E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico TEORÍA DE LOS IRUITOS II REVISIÓN DE ANÁLISIS MATEMÁTIO ONEPTOS Y EJEMPLOS INDIE Página FUNIONES LÍMITES DERIVADAS oncepto definición Derivadas de las fnciones algeraicas Derivadas de las fnciones trascendentes 7 DIFERENIALES 8 INTEGRALES 9 Integrales indefinidas de resolción inmediata 9 Integración por sstitción 0 Integración por partes Integrales definidas Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico FUNIONES: Definición de fnción: Es na relación de dependencia entre dos o más variales. O sea qe na variale es fnción de otra variale, si los valores de dependen de los valores de. f( donde : variale dependiente : variale independiente Ejemplo: Recordemos la ecación qe caracteriza a n movimiento rectilíneo niforme (MRU e v. t Donde: e : distancia recorrida ( t : tiempo transcrrido ( v : velocidad del móvil (constante e e f ( t El recorrido e, es fnción del tiempo t Formas de epresar na fnción: t De manera implícita (variale dependiente sin despejar: 0 De manera eplícita (variale dependiente despejada: f ( Valor instantáneo: Es el valor qe toma la fnción para n determinado valor de la variale Dada na fnción: f( -7 El valor instantáneo de f( para (por ejemplo, será: f(. 7 Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Fnciones continas: Son aqellas co incremento tiende a cero, a medida qe el incremento de la variale independiente tiende a cero. Si 0 0 Fnciones discontinas: Son aqellas co incremento no tiende a cero, a medida qe el incremento de la variale independiente tiende a cero. ` Si 0 ` 0 FUNION LINEAL (EUAIÓN DE UNA RETA: Dada na fnción ca representación gráfica se caracteriza por ser na recta, si conocemos s inclinación (pendiente la coordenada con qe corta al eje de ordenadas (ordenada al origen, podemos epresar s ecación como: a a pendiente Donde: B ordenada al origen a. A Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Si en camio, conocemos s pendiente las coordenadas de n pnto calqiera de la misma, s ecación podríamos epresarla como: - p a. ( - p Donde: a pendiente ( p ; p coordenadas de n pnto calqiera de la recta LÍMITES: oncepto: Una constante a es el límite de na variale, si se aproima al valor de a de modo qe a peda hacerse tan peqeño como se qiera. Esto se epresa como tendiendo a a : ( a. Ejemplo: lim, Propiedades: Lim ( w z Lim Lim w Lim z Lim ( z Lim Lim z Lim z Lim z si sólo sí: Lim 0 Lim Límites indeterminados: Son aqellos qe condcen a na relación del tipo: 0 0 Ej.: Lim - 0-0 Pero en ciertos casos, como en el ejemplo visto, dicha indeterminación pede salvarse: Lim ( ( - Otro caso sería: Lim sen θ Lim sen θ Lim cos θ cos 0 θ 0 tg θ θ 0 sen θ θ 0 cos θ Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico DERIVADAS: oncepto: La derivada de na fnción, es la pendiente de la recta tangente a la crva qe representa a dicha fnción, en n pnto determinado. Nota: La tangente a na crva es la recta qe la toca en n sólo pnto, a menos qe la fnción sea otra recta, en co caso la tangente coincide con la misma. Tangente B B B f( A Al aproimarnos desde B hacia A: 0, la recta secante AB tiende a la tangente en A Definición: Si f ( respecto de tiene n límite al tender a cero, ese límite, se llama: derivada de La epresión de la derivada será: lím 0 ó f ( d d Derivadas de las fnciones algeraicas: con constante 0 a donde f ( Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico v con: f ( v g ( v v v v - v v 6 m con m constante m m- 7 v - w Ejemplos: v - w Hallar las derivadas de las sigientes fnciones: a. ` c ` `.. / (.. [ ( ] [( ( ] [ ( ] [( ( ] ( [( ].[( ( ].( 6 ( ( ( 6 ( 6 Hoja 6 de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico d / ` ( / ( e.(.(.v.v ( / 6.(..v.[.( ( 6 ( ] Derivadas de las fnciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas eponenciales: 8 si : os os 9 os si : - - 0 tg Sec. os² log a log e a ln si : / a con a constante a ln a e e Hoja 7 de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Hoja 8 de Ejemplos: ( ( ( 8 os os os c 6 ( ( ln ` ` ln ln / / ( ( os g e e f e d DIFERENIALES: Dada na fnción: f (, haíamos visto qe na de las epresiones de s derivada era: d d, la cal pede leerse como: el diferencial de la fnción prodcido por n diferencial de la variale. Por lo qe el diferencial de, será: d `. d ( ( ( ( os v os os a
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Ejemplos: c (cte. d 0 ( d `. d. d 0..d sen d cos. `. d d dv (. v ( d (`. v. v`. d (.v.. d d d d (.v.dv v.d (fórmla qe saremos más adelante INTEGRALES: Integrales indefinidas: Si f( diferenciando d `.d Ahora: d `. d integrando d d f ( Volviendo a la fnción primitiva. Por lo tanto, la integración es la operación inversa a la diferenciación. Por definición: f(.d ( f(. lím 0 Fórmlas de integración: [f ( f ( - f (]. d f (. d f (. d - f (. d a. (.d a. ( d n.d n n para n -. d d ln 6 cos. d sen. d sen - cos 7 e. d e Hoja 9 de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Ejemplos: a d 6 6.. d. /. d. / / c sec. d tg Integración por sstitción: El método consiste en reemplazar la fnción a integrar o parte de ella, por na variale distinta, de manera tal qe la neva operación, peda efectarse por tala. Ejemplos:. d / z.dz ( os 8 d ( z / Z / os d 8. 8 8 / / os 8. d dz d 8 Si llamamos z s z dz Z d.d Despejando d : dz d Reemplazando d d 8. 8. d d 8 al diferencial d paréntesis : será : sen. sen. d / cos d d d d Hoja 0 de Llamamos sen d cos d d d d d
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico ( 8.d 8 d 8d 8 d Integración por partes: En aqellos casos en qe el método de sstitción, no pede ser aplicado, por no ser factile el reemplazo total de la variale a integrar, se dee recrrir al presente método, qe srge de la aplicación sistemática de la sigiente fórmla: Vimos anteriormente qe: De donde: d (.v dv v d dv d (.v v d Integrando amos miemros resolviendo: dv d ( v - v d dv v - v d Fórmla de integración por partes Ejemplos: ln. d. v. ln - - v. d d sen d cos.. dv.( cos ln. -. ln - ( cos.. d cos d. (ln ( sen sen d cos sen cos cos sen sen d cos ( cos sen - ( cos d sen d ln d dv d dv dv sen d dv d v cos d v d v d d v - cos d d v sen v sen. d cos. d d d dv cos dv cos. d Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Integrales definidas: error f( B f( A área X 0 X n- n Si n 0 error 0 Área f ( n i 0 0 f (. i f (... f ( n n lim lim Área f ( i. o o El área total desde la crva al eje, entre los pntos A B, será la integral definida de la fnción f ( en el intervalo a, siendo a los limites de la integración A f ( Si 0 A da da f ( d El área desde a hasta n pnto, será: Si a: A(a F( 0 Por lo cal: - A(a Si : a i 0 f (. d A( da f ( d F( a a A( F( F( F(a a f (. Hoja de
E.T. Nº 7 - Brig. Gral. Apnte teórico Área f ( d F( F( a F( a Ejemplos de aplicación: a Hallar el área eistente entre la crva representada por la fnción el eje de acisas, entre los valores de 0 : Área. d d 0 0 ( 0 alclar las sigientes áreas: a Área π Área os o d π o Área osπ ( os0 osπ os0 Área Área Área Área 6 d d 7 Hoja de