Defncón de tolerancas dmensonales en ensambles móvles a partr de índces de sensbldad Defnton of dmensonal tolerances n moble assembles from senstvty nde Víctor Ruz Rosas 1 * 1 Facultad de Ingenería, Unversdad Lbre, Bogotá Colomba, * vctore.ruzr@unlbrebog.edu.co Fecha de recepcón del artículo: 14/05/2010 Fecha de aceptacón del artículo: 13/06/2010 Resumen Se muestra el desarrollo de los modelos matemátcos para realzar análss de sensbldad de mecansmos a las tolerancas dmensonales de los eslabones que lo conforman a partr de modelos de síntess analítca basados en coordenadas generalzadas. Se llegó a plantear un índce de comportamento, basado en el número de condcón de la matrz de sensbldad, el cual puede emplearse como un crtero que permta selecconar confguracones de mecansmos que ofrezcan menos errores al pasar por las poscones de precsón, cuando se presentan cambos en las dmensones de los eslabones. Palabras clave Síntess de mecansmos, sensbldad en mecansmos, número de condcón Abstract It s showed the development of mathematcal models to perform senstvty analyss of mechansms to the dmensonal tolerances of the lnks that form the bass of analytcal synthess models based on generalzed coordnates. It was to propose a performance nde based on the condton number of the senstvty matr, whch can be used as a crteron for select confguratons of mechansms that provde fewer errors when passng through the postons of accuracy, when changes occur n the dmensons of the lnks. An eample of usng ths nde. Key Words Mechansms Synthess, Mechansms sentvty, condton number Introduccón En los modelos de síntess dmensonal de ensambles móvles, los resultados obtendos en ocasones son nflebles frente a condcones que pueden presentarse en la fabrcacón del mecansmo tales como las tolerancas dmensonales y la ubcacón de los pvotes y apoyos, lo que puede hacer que una solucón analítca no funcone adecuadamente en la realdad. De gual forma es necesaro precsar que una peza no puede ser fabrcada eactamente con sus dmensones nomnales tenendo en cuenta la varabldad nherente al proceso de fabrcacón. Las tolerancas juegan un papel muy mportante para consegur el ajuste deseado, así como en el rendmento msmo del producto.[1]. Una apropada asgnacón de las tolerancas entre los componentes de un ensamble mecánco, reduce el costo de fabrcacón en gran medda y mantene la posbldad de ntercambabldad entre pezas dentro del ensamble. La síntess de tolerancas dmensonales se ha vendo trabajando en ensambles mecáncos como como lo muestran En general, una gran cantdad de modelos llevan a obtener los márgenes de error dmensonales más apropados para una cadena eslabonada, a partr de crteros de mínmo costo, capacdad nteroperabldad, etc. Los métodos de AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010) 77
solucón del problema han defndo dos tendencas, los basados en modelos determnístcos[2] y [3], [4], [5]. y los métodos basados en heurístcas [6], [7] [8], que no llevan a obtener óptmos globales pero que pueden lograr resultados muy precsos sobretodo en ensambles muy complejos. Lo anteror lleva a plantear tareas que busquen mejorar o refnar las solucones de tal forma que se llegue a una alternatva adecuada, en térmnos de mnmzar los errores producdos por condcones no analítcas. Tenendo en cuenta todos estos aspectos, el propósto del proyecto fue desarrollar algortmos para la resolucón de problemas relaconados con la síntess de mecansmos planares de cuatro barras undos con pares nferores, y que permteran hacer un análss de sensbldad a errores dmensonales de los eslabones, con el fn de selecconar solucones robustas, de forma tal que no se vean afectadas consderablemente las característcas de movmento requerdas en el problema. El método presentado en este artículo se basa en el análss a partr de la nformacón obtenda del modelo cnemátco del ensamble y sus varacones calculadas por medo de matrces dervadas parcales. Sensbldad a las tolerancas dmensonales de mecansmos sntetzados Los cambos pequeños en las longtudes de los eslabones de un mecansmo, causadas por errores en la fabrcacón o el montaje, dan lugar a varacones en la característca de movmento del mecansmo ensamblado. Se requere entonces, un análss que establezca cómo y cuánto un mecansmo puede afectarse por los cambos dmensonales y de montaje (ubcacón de apoyos) y verfcar su sensbldad a este tpo de modfcacones, esto es, qué tan crítco puede ser un error eterno frente al funconamento fnal del mecansmo. Este análss dentro del proyecto busca por un lado determnar el comportamento del mecansmo frente a modfcacones eternas, y por otro lado llegar a establecer las confguracones de mecansmos menos sensbles a dchas varacones y que por lo tanto generen menos error frente a las poscones prescrtas en el problema de síntess analítca. De acuerdo con el método de lnealzacón drecta (DLM), [9], [10] y [11], se desarrolló un modelo que permte realzar análss de sensbldad a la toleranca dmensonal, en mecansmos de cuatro barras, Se consderan dos tpos de varables dentro del análss, de manufactura o ndependentes y de ensamble o dependentes. Las varables de manufactura corresponden a las magntudes que camban de manera ndependente debdo a errores en la fabrcacón. Dentro de ellas se encuentran todas las longtudes de los eslabones ncluyendo el eslabón fjo. Las varables de ensamble dentfcan los cambos en poscón y orentacón de un elemento en el montaje debdo a los cambos en las varables de manufactura. En este grupo se ncluyen, los vectores que defnen la poscón de precsón y los ángulos que determnan las orentacones del eslabón acoplador y el de salda. La metodología utlzada plantea un crcuto de vectores a lo largo de todo el ensamble. Para que el ensamble funcone adecuadamente la suma de los vectores a lo largo del crcuto debe ser gual a cero. S se presentan varacones en la longtud de los vectores o en sus orentacones, el ensamble gualmente se verá modfcado, tal como se apreca en la fgura 1. Para trabajar el modelo de sensbldad a la toleranca, en una apromacón ncal, se verfcaron los efectos de las varables de manufactura sn tener en cuenta varacones en la ubcacón de los apoyos. las ecuacones de cclo vectoral que se plantean para el análss de sensbldad, son completamente correspondentes con las ecuacones en coordenadas generalzadas utlzadas para la síntess analítca. Para descrbr completamente el comportamento de ensamble [12], se hzo necesaro defnr dos cclos de restrccones, el prmero, de acuerdo con la fgura 1, es el ABCDA que analza todo el ensamble del mecansmo y el segundo ABPA se plantea sobre el eslabón acoplador y el vector que defne la poscón de precsón. Las epresones vectorales que se obtenen en cada caso se ven en la Ec. (2) y la Ec.(3). 78 AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010)
H Za B Wa 1 = L1 + Wa + L2 + Wb = H2 = Wa + Za + LPA = 0 P H1 θz θ3 L2 P θl2 θ5 0 H2 Zb C Wb θ4 (2) (3) en los valores de las varables dependentes y en la característca de movmento general del sstema. Se ntenta analzar entonces, los cambos en las varables dependentes, debdos a los cambos en las varables ndependentes, a partr de la Ec.(4): deduce que, Ec.(5): U = 1 [ B] [ A] X (5) Las matrces A y B se calculan de acuerdo con la Ec.(6) y Ec.(7), [12]: A θ2 r1 y L1 r2 D θ1 [ A] [ B] H = X H = U j j T H y X j T H y U j (6) (7) Fgura 1. Cclos para análss de sensbldad en un mecansmo de cuatro barras sntetzado analítcamente Al analzar el mecansmo se dentfca que las varables que se modfcan de manera ndependente son θ 2, θ Z, Wa, L 2, W b, Za, L 1. Las varables dependentes son, 4,, L 3 PA Las ecuacones de lazo se desarrollan en térmnos de sus componentes rectangulares con respecto al marco fjo, obtenendo un sstema de ecuacones escalares que conformarán la matrz de cclos. El método de lnealzacón drecta defne las varacones en el ensamble Ec.(4): H = [ A] X + [ B] U = 0 (4) Donde: H representa las varacones en el cclo vectoral, U epresa las varacones de las varables de ensamble (dependentes), X las varacones en las varables de manufactura (ndependentes), [A] corresponde a la matrz de dervadas parcales de la matrz de cclos, con respecto a las varables ndependentes y [B] es la matrz de dervadas parcales de la matrz de cclos con respecto a varables dependentes. En general la ecuacón epresa que cualquer error en las varables ndependentes causará modfcacones PA Donde ndca el número de cclos y j el número de varables dependentes o ndependentes de acuerdo con la matrz consderada. La matrz de sensbldad a la toleranca se defne como, Ec. (8). 1 [ S] = [ B] [ A] (8) Esta matrz ndca la sensbldad de un mecansmo o ensamble con respecto a los cambos que se presentan de manera ndependente en los eslabones. Algunos índces alrededor de esta matrz ndcan un nvel de sensbldad que permta tomar decsones frente a una solucón, todos ellos están alrededor de la sngulardad de la matrz. Tenendo en cuenta las Ecs. (5) y (8), los cambos en las varables dependentes en térmnos de las ndependentes se epresan como, Ec.(9): U = [ S][ X ] (9) En térmnos de las varables nvolucradas en el sstema, el análss de sensbldad fnal con el cual se trabajó corresponde a la Ec.(10): d 3 d 4 dp dpy S d 2 d Z dwa dl2 dwb dza da dya (10) AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010) 79
Crteros de sensbldad a partr del número de condcón de la matrz de sensbldad Con el fn de predecr el comportamento de un ensamble ante cambos en sus dmensones se utlza la nformacón que se pueda obtener de la matrz de sensbldad. El crtero de sensbldad más común está alrededor de la sngulardad de la matrz, de tal forma que puede afrmarse que un mecansmo es muy sensble a cambos pequeños, cuando la matrz de sensbldad está cercana a la sngulardad y poco sensble a grandes cambos cuando no hay sngulardad. Número de condcón La dstrbucón del comportamento es caracterzada por el conjunto de números sngulares y sus correspondentes autovectores, que gráfcamente puede representarse por medo de un hperelpsode que para más smplcdad se verfca en dos dmensones.[13] En la fgura 2 se muestra el comportamento del conjunto de varables dependentes du para cambos de dos varables ndependentes 1 y 2, Para la matrz de sensbldad S obtenda anterormente se encuentran que σ mn. y σ má. corresponden al menor y mayor valores sngulares de S y q 1 y q 2 a sus correspondentes autovectores. Las longtudes de los semejes son nversamente proporconales a los valores sngulares de S y defnen un comportamento menos sensble en la dreccón de q 1 y más sensble en la dreccón de q 2. q2 du s1 2 Fuente: Caro et al. (2004) Tolerance synthess of mechansms. A robust desgn approach. Fgura 2. Elpsode de sensbldad du s2 q1 1 De acuerdo con lo anteror se puede epresar la sensbldad como la razón entre las varables dependentes frente a las ndependentes y estará esta relacón entre sus valores sngulares mínmo y mámo.ec. (11) du mn S ma (11) dx De la epresón anteror se puede defnr el número de condcón como la relacón entre el mámo y el mínmo valores sngulares. Tenendo en cuenta que los valores sngulares son sempre postvos y que la relacón está dada entre el mayor y el menor valores sngulares, se obtendrán sempre valores mayores a la undad. Ec. (12). σ C = ma 1 σ (12) mn El número de condcón de una matrz ndca su cercanía a la sngulardad de tal manera que s este número tende a la undad, se dce que la matrz es menos sensble, de gual forma entre mayor sea el número de condcón, la matrz tende más rápdamente a la sngulardad y será mucho más sensble. Para el caso de los mecansmos de cuatro barras obtendos medante síntess analítca, el crtero del número de condcón se trabaja a partr de la matrz de sensbldad obtenda por la relacón entre las varables dependentes e ndependentes en el ensamble. Tenendo en cuenta que los ensambles de los mecansmos trabajados en el proyecto no son estátcos, el análss de condcón y sensbldad debe hacerse en cada una de las poscones para las cuales se hzo la síntess, esto en atencón a que el mecansmo puede ser poco sensble en una poscón, pero muy sensble en otras. Número de condcón ponderado El estudo del número de condcón condujo al establecmento de las confguracones sntetzadas menos sensbles a las tolerancas dmensonales, concentrándose especalmente en buscar mecansmos para los que se obtengan cambos mínmos en las poscones de precsón, con el fn 80 AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010)
de cumplr con los requstos de un problema de síntess cnemátca. Con el fn de obtener un solo número de condcón que agrupe el comportamento del mecansmo en toda su trayectora, se buscó hacer un promedo ponderado de los números de condcón en cada poscón de precsón, tenendo en cuenta que de acuerdo con la funcón fnal del mecansmo, será más mportante el paso eacto por una poscón que otra, s ben este crtero depende completamente del dseñador del mecansmo, con el objetvo de valdar el índce propuesto, se establecó que las poscones más mportantes son la ncal y la fnal y por lo tanto tendrán pesos mayores en el momento de calcular el número de condcón ponderado. En general, este ndcador puede epresarse como, Ec.(13): c * = n = 1 p c * (13) Donde p es la ponderacón sobre el 100% del número de condcón en la -ésma poscón. Inverso del número de condcón ponderado Tenendo en cuenta que el número de condcón en ocasones puede ser muy grande, el obtener su nverso es útl para manejar los valores en una escala entre cero y uno, de forma que puede ser más fáclmente nterpretado y representado. El nverso del número de condcón ponderado está defndo por la Ec.(14): * 1 1 rc * n c * p c 1 (14) Un caso partcular tendo en cuenta en los dos índces formulados, fue dar el msmo peso a los números de condcón en cada poscón, para verfcar el efecto de la ponderacón en los números de condcón. Resultados Para verfcar la utldad de los índces se plantearon dferentes problemas de síntess cnemátca, establecendo las confguracones más adecuadas en cada caso, para las cuales el número de condcón es mínmo. Se muestran los resultados obtendos para un problema de síntess de movmento en tres poscones. Las tolerancas manejadas fueron de 0,1 mm en las longtudes de los eslabones y de 1 en las orentacones En la fgura 3 se muestra el análss de sensbldad en una poscón, utlzando el índce nverso al número de condcón, para tres dferentes mecansmos, el mecansmos obtendo de la síntess está en azul, mentras que el mecansmo con tolerancas se presenta en rojo, el error en poscón se muestra en color negro. Nótese que a medda que el nverso al número de condcón aumenta la magntud del error dsmnuye, se apreca la dferenca sgnfcatva entre las solucones (a) y (d) de la fgura. Los resultados obtendos evdencan que es posble determnar un mecansmo que se comporte adecuadamente ante los errores que puedan presentarse en las dmensones de los eslabones. En cuanto a la ponderacón, es de resaltar que los valores de C* cuando las ponderacones son guales se comportan de forma muy smlar a cuando se tenen ponderados dferentes en cada poscón, sn embargo se consdera la ponderacón mportante (a)1/c*=0,34 (b)1/c*=0,62 (c)1/c*=0,84 (d)1/c*=0,94 Fgura 3. Análss de sensbldad en la poscón 100, 0 para tres mecansmos sntetzados. AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010) 81
cuando son más relevantes unas poscones con respecto a otras y por lo tanto se buscan menos errores en ellas. Conclusones Es posble establecer el nvel de tolerancas asocadas a un conjunto de eslabones que conforman un ensamble mecánco para obtener un nvel de sensbldad que permta garantzar un buen funconamento s mplcar grandes costos en la manufactura. El proceso de obtencón de la solucón se complementó con un análss de sensbldad que llevó a plantear ndcadores del comportamento de los mecansmos, basados en el número de condcón de la matrz de sensbldad. Se comprobó que estos números podían determnar regones donde se pueden sntetzar mecansmos poco sensbles a las tolerancas dmensonales y que presentan errores menores en las poscones de precsón. Referencas K. G. Merkley, K. W. Chase, E. Perry. (2001) An Introducton to Tolerance Analyss of Fleble Assembles Brgham Young Unversty Provo, UT, Sacks, E. & Joskowcz, L. (1997) Parametrc Knematc Tolerance Analyss of Planar Mechansms Computer-Aded Desgn, 29(5), 333 342. Martn,D & Murray,A. (2002) Developng classfcatons for syntheszng, refnng, and anmatng planar mechansms. Proceedngs of DECT 02 ASME 2002 Desgn Engneerng Techncal Conferences and Computers and Informaton n Engneerng Conference Montreal, Canada, 2002 M. Sva Kumar & B. Staln (2009) Optmum tolerance synthess for comple assembly wth alternatve process selecton usng Lagrange multpler method Internatonal Journal of Advanced Manufacturng Technology (2009) 44:405 411 Chase K, Gao J & Magleby S (1997). General 2-D Tolerance Analyss of Mechancal Assembles wth Small Knematc Adjustments. Brgham Young Unversty Andrew Kusak and Chang-Xue Feng (1995) Determnstc tolerance synthess: a comparatve study. Computer-AdedDesgn,Vol. 27, No. 10, pp, 759-768. Laperrere L., EIMaraghy H. (2000) Tolerance Analyss and Synthess Usng Jacoban Transforms CIRP Annals - Manufacturng Technology Vol 49 Issue 1 359-362 Haoyu Wang, Nlman Pramank, Utpal Roy, Rachur Sudarsan, Ram D. Srram, Senor Member, IEEE, and Kevn W. Lyons. (2006) A Scheme for Mappng Tolerance Specfcatons to Generalzed Devaton Space for Use n Tolerance Synthess and Analyss. IEEE Transactons On Automaton Scence And Engneerng, Vol. 3, No. 1, January 2006 81-91 Wua F, Dantan JY., Etenne A., Sadat A., Martn P. (2009) Improved algorthm for tolerance allocaton based on Monte Carlo smulaton and dscrete optmzaton. Computers & Industral Engneerng 56 (2009) 1402 1413 Gao J, Chase K, Magleby S (1998). Global coordnate method for determnng senstvty n assembly tolerance analyss. Brgham Young Unversty Provo, UT Chase K W. Gao J., Magleby S, Sorensen C. (2002) Includng Geometrc Feature Varatons n Tolerance Analyss of Mechancal Assembles:Brgham Young Unversty.. Faerber, P. Tolerance Analyss of Assembles usng knematcally derved senstvtes: Brgham Young Unversty. ADCATS Report No. 99-31999. Caro,S, Benns F., Wenger P. (2005) Tolerance Synthess of Mechansms: A Robust Desgn Approach. Journal of Mechancal Desgn. Volume 127, Issue 1, 86 82 AVANCES Investgacón en Ingenería 12 (2010)