Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Unidad I - Curvas en R ecuaciones paramétricas.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar Para encontrar la pendiente de una recta tangente en forma polar, debemos de considerar una función que sea diferenciable. Epresando a r f en forma paramétrica, sabemos que: Mediante el uso de la forma paramétrica de Con lo cual se puede establecer el siguiente teorema: f cos f sen vista anteriormente, se obtiene: f cos f ' sen m d f sen f ' cos d r f Pendiente en forma polar Si f es una función diferenciable de, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto r, se obtiene por: Siempre que 0 d en r, Del teorema anterior, se pueden destacar dos cosas: f cos f ' sen f sen f ' cos. Las soluciones 0 d dan una tangente horizontal, siempre cuando d 0. Las soluciones 0 d dan una tangente vertical, siempre cuando d 0 r f de 5
Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Ejemplo 0: Hallar las rectas tangentes horizontales verticales de la función r sen en el intervalo 0 Epresando en su forma paramétrica a la función r sen, tenemos que: sen cos sen sen sen Y la curva puede verse en la Figura. Si derivamos las ecuaciones paramétricas: 0. 0. 0. Figura. Gráfica de sen sen cos cos cos sen cos d sen cos sen d Ya con las derivadas de las ecuaciones paramétricas, para saber si ha una tangente horizontal o vertical igualamos cada una de las derivadas a cero buscamos los valores que cumplan la igualdad. Los valores obtenidos serán los puntos donde eisten tangentes:.5.0.5 3.0 Las tangentes verticales se dan cuando 0 d, si d cos los 3 cruces por cero en el intervalo 0 se dan en, según lo 4 4 muestra la Figura. Figura. Cruces por cero de Por lo tanto, en los puntos tenemos dos tangentes verticales, según se muestra en la Figura 3: 0. 0. 0. Figura 3. Tangentes verticales de 5
Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León.5.0.5 3.0 Para encontrar las tangentes horizontales, se debe de cumplir que 0, esto sucede cuando sen 0 d lo cual puede verse en la Figura 4 que se cumple en 0,, : Figura 4. Cruces por cero de Por lo tanto, tenemos tangentes horizontales en los puntos: 0, 0,,. La Figura 5 muestra esas tangentes horizontales: 0. 0. 0. Figura 5. Tangentes horizontales Ejemplo 0: Hallar las rectas tangentes verticales horizontales de la gráfica de r cos Las ecuaciones paramétricas son: 4 3 cos cos cos cos cos sen sen cossen Derivando las ecuaciones anteriores: sencos d cos cos d Figura 6. Gráfica de conocida como cardioide 3 de 5
Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Sabemos que para encontrar las tangentes verticales necesitamos encontrar los valores de donde 0 d sen(cos ) 0 d 3 4 5 6 De acuerdo a la Figura 7, las raíces de la función son: 0 3 sen 0 cos 5 3 Figura 7. Valores de donde Por lo tanto, en los puntos, tendremos tangentes verticales como se muestra en la Figura 8, sin embargo, no nos apresuremos a mencionar la tangente que pasa por el origen. Para las tangentes horizontales, buscaremos los valores que hagan cero a, esto es: d (cos )(cos ) 0 Vemos que las raíces serán: 4 3 3 cos 4 3 cos 0 Por lo tanto en los puntos, para todo los valores de anteriores tenemos tangentes horizontales según lo muestra la Figura 9: Figura 8. Tangentes verticales Sucede una situación particular con el punto 0, 0 en donde la curva parece tener una tangente horizontal debido a que 0 una tangente vertical debido a que 0 d d. Pero, si recordamos la forma paramétrica de la pendiente, caemos en una indeterminación porque: 4 de 5
Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León 4 3 FIgura 9. Tangentes horizontales m d d Debido a que en el punto 0, 0 nombre de polo) la curva se corta a sí misma. r f, es decir, f 0 que Suponga que la gráfica de 0 0 (este punto recibe el pasa por el polo cuando f ' 0. Entonces, la fórmula para calcular la pendiente se simplifica de la siguiente manera: f cos f ' sen f ' sen sen tan f sen f ' cos f ' cos cos Por lo tanto, la recta con es tangente a la gráfica en el punto 0, 5 de 5