CONTRASTE DE HIPÓTESIS El cotraste de hipótesis es el procedimieto mediate el cual tratamos de cuatificar las diferecias o discrepacias etre ua hipótesis estadística y ua realidad de la que poseemos ua iformació muestral, estableciedo ua regla de decisió para juzgar si las discrepacias so excesivamete grades y, por tato, rechazar la hipótesis. E defiitiva u cotraste de hipótesis es u problema de decidir si aceptamos o o ua hipótesis. La elegiremos dado prioridad a la hipótesis más coservadora Hipótesis ula (H 0 ): Es la hipótesis que deseamos cotrastar, cosiderada e pricipio como verdadera y que aceptaremos o rechazaremos como cosecuecia del cotraste. Hipótesis alterativa (H 1 ): Es cualquier otra hipótesis que os sitúe frete a H 0 y que aceptaremos si, como cosecuecia del cotraste, rechazamos H 0. Ejemplo: Segú cierta uiversidad, sabemos que la proporció de aprobados e las PAU es del 9%. Si queremos coocer la veracidad de esta iformació, cosideraremos la hipótesis: la proporció de aprobados e las PAU es de 9% y la cotrastaremos co la iformació obteida a partir de ua muestra. Si ambas iformacioes coicide detro de u marge de error cosiderado admisible, matedremos dicha hipótesis como cierta; e caso cotrario la rechazaremos y buscaremos uevas hipótesis capaces de explicar los datos cosiderados. E este caso: H 0 : proporció de aprobados e las pruebas de acceso es igual al 9%. H 1 : podría ser: la proporció de aprobados e las pruebas de acceso es distita de 9%. La decisió de aceptar o rechazar la hipótesis ula depederá de: La discrepacia etre la hipótesis estadística H 0 y ua realidad de la que poseemos ua iformació muestral. Que la discrepacia etre las dos hipótesis sea meos que u valor que cosideramos aceptable, e cuyo caso matedremos la hipótesis ula y, e caso cotrario, la rechazaremos. Defiicioes: Estadístico de cotraste es ua variable aleatoria cuyo valor para ua muestra determiada os permitirá tomar la decisió sobre la aceptació o el rechazo de la hipótesis. Regió de aceptació es el cojuto de valores del estadístico de cotraste que os lleva a aceptar la hipótesis ula. Regió de rechazo es el cojuto de valores del estadístico de cotraste que os lleva a rechazar la hipótesis ula. Valores críticos so los valores frotera etre las dos regioes ateriores. Al aceptar o rechazar la hipótesis ula existirá u riesgo de equivocaros; esto es si aceptamos la hipótesis ula cuado esta es cierta, o cometeremos igú error; del mismo modo, tampoco cometeremos error si la rechazamos siedo falsa, e cualquier otro caso la equivocació da lugar a los dos siguiete tipos de errores: Error de tipo I. Se produce cuado rechazamos la hipótesis ula siedo cierta. La probabilidad de cometer este error se llama ivel de sigificació del cotraste () y es coocido de atemao. 1
Error de tipo II: Se produce cuado aceptamos la hipótesis ula siedo falsa. Si H 0 es cierta Si H 0 es falsa Aceptamos H 0 No hay error Error de tipo II Rechazamos H 0 Error de tipo I No hay error Fases de u cotraste de hipótesis: Cosideremos el siguiete ejemplo: (Roald Fisher) Ua dama afirma que el sabor de ua taza de té co leche es distito cuado de vierte le leche ates que el té Para cotrastar esta iformació se prepara diez tazas de té; e cico de ellas se vierte ates la leche y e las cico restates, ates el té. A cotiuació la dama prueba e orde aleatorio las diez tazas y acierta e ocho de las diez. Es este hecho ua evidecia sigificativa a favor de la hipótesis? H 0 (hipótesis ula) {El sabor de ua taza de té es idepediete del orde e que se vierta la leche y el té} (la más coservadora) H 1 (hipótesis alterativa) {El sabor de ua taza de té es distito si se vierte primero la leche y luego el té, o si se hace al cotrario} Estas hipótesis se verifica, si al elegir ua muestra es igual a 0. o mayor que 0.. Por tato: H 0 : p 0. H 1 : p > 0. Para poder cotrastar la preguta propuesta se ha de seguir las siguietes fases: FASE 1: Defiició de la hipótesis ula y de la hipótesis alterativa: Depediedo del setido de la hipótesis alterativa hablaremos de: Cotraste bilateral H 1 p p 0 Cotraste uilateral H 1 p < p 0 p > p 0 p. proporció de aciertos H 0 (hipótesis ula) {El sabor de ua taza de té es idepediete del orde e que se vierta la leche y el té} (la más coservadora) H 1 (hipótesis alterativa) {El sabor de ua taza de té es distito si se vierte primero la leche y luego el té, o si se hace al cotrario} Estas hipótesis se verifica, si al elegir ua muestra es igual a 0. o mayor que 0.. Por tato: Nuestro ejemplo lo es de cotraste uilateral H 0 : p 0. H 1 : p > 0. FASE : Determiació del estadístico de cotraste Todos los estadísticos que vamos a utilizar depederá del parámetro sobre el que hayamos elaborado la hipótesis ula:
Si la hipótesis es sobre la media poblacioal: X µ Si la hipótesis es sobre la proporció poblacioal: E uestro caso: p 0. 0. ( 1 0.) 10 p 0. p ( 1 p) FASE 3: Determiació de las regioes de aceptació y rechazo: Se determia a partir del ivel de sigificació Habremos de fijarlo de atemao y ormalmete tomará valores pequeños: 0.0, 0.01, etc Ua vez fijado el ivel de sigificació podremos hallar las regioes de aceptació y rechazo segú: E u cotraste bilateral la regió de rechazo estará formada por las dos zoas que queda a ambos lados de los valores críticos: y El área de las zoas jutas es. E u cotraste uilateral la regió de rechazo será ua de la dos zoas ateriores: Si p < p 0 la situada a la izquierda de Si p > p 0 la situada a la derecha de E uestro ejemplo vamos a tomar como ivel de sigificació 0.0 y como se trata de u cotraste uilateral procedemos como sigue: Hallamos 1 1 0.0 0.9 Buscamos e el tabla y calculamos 1.6: es el valor crítico que separa la regió de aceptació de la de rechazo. FASE 4: Valor del estadístico y obteció de coclusioes: E la expresió del estadístico p 0. 8 como p 0' 8 10 0.8 0. Se obtiee para 1.87 > 1.6 Este valor cae e la regió de rechazo y por tato rechazamos la hipótesis H 0 de que el sabor de ua taza de té es idepediete del orde e que se mezcla el té y la leche co u ivel de sigificació del % Otro ejemplo: La velocidad media de ua cotraleloj se estima que fue 40 km/h, co ua desviació típica de km/h. Para cotrastar esta iformació se decidió estudiar la velocidad media de 1 corredores elegidos aleatoriamete, resultado que las velocidades medias de cada uo de ellos era: 43 43. 4 43.1 39. 4 43 4.3 39.6 40 39 4 39 44.1 46. 3
Se puede aceptar la hipótesis de que la velocidad media de los ciclistas fue de 40 km/h co u ivel de sigificació del %? FASE 1: Defiició de la hipótesis ula y de la hipótesis alterativa: H 0 (hipótesis ula) {La velocidad media de los ciclistas fue 40 km/h} µ 40 H 1 (hipótesis alterativa) {La velocidad media de los ciclistas fue distita de 40 km/h} µ 40 Por tato se trata de u cotraste bilateral FASE : Determiació del estadístico de cotraste X µ X 40 1 FASE 3: Determiació de las regioes de aceptació y rechazo: Como 0.0 Por ser cotraste bilateral Calculamos 1- / 1-0.0 0.97 Buscamos e la tabla y obteemos / 1.96 Al ser u cotraste bilateral la regió de aceptació es (-1.98, 1.96) FASE 4: Valor del estadístico y obteció de coclusioes: Hallamos la media muestral que resulta ser X 4.3km/h 4.3 40 El valor del estadístico para esta muestra es 1.71< 1. 96 1 Como - 1 96 < 1.71 < 1.96, el valor del estadístico está detro de la zoa de aceptació: por cosiguiete admitimos la hipótesis de que la velocidad media ha sido de 40 km/h co u ivel de sigificació de % RESUMEN DE LA REGIONES DE ACEPTACIÓN 1. Regioes de aceptació para la media de ua població: Cotraste bilateral Cotraste uilateral H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ< µ 0 X < µ < X µ X µ < - < Para calcular se busca e la tablas 1- Para calcular se busca e las tablas 1- / Para calcular se busca e la tablas 1-4
. Regioes de aceptació para la proporció: Cotraste bilateral Cotraste uilateral H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 p < p 0 < < p ( 1 p) Para calcular se busca e las tablas 1- / < p ( 1 p) Para calcular se busca e la tablas 1- - < p ( 1 p) Para calcular se busca e la tablas 1-