Universidd Técnic Ncionl Periodo III-0 Crrer: Bchillerto en Procesos Profesor: Msc. Gerrdo Arroyo Brenes. Folleto del curso P á g i n
UNIDAD I: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR) Vlor bsoluto Es l distnci que hy entre el punto origen y culquier punto de l rect numéric y se define si 0 si 0 ) 7 f) b) 8 g) 7 9 c) 0 h) d) 6 9 i) e) j) Potencis. Definición y propieddes n n veces Ejemplos : = ) n m = n + m 6) n n ) n = n m 7) 0 = m ) ( n ) m = nm 8) m n n m ) ( b c ) n = n b n c n 9) n n n ) b b n n 0) n b b n P á g i n
Ejemplos. Relice y simplifique ls siguientes potencis ( No deben quedr eponentes negtivos,ni frccionrios) ) ) 7 6 6) b 6 9 b b 7) 8 b b 9 b 6 8b b ) 0b 7 8) 8 6 y 0 = y ) 6 y 9) 8 y n n = ) b b b = 0) b b b b Rdicles. Definición y propieddes. Sum y rest: Pr sumr o restr rdicles deben ser semejntes, es decir, deben tener igul el índice y el subrrdicl. En lguns ocsiones, rdicles que no precen ser semejntes, sí lo son cundo se plic simplificción. ) 8 7 7 b) 8 7 7 7 P á g i n
c) 0 6 d) 0 98 8 00 Multiplicción y división : Pr multiplicr o dividir rdicles deben ser homogéneos, es decir, deben tener igul el índice. Ejemplos ) 7 8 ) 7 80 ) ( ) ) ( 7 ) ( 7 ) ) 6 8 70 7 6) ( b ) ( b ) Rcionlizción. Consiste el eliminr l ríz de denomindor. Estudiremos dos csos I cso. Cundo el denomindor es un monomio. Se multiplic el numerdor y denomindor por un uno que se conveniente, lo que se busc es que los eponentes del subrrdicl sen igules l índice del rdicl y de es mner poder etrerlos. ) P á g i n
b) Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) c) 7 d) 7 e) b b f) 0 00 II cso. Cundo el denomindor es un binomio. Se multiplic por el conjugdo del denomindor. ) b) P á g i n
c) Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) PRACTICA NÚMEROS REALES ) Clsifique los siguientes números en nturl, entero, rcionl o irrcionl: ) Clsifique los siguientes números en nturl, entero, rcionl o irrcionl: Numero IN ZZ //Q II Numero IN ZZ //Q II i),888 ) b) 7 e j) c) k),8... d) 6 l) 6 e) 7 m) f) 7 n) 9 g),87... o) h) 0,7 ) Resuelv ls siguientes operciones: ) ( 8) ( 8 6) f) b) 7 9 0 g) c) 9 7 h) d) 7 ( 6) i) 6 ( 8 ) ( ) e) 8 j) ( 7) ( ) ) Resuelv ls siguientes operciones: 0 ) b) g) 8 0 h) 8 6 P á g i n
c) i) 0 9 e) j) 7 7 f) 7 8 k) 8 0 ) Rcionlice los denomindores ) e) i) 6 b) f) j) c) g) d) y h) y ) Relice y simplifique ls siguientes potencis ( No deben quedr eponentes negtivos,ni frccionrios) ) ( ) 7 g) b) ( y ) h) ( y ) 7 b b 8 c) i) ( y ) ( y ) y d) y j) e) b c b c k) n n n n n f) n l) 8 m n 7m n p q q 7 P á g i n
6) Simplifique l máimo Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) ) m n z m n z 6 b c ( bc 6 b) ) c) 6 b c b c 6 0 7 d) 0 y y z UNIDAD II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Epresión lgebric Est formd por un conjunto finito de números reles y letrs unidos medinte ls operciones sum, rest,multiplicción,división,potencición y rdicción Ejemplos 6 + y ; y 7 ; ; m y y 6 Definición de polinomio Es l sum de un número finito de términos,cd uno de los cules es el producto de un números y letrs ( los eponentes de ls letrs solo pueden ser números enteros positivos) Ejemplos + ; y y ; m + n my n y ; NO son epresiones polinomiles b m 6y n - m - y n ; yz 7 ym ; y y 8 P á g i n
Vlor numérico de un epresión lgebric Consiste en sustituir el vlor de l letr por el vlor signdo, y resolver l operción resultnte Ejemplos ) El vlor numérico de pr = ) El vlor numérico de b b 0 pr b : Ceros de un polinomio Pr culquier polinomio P() si " " es un cero del polinomio, entonces se cumple que P() = 0 Ejemplos : Se P() = 7 6 verifique que P() es un cero del polinomio Clsificción de los polinomios Monomio : Polinomio que contiene solo un término. Ejemplo : yz Binomio : Polinomio que contiene dos términos seprdos por sum o rest. Ejemplo : yz y Trinomio: Polinomio que contiene tres términos seprdos por sum o rest. Ejemplo : z +y Prtes de un monomio y z Fctor literl Grdo = + + = 9 coeficiente numérico Grdo del monomio: es l sum de los eponentes de ls letrs. Monomios semejntes : Son los que tienen el mismo fctor literl 7 y, 0 y, y nmy, - mny, ymn 9 P á g i n
Sum y rest de epresiones polinomiles Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) Pr sumr o restr epresiones lgebrics se sumn los coeficientes numéricos y se conservn el fctor literl, recordndo que un menos ( ) delnte de un préntesis cmbi el signo todos los términos del polinomio. Ejemplos ) ( 6) (7 9) ( 7 0) ) ( 0 + ) ( 7 + ) = ) ( b b + y) + ( y b + b) = ) ( 6 ) ( ) (8 7 ) = ) ( y 7y 8y y ) ( y y y y ) = 6) ( y y y y ) ( y 6y y 9y ) Multiplicción de epresiones polinomiles Pr multiplicr epresiones lgebrics se multiplicn sus coeficientes numéricos y sus fctores literles ( usndo leyes de potencis ) ) b) 6 b c c b 7 y ( y 6 y y ) c) ( ) (7) = d) ( ) ( )( ) () = 0 P á g i n
Fórmuls notbles Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) ( A + B) = ( A + B) ( A + B) = A + AB + B ( A B) = ( A B) ( A B) = A AB + B (A + B) ( A B) = A B ( A + B) = A + A B + AB + B ( A B) = A A B + AB B Efectúe ) ( mn n) b) ) c) ( b)( b) ( 7 y 8 8 d) ( y ) e) ( + ) f) ( b n 0y m ) ( b n + 0y m ) g) ( n y ) h) ( + y ) Operciones combinds: ) ( m ) ( m )( m ) ( m ) ) ( ) ( 7 ) ) ( 6 ) ( + ) ( ) ) y P á g i n
División de epresiones polinomiles Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) Pr dividir epresiones lgebrics se dividen sus coeficientes numéricos y sus fctores literles ( usndo leyes de potencis ) Ejemplos: ) 6 6 b c 9 b c 7 b) ( 6 b z 8 b z 60 bz ) bz Efectúe: ) 7 6 7 b c b c = b) 7 ( 0 y y 60 y y ) y = 7 7 9 y 7 y y z 0 y c) = y División sintétic Se us pr dividir polinomios de un sol vrible cuyo el divisor es un binomio de primer grdo de l form ( b ± ) Ejemplos ( + ) ( ) ( + 7 ) ( + ) 0 7 Cociente = Cociente = Relice ) ( + 7 ) ( ) ) ( +0 8 ) ( + ) P á g i n
) ( m m ) ( m ) ) ( 7 + 8 + 7 ) ( + ) ) Encuentre el vlor de k pr que el polinomio + 6 k se divisible por ( ) Fctorizción de polinomios En ritmétic es hemos podido comprobr que lgunos de los números se pueden fctorizr, esto epresrlos como el producto de sus fctores primos. Así por ejemplo el numero tiene como fctores 7 y, por lo que se puede epresr como el producto de 7; es decir 7. De l mism form puede ocurrir con los polinomios, y que lgunos se pueden epresr como el producto de epresiones lgebrics por cd un de ls cules son divisibles. Si tenemos dos epresiones lgebrics A y B, ls multiplicmos y su producto es C, cd un de ess epresiones A y B se dice que son fctores o divisores de C. Ejemplo: b b se dice que y b son fctores o divisores de b. El proceso consiste en hllr esos fctores (cundo eisten), lo cul llmmos descomponer en fctores de l epresión C o simplemente Fctorizr. Métodos de Fctorizción Fctor Común. Al fctorizr culquier polinomio lo primero que se debe verificr es si l epresión lgebric tiene fctor común. El máimo fctor común es l myor epresión lgebric que divide todos los P á g i n
términos que componen el polinomio (recuerde: se llmn términos de un polinomio cd uno de ls epresiones seprds por sums o rests). El máimo fctor común puede estr formdo por un número, un o vris letrs, un polinomio entre préntesis, o por l combinción de estos. Pr obtener el máimo fctor común, se debe: A) Obtener el Máimo Común Divisor ( M. C.D.) entre los coeficientes numéricos de cd término. B) Entre ls letrs, scr fctor común tods quells letrs que estén presentes en todos los términos que componen el polinomio; ests se etren con el menor eponente. C) En ocsiones el fctor común es un polinomio; cundo prece en todos los términos de l epresión, por lo generl dentro de préntesis. Si dichos préntesis están elevdos se etre el de menor eponente. Pr completr l fctorizción se divide cd término del polinomio entre el máimo fctor común y se escribe el resultdo de est división dentro de préntesis. Este préntesis junto con el máimo fctor común, conformn l fctorizción de l epresión. Ejemplo Fctorice l epresión b c b Ejemplo Fctorice l epresión 0 y y 60 y Ejemplo Fctorice l epresión 7 m p 8m p m k Ejemplo Fctorice l epresión y Ejemplo Fctorice l epresión 6 Ejemplo 6 Fctorice l epresión P á g i n
Fctorice Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) ) 6 6 60 b z 90 b z 0 bz d) b 8b 6b b) y y y e) ( )( 7) ( ) ( ) c) ( ) v ( ) 7( ) f) y 8 y 6 y g) 7 6 b z 8 b z 60 bz h) y z i) 0 j) ( ) y( ) ( ). Relice l fctorizción de los siguientes polinomios. ) y b) b c 7 c 6 c) d) 60 y 6 y 0 y 6 e) f) b b b 0 b g) Agrupción 8 y 6 y y h) nm n 6nmm n i) 7r r s r r s j) p p q 8p p q p p q En ocsiones no es posible encontrr un fctor común pr todos los términos de un polinomio, entonces debemos descomponer el polinomio en grupos de igul número de términos con un fctor común en cd grupo. Pr utilizr el método de grupos y fctor común se debe: P á g i n
A) Agrupr de tl mner que pr lguno, o todos los grupos formdos, se pued plicr fctor común. Pr esto plicmos l propiedd socitiv pr fctorizr lgunos polinomios de cutro términos. B) De ser posible, etrer de cd uno de los nuevos términos un fctor común. De no ser sí l grupción relizd no es conveniente y debe intentrse un nuev grupción. C) Not: no tods ls epresiones de cutro términos se pueden fctorizr medinte este método. Ejemplo Fctorice l epresión b b b Ejemplo Fctorice l epresión 0 Es necesrio reclcr que pr lgunos polinomios puede eistir más de un form conveniente de grupr el polinomio. Pr los ejemplos nteriores intente otrs grupciones de los polinomios que le permitn fctorizrlos. Relice l fctorizción de los siguientes polinomios por el método de grupos y fctor común. ) m n 6m n = b) y z y z y c) y y d) ww kw k e) 6 m n m mn n f) m nm n m Fctorizción de un polinomio de grdo dos. Anteriormente estuvimos resolviendo ecuciones de segundo grdo con un incógnit, hor nos enfrentmos no un ecución sino un polinomio de grdo dos. Pr fctorizrlo vmos echr mno del estudio del discriminnte, el cul quí nos v determinr si el polinomio es fctorizble y si lo es, entonces i se trt de fórmul notble o dos fctores diferentes. 0, se puede fctorizr en IR como el producto de dos fctores diferentes 0, se puede fctorizr como el producto de dos fctores igules. El trinomio se llm "Trinomio cudrdo Perfecto" ( se puede fctorizr con l º o º formul notble) 0, no se puede fctorizr en IR 6 P á g i n
Pr nuestro estudio veremos el cso donde el discriminnte es myor que cero puesto que si es menor que cero no se puede fctorizr en IR y si es igul cero se verá más delnte como formul notble, unque es posible fctorizrlo por los métodos quí descritos. 0, se puede fctorizr en IR Pr fctorizr el polinomio de segundo grdo podemos utilizr los siguientes métodos: Primer o segund fórmul notble ( 0 ). Inspección. b Fórmul generl. Ejemplo: Fctorizr. ) 6 ) Fórmul generl. 6 b c 6 b b c () Si Si b) Inspección. Pr fctorizr 6, y sbemos que l fctorizción debe de drnos dos binomios, debemos dos números que sumdos nos den el término centrl () y multiplicdos nos den el término independiente (6). 6. Relice l fctorizción de los siguientes polinomios utilizndo formul generl o inspección según se le indique. (recuerde pr todos los csos clculr el discriminnte) ) 6 (F.G) 7 P á g i n
b) c) d) e) f) Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) 9 8 (F.G) 8 (Insp) 6 9 8 (Insp) 6 (Insp) 6 y y (Insp) g) 8 (F.G) h) m m 90 (F.G) Fórmul notble Fctorizción por l primer y l segund fórmul notble.(trinomio Cudrdo Perfecto) Se debe verificr si el polinomio tiene l form desrrolld de lgun fórmul notble, y se el desrrollo de b b b o bien b b b l verificción se reliz de l siguiente form: A. Se verific que el trinomio esté ordendo en form descendente o scendente. B. Pr sber si este método es plicble en determindo trinomio se clculn ls ríces cudrds de los términos que se encuentrn en los etremos del trinomio, ls cules deben ser ects pr poder continur con el método.( ests ríces ects son los posibles vlores de y b en l fórmul notble b o b ) C. Se debe verificr que el término centrl del trinomio ( sin importr su signo) se igul l doble producto de ls ríces de los etremos. El signo del término centrl del trinomio no import y que éste solo determin cuál de ls dos fórmuls notbles es l fctorizción correct del trinomio. D. Un vez hechs ls verificciones nteriores se procede fctorizr el polinomio. Se consider que ls ríces de los etremos del trinomio son los vlores de y b en l fórmul notble y se escribe el polinomio fctorizdo y se b o b. Alterntivmente se puede escribir b como b b y b como b b Ejemplos Fctorice los siguientes polinomios I ) III) 9 II) 6 9 IV) 6 b b 9 8 P á g i n
. Fctorice los siguientes polinomios por l primer o segund fórmul notble. ) 9 b) 0 9 c) d) 6 8 e) 9 b 0 b c b c f) 0 h) b g) 8 b 8 0 6 6 Fctorizción por l tercer fórmul notble (rest de cudrdos). Al desrrollr l fórmul b b se obtiene l diferenci de cudrdos b ; por lo tnto l fctorizr un epresión de l form b el resultdo es b b. Pr utilizr este método se debe: A) Verificr que cd uno de los términos que componen el binomio tienen ríz cudrd ect. B) Etrer l ríz de cd término, estos resultdos corresponden " " y " b " en l fórmul notble. C) Escribir l fctorizción como el producto de: l sum entre " " y " b" por l rest entre " " y " " b b. b sí Ejemplo Fctorice l epresión p k Ejemplo Fctorice l epresión 7 9 Ejemplo Fctorice l epresión y y Ejemplo Fctorice l epresión 8. Relice l fctorizción de los siguientes polinomios. m n 9m b) 8t 6 c) 6 ) e) 6 f) d) b c c) 9 d) 6 9 9 6 6 9 P á g i n
Fctorizción por l set y sétim fórmul notble (sum o rest de cubos). Por l 6ª y 7ª fórmul se tiene b b b = b y b b b = b ; por lo tnto l fctorizr un epresión de l form b el resultdo es b b b. Análogmente l fctorizr un epresión de l form b el resultdo es b b b. Pr utilizr este método se debe: A) Verificr que cd uno de los términos que componen el binomio tienen ríz cúbic ect. B) Etrer l ríz cúbic de cd término, estos resultdos corresponden " " y " b " en l fórmul notble. C) Escribir l fctorizción de cuerdo con l fórmul correspondiente. Ejemplo Fctorice l epresión Ejemplo Fctorice l epresión 8 7 Ejemplo Fctorice l epresión 6 b 7 Ejemplo Fctorice l epresión 9 8 y. Relice l fctorizción de los siguientes polinomios. 6 6 6 ) 8 b) y7 c) 6y d) 000 y Combinción de métodos Hst hor se hn ddo vrios métodos pr simplificr epresiones lgebrics. En los cules, en generl se us un método según se l form de l epresión. Cundo se quiere descomponer en fctores un epresión lgebric se sobreentiende que l form finl de los fctores debe ser irreducible, es decir, que no pueden su vez, descomponerse en otros fctores. Por lo tnto con frecuenci es necesrio combinr todos los métodos estudidos. En culquier cso, siempre se debe empezr scndo fctor común (si eiste) y después continumos buscndo culquier de los métodos estudidos. Ejemplo: 0 P á g i n
) b) 6 Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) 9 9 9 9 Fctor Común 7 º Fórmul Notble 7 7 6 6 0 0 Fctor Común º Fórmul Notble o Inspeccion. Fctorice los siguientes polinomios. ) 6 b) 6 c) b 96 b 7b d) 9 6 e) 9k 6k p kp 9 6 6 f) d w g) 0 b 7b h) = i) + 0 + y = j) + = k) = l) ny + 8ny + 98n = m) 6 + 7 8 = e) 6 = Práctic: Fctorice completmente los siguientes polinomios ) 0 = b) n + 0 = c) y + 0y = d) m m = e) 8 0m + 0m = f) 6 + 6 7= g) 8 8= h) 6 = i) ( ) + + = P á g i n
Teorem del fctor. Pr culquier polinomio P() si " " es un cero del polinomio, entonces es un fctor del polinomio y vicevers; si es un fctor del polinomio entonces " " es un cero del polinomio. Si el cero del polinomio es de l form b entonces b es un fctor del polinomio y vicevers. ) Fctorizción hciendo uso del teorem del fctor Se us pr fctorizr polinomios de grdo myor o igul, siempre y cundo no se pued usr ningún de los métodos nteriores, y l ide es buscr un cero ( divisor) del polinomio usndo l división sintétic. Los posibles ceros de un polinomio son los divisores del término constnte Ejemplos.. Fctorice ) 7 + 6 ( Pr encontrr los posibles ceros del polinomio se buscn los divisores de 6 (,,, 6) ) b) 0 c) 8 + + d) + 7 0 d) y y 9y + 8y + 60. Si los ceros de un polinomio de grdo dos son y Cuál puede ser el polinomio?. Si los ceros de un polinomio de grdo dos son y 0 Cuál puede ser el polinomio? P á g i n
. Si los ceros de un polinomio de grdo dos son y Cuál puede ser el polinomio?. Si los ceros de un polinomio de grdo dos son 6 y 9 Cuál puede ser el polinomio? 6. Utilice el teorem del fctor pr contestr cd uno de los siguientes cuestionmientos : Si es un cero del polinomio P() Cuál serí uno de sus fctores? Si y son los dos ceros de un polinomio. Cuáles son sus fctores? Considere un polinomio de segundo grdo P() cuyos ceros son y. Escrib el 6 polinomio P() en form fctorizd y en form desrrolld. Si el único cero del polinomio P() de segundo grdo es 7. Escrib el polinomio P() en 9 form fctorizd y en form desrrolld. Si 0 y son los ceros del polinomio de segundo grdo P(). Escrib P() en form fctorizd y en form desrrolld. 7. Escrib en cd cso el polinomio fctorizdo y desrrolldo P() de segundo grdo cuyos ceros son : ) y b) 0 y 7 c) 6 y 9 d) 8 y 8. Encuentre los ceros de los siguientes trinomios y fctorícelos de ser posible. ) 6 b) 7 c) 6 d) 6 e) 9 8 P á g i n
Al utilizr el teorem del fctor se debe tener cuiddo si: El polinomio tiene fctor común Incorrecto Correcto Primero se debe etrer el máimo fctor común, ntes de utilizr el teorem del fctor. En el polinomio de grdo el vlor que compñ es negtivo Debe escribirse un menos delnte de l fctorizción ( l fctorizción se reliz de l form hbitul) Simplificción de epresiones Pr simplificr epresiones lgebrics primero debemos fctorizr los polinomios y luego cncelr los términos igules Ejemplos ) b) 8 ( b) ( b) c) ( )(9 b ) P á g i n
d) 9 7 6 Sum y rest de frcciones lgebrics Al igul que en ls frcciones ritmétics, en l sum de frcciones lgebrics rcionles, se presentn dos csos, y se que ls frcciones tengn el mismo denomindor o distinto denomindor. L sum de ls frcciones lgebrics que tienen el mismo denomindor, es otr frcción cuyo numerdor es l sum lgebric de los numerdores y cuyo denomindor es el denomindor común. Cundo ls frcciones lgebrics tienen distinto denomindor, pr sumrls deben trnsformrse en frcciones que tengn el mismo denomindor (Mínimo Común Denomindor). Recordemos que este es l mínim epresión ectmente divisible por cd uno de los denomindores. Pr sumr ls epresiones lgebrics frccionris se requiere: ) Fctorizr cd un de l epresiones del numerdor y del denomindor de ls frcciones sumr o restr según se el cso. ) Determinr el m.c.d. (que se coloc en el denomindor de l frcción)de ls epresiones de los denomindores de l siguiente form: Colocndo uno de cd fctor que se repit en los denomindores. Si hy fctores que son los mismos pero con diferente eponente se coloc el myor. ) Al igul que en ls sums y rests de frcciones ritmétics, dividimos el m.c.d entre los denomindores de ls frcciones sumr o restr y lo multiplicmos por el numerdor. ) Summos l epresión resultnte en el numerdor y se simplific si se puede. Ejemplos: ) b) P á g i n
c) h = d) 9 e) 9 9 6 Multiplicción de frcciones lgebrics L multiplicción de frcciones lgebrics es similr l que contiene sólo números ritméticos. Por lo tnto vmos vlernos de est similitud pr resolver ests operciones, utilizndo lo que llmmos l ley de cncelción de fcciones. De l siguiente form: ) Fctorizr cd un de l epresiones del numerdor y del denomindor de ls frcciones multiplicr. ) Simplificr epresiones lgebrics. (recordndo que v un del numerdor con un del denomindor) ) Multiplicr lo que nos qued. ) 8 ) ) 9m 6 m 9 8m 7 6m m 6 ) 6 9 6 P á g i n
División de frcciones lgebrics L división de frcciones lgebrics es similr l que contiene sólo números ritméticos. Por lo tnto, l igul que en l multiplicción vmos vlernos de est similitud pr resolver ests operciones, utilizndo lo que llmmos l ley de cncelción de fcciones. De l siguiente form: ) Fctorizr cd un de l epresiones del numerdor y del denomindor de ls frcciones dividir. ) Como nos encontrmos frente un división de frcciones, entonces vmos multiplicr en cruz.(o se numerdor de l primer por denomindor de l segund, el resultdo se coloc en el numerdor; y denomindor de l primer por numerdor de l segund, el resultdo se coloc en el denomindor). Solo indicr l multiplicción. (o drle vuelt l segund frcción) ) Simplificr epresiones lgebrics. (recordndo que v un del numerdor con un del denomindor) ) Multiplicr lo que nos qued. Ejemplos : Efectur ls siguientes divisiones de frcciones lgebrics: ) h h h h h h h h ) m 6m 9m m m m m Frcciones lgebrics complejs Un frcción lgebric se dice complej cundo el numerdor o el denomindor, o mbos, son epresiones lgebrics frccionris. Ejemplo: Numerdor Denomindor 7 P á g i n
Ahor tenemos: Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) PRACTICA UNIDAD II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ) Efectúe ls operciones indicds pr los siguientes polinomios ) ( 6 ) (6 ) ( ) b) ( y 7y 8y y ) ( y y y y ) + ( y 8y 9y y ) c) ( ) (7 ) ( 7) (8 6 ) d) ) ( 7 y 6 y) (8 y 0y) ( y) ( 6y y ) ( y y ) (7 y y ) e) 6 6 d) b c c b 7 e) y (y 7 y y ) f) ( ) ( ) ( 8 ) g) ( 6y 7) y(8 y ) (7 y y ) h) ( ) (7) i) ( ) ( ) j) ( ) ( 7)( ) (6) k) ( )( ) ( 8) l) ( ) (7) ( ) () m) ( mn 7n) n) n) ( m ) (m )(m ) (m ) o) ( 6 b)( 6 b) ( y p) ( y) (y ) (y )(y ) q) (n ) r) ( y ) s) ) ( b) ( b ) ) Relice ls siguientes divisiones. 8 P á g i n
) b) 6 b c b c 7 ( y y 0 y y ) y 7 6 c) (60m n 90m n m n 0m n ) m n 7 7 6 y 8 y y z y d) y m 8m m e) m 7 n ) Efectúe, plicndo l división sintétic, ls operciones indicds. ) ( 0) ( ) d) ( ) ( ) 9 b) ( 70) ( ) e) ( 7) ( ) c) ( ) ( ) f) ( m m m m ) ( m ) ) Fctorice l máimo los usndo fctor común y grupción ) b 6 i) p q bp bq b b) rs st j) 9 6 c) k) 6b dm bcm 6bcd 8c dm 0 d) 6 9b l) b y by 7 6 e) 6 b z 8 b z 60 bz m) 6 y 8by b f) ( b ) b ( b) n) b c b c g) ( )( ) ( ) o) 6 h) ( ) ( ) p) 0 ) Fctorice l máimo. ) 6 9z h) b) i) b 7c c) m j) ( b) d) ( ) 9 k) 6 e) f) 8 c 6 b l) b 6 m) 9 6y 9 9 ( ) 6 ( ) 9 P á g i n
g) 8r m n) ( ) 0 6) Fctorice l máimo los siguientes polinomios. ) 9 j) m 0m00 b) 6 8 k) c) l) 6 6 0 d) c d c d n 9c n m) 8 8 6 6 6 e) 6m p p mp 9 n) 8 f) 9 o) 0 9 6 g) m m p) 9y 8y 7 h) 7 0 q) y 8y 7 y i) y y 0 r) b b b 7) Fctorice l máimo los siguientes polinomios usndo el teorem del fctor ) 0 d) 7 0 b) y y y e) m m m m c) 9 8 60 f) 8 6 8) Fctorice l máimo los siguientes polinomios combinndo métodos. ) 7 f) b) c) m y 0m 0m g) m 9m m 9 n h) ( m) 0( m) d) ( 9) 6 i) 00 ( y y ) e) 0 y 8y 6 j) 0 ( 6) 9) Simplifique l mimo ) 6 6 ) 8n 8n n n ) 7 0 8 y ) y y ) 6 7 9 ) b ( b) b ) 8 0 b b ) b b 0 P á g i n
P á g i n ) 7 ) 6) b b b b 6 6 6) ) 7) ) 7 7) 8) 6 8) 8 m m 9) ) ( ) ( z y z y 9) 8 0) 8 6 0 ) 0 0 0) Relice ls siguientes operciones ) ) n m m n = ) = ) 7 = ) 0 = 6) 9 9 7 b b b b b b b b b b = 7) = 8) 00 9 00 0 0 7 7 9) 0) r s s r r s s r
) y y y ) ) ) y y : y y Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) 6) 7) b b b b b b ) 8 6 8 8) UNIDAD III: ECUACIONES ALGEBRAICAS Definición de ecución. Solución de un ecución. Un ecución es un iguldd entre dos epresiones lgebrics. Ejemplos 9 = 7 +, y y = 0, 7 Resolver un ecución es hllr el vlor o los vlores de l incógnit pr que l iguldd se ciert ECUACIONES LINEALES Es un ecución donde el grdo myor de l incógnit es Ejemplos ) 0 = + 8 ) + 8 = ( 6 ) + P á g i n
) ( 7) ( ) = ( 7) ) ) y y ( y) 6) ( )( + ) = ( ) Pr ls siguientes formuls despeje lo que se le pide ) mv = Km F Despeje K b) Vf V i + t w Despeje t c) ) Kt = Mt rf Despeje t K P á g i n
Ecución cudrátic Ls ecuciones cudrátics en un incógnit, son quells de l form: b c 0 donde, b, c son números reles, 0 y es l incógnit. Pr resolver este tipo de ecuciones se utiliz l siguiente fórmul b, donde b c El discriminnte indic el número de soluciones de l ecución cudrátic: Si > 0 entonces l ecución tiene dos soluciones diferentes: b Si = 0 entonces l ecución tiene un únic solución: Si < 0 entonces l ecución tiene no tiene solución en IR. b b EJEMPLOS: Resuelv ls siguientes ecuciones cudrátics. Indique el conjunto solución de ls misms. ) 0 b) 0 c) d) 0 P á g i n
Ecución de grdo myor que dos Pr resolverls se igul cd préntesis cero y se despej l incógnit,en cso de no estr fctorizdo se fctoriz y se resuelve cd préntesis EJEMPLOS: Resuelv ls siguientes ecuciones ) ( ) ( + ) ( ) = 0 c) ( ) ( ) = 0 b) 00 + = 0 d) ( + ) ( +8) ( ) = 0 Ecuciones que involucrn rdicles. Pr resolverls se utiliz el método de elevr mbos ldos de l ecución Ejemplos Resolver ) 6 ) P á g i n
) y y ) ) Sistem de ecuciones. Se llm sistem de ecuciones todo conjunto de ecuciones distints que tiene un o más soluciones comunes. Resolver un sistem de ecuciones simultánes es hllr el conjunto de vlores que stisfcen simultánemente cd un de sus ecuciones. Crcterístics de un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits. El resultdo que se obtiene l resolver un sistem de dos ecuciones lineles con dos vribles pueden ser un solución, número infinito de soluciones o no eiste solución Un sistem es consistente si tiene por lo menos un solución. Un sistem con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistem es inconsistente si crece de solución. Métodos de resolución ) Sum y rest: Pr resolver un sistem de dos ecuciones con dos incógnits emplendo el método de eliminción por sum o rest: ) Multiplíquense los dos miembros de un de ls ecuciones, o de mbs, por número tles que resulten igules los coeficientes de un mism incógnit. 6 P á g i n
b) Súmense ls dos ecuciones si dichos coeficientes son de signos contrrios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvse l ecución que sí result, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit que contiene. d) Sustitúyse este vlor en un de ls ecuciones dds y resuélvse; se obtiene sí l otr incógnit. Ejemplo: Resolver el sistem y9 y 0 ) Igulción: ) Despéjese, en cd ecución, l incógnit que se requiere eliminr. b) Iguálense ls epresiones que representn el vlor de l incógnit elimind. c) Resuélvse l ecución que result, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit no elimind. d) Sustitúyse el vlor hlldo en un de ls epresiones que represent el vlor de l otr incógnit, y resuélvse. y Ejemplo: E y7 ) Sustitución. ) Despéjese un incógnit en un de ls dos ecuciones. b) Sustitúyse l epresión que represent su vlor en l otr ecución. c) Resuélvse l nuev ecución, con lo cul se obtiene el vlor de l incógnit no elimind. d) Sustitúyse el vlor sí hlldo en l epresión que represent el vlor de l otr incógnit, y resuélvse l ecución resultnte. 7 P á g i n
Ejemplo: Resolver el sistem: y y Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) PRACTICA UNIDAD III: ECUACIONES ALGEBRAICAS ) Resuelv ls siguientes ecuciones 7 ) 6 8 ) 0 ) y ( y 7) 6y y ) ( 8) 6 ) ( ) 6) 6 7) ( + ) = ( + ) 8) ( ) = 9) ( + ) ( ) = + ( ) 0) ( + )( ) + = ) ( ) ( ) = 6 ) ( ) = ( ) ) Determinr el conjunto solución de cd un de ls siguientes ecuciones de grdo dos. A) B) C) D) 0 H) 0 I) 7 0 9 6 0 J) h 7 7 h K) E) L) F) G) 6 8 8 N) M) ) Resuelv ls siguientes ecuciones 6 0 8 P á g i n
) ( ) ( + ) ( ) = 0 9) ( 7 ) ( 7 ) = 0 ) ( )( ) = 0 0) ( ) ( + ) ( 6 ) = 0 ) ( + ) ( ) = 0 ) ( ) ( ) = 0 ) ( ) ( + ) = 0 ) ( + ) ( ) = 0 ) ( ) ( + ) ( 6 ) = 0 ) ( 6 ) ( 8) = 0 6) ( ) ( + 9) ( ) = 0 ) = 7) ( 8 ) ( + ) ( ) = 0 ) = 6 8) ( ) ( 6 ) = 0 6) + 6 = 0 ) Resuelv cd un de ls siguientes ecuciones:..... 6. 7. 8. 9. 0.. Resolver los siguientes sistems.( puede usr culquier método) ) y y ) y y 8 ) y 6 7y ) y 6 7y ) y 7 6) y y 8 7) y y 8) y 0 y 9 P á g i n
y 9) y 6 Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) 0) y 9 y UNIDAD IV: INECUACIONES ALGEBRAICAS Intervlos Es un subconjunto de l rect numéric ( un prte de l rect numéric) Hy diferentes tipos de intervlos y notciones que se detlln en el siguiente cudro. REPRESENTACION EN LA RECTA INTERVALO CONJUNTO NUMERICA, /,, 0, 6,,, Prctic Complete el siguiente cudro INTERVALO CONJUNTO REPRESENTACION EN LA RECTA NUMERICA,, 0 7, IR / 0 P á g i n
7,, IR / > IR / < 0 Resolución de inecuciones lineles Se resuelve igul que un ecución linel, con l diferenci de que l solución corresponde un intervlo rel EJEMPLOS: ) 7 ) ( ) 6 ) 6 ( + ) > + ) 8 Resolución de inecuciones no lineles y frccionris Pr resolver este tipo de inecuciones se relizn se relizn los siguientes psos. Se fctoriz el polinomio.. Encontrr los ceros del polinomio.. se construye un cudro de vrición pr determinr los signos.. Indicr el conjunto solución P á g i n
Ejemplos: Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) ) 6 0 c) 0 b) 9 0 d) PRACTICA INECUACIONES ALGEBRAICAS ) Resuelvs ls inecuciones ) 6 8 b) ( 7) 6 c) ( 8-9 ) ( - + 7) d) ( ) 7 e) f) 8 6 g) 8 h) 0 i) 6 7 j) 0 ) Resuelv ls siguientes desigulddes P á g i n
) Universidd Técnic Ncionl ( UTN ) 0 f) ( )( )( 7) 0 ) b) c) d) 0 0 g) 6 0 h) 9 0 i) 0 j) 8 0 8 0 ( )( ) 0 0 0 ) Resuelv ls siguientes desigulddes no lineles 0 ) 0 6) 0 ) 8 0 7) 0 8 ( ) ) 0 ( ) 8) ) 9) 9 6 0 ) 0) Solución de ejercicios ) ) 7 b)9 c) d) 77 e) f) g) h) i) 60 j) 8 ) ) 9 b) 9 c) 0 0 60 ) ) b) c) y h) y ) ) c) b) 0 y i) b e) j) c b d) f) 9 h) 8 d) 6 d) y e) 9 6 g) 9 6y i) 8 f) g) 0 7 y k) j) 9 0 9 0 l) 8m p q n 6 P á g i n
) ) n 8m z 9 8 b) 67 c 7 b c) b c c d) y z y 8 0 Págins 0 y b c ) ) b) 6y 7 y z y e) m 8 m n 6 y y y y c) 6m m n mn n d) n C : C : 0 C : 6 ) ) b) c) R : 0 R : 0 R : C : d) R : ) ) b b b) r t f) b b bz b b z z 6 C : m m C : e) f) R : 7 R : 8 c) d) b e) g) h) i) p q b k) bd cm 7bm 8dc b c p) o) l) b y j) m) y b n) )) ( 8 +z) ( 8 z) b) ( ) ( + )( + ) c) ( m +) ( m ) d) ( +) ( 0) e) ( 9 b +c) (9 b c) f) ( + b ) ( b +6b ) g) (r m ) ( r + rm+m ) h) ( + ) ( + ) i) ( b + c ) ( b 0 b c +9c 6 ) j) ( + b ) ( ( + b) +( +b) - ) k) ( )( + + ) l) ( y ) ( 6 + y +6y 6 ) m) ( + ) ( + )( + ) n) ( + ) ( 8) 6) ) ( + 7) b) ( 9 ) c) ( ) d) ( c d + cn ) e) ( mp + 8 p ) f) ( 7 ) P á g i n
g) ( + m ) h) ( + ) ( + ) i) ( y + 6) ( y ) j) ( m + 0) ( m 0) k) ( )( ) l) ) ( + ) ( ) m) ( )( ) n) ) ( )( ) o)( )( 9) p)( y + ) ( y 7 ) q) y ( -9) ( ) r) ( b)( -b-) 7) ) ) ( )( ) ( + )( +) b) ( y + ) ( y )( y ) c) ( )( ) ( + )( +) d) ( ) ( + ) ( + ) e) m ( m + ) f) ( ) ( + 6) 8) ) ( -) ( + ) b) ( m + y ) ( m + + y ) c) ( n m ) ( n + nm + 9m 6 ) d) ( ) ( + ) e) ( y 9 )( + y ) f) ( + m) ( m + m ) g) m( m + 7) ( m 7 ) h) (m + ) ( m +) ( m + ) i) ( 0 + y) ( 0 + y) j) ( + )( 9 ) Ecuciones Págin y 6 ) ) S 7 ) S ) 6) ) S ) ) S S 9 S 7) 6 A) S D) S 08, G) 8) S 9) 7 S 0) 7 S ) S 8 6 S ) S S 0, J) S 07, M) S B) S E) C) S S, H) 7 F) S, I) S S, L) K) S 0, S 0, N) 7 S, 0 ) ) S, ) S 80, ) S, ) 8 S, 7) S, 9) ) S 80, 6) S, 8) S 8, S, 0) 8 6 S, P á g i n