Los Cojutos de Julia y Madelbrot Ismael Itroduió Tego dos objetivos al realizar este trabajo: ser matemátiamete lo más riguroso posible y que se pueda experimetar si teer que apreder matemátias más avazadas. Es difíil equilibrar estos dos objetivos, seguramete e alguos párrafos hae falta más demostraioes y e otros las uetas so demasiado pesadas. Espero que sepa perdoar mis errores y disfrute de esta itroduió a los ojutos de Julia y Madelbrot. Debido a la aturaleza del tema, es u requisito eesario el ooimieto de las operaioes básias o úmeros omplejos. Salvado este pequeño requerimieto, los demás ooimietos eesarios los itaré a medida que los utilie y trataré de dar bibliografía adeuada e ada aso. Bueos, vamos a empezar o: Sistemas Diámios No voy a preteder dar ua expliaió rigurosa de este tema, sio sólo mostrar uál es la motivaió del orige de los ojutos de Julia y Madelbrot. Los sistemas diámios tiee su orige al estudiar los problemas de evoluió. Co u ejemplo me paree que se va a eteder la idea. Ejemplo 1: Supogamos que la fuió f ( x) = λx modela la evoluió de ua poblaió al abo de u año. Esto es, si teemos ua poblaió iiial de x idividuos, al abo de u año la poblaió será de f (x) idividuos. Etoes al abo de años vamos a teer ua poblaió de f f f ( x) = f ( x ) idividuos. E geeral os va a iteresar dos problemas: Fijado el parámetro λ, uál sería la evoluió de ua poblaió iiial, al abo de años; o fijada la poblaió iiial de x 0 idividuos, e qué maera afeta el parámetro λ a la evoluió de la poblaió. Ejemplo : Siguiedo el ejemplo aterior fijemos λ = 1, etoes resulta que f ( x) = x. Teemos varias alterativas e la evoluió del sistema: Si 0 x0 < 1, la poblaió dismiuye a medida que trasurre el tiempo, esto es 0 x 0. Si e ambio 1< x0, la poblaió aumeta de maera expoeial, esto es x. 0
E el aso e que x 0 = 1, la poblaió permaee estable. Este modelo es bastate simple y seillo, pero o es demasiado realista. Otros modelos más reales, muestra u omportamieto muho más ompliado. U ejemplo de esta lase de modelos es la fuió logístia f ( x) = λx(1 x), que e aparieia es apeas u poo más ompliada que el ejemplo preedete, pero su omportamieto es bastate más ompliado. El estudio del omportamieto de ésta dio orige al famoso ojuto de Madelbrot, que veremos más adelate. Ates de seguir, vamos a defiir alguas osas que os va a resultar útiles más adelate. Sea f : C C ua fuió que modela la evoluió de u sistema. Detro del estudio de los sistemas diámios os va a iteresar aquellos subojutos de C que permaeza ivariates por la aió de f ; se die ivariates e geeral y los podemos lasifiar e: Si f ( G) = G, etoes G se die ivariate haia adelate. 1 Si f ( G) = G, etoes G se die ivariate haia atrás. Si G umple ambas propiedades se die ivariate haia atrás y haia adelate. Vista esta pequeña itroduió a los sistemas diámios, podemos pasar a: El ojuto de Julia E esta parte os vamos a limitar a estudiar los poliomios f : C C (aquí C so los omplejos). U poliomio es ua expresió del tipo = az + + a1z+ a0, dode los a i so úmeros omplejos. Muhas de las defiiioes y de los teoremas que se preseta puede darse e u otexto más geeral, ver por ejemplo [Beardo]. Sea w u úmero omplejo tal que f ( w) = w, e ese aso se die que w es u puto fijo de f. Sea ahora w tal que f p ( w) = w, para algú p 1, e ese aso se die que w es u puto periódio de f ; si además p es el meor úmero atural o esta araterístia, se die que w es u puto p -periódio. p Los putos periódios se puede lasifiar, segú λ = ( f )( x) : Si λ > 1, se die que w es u puto repelete. Si λ = 1, se die que w es u puto idiferete. Si 0 < λ < 1, se die que w es u puto atrativo. Si λ = 0, se die que w es u puto superatrativo. Etoes, ahora podemos defiir el ojuto el ojuto de Julia de f omo: J( f) = l{ z C/ z es u puto periódio repelete} Aquí l(a) quiere deir la lausura del ojuto A, puede osultar la defiiió de lausura e algú libro de topología, por ejemplo Topología de J. R. Mukres. El ojuto de Julia tiee iertas propiedades: Es o vaío. Es u ojuto ivariate haia adelate y haia atrás.
Es aotado y errado. Tiee iterior vaío y o tiee putos aislados (se die perfeto). Las demostraioes de estas propiedades se puede osultar e [Faloer]. Cuado las fuioes e la que estemos trabajado o sea los poliomios, estas propiedades o eesariamete se preserva. Por ejemplo e el aso de que f sea ua fuió raioal, el ojuto J ( f ) o va a resultar e geeral aotado, ver [Beardo]. El omplemeto del ojuto de Julia se deomia el ojuto de Fatou y se deota F( f ). Alguas propiedades del ojuto de Fatou, se omprueba fáilmete al ser el omplemeto del ojuto de Julia: es abierto y es ivariate haia adelate y haia atrás. Ejemplo 3: Sea la fuió = z. Los putos periódios de f so los z tales que 1 = z = z, si z 0 etoes z 1, de dode resulta que z es ua raíz de la uidad y z = 1. Falta ver que so repeletes, teemos que ) 1, dode vemos que ( f )( z = z 1 = z, etoes resulta ( f )( z) = z = > 1. E el aso z = 0, se puede omprobar que es u puto fijo superatrativo y por lo tato o perteee al ojuto de Julia. Luego teemos que J( f ) { z C/ z = 1}, tomado la lausura de estos putos se puede probar que J( f ) = { z C/ z = 1}. Figura 1: Cojuto de Julia de = z Si itetamos usar esta defiiió para alular el ojuto de Julia de u poliomio ualquiera, vamos a eotraros o ua serie de ioveietes. Por ejemplo si deg( f) = d, para eotrar los putos p -periódios teemos que resolver f p ( z) = z,
p que es ua euaió de grado d. Por ejemplo si teemos u poliomio de grado, d = y si queremos alular los putos 3-periódios, resulta que p = 3. Teemos que busar las 3 raíes de u poliomio de grado = 8. Esto es u poo ompliado, y además vamos a teer omo muho 8 putos, que para el gráfio de u ojuto so demasiado poos. El siguiete teorema os da otra forma de alular el ojuto de Julia de u poliomio f. Teorema 1: Si z J ( f ), etoes J( f) = l f k ( z). (Esto os die que J( f) es u k = 1 1 ojuto atrativo de f ) Ua demostraió de este teorema se puede eotrar e [Faloer]. Este teorema os permite, usado ua omputadora, dibujar el ojuto de Julia de u poliomio. Podemos proeder del siguiete modo: busamos u puto fijo de f, o sea resolver f ( z ) = z. Nos aseguramos que sea u puto repelete, o sea que f ( z) > 1. Etoes este puto está e el ojuto de Julia de f. Sea ahora Z 0 = { z 0 }. E el paso k teemos el ojuto Zk 1, tomamos ada puto z Zk 1 y alulamos sus preimágees, o sea los w C tales que f ( w ) = z. El ojuto de todas las preimágees será Z k. Repetimos hasta alular ua atidad sufiiete de putos, y etoes dibujamos. Veamos alguos resultados de este algoritmo: Figura : El ojuto de Julia de la fuió πi 3 = e z+ z
Figura 3: Cojuto de Julia de la fuió 3 = z i Este proedimieto preseta alguos problemas, por ejemplo la atidad de putos a almaear aumeta de maera expoeial o el úmero de pasos. Otro problema más serio es que, depediedo del poliomio, los putos tiede a permaeer e ua zoa determiada, dejado otras zoas despobladas, por lo tato o vamos a obteer u dibujo demasiado realista. Veamos otras alterativas para defiir el ojuto de Julia Defiamos alguos ojutos ates de seguir. Sea w u puto fijo atrativo de f (es deir f ( w ) = w y f ( w) < 1), defiimos A( w) = { z C / f ( z) w}, se deomia el ojuto de atraió de w. Cuado f es u poliomio, se puede osiderar a z =, omo u puto atrativo y defiimos etoes A( ) = { z C / }. Etoes teemos el siguiete teorema. Teorema : Para ualquier w, puto fijo atrativo, etoes J( f) = fr( A( w)) (aquí fr( U ) es la frotera del ojuto U. Es deir si z J( f), existe z y z arbitrariamete era de z, tales que f ( z1) w y / w. 1 Esto os da otra forma de alular el ojuto de Julia uado f es u poliomio. E ese aso z = es u puto atrativo y omo J ( f ) es u ojuto aotado resulta que si u puto z está e el ojuto de Julia de f, etoes podemos eotrar putos y w w1
arbitrariamete era de z, tales que f ( w 1 ) y ( w ) / o sea que permaee aotado para todo. f f w Este teorema ostituye ua de las bases de los programas que grafia fratales. La mayoría de estos programas grafia lo que se deomia el ojuto de Julia lleo. Para u z dado, itera ua atidad sufiiete de vees la fuió f, hasta asegurarse de que f ( z) y olorea el puto de auerdo al úmero de iteraioes eesarias. Si después de u úmero grade de iteraioes o puede asegurar que el puto hipotétiamete perteee a J( f) y se pita de egro. Para defiir el ojuto de Madelbrot os va a iteresar ua lase partiular de poliomios: Defiimos f ( z) = z + y su ojuto de Julia orrespodiete omo J = J( f ). Ahora podemos pasar a ( ) El ojuto de Madelbrot Se defie el ojuto de Madelbrot omo: M = { C/ J es oexo}. Para ua defiiió formal de uado u ojuto es oexo puede ver ualquier libro de topología. De maera ituitiva u ojuto A es oexo si o se puede separar e dos piezas disjutas. Esta defiiió formal o es demasiado útil uado queremos alular el ojuto teemos alguas defiiioes alterativas. M. Pero Teorema 3: Teemos que y M = { C/ f (0) / } M = { C/ f (0) }. La demostraió se puede ver e [Faloer]. Es u heho remarable el que el omportamieto de la fuió f, esté determiado por su omportamieto e z = 0. Para ver que esto o es azaroso sio que hay ua razó detrás de ello puede osultar [Beardo]. Veamos, usado este último teorema que si >, etoes resulta que f (0), probaríamos etoes que J es disoexo. Como teemos que Usado este teorema podemos eotrar alguos de los putos que está e M. Por ejemplo si tomamos = i, teemos que f i f 3 (0) = i, f (0) = 1+, (0) = i, f 4 (0) = 1+ i y a partir de aquí se repite la seueia, luego J es u ojuto oexo. Tomado =, f (0) =, o sea que (0) f = >, luego J es disoexo si o otradeimos el heho de que f (0). i
teemos que f (0) =, f (0) =, f 3 (0) =,, luego J es oexo. Tomado = 1, teemos que f (0) = 1, f (0), f 3 (0) = 5 y etoes es disoexo. = Si tomamos = 0.99i, podemos omprobar que f ) >, luego es disoexo, si empezamos a tomar valores arbitrariamete era de i, vamos a omprobar que para ada uo su ojuto de Julia, J es disoexo. Esto os lleva a formularos la preguta de si = i es u puto aislado de M, o sea si M es u ojuto oexo o o. La sorpredete respuesta a esta uestió es que M es u ojuto oexo, ver [Beardo] para ua demostraió. Veamos ua image del ojuto de Madelbrot. 8 (0 J 1 J 0.99i Figura 4: El ojuto de Madelbrot La mayoría de los dibujos del ojuto de Madelbrot, suele apareer oloreados segú la veloidad o que ada puto overja a ifiito. El algoritmo para dibujar el ojuto de Madelbrot es el siguiete: para ada puto, iteramos la fuió f u úmero sufiiete de vees, si permaee aotada por, etoes razoablemete podemos supoer que se euetra e el ojuto de Madelbrot. E el gráfio siguiete podemos ver la relaió etre el ojuto de Madelbrot y los ojutos de Julia.
h) g) f) i) e) a) d) b) ) Figura 5: Relaió etre M y J. Veamos a qué valores de orrespode ada gráfio: a) orrespode a = 0, b) = 0.1+ 0.1i, ) = 0.5 + 0.5i, d) = 0.68i, e) = i, f) = 0. + 0.75i, g) = 0.5 + 0.55i, h) = 1+ 0.05i y i) 0.5 + 0.5i. Mirado o ateió podemos apreiar alguos rasgos araterístios de los ojutos: a), b) y i) está detro del bulbo priipal de M y sus gráfios se orrespodes a urvas erradas simples. E ambio h) está e el bulbo seudario, su gráfio o es ua urva errada simple, pero e ada puto de otato ue dos regioes. E ambio f) ) y g) que se euetra detro de bulbos más pequeños, e ada puto de otato ue tres, uatro y io regioes. El gráfio de d) está fuera del ojuto de Madelbrot y es etoes totalmete disoexo. Fialmete e) tiee la forma de ua dedrita, esto es debido a que se euetra e uo de los abellos de M.
Cometarios fiales La priipal motivaió para esribir este trabajo es la esasez de material adeuado sobre ojutos de Julia dispoible. El simple objetivo de este trabajo es servir de itroduió al mudo de los ojutos fratales, desde u puto de vista prátio. Es deir, que o las herramietas adeuadas se pueda seguir experimetado. Como reomedaió fial, si quiere profudizar e estos temas les sugiero ualquiera de los libros itados más abajo, además e ellos eotrará abudates refereias a otros trabajos. Cabe meioar la págia de M.C. Malure, bastate ompleta y de las mejores, de ella he tomado los algoritmos eesarios para ilustrar este trabajo; si su iterés priipal so los algoritmos debería visitar esta págia. Material Cosultado K. Faloer: Fratal Geomtry: Mathematial Foudatios ad Appliatios, 1990. A. F. Beardo: Iteratio of Ratioal Futio, GTM vol. 3, SprigerVerlag, 1991. M. MClure: Julia Sets, http://www.ua.edu/~mmlur/mathematiagraphis/julia http://www.riomatematio.om