82 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 6. Itegrales dobles impropias. 6.. Itegrales impropias covergetes y o covergetes. La teoría de itegrales dobles, triples y múltiples e geeral desarrollada hasta el mometo, es aplicable a la itegració de fucioes acotadas e cojutos acotados (pues tiee que estar coteidos e rectágulos). La itegració e R 2, R 3 y R q se extiede mediate las llamadas itegrales impropias a los siguietes dos casos: El domiio o es acotado. Esto da lugar a las llamadas itegrales impropias de primera especie. Por ejemplo: ((x 2 + y 2 ) 5 + ) dxdy dode = {(x, y) R 2 : xy } La fució itegrado /((x 2 + y 2 ) 5 + ) está acotada y es cotiua e, pero o está coteido e igú rectágulo, porque o es acotado, ya que es todo el primer cuadrate del plao x, y. El domiio es acotado, pero la fució itegrado e u puto (x, y ) del borde de, o está defiida o o está acotada e igú etoro de ese puto. Esto da lugar a las llamadas itegrales impropias de seguda especie. Por ejemplo: x 2 + y 2 dxdy dode = [, ] [, ] \ {(, )} El domiio está acotado, pero la fució itegrado /(x 2 +y 2 ) o está acotada e igú etoro del orige (, ), que está e el borde de. Nota 6... La teoría que desarrollaremos a cotiuació será válida solamete para itegrales dobles, triples o q-múltiples co q 2. No es válida para itegrales impropias de fucioes de ua sola variable real, que se viero e el curso de Cálculo. E particular la defiició de itegral doble o triple impropia covergete que veremos aquí, o es la misma que la se usa para itegrales impropias e la recta real para fucioes de varias variables, sio que es mucho más exigete, y o equivale a ella. Como cosecuecia, uo de los resultados que se obtiee ahora es que toda itegral doble, triple o q-múltiple (co q 2) impropia, es covergete si y solo si es absolutamete covergete. Ese resultado es falso para fucioes de ua sola variable, como se sabe del curso de cálculo. Para fucioes de ua sola variable, toda itegral impropia absolutamete covergete es covergete, pero o vale el recíproco.
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 83 efiició 6..2. Cojutos medibles. U cojuto acotado de R q se dice que es medible (segú Jorda) si su frotera es u cojuto de medida ula. Por ejemplo, los cojutos simples de R 2 y de R 3 y los cojutos descompoibles e simples, so cojutos medibles. Esta afirmació, e el caso de domiios plaos, resulta imediatamete de aplicar la defiició 2.2., y las proposicioes 5.3.2 y 5.3.3. Haremos el desarrollo de la teoría para itegrales dobles. La geeralizació a itegrales triples y q-múltiples se realiza como se explicó e la subsecció 5.6. efiició 6..3. Sucesió básica de cojutos de itegració. Sea u cojuto o vacío de R 2, y sea f(x, y) ua fució defiida e. Se llama sucesió básica de cojutos de itegració de f e, si existe algua, a ua sucesió creciete de domiios compactos y medibles coteidos e : 2 3 4... +... tales que todo compacto K medible coteido e está coteido e algú, y además f es itegrable Riema e para todo. Es decir existe: I = f(x, y) dxdy La codició de que todo compacto K medible coteido e esté coteido e algú se dice abreviadamete: aproxima de. Co esta defiició o es difícil demostrar que si existe ua sucesió básica de cojutos de itegració de f e etoces f es itegrable Riema e todo cojuto compacto y medible K coteido e. (Usar el teorema 5.4. de Riema-Lebesgue.) Ejemplo 6..4. Sea f(x, y) = /( xy) e = (, ] (, ]. Ua sucesió básica de cojutos de itegració de f e es = [/, ] [/, ] E efecto, al crecer el cojuto (que es simple, por lo tato es compacto y medible) es cada vez más grade, y se aproxima de. Además como f es cotiua e (ya que su úico puto de discotiuidad es el orige que o perteece a ), y es u domiio simple, etoces f es itegrable Riema e. (Ver corolario 5.4.2.) Existe ifiitas otras eleccioes de cojutos. Por ejemplo, otra elecció de ua sucesió básica de cojutos de itegració es = { < x, < y, xy } Ejemplo 6..5. Sea f(x, y) = /((x 2 + y 2 ) 5 + ) e = [, + ) [, + ). El cojuto es el primer cuadrate. Ua sucesió básica de cojutos de itegració de f e es = [, ] [, ]
84 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. Estos so cuadrados de vértices (, ), (, ), (, ), (, ). Existe ifiitas eleccioes para la sucesió básica de cojutos de itegració. Otra elecció posible es = { x, y, x 2 + y 2 2 } Estos so las iterseccioes co el primer cuadrate de discos compactos de cetro e el orige y radio. efiició 6..6. Itegral doble impropia covergete. Sea u cojuto o vacío de R 2, y sea f(x, y) ua fució real defiida e. Se dice que la itegral (impropia) f(x, y)dxdy = L es covergete, e igual al úmero real L si existe algua y para toda sucesió { } básica de cojutos de itegració de f e se cumple: lím f(x, y)dxdy = L + (Nota: el úmero L debe ser el mismo para cualquier sucesió básica de cojutos de itegració de f e que se elija.) 6.2. Ejemplos. E esta subsecció daremos ejemplos de todos los tipos de itegrales dobles, covergetes y o covergetes, de primera y de seguda especia. Los procedimietos de clasificació varía segú la fució e el itegrado sea positiva (esto es ) o o lo sea. aremos tambié, itercalados etre los ejemplos, los euciados de las propiedades básicas que se usa e la clasificació y cálculo de itegrales dobles impropias. Las pruebas de estas propiedades estará e las seccioes siguietes. Ejemplo 6.2.. Itegral impropia covergete de seguda especie, co itegrado positivo. Probar que es covergete y calcular dxdy e = (, ] (, ] xy Esta itegral impropia se seguda especie se suele escribir como: dx xy dy Tomemos por ejemplo, como ua sucesió básica de cojutos de itegració particular: = [/, ] [/, ]. Se obtiee lo siguiete: I = dxdy = xy / dx dy = 2 x x= x / y x=/ 2 y y= y=/ = 4( / ) 2
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 85 lím I = lím 4( / ) 2 = 4 + + Si embargo, lo aterior NO es la defiició de itegral impropia covergete. (Ver defiició 6..6.) Habría que verificar que para toda sucesió básica de cojutos de itegració (y o solo para ua elegida e particular), el límite de las itegrales I existe y además que es el mismo úmero real L. E geeral, vale lo siguiete: Nota 6.2.2. La itegral impropia de ua fució f puede ser covergete o o serlo, aú cuado e ua cierta sucesió particular de cojutos básicos de itegració el límite exista fiito. Puede suceder que e otra sucesió particular el límite o exista, o exista y sea ifiito, o exista, sea fiito pero diferete del aterior. E estos casos la itegral impropia de f es o covergete. Como es imposible verificar de a ua, e todas las sucesioes básicas de cojutos de itegració, que el límite existe, es fiito y da lo mismo e todas, usaremos codicioes ecesarias y suficietes de covergecia. Veremos e el teorema 6.3., que si la fució f e el itegrado es positiva, como e este ejemplo f(x, y) = / xy >, etoces, basta co que exista ua sucesió particular de cojutos básicos de itegració dode el límite existe y es fiito igual a L, para que e todas las demás sucesioes ocurra lo mismo, y el límite sea igual al mismo úmero L. Pero hay que teer cuidado: esa propiedad o es cierta si la fució itegrado f o es. E resume: 6.2.3. Codició ecesaria y suficiete de covergecia de itegrales impropias dobles de itegrado positivo. f e, { } sucesió básica de itegració de f e tal que lím f dxdy = L R + f dxdy es covergete e igual a L Aplicado este resultado al ejemplo 6.2., obteemos: dx dy es covergete e igual a 4. xy Ejemplo 6.2.4. Itegral impropia o covergete de seguda especie, co itegrado o positivo. Probar que o es covergete la siguiete itegral impropia: dxdy e = (, ] (, ] xy Si elegimos ua sucesió básica particular de cojutos de itegració y el límite de las itegrales e ellos o existe, o existe y o es fiito, etoces por defiició la itegral impropia o es covergete. (Ver defiició 6..6.)
86 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. Pero, si e la sucesió particular que elegimos el límite existe y es fiito, etoces o podemos cocluir ada. (Observar que e este caso la fució itegrado ()/(xy) o es y por eso o podemos aplicar el criterio 6.2.3. Si e la primera sucesió básica particular de cojutos de itegració que elegimos, el límite existe y es fiito igual a L, pero e ua seguda sucesió básica, el límite existe y es fiito pero diferete de L, etoces por defiició la itegral impropia o es covegete. (Ver defiició 6..6.) Tomaremos sucesioes básicas de cojutos de itegració de la forma ɛ,δ = {ɛ x, δ y } dode ɛ y δ depederá de, será positivos, y tederá a cuado +. Así por ejemplo, podremos tomar como ua primera sucesió básica de cojutos de itegració = /,/ eligiedo ɛ = / y δ = /. Podremos tomar como ua seguda sucesió básica por ejemplo = /,2/ eligiedo ɛ = / y δ = 2/. Calculemos la itegral doble e ɛ,δ de f: = ɛ I ɛ,δ = ( y ) x Logy y= y=δ (ɛ,δ) dx = xy dxdy = ɛ δ x ɛ dx dy = δ xy + Logδ dx = ( δ)logx + (Logδ)x x= x=ɛ I ɛ,δ = ( ɛ)logδ ( δ)logɛ Tomado = /,/ = [/, ] [/, ], es decir, ɛ = /, δ = /, resulta: ( I = dxdy = ) ( Log(/) ) Log(/) = xy Luego: lim + I = lim + = () Por otro lado, tomado = /,2/ = [/, ] [2/, ], es decir, ɛ = /, δ = 2/, resulta: ( Ĩ = dxdy = ) ( Log(2/) 2 ) Log(/) = xy ( = ) ( Log(2) + ) ( Log(/) ) ( ) Log(/) + Log(/) = Luego: = ( ) Log(2) ( lím Ĩ = lím ) Log(2) + + ( ) Log() ( ) Log() = Log2 (2) Se obtuviero dos sucesioes básicas de cojutos de itegració y tales que los límites de las itegrales e ambas existe, so fiitos, pero diferetes etre sí. (E la igualdad () se llegó a que el límite de las itegrales I e es ; e cambio e la igualdad (2) se llegó a que el límite de las itegrales Ĩ e es Log(2).) Etoces, aplicado la defiició 6..6, la itegral impropia dada o coverge.
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 87 Ejemplo 6.2.5. Itegral impropia covergete de primera especie, co itegrado positivo. emostrar que es covergete la itegral impropia siguiete: (x 2 + y 2 ) 5 + dxdy e el primer cuadrate : = [, + ) [, + ) Esta itegral impropia se suele escribir como: + + dx (x 2 + y 2 ) 5 + dy Tomemos como sucesió básica = { x, y, x 2 + y 2 2 } Calculemos la itegral de la fució dada e pasado a coordeadas polares ρ, ϕ; x = ρ cos ϕ, y = ρ se ϕ, co Jacobiao J(ρ, ϕ) = ρ. Observemos que e coordeadas polares el domiio resulta { ϕ π/2, ρ }. Se obtiee: I = (x 2 + y 2 ) 5 + dxdy = π/2 dϕ ρ (ρ 2 ) 5 + dρ = π 2 ρ (ρ 2 ) 5 + dρ Luego, tomado límite cuado +, y recordado la defiició de itegral impropia de primera especie de fucioes F(x) de ua sola variable: se obtiee: + a F(x)dx = lím b + b a F(x)dx lím I = π + ρ + 2 (ρ 2 ) 5 dρ () + Por lo tato, para saber que ese límite existe, habrá que clasificar la itegral impropia e ua sola variable + ρ J = F(ρ)dρ, dode F(ρ) = ρ (2) + Más abajo explicamos que esta itegral impropia J de fució F(ρ) e ua sola variable real, es covergete. Por lo tato, usado () se deduce que lími = L R. Hemos probado pues que para cierta elecció de la sucesió básica de cojutos de itegració, existe real fiito el límite de las itegrales de f(x, y) e. El itegrado f(x, y) = /(x 2 + y 2 ) 5 + es ua fució e. Etoces, podemos aplicar el resultado siguiete, que demostraremos e el teorema 6.3., y que ya explicamos e el ejemplo 6.2.: f e, { } sucesió básica de itegració de f e tal que
88 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. lím + f dxdy = L R f dxdy es covergete e igual a L Por lo tato cocluimos que la itegral impropia dada es covergete. No calculamos su valor L ya que o calculamos el límite L de las itegrales I de la igualdad (). E este ejemplo solo probamos que existe ese límite, y que por lo tato la itegral impropia dada es covergete. Quedó pediete de probar que la itegral impropia J de la igualdad (2) e ua sola variable ρ, es covergete. Para ello os remitimos a alguos coocimietos sobre itegrales impropias del curso de Cálculo, que repasaremos a cotiuació. El itegrado F(ρ) = ρ/(ρ + ) e la igualdad (2), es positivo. Luego, podemos aplicar el siguiete criterio de covergecia por comparació por límites: 6.2.6. Criterio de comparació por límites de itegrales impropias e ua sola variable. Sea F(x), G(x) tales que F(x) lím = λ, λ R {+ } x + G(x) Si λ es real y si + a G(x)dx coverge, etoces + a F(x) dx tambié coverge. Si λ y si + a G(x)dx o coverge etoces + F(x)dx tampoco. Para saber co qué fució G(x) vamos a comparar, recordemos la siguiete propiedad de las itegrales impropias de primera especie e ua sola variable: 6.2.7. Itegrales impropias de referecia de primera especie e ua sola variable. + dx coverge si y solo si α > xα Volviedo a uestra fució F(ρ) = ρ/(ρ + ), a la que llegamos e el desarrollo del ejemplo 6.2.5, teíamos que clasificar la itegral impropia de primera especie J = + a ρ ρ + dρ e ua sola variable ρ. Aplicaremos el criterio de comparació por límites 6.2.6, co ua fució G(ρ) adecuada, que se pueda clasificar segú la referecia 6.2.7. Veamos etoces a qué fució G(ρ) = ρ α es equivalete el límite de F(ρ) cuado ρ + lím ρ + ρ ρ + = lím ρ + Usaremos como fució G(ρ) = /ρ 9. Etoces se cumple: ρ 9 = F(ρ) lím ρ + G(ρ) = lím ρ/(ρ + ) ρ ρ + /ρ 9 = lím ρ + ρ + = R
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 89 Por el criterio 6.2.6 la itegral + F(ρ)dρ coverge si coverge la de G(ρ). Por la clasificació del párrafo 6.2.7, la itegral + G(ρ)dρ es covergete porque G(ρ) = /ρ 9, co expoete 9 >. Etoces J = + ρ ρ dρ coverge. + Ejemplo 6.2.8. Itegral impropia covergete de primera especie, co itegrado o positivo. emostrar que es covergete la siguiete itegral impropia: (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 dxdy dode = [, + ) [, + ) + ] No podemos aplicar el mismo procedimieto que e el ejemplo 6.2.5, porque la fució e el itegrado o es siempre e. Auque demostremos que existe fiito el límite L de las itegrales e ua sucesió básica de cojutos de itegració, este límite o tiee por qué existir e otra sucesió de cojutos, y si existe o tiee por qué ser el mismo, e todas las sucesioes básicas de cojutos de itegració. Usaremos el siguiete resultado, a probar e el teorema 6.4.: 6.2.9. Criterio de covergecia absoluta. f(x, y) dxdy coverge f(x, y)dxdy coverge Notamos que la propiedad aterior es falsa para itegrales impropias de fucioes de ua variable. Para estas últimas, la covergecia e valor absoluto es suficiete pero o ecesaria para la covergecia si el valor absoluto. Si embargo, para itegrales impropias dobles, triples, y múltiples e geeral (co q 2 variables), la covergecia absoluta es equivalete (es decir ecesaria y suficiete) para la covergecia si el valor absoluto. Aplicado el criterio 6.2.9 de covergecia absoluta, para probar que coverge la itegral impropia dada e el ejemplo 6.2.8, probaremos que coverge la itegral impropia: (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 + ] dxdy dode = [, + ) [, + ) La fució e el itegrado ahora es positiva. Por lo tato podemos usar el mismo procedimieto que e el ejemplo 6.2.5. Si embargo, para ahorrar expresar esta itegral e ua sucesió básica de cojutos de itegració, y o teer que reducirla al cálculo de itegrales iteradas simples, aplicaremos ahora alguos criterios de covergecia de itegrales impropias múltiples, que demostraremos e la próxima subsecció. 6.2.. Criterio de comparació para itegrales impropias dobles: f(x, y) g(x, y) (x, y) g(x, y) dxdy coverge f(x, y)dxdy coverge.
9 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. icho e palabras, si f es meor que g y la itegral de g coverge (ya sea de primera o de seguda especie), etoces la de f tambié. Aálogamete, expoemos el criterio de o covergecia (que es el cotrarrecíproco del aterior): f(x, y) g(x, y) (x, y) g(x, y) dxdy o coverge f(x, y) dxdy o coverge. Observar que aquí la hipótesis se ivierte: es f mayor que g. icho e palabras, si f es mayor que g y la itegral de g o coverge etoces la de f tampoco. y x Aplicado este criterio de comparació para itegrales dobles, a la fució (x+y+)[(x 2 +y 2 ) 5 +] del ejemplo 6.2.8, se obtiee: (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 + ] y + x x + y + (x 2 + y 2 ) 5 () + Siedo (x, y), se tiee x, y. Luego x + y = x + y = x + y e. Por lo tato, x + y < x + y + = x + y + ( x + y )/ x + y + <. Sustituyedo e () se deduce: (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 + ] (x 2 + y 2 ) 5 + (2) Por lo visto e el ejemplo 6.2.5 la itegral impropia (x 2 + y 2 ) 5 dxdy coverge. (3) + Reuiedo (2)y (3), y aplicado el Criterio de Comparació para itegrales dobles e 6.2., se deduce etoces que (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 + ] dxdy coverge. y por lo tato, por el criterio de covergecia absoluta e 6.2.9: (x + y + )[(x 2 + y 2 ) 5 dxdy coverge. + ] Ejemplo 6.2.. Itegral impropia o covergete de seguda especie. emostrar que o coverge la siguiete itegral impropia: x 2 dxdy e = [, ] [, ] \ {, } + y2 Elegimos como sucesió básica de cojutos de itegració: = { x, y, 2 x2 + y 2 }
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 9 Los cojutos so los que resulta del cuadrado al quitar el iterior de u círculo de radio / cetrado e el orige. Cosideremos los domiios sustitutos = { x, y, 2 x2 + y 2 } Estos so los domiios a los que hemos quitado el cojuto de putos E que dista más que del orige. Los cojutos o forma ua sucesió básica de domiios de itegració e, porque su uió o es, sio que les falta el cojuto E. Si embargo la itegral e es igual a la itegral e más la itegral e E. Calculemos la itegral I de la fució dada e el domiio : I = x 2 + y 2 dxdy = x 2 + y 2 dx + E x 2 + y 2 dxdy = Llamemos A a la itegral e E; es ua itegral de Riema, úmero real costate idepediete de. Se obtiee, calculado e coordeadas polares la itegral e el domiio : I = A + x 2 + y 2 dxdy = A + = A + π/2 Tomado límite cuado + resulta: π/2 ρ dϕ / ρ 2 dρ = Log(ρ) ρ= ρ=/ dϕ = A + π 2 Log() lím I π = A + lím Log() = + + + 2 Por lo tato la itegral impropia dada o coverge. Ejemplo 6.2.2. iscusió de covergecia de ua itegral impropia de seguda especie. Clasificar (esto es: decidir si es covergete o o lo es), discutiedo segú el valor de la costate real α, la siguiete itegral impropia: x y (/2) (x 2 + y 2 ) α dxdy e = [, ] [, ] \ {(, )} Aplicaremos el criterio de covergecia absoluta e 6.2.9. Por lo tato la itegral impropia dada es covergete o o lo es, segú sea la itegral de la fució e valor absoluto: x y (/2) (x 2 + y 2 ) α dxdy e = [, ] [, ] \ {(, )} Tomemos como domiios que forma ua sucesió básica de itegració los mismos que los del ejemplo aterior: = { x, y, 2 x2 + y 2 }
92 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. Cosideremos los domiios sustitutos = { x, y, 2 x2 + y 2 } Estos so los domiios a los que hemos quitado el cojuto de putos E que dista más que del orige. Los cojutos o forma ua sucesió básica de domiios de itegració e, porque su uió o es, sio que les falta el cojuto E. Si embargo la itegral e es igual a la itegral e más la itegral e E. Calculemos la itegral I de la fució dada, e valor absoluto, e el domiio : I = x y (/2) (x 2 + y 2 ) α dxdy = x y (/2) (x 2 + y 2 ) α dx + E x y (/2) (x 2 + y 2 ) α dxdy = Llamemos A a la itegral e E; es ua itegral de Riema, úmero real costate idepediete de. Se obtiee, calculado e coordeadas polares la itegral e el domiio : x y (/2) I = A + (x 2 + y 2 ) α dxdy = A + π/2 ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) dϕ / ρ 2α ρ dρ = = A + π 2 / ρ (cosϕ se ϕ) (/2) ρ 2α Tomemos ahora el límite cuado + de las itegrales I : dρ lím I ρ (cosϕ se ϕ) (/2) = A + + ρ 2α dρ () Por lo tato el límite aterior existe real o o es real, segú sea covergete o o lo sea la itegral impropia e ua variable real J siguiete: iscusió: J = ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) ρ 2α dρ (2) Si la itegral impropia J de (2) es covergete, etoces por () el lím I existe y es real. E ese caso, la itegral impropia doble e de la fució x y (/2) /(x 2 + y 2 ) α es covergete, aplicado el criterio 6.2.3, porque e ua sucesió básica particular existe el límite real de las itegrales. (Y porque la fució e el itegrado es positiva). Etoces, por el criterio de covergecia absoluta del párrafo 6.2.9 la itegral dada es covergete. Si la itegral impropia J de (2) o es covergete, etoces por () el lím I o es real. E ese caso, la itegral impropia doble e de la fucio x y (/2) /(x 2 + y 2 ) α o es covergete, por defiició 6..6. Etoces, por el criterio de covergecia absoluta del párrafo 6.2.9 la itegral dada o es covergete. Hemos reducido etoces el problema a estudiar ua itegral impropia de seguda especie e ua sola variable real, como las que se estudia e el curso de Cálculo. Para clasificar la itegral J usaremos los siguietes criterios vistos e el curso de Cálculo :
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 93 6.2.3. Criterio de comparació por límites de itegrales impropias e ua sola variable. Sea F(x), G(x) tales que F(x) lím x G(x) = λ, λ R {+ } Si λ es real y si b G(x)dx coverge, etoces b F(x)dx tambié coverge. Si λ y si b G(x)dx o coverge etoces b F(x)dx tampoco. Para saber co qué fució G(x) vamos a comparar, recordemos la siguiete propiedad de las itegrales impropias de seguda especie e ua sola variable: 6.2.4. Itegrales impropias de referecia de seguda especie e ua sola variable. b dx coverge si y solo si α < xα Volviedo a la itegral J a la que reducimos el problema del ejemplo 6.2.2, teíamos que clasificar la siguiete itegral impropia: J = Cosideremos la fució e el itegrado ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) ρ 2α dρ (2) F(ρ) = ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) ρ 2α Para tomar ua fució de referecia G(ρ) y aplicar el criterio de comparació por límites e 6.2.3, busquemos u equivalete de F(ρ) cuado ρ : ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) /2 lím F(ρ) = lím ρ ρ ρ 2α = lím ρ ρ 2α Etoces usemos como fució de referecia: Se tiee: G(ρ) = ρ 2α F(ρ) lím ρ G(ρ) = lím ρ (cos ϕ se ϕ) (/2) = ρ 2 Luego aplicado el criterio de comparació por límites e 6.2.3, se obtiee: G(ρ) dρ = dρ coverge ρ2α F(ρ) dρ coverge.
94 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. Por lo tato hemos reducido el problema a estudiar la covergecia de la itegral impropia: K = ρ 2α dρ Usado el criterio de referecia e 6.2.4, se tiee que K es covergete si y solo si el expoete del deomiador ρ cumple: 2α <. Esto es equivalete a 2α < 2, o lo que es lo mismo: α <. Cocluimos etoces la siguiete respuesta para el ejercicio propuesto e el ejemplo 6.2.2: Si α < la itegral doble impropia dada es covergete. Si α la itegral doble impropia dada o es covergete. 6.3. Itegrales impropias de fucioes o egativas. Ahora euciaremos uevamete y demostraremos los criterios usados para calcular o clasificar las itegrales impropias de los ejemplos e la secció aterior. Teorema 6.3.. Codició ecesaria y suficiete de covergecia de itegrales impropias de fucioes positivas. Si f e, y si existe ua sucesió básica de cojutos de itegració tal que lím + f dxdy = L R etoces y recíprocamete. f dxdy es covergete e igual a L. emostració: Basta probar que para dos sucesioes básicas { } y { } cualesquiera de cojutos de itegració e, se cumple L = L (a probar) () siedo L = lím, + I = f dxdy L = lím Ĩ, Ĩ = + f dxdy ado m, como es compacto coteido e y como { } es ua sucesió básica de cojutos de itegració e, etoces existe algú N atural tal que m para todo N. (Ver e la defiició 6..3 que aproxima a.) Por lo tato podemos escribir = m H, dode H = \ m
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 95 Por la aditividad de la itegral respecto a los cojutos dode se itegra: f dxdy = f dxdy + f dxdy (2) m H Siedo por hipótesis f, etoces la itegral de f e H es mayor o igual que cero. Por lo tato, sustituyedo e (2), resulta: I = f dxdy f dxdy = Ĩm m E resume, hemos probado que dado m existe N tal que Ĩ m I N (3) Luego, haciedo + e (3), co m fijo, se deduce: Ĩ m L = lím + I Por lo tato, cocluimos que para todo m atural, se cumple: Ĩm L. Haciedo m +, como L es fijo, resulta: L = lím Ĩ m L m + Hemos probado que L L (4) Reproduciedo la prueba, co los roles de y itercambiados, resulta L L (5) Reuiedo (4) y (5) de deduce la igualdad () que queríamos probar. Teorema 6.3.2. Criterio de comparació para itegrales impropias múltiples de itegrado positivo. a) f(x, y) g(x, y) (x, y) g(x, y) dxdy coverge f(x, y)dxdy coverge. b) f(x, y) g(x, y) (x, y) g(x, y) dxdy o coverge f(x, y) dxdy o coverge.
96 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. emostració: La parte b) es el cotrarrecíproco de la parte a). E efecto, por absurdo, si la tesis de b) fuese falsa, etoces la itegral de f sería covergete. Aplicado la parte a) (co los roles de f y g itercambiados) sería tambié covergete la itegral de g, cotradiciedo la hipótesis de b). Ahora probemos la parte a): Por el teorema 6.3., para probar que la itegral de f es covergete, basta demostrar que para cierta sucesió básica { } de cojutos de itegració e, se cumple que la sucesió de itegrales I tiee límite real, siedo: I = f dxdy Ua sucesió de reales tiee límite real si y solo si es de Cauchy. Etoces hay que probar que I es de Cauchy, es decir: ado ɛ > hay que probar que existe N tal que: m > N I m I < ɛ (a probar) () Como por hipótesis la itegral impropia de g es covergete, etoces la sucesió de itegrales J es de Cauchy, siedo J = g dxdy Siedo J ua sucesió de Cauchy de úmeros reales, se cumple que para todo ɛ > existe N tal que: m > N J m J < ɛ (2) Siedo m se cumple m, etoces para cualquier fució h (e particular para g o f) se cumple: h dxdy = h dxdy + h dxdy, dode H = m \ m Luego, si h : h dxdy m h dxdy = H H h dxdy Como por hipótesis f g etoces: I m I = fdxdy fdxdy = f dxdy g dxdy = m H H g dxdy = H gdxdy m gdxdy = J m J (3) Además como por (3) so todas itegrales e H de fucioes positivas, se cumple I m I = I m I, J m J = J m J (4) Por lo tato usado (3) y (4) se cocluye: I m I J m J (5)
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 97 Reuiedo (2) co (5) se cocluye: m > N I I m < ɛ que es la desigualdad () que queríamos probar. 6.4. Itegrales impropias absolutamete covergetes. Teorema 6.4.. Covergecia absoluta es equivalete a la covergecia. f(x, y) dxdy coverge f(x, y)dxdy coverge emostració: irecto: Probemos primero que la covergecia absoluta (covergecia de la itegral del valor absoluto de la fució) implica la covergecia si valor absoluto. Sea la parte positiva f + y la parte egativa f de f defiidas como sigue: f + = máx f,, f = máx f, La parte positiva f + de f es ula dode f es egativa y es igual a f dode f. La parte egativa f es ula dode f es positiva, y es igual a f dode f. Obsérvese que: f = f + f, f +, f, f = f + + f () Apliquemos el criterio de comparació demostrado e el teorema 6.3.2. Siedo por hipótesis covergete la itegral de la fució e valor absoluto, y siedo f + f, f f, etoces so covergetes las itegrales impropias de f + y de f : Por lo tato, para cualquier sucesió básica { } de cojutos de itegració e, existe los límites reales L + y L siguietes, y so siempre los mismos, idepedietes de la sucesió: L + = lím + f + dxdy, L = lím + f dxdy (2) Siedo f = f f, de (2) se deduce que existe el límite real L = L + L, y es por lo tato idepediete de la sucesió básica { } elegida, tal que: ( ) L = lím f dxdy = lím f + dxdy f dxdy = L + L + + Esto prueba que la itegral de f e es covergete, com queríamos demostrar. Recíproco: Probemos ahora que la covergecia de la itegral impropia de la fució si valor absoluto, implica la covergecia absoluta (covergecia de la itegral de la fució co valor absoluto). Esta propiedad es falsa para itegrales impropias de fucioes de ua sola variable. Es cierta solamete para itegrales múltiples impropias co q 2 variables (itegrales dobles, triples o q-múltiples). Como e la parte aterior, igualdades (), sea f + y f las partes positiva y egativa de f respectivamete. Si probamos que las itegrales impropias e de f + y de f so covergetes,
98 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. etoces la itegral impropia de f = f + + f tambié será covergete, que es lo que queremos demostrar. Probaremos que la itegral impropia e de f + es covergete. Para probar que la de f tambié es covergete, habrá que aplicar la misma demostració sustituyedo f por f. Por hipótesis sabemos que la itegral de f = f + f es covergete. Supogamos por absurdo que la itegral de f + fuera o covergete. Etoces para cualquier sucesió básica { } las itegrales I + = f + dxdy formaría ua sucesió creciete (porque + y f ) de úmeros reales o acotada superiormete (porque si fuera acotada sería covergete). Siedo {I + } creciete y o acotada superiormete, existe (N) creciete, tal que I + (N) I+ (N ) > (3) Tomemos la siguiete sucesió básica ueva N que se obtiee itercalado imediatamete después del cojuto = 2N de la sucesió básica dada 26, el cojuto 2N = ( (N) {f = f + } ) siguiedo 27 co 2N+ = (N). Como por hipótesis la itegral de f es covergete a L, etoces las itegrales ĨN de f e los cojutos N de la ueva sucesió básica, tiede a L. Por lo tato: Ĩ 2N = f dxdy N + L Ĩ 2N = f dxdy = 2N f dxdy + f + dxdy N + L (N) \ dode = (N ). Restado miembro a miembro las dos igualdades ateriores, se obtiee: (N) \ (N ) f + dxdy N + (4) Pero por la aditividad de la itegral doble respecto al domiio de itegració: f + dxdy = (N) \ (N ) f + dxdy (N) f + dxdy = Ĩ+ (N) Ĩ+ (N ) > (N ) (5) Al fial de la desigualdad (5) se usó la desigualdad (3). Las afirmacioes (4) y (5) so cotradictorias. Co esto se llega a u absurdo, termiado la demostració. 26 Aquí tedría que ser = (N ) 27 Como f es cotiua excepto e u cojuto de medida ula, previamete defiimos f = e los putos de discotiuidad de f. Siedo así, la itegral de f o cambia, y los cojutos {f = f + } y {f = f } so cerrados. Por lo tato cortados co so compactos.
Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 99 BIBLIOGRAFÍA: [] de Burgos, J. : Cálculo Ifiitesimal de Varias Variables. Editorial Mc. Graw-Hill, ISBN 84-48-62-6, Madrid, 995. [2] Courat, R. : Itroducció al Cálculo y al Aálisis Matemático. Vol. II Editorial LIMUSA, ISBN 968-8-64-9, México, 996. [3] Apostol, T. : Calculus. Vol. II. Editorial Reverté. [4] IMERL: Ejercicios para el curso de Cálculo II. Repartidos a 9, Facultad de Igeiería, UdelaR., Motevideo, 26. Publicados e: http://imerl.fig.edu.uy/calculo2/material.htm