Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física RESUMEN TEMAS 6 Y 7: RADACÓN ELECTROMAGNÉTCA Y ANTENAS LNEALES ntoducción En st documnto s cog un sumn d los tmas 6 y 7 d la asignatua Elctodinámica Clásica d 4º cuso d Física, El objtivo s adquii unos conocimintos básicos qu nos pmitan dsnvolvnos n l cálculo d campo adiado po antnas linals sncillas. Potncials auxilias Paa l cálculo dl campo lctomagnético adiado po una antna s sul utiliza l pocso a tavés d los potncials vctos (paso ), como indica l squma. Funts ntgación Paso Paso Paso ntgación Potncials (vctos) A y F ( Π y Π h ) Campos adiados Divación A : Potncial vcto magnético F : Potncial vcto léctico Π : Potncial d Htz léctico Π h : Potncial d Htz magnético A F Nosotos utilizamos los potncials A y F. Utilización d los potncials vctos A y F. Paa calcula l campo lctomagnético povnint d un potncial vcto A y oto F, l pocdiminto a sgui s l siguint Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física. Espcifica l poblma lctomagnético con las condicions d contono. La gión pud o no contn funts y hay qu spcifica l tipo d modo o modos quidos.. Obtn l potncial A a pati d la cuación d onda no homogéna A + A μ J dond s l númo d onda n l mdio ( ω με). Obtn l potncial F a pati d, 3. El campo léctico s 4. El campo magnético s F + F ε M E EA + EF j ω A j ωμε H HA + HF Solución d la cuación d onda no homogéna (.A ) x F j xa j ω F μ ω μ ε ε (.F ) La solución d la cuación d onda no homogéna (nos cntamos sólo n l potncial vcto magnético y su asociado l potncial scala léctico) s obtin a tavés un pocso matmático qu involuca l uso d la tansfomada d Foui y d una función d Gn (solución d una cuación con funt unidad) y po tanto dl método d supposición. Las solucions paa ambos potncials son μ J ( ', t± '/ c) μ J (') A(,) t π dv ' π dv ' 4 ' 4 R (, ') V' ρ( ', t± '/ c) ρ (') Φ (,) t πε dv ' πε dv ' 4 ' 4 R (, ') V' dond R(,' ) ', s l vcto d posición y ' s l vcto d posición dl punto funt. La notación mplada n las cuacions antios indica lo siguint: cualqui cantidad nt cochts stá valuada n uno d los timpos siguints ' * ' Notación : [] τ t ; τ t + c c V' V' Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física Las cuacions antios popocionan los potncials tadados (las qu s valúan n l timpo tadado τ) y los potncials avanzados (las qu s valúan n l timpo avanzado τ * ). Los potncials avanzados son una solución matmáticamnt posibl d la cuación d onda no homogéna. Sin mbago, no son físicamnt posibls, ya qu si lo fuan significaía qu la spusta a la xcitación s poduciía ants qu la popia xcitación, lo cual no s posibl. Po lo tanto, los únicos potncials físicamnt posibls son los potncials tadados. Su significado físico s sncial n l dsaollo d la lctodinámica y d la iniciación a la toía d la latividad spcial. Si n un punto dado ' s poduc una xcitación lctomagnética, su fcto n oto punto spaado d él una distancia R(,' ) ' sólo s vá tas un timpo t, qu s l qu tada la onda ' R lctomagnética n cola ( t ). c c Potncial dl campo lctomagnético a gan distancia dl miso (adiación bipola) Supongamos un volumn con una funt lctomagnética léctica y un punto P fua d s volumn como indica la figua. P R ' V' J ( ',t ) ρ( ',t ) ' L O Esquma d adiación d una funt lctomagnética Las intgals dadas n las cuacions d los potncials son muy complicadas R d solv, ya qu dbn valuas n un instant d timpo τ t qu s c difnt paa cada punto funt dnto dl volumn V. Supongamos qu l punto campo P stá muy aljado d la funt, s dci qu >> 'L, dond L s la máxima dimnsión linal dl volumn V. En gnal, s suficint con toma 'L V' / 3. Esta s la condición sncial paa supon qu stamos suficintmnt aljados d la funt, lo qu llamamos zona d adiación. Hacindo las apoximacions ncsaias n sta zona s obtin la solución paa los potncials como 3 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física n Φ (,) t τ πε J ( ', ) dv' c 4 V ' μ A (,) t τ π J( ', ) dv' 4 V ' dond s ha apoximado l timpo d tado como R '. '. ' τ t t t + τ + ; dond τ t c c c c c c Es muy impotant sab qu sta apoximación d la adiación dipola no sá válida.' si n l timpo (qu codmos s apoximadamnt l timpo qu tada la c onda lctomagnética n co l volumn po l qu s muvn las cagas) la distibución d cagas qu ca l campo vaía futmnt. Esto significa qu la caga n l instant τ t / c (s dci, n l instant n qu la sñal ha llgado.' al punto campo P) y la caga n l instant τ t (s dci, n l instant c n l qu la sñal ha alcanzado los límits dl sistma) son muy difnts. En otas palabas, si las cagas s muvn a una vlocidad v, l spacio qu con las cagas n l timpo qu tada la sñal n alcanza los límits dl sistma (timpo d.' 'L L' tado popio ) sá v. Po tanto, la apoximación sá válida si la c c c distancia qu con las cagas n s timpo no s significativa fnt al tamaño dl sistma, s dci, s mucho mno qu los límits dl sistma, L' v << L' v << c c lo qu indica, finalmnt, qu la apoximación dipola d las cuacions antios sá válida simp qu la vlocidad a la qu s muvn las cagas sa mucho mno qu la vlocidad a la qu s popaga la ngía lctomagnética. Con sto, vmos qu stas cuacions qu popocionan los potncials ljos d las cagas no s válido paa studia la adiación d cagas s muvan a vlocidads póximas a la d la luz, qu ncsitan d un tataminto lativista. Campo lctomagnético d la adiación dipola ljos d las funts La lación nt los campos léctico y magnético adiados po un sistma d cagas (una antna cualquia po jmplo) n la zona ljana s E (,t ) c B (,t ) x n 4 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física lo qu indica qu l campo léctico l magnético y la dicción dl vcto adial ( n ) foman un tido cto y los módulos d los campos son d la foma f (t / c ) E (,t ) C f (t / c ) H (,t ) C Estas xpsions indican qu los campos adiados po una funt lctomagnética a gan distancia dl miso son ondas sféicas, ya qu las supficis d fas constant (aqullas qu cumpln ct) son sfas. Expsions paa l campo lctomagnético n la zona ljana Vamos a obtn unas xpsions apoximadas paa l campo lctomagnético n la zona ljana y n l dominio d la fcuncia, s dci, n notación fasoial. Spaando l faso potncial vcto magnético n componnts A(,, φ ) A a + A a + Aφ aφ El campo léctico s pud pon, abviadamnt, como E j ω A ( xcpto la componnt adial ) Y l campo magnético s H Eφ ; Hφ E o lo qu s lo mismo H a x E El dipolo d Htz o dipolo infinitsimal Supongamos qu n l oign d coodnadas xist un hilo conducto pfcto d adio infinitsimal po l qu cicula una coint (t) como musta la figua d abajo a la izquida. Si xpsamos la dnsidad d coint y l potncial vcto magnético n foma fasoial tnmos J ( ', τ ) J ( ') ; A ( ', τ ) A ( ') j ω t jωt 5 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física jωr/ c jωt μ jωt J ( ') A ( ') π dv' 4 R v ' (a) (b) A la izquida (a) squma d una antna tipo dipolo n l oign d coodnadas con su j alinado con l j z. A la dcha (b) un dipolo infinitsimal d longitud dl n l oign adiando n la zona ljana. Sgún la figua antio, ya qu l dipolo s infinitsimal y stá colocado n l oign, significa qu la distancia nt l oign y l punto campo y la distancia R nt l punto funt y l punto campo s la misma y pud sali fua d la intgal. Admás, la intgal d J( ') dv' ( z') dl '. Po tanto, l faso potncial vcto sá A v' l' μ L j ω / c az 4 π Notmos qu l potncial vcto magnético simp tin la dicción d la coint. Si pasamos a coodnadas sféicas tndmos A μ L cos j 4 π μ L A sn j 4 π dond ω/c s l númo d onda dl vacío. El campo magnético s L j H xa j sn + a μ 4π j φ 6 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física y l léctico usando E xh s jωε L cos E j + π j L E j sn 4 + π j j En l caso dl dipolo d Htz s posibl valua la intgal dl potncial vcto magnético xactamnt, ya qu al s la antna infinitsimal R. Po lo tanto l campo lctomagnético dado po las cuacions antios s l xacto y s válido n cualqui zona dl spacio. En la zona qu oda a la antna y a dond ésta adia, s pudn distingui básicamnt dos zonas difnciadas a) ona ljana o zona d adiación En sta zona s vifica qu >>. Como π/λ, sta condición s taduc n qu /λ >>, s dci, la zona n la qu obsvamos l campo s mucho mayo qu la longitud d onda. Los campos son L H j sn j φ ; 4 π L E j sn 4 π j D ambas xpsions dducimos qu l campo adiado po una antna n la zona d adiación s una onda d tipo TEM y po lo tanto l cocint nt la componnt d campo léctico y la componnt dl campo magnético s justamnt la impdancia intínsca dl vacío. Po oto lado, vmos también qu n la zona d adiación no hay componnt adial dl campo. Ralmnt, lo qu sucd s qu s mucho mno qu las dmás. Admás, l campo n la zona d adiación simp vaía con la coodnada adial como /. Las considacions alizadas n st páafo paa un dipolo d Htz son gnals paa cualqui tipo d antna. b) ona póxima o zona d inducción En st caso s cumpl qu << y po lo tanto /λ <<. Entoncs, y los campos sán ( ) +... j j j L Hφ sn ; 4 π Q Lcos E πε 3 ; Q L sn 3 E 4 π ε 7 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física dond Q-j/ω. El campo vaía n la zona póxima con la coodnada adial como lvado al cuadado o a una potncia supio. Los campos n la zona d adiación mustan una foma qu dnotan una onda tanspotando ngía n la dicción adial. Po l contaio, los campos n la zona póxima no s cospondn con tanspot d ngía. Estos concptos ngéticos s mustan coctamnt con l vcto d Poyting compljo * * L S tot E a x Hφ aφ E a x Hφ aφ a sn + 3 π L + j a 3 sn cos + 6 π w m dond xistn dos sumandos: l pimo diigido sgún la dicción adial, qu s al y qu coincid con la dnsidad d potncia cospondint a sólo los campos n la zona d adiación; l sgundo stá diigido sgún la dicción acimutal y s imaginaio puo. Todo sto significa qu, dl toma d Poyting visto n l capítulo, la pat imaginaia d la cuación antio no psnta tanspot d ngía sino, únicamnt, almacnaminto d ngía lctomagnética; po oto lado, la pat adial, qu s al, psnta tanspot d ngía qu s cospond sólo a los campos n la zona d adiación. Si calculamos l vcto d Poyting compljo con los campos n la zona d adiación, s tin qu * L Sad E ( ) a x Hφ ( ) aφ S a sn a 3 π w m qu coincid con la pat al d la xpsión antio. Po lo tanto s pud scibi R { S tot } Sad qu significa qu paa calcula la potncia adiada po l dipolo d Htz no s ncsaio calcula los campos totals, con calcula los campos n la zona d adiación s suficint. Est sultado s cumpl paa cualqui tipo d antna. S dfin la intnsidad d adiación como la dnsidad d potncia mdia adiada po unidad d ángulo sólido. El difncial d supfici n sféicas s d a sn d dφ dω dond dω s l difncial d ángulo sólido. Po lo tanto la intnsidad d adiación s Φ (, φ ) S 8 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física dond S s la dnsidad d potncia mdia adiada po la antna. La intnsidad d adiación, no dpnd d la coodnada adial. Paa l dipolo d Htz, la intnsidad d adiación s L Φ( ) 3 π sn Paa calcula la potncia total adiada po una antna s ncsaio intga la dnsidad d potncia (o la intnsidad d adiación multiplicada po ) a una sfa imaginaia qu la od. Paa l dipolo d Htz s π π L P dφ d Φ ()sn w π Como l dipolo d Htz s infinitsimal, su longitud L sá mucho mno qu la longitud d onda, po lo qu la potncia adiada po un dipolo d Htz s muy pquña. La intnsidad d adiación dpnd d la coodnada (y n gnal también d Φ). Eso indica qu la antna no adia ngía igual n todas las diccions. Po jmplo, l dipolo infinitsimal no adia n la dicción (n la dicción dl j dl dipolo) y adia lo máximo n la dicción π/ (dicción ppndicula al j dl dipolo). S dfin una antna isótopa como aqulla antna qu adia igual n todas las diccions, s dci, su intnsidad d adiación no dpnd ni d ni d Φ. Po tanto, la intnsidad d adiación d una antna isótopa s P π π P Φiso d φ d sn Φiso 4 π Φiso 4 π dond P s la potncia total adiada po la antna. Paa l caso d una antna isótopa qu adias la misma potncia qu l dipolo d Htz, s tndá qu L Φ iso 48 π S dfin la ganancia dictiva g(,φ) d una antna como l cocint nt su intnsidad d adiación y la intnsidad d adiación d una antna isótopa qu adias la misma potncia total qu la antna n custión, s dci Φ(, φ ) 4 π Φ(, φ ) g(, φ ) Φiso P sindo P Φ(, φ ) dω la potncia adiada po la antna. Paa l caso dl dipolo d Htz la ganancia dictiva sulta s g ( ),5 sn 9 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física La ganancia dictiva d una antna isótopa sía la unidad. Po tanto, la ganancia dictiva vin a indica lo qu s difncia, n cuanto a adiación, una antna al d una antna isótopa. S dfin la dictividad D como la máxima ganancia dictiva. Paa l dipolo d Htz la dictividad s,5 (máxima ganancia dictiva qu s poduc n π/). Ello significa qu l dipolo d Htz adia lo máximo n l plano ppndicula al j d dipolo y admás, n sa dicción adia,5 vcs más qu si colocáamos n su luga una antna isótopa qu adias, n total, su misma potncia. El patón d adiación d una antna s l gáfico d sus caactísticas d adiación n función d las coodnadas angulas. En las figuas siguints s mustan jmplos paa l dipolo infinitsimal Patón d adiación d un dipolo infinitsimal colocado n l oign con su j alinado sgún l j. Patón d adiación plano E d un dipolo infinitsimal colocado n l oign con su j alinado sgún l j. Patón d adiación plano H d un dipolo infinitsimal colocado n l oign con su j alinado sgún l j. Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física El dipolo no infinitsimal Considmos ahoa l caso n qu l dipolo ya no s infinitsimal, s dci, ocupa una cita posición n l spacio. Sin mbago, lo sguimos considando linal (s dci d adio dspciabl) y colocado sgún l j z, como musta la figua. La dicción d la coint stá indicada po la flcha. S ha dibujado l plano Φ poqu l dipolo colocado sgún l j z tin simtía sgún la coodnada Φ, y po llo l campo lctomagnético no dpndá d Φ. (z ) dz R P(,y,z) z-z z L Plano Φ9º Y X y + z z cos y sn Dipolo no infinitsimal d longitud L colocado n l oign y con su j diigido sgún l j. En st caso dl dipolo no infinitsimal, la solución d la intgal paa l potncial vcto magnético s muy complicada. Po tanto, nos cntamos n la zona d adiación. Emplando la apoximación gnal vista n l capítulo antio paa l módulo d R qu aplicado al caso d la figua s.' R z.z' cos.z' R z' cos Rsumindo, n la zona d adiación Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física Paa los téminos d amplitud : R Paa los téminos d fas : R z' cos l potncial vcto magnético, qu sólo tin componnt z s μ ( z' ) j ( z' cos ) A z dz' 4 π L y l campo lctomagnético n la zona d adiación s E j ω Az sn a ; H j ω Az sn aφ D stas xpsions s dduc qu El cocint nt l campo léctico y l magnético s la impdancia intínsca dl vacío El campo léctico, l magnético y la dicción d popagación foman un tido cto El campo adiado po un dipolo no s una onda plana, ya qu los fnts d onda no son planos. Sin mbago, a gands distancias dl miso, podmos consida l campo adiado como una onda localmnt plana La zona ljana a un dipolo (y a una antna n gnal) cominza cuando s cumpln las ts condicions siguints > ff ona ljana o d adiación >> L >> λ sindo ff L. λ Dipolo con coint unifom En la xpsión dl potncial vcto sólo falta sab cuál s la coint qu lo alimnta. Esa s una d las taas difícils qu s ncsaio aliza, la mayoía d las vcs d foma apoximada a tavés d métodos numéicos mdiant un pocso qu s dnomina síntsis d antnas. Como una pima apoximación sncilla, vamos a consida la coint n l dipolo como constant; así Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física paa x', y', z' L / Coint n l dipolo ( z' ) paa oto caso Ralizando la intgal d la cuación dl potncial s tin L / μ A z 4 π L / ( z' ) j ( z' cos ) dz' ( L cos ) μ j L / j L / μ sn j j L 4 π j cos 4 π L cos y l campo lctomagnético s E j ω Az sn a Antna d lazo infinitsimal ; H j ω Az sn aφ Antna d lazo infinitsimal El campo lctomagnético s 3 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física 4 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals ( ) ( ) H j 4 sn a H j cos a j H j j + + φ ( ) H H j 4 sn a E j + φ Es instuctivo compaa stas xpsions con las cospondints al campo dl dipolo infinitsimal paa v como s intcambian las componnts dl campo. S dic qu los campos poducidos po un dipolo infinitsimal y un lazo infinitsimal son duals. La dnsidad d potncia adiada po l lazo infinitsimal, qu s al n la zona ljana y activa n la zona póxima, s ( ) ( ) 3 4 m w j 3 sn a S + una vz intgada da la potncia complja asociada al lazo ( ) ( ) watios j a ds S P 3 4 s + π Su pat al s la potncia adiada po l lazo { } ( ) watios a P R P 4 ad π La intnsidad d adiación s E sn 4 a S ) ( φ Φ
Elctodinámica Clásica 4º Cuso Física y la máxima intnsidad d adiación s poduc n 9º. La dictividad s Φ D 4π máx Pad qu vmos s la misma qu la dl dipolo infinitsimal. 3 5 Rsumn Tmas 6 y 7: Radiación Elctomagnética y Antnas Linals