0 6,00 0 6 0,999-0,00 0 0,9999 0 8,000 0 8 0,9999-0 4,000 0 4 + + + - + La interpretación de la tabla lleva a decir que los valores de f se acercan a +, cuando se acerca a, tanto por derecha como por izquierda, y que los valores de g se acercan a ±, cuando se acerca a, tanto por derecha como por izquierda (Advertencia: decimos que se acercan entre comillas, dado que infinito no es un número al cual tienden las imágenes; más bien, infinito es una forma de indicar un proceso donde los valores que se obtienen son, en valor absoluto, cada vez mayores) + En símbolos: f ( ) y f ( ) Y también: g( ) y g( ) Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 0

Cálculo _Comisión Año 06 Representaciones gráficas de f y g La justificación se podrá realizar con la definición épsilon-delta: Entonces, para el primer ejemplo, comprobamos que: ( ) ) 0, 0 / :( Df 0 ) ( ) Tomando la función g, comprobamos que: 0, 0 / :( Dg 0 ) ( ( ) Para el caso general de tener cualquier función y f (), definida en Df, se dice que: a f () 0, 0 / :( Df 0 a f ( ) ) Los valores de la función superan, en valor absoluto, a cualquier número épsilon prefijado Se dice que f es función infinita en a Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 Si en el ejemplo ) para la función f, prefijamos 6 0 6 6 6 f ( ) 0 0 0 0 ( ) Cuanto más grande se tome épsilon más pequeño será delta, y los valores de estarán infinitamente próimos a : Definición de Asíntota Vertical La recta de ecuación = a es una asíntota vertical de la función f a f () En general: Si Si k k k 0 k f ( ) ; con k, se tiene: f ( ) 0 0 0 0 k k k 0 k f ( ) ; con k a, se tiene: f ( ) a a a a ( a) 0 a Observación: En ambos casos, se tratan de funciones racionales, donde el valor al que tiende es un cero únicamente del denominador Es decir que cuando un valor es cero del polinomio del denominador y no así del numerador, la función en ese valor posee una asíntota vertical Es el caso de las funciones del ejemplo ) Ejemplo ) Hallar, si eisten, asíntotas verticales de la función h( ) Solución: Como el denominador tiene un cero en = 0, se aplica ite en ese valor: h( ) 0 0 0 una AV con ecuación 0 Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 Ejemplo ) Hallar, si eisten, asíntotas verticales de la función g( ) Solución: Como el denominador tiene un cero en = 0, se aplica ite en ese valor: 0 g( ) 0 0 una AV con ecuación 0 Se observa que para ceros del denominador de orden par (ejemplo ), la función no cambia de signo, en un entorno del mismo, en cambio, para ceros del denominador de orden impar (ejemplo ), esto si sucede Ejemplo 4) Encontrar una función racional que posea dos asíntotas verticales y un hueco Solución: Se sabe que las asíntotas verticales corresponden a los ceros del polinomio del denominador, por ejemplo, tomamos =, =, y que la función tienen un hueco en valores que son ceros simultáneamente de los polinomios del numerador y denominador, por ejemplo tomamos = - ( ) La función puede tener la siguiente epresión: f ( ) ( )( )( ) (Queda a cargo del lector comprobar la eistencia de huecos y asíntotas verticales y bosquejar el gráfico de f ) III) Generalización del concepto de Límite Hemos visto que para tendiendo a un número real a, una función puede tener ite finito L, o bien, puede tener ite infinito En ambos casos, la variable independiente se ha acercado a un valor específico, real Pero también es posible estudiar el comportamiento de una función para valores de la variable independiente muy grandes, en valor absoluto; es decir, cuando o cuando Se presentan dos casos: a) Límite finito de variable infinita f ( ) L 0, 0 / :( Df f ( ) L ) Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 Ejemplo ) La función f ( ), tiene dominio en y 0, así que será posible hacer tender f ( ) ( ) 0 Es decir que la función posee ite finito L =, cuando f ( ) ( ) 0 Es decir que la función posee ite finito L =, cuando Definición de Asíntota Horizontal La recta de ecuación y = L es una asíntota horizontal de la función f f ( ) L En el ejemplo ), la recta de ecuación y = será la asíntota vertical de la función b) Límite Infinito de variable infinita f ( ) 0, 0 / :( Df f ( ) ) Se trata de los casos donde para valores muy grandes (en valor absoluto) de la variable independiente, los valores de imágenes son también en valor absoluto muy grandes, es decir, tienden a infinito Aquí la función ya no posee asíntotas horizontales ni verticales Ejemplo 6) Analizar el ite de la función f ( ), cuando tiende a infinito Solución: Esta función tiene dominio en R, es posible plantear ites cuando y cuando Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 4

Cálculo _Comisión Año 06 f ( ) ( f ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 7) Encontrar, si es posible, el ite de h cuando h( ) Solución: Como el dominio de la función es Entonces: Dh R 0 h( ) Cálculo de ites infinitos o Finitos de variable infinita y cuando, la variable sólo puede tender a, siendo Límite de funciones polinómicas a) Hallar ( ) y ( ) Se aplican las propiedades de ites finitos: ( ) ( ) ( ) ( ) b) Hallar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se observa que : para las funciones polinómicas de grado par, el ite es, cuando el coeficiente del término de mayor grado es positivo para las funciones polinómicas de grado par, el ite es, cuando el coeficiente del término de mayor grado es negativo para las funciones polinómicas de grado impar, el ite es o, según sea la tendencia de y el signo del coeficiente del término de mayor grado (ver el ejemplo 6) Guía teórica Límite Finito Límite Infinito

Cálculo _Comisión Año 06 Límite de funciones racionales a) Hallar el ite de h ( ), cuando 4 Al aplicar la propiedad correspondiente, se tiene: ( ) ( h ) 4 ( 4 ) infinitos (se dice que presenta una indeterminación del tipo, obteniéndose así un cociente de Solución: un método práctico para salvar la indeterminación, consiste en encontrar epresiones del tipo k, dado que cuando tiende a infinito, el ite de esa epresión es cero Para ello, se divide al numerador y denominador por la variable elevada al máimo grado de dichos polinomio En este caso el máimo grado es dos Entonces: 4 4 4 ) 0 0 0 b) Hallar Solución: 4 4 4 0 0 0 4 Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 6

Cálculo _Comisión Año 06 c) Hallar 4 0 0 Solución: 0 4 4 4 0 0 Se observa que: En el ejemplo a), los polinomios tienen igual grado, y el ite dio un número real distinto de cero Además, cumple con la definición de asíntota horizontal, cuya ecuación sería y = En el ejemplo b), el numerador tiene mayor grado que el denominador, y el ite dio infinito, y no posee asíntota horizontal En el ejemplo c) el numerador tiene menor grado que el denominador y el ite dio cero, poseyendo asíntota horizontal, cuya ecuación sería y = 0 (corresponde al eje ) Guía teórica Límite Finito Límite Infinito 7