Capítulo 5 Anualdades. Hasta ahora solo hemos estudado operacones fnanceras que se componen de un captal únco (captal ncal o monto), por ejemplo, podemos saber el valor presente de una suma de dnero en el futuro, sn embargo, hay operacones que se componen de un gran número de captales fjos en dstntos puntos del tempo, de ahí la necesdad de encontrar una sere de técncas matemátcas para valuar el monto o el valor presente de dchas cantdades. Aunque no lo parezca, es sumamente común encontrarnos con anualdades en nuestra vda cotdana, por ejemplo, el pago sucesvo de la renta de un local, o el pago en abonos de una compra a crédto. 5.1 Defncón. Para no dar cabda a ambgüedades vamos utlzar la sguente defncón de anualdad: En general, se denomna anualdad a un conjunto de pagos realzados a ntervalos guales de tempo, cabe aclarar que los perodos entre pagos no sempre son anuales, pero se conserva el nombre de anualdad por estar ya muy arragado en el tema. En este capítulo, vamos a estar usando frecuentemente los sguentes térmnos: Perodo de pago de una anualdad: Es el tempo que transcurre entre cada uno de los sucesvos pagos de la anualdad. enta: es la cantdad que paga la anualdad en cada perodo. Plazo: es el tempo en que se mantene vgente la anualdad. Monto de la anualdad: Es el valor de todos los pagos de la anualdad valuados a la fecha de vencmento de la operacón (que en realdad es la suma de los montos ndvduales). Valor actual: (o valor presente) es la suma del valor presente de cada pago de la anualdad valuado en la fecha de nco de la operacón. Ejemplo 1. Algunos casos de anualdades. Una estlsta renta un local para nstalar su negoco, acuerda pagar $2,500 al prncpo de cada mes en un contrato con un año de vgenca. Es un ejemplo de anualdad porque se trata de 12 pagos sucesvos, es claro que la renta es de $2,500. El plazo de la anualdad es de un año y el perodo de pago es de un mes. Un trabajador deposta pagos constantes a su cuenta en un AFOE. En este caso, los pagos son la renta, y la cantdad de la que dsponga cuando se retre será el monto de la anualdad.
5.2 Clasfcacón de las anualdades. Exsten varas formas de clasfcar las anualdades: de acuerdo al plazo, de acuerdo al momento en que se lleven a cabo los pagos y de acuerdo al momento en que nce la anualdad. a) Por el plazo. 1. Certas. 2. Contngentes. b) Por el momento del pago. 1. Antcpadas. 2. Vencdas. c) Por el memento en que nca la anualdad. 1. Inmedatas. 2. Dferdas. d) Intereses. 1. Smples. 2. Generales. A dferenca de las anualdades certas, el pago de las anualdades contngentes depende de la ocurrenca de un evento (contngente) que determna s la anualdad se paga o no, por ejemplo, una pensón que se paga s la persona está vva, entonces la dscontnudad del pago de la pensón (anualdad) depende de la muerte del ndvduo (evento contngente). Cuando se trata de anualdades certas se conocen las fechas de todos los pagos de la anualdad, es decr, hay certdumbre en los pagos, de ahí el nombre de anualdades certas. S los pagos de una anualdad se efectúan al prncpo de cada perodo, entonces se trata de una anualdad antcpada, s por el contraro, los pagos se efectúan al fnal de cada perodo, entonces es una anualdad vencda. Cuando estamos ldando con anualdades dferdas, los pagos de la anualdad comenzan tempo después de haber pactado el conveno, por ejemplo, s se compra un electrodoméstco a crédto, y el comprador acuerda pagar los abonos mensualmente, pero hasta ses meses después de haber adqurdo el aparato, entonces se trata de una anualdad dferda. En cambo con las anualdades nmedatas, los pagos comenzan en el momento en que el conveno se pacta. Cuando decmos anualdad smple, no nos estamos refrendo a que los cálculos se hacen con nterés smple, es más ben que los perodos de captalzacón del nterés compuesto concden con los perodos de los pagos de la anualdad. En general, en todos los cálculos que se hacen para anualdades utlzamos nterés compuesto. En una anualdad general, los perodos de captalzacón no concden con los perodos de pago de la anualdad, es por ello que se trata de un caso más general de la anualdad. Hasta este punto combnando todas las varantes, llevamos 16 tpos de anualdades, estos tpos de anualdades son los casos mas estudados, sn embargo, exste otra varante en las anualdades:
anualdades de rentas varables, que se da cuando los pagos no son constantes, casos de rentas varables mas aplcados son cuando los pagos se encuentran en progresón artmétca y, por supuesto, progresón geométrca. Ejemplo 2. Algunos casos de anualdades. Un padre de famla, preocupado por sus hjos compra un seguro de vda, en caso de morr se pagará la cantdad de $10,000 mensuales durante 2 años. Este es un ejemplo de anualdad Contngente, ya que no tenemos certdumbre sobre la fecha de los pagos de la anualdad. El Sr. Pérez compra una televsón a crédto, el aparato cuesta $10,000 la tenda exge el pago del 20% de enganche, y el resto lo paga en abonos mensuales durante un año. Este es un ejemplo de anualdad smple, certa, vencda e nmedata. Es vencda porque los pagos son al fnal de cada mes (el enganche no se consdera parte de la anualdad). Es nmedata porque no hay perodo de espera para comenzar los pagos de la anualdad. La Sra. María renta un departamento por un año, y acuerda pagar al arrendador la cantdad de $4,500 al prncpo de cada mes mentras dure el contrato. Ahora se trata de una anualdad certa, nmedata y antcpada, porque la renta se paga de manera antcpada (al nco de cada mes). 5.3 Deduccón de la formula del monto de una anualdad smple, certa, vencda e nmedata y despeje de sus lterales. Cuando calculamos el monto de una anualdad lo que estamos hacendo es calcular la suma de cada monto (ndvdual) que conforma la anualdad, valuando cada pago en la fecha donde termna la anualdad, gráfcamente se vería así: P 1 P 2 P 3 P n Inco t=0 Perodo 1 t=1 Perodo 2 t=2 Perodo 3 t=3 Perodo n t=n Ejemplo 3. Determne el monto.
Un empleado de una fábrca gana $14,000 mensuales, un contador le recomenda que ahorre el 10% de su salaro en una cuenta bancara que paga el 1.5% de nterés efectvo mensual. S el empleado sgue este consejo, a cuánto ascendería su cuenta al fnal del cuatrmestre? Solucón: Evdentemente se trata de una anualdad certa, vencda e nmedata, con pagos perodos mensuales entre los pagos. Con las técncas de matemátcas fnanceras que hemos estudado hasta ahora, tendríamos que obtener el monto de cada depósto y luego sumarlos para hacer el cálculo fnal. P 1 M =1 400(1+) =1 463.94 =$1,400 P 2 =$1,400 P 3 =$1,400 P 4 =$1,400 1 M =1 400(1+) =1 442.31 2 M =1 400(1+) =1 421.00 3 3 2 1 Inco t=0 Mes 1 t=1 Mes2 t=2 Mes 3 t=3 Mes 4 t=4 La sguente tabla muestra el monto de cada depósto y la suma: Mes Cantdad Monto 1 $1,400 M 1 = 1 400 1 + 3 = 1 463.94 2 $1,400 M 2 = 1 400 1 + 2 = 1 442.31 3 $1,400 M 3 = 1 400 1 + 1 = 1 421.00 4 $1,400 M 4 = 1 400 1 + 0 = 1 400.00 Total $5,727.26 Entonces, al fnal de los cuatro meses el empleado tendrá $5,727.26 en su cuenta. S en el ejemplo 1 no tomamos en cuenta solo el prmer cuatrmestre, sno un año completo o varos años, calcular cada monto resulta bastante engorroso, es por ello que necestamos una técnca más senclla de calcular las anualdades. Supongamos que necestamos saber la cantdad de dnero que acumulará una cuenta que paga a una tasa de nterés efectva, después de estar depostando una cantdad fja de dnero (renta), durante n perodos, podemos calcular el monto total en la cuenta a través de la suma: M = + 1 + + 1 + 2 + 1 + 3 + + 1 + n 1
En esta suma tenemos escrtos desde el últmo térmno hasta el prmer térmno (que se acumula n+1 perodos), como estamos valuando el monto en la fecha donde se deposta el últmo pago (prmer térmno), entonces éste no genera ntereses. Claramente, la suma anteror es la suma de los prmeros n térmnos de una progresón geométrca cuyo prmer térmno es, y la razón es (1 + ). ecordemos que podemos calcular este tpo de sumas con la ecuacón: S n = a 1 1 r n 1 r Aquí S n representa el monto de la anualdad; susttuyendo las varables tenemos la sguente expresón: n 1 1 + M = 1 1 + M = 1 1 + n Multplcando por el factor 1 1 M = 1 + n 1 Es la fórmula que usaremos para calcular el monto de una anualdad. Ejemplo 4. Determne el monto. Un empleado de una fábrca gana $14,000 mensuales, un contador le recomenda que ahorre el 10% de su salaro en una cuenta bancara que paga el 1.5% de nterés efectvo mensual. S el empleado sgue este consejo, a cuánto ascendería su cuenta al cabo de dos años? Solucón: Se trata del ejemplo 1, pero con dos años de vgenca, entonces en total serán 24 meses en que estará depostando a la cuenta. Para calcular el monto vamos a utlzar la expresón: Susttuyendo queda Al evaluar la expresón tenemos que M = 1 + n 1 M = 1 400 1 + 0.015 24 1 0.015
M = $40,086.92 Es el monto que tendrá después de depostar $1,400 mensualmente durante dos años. Ejemplo 5. Determne el monto. Un estudante está por entrar a la unversdad y solcta una beca que pagará la cantdad de $1,500 al fnal de cada mes durante todo el semestre, sn embargo aún no termna de tramtar su certfcado de estudos de bachllerato, el departamento de servcos escolares le nforma que el documento estará lsto cnco meses después de que ngrese a la unversdad. El estudante expone el problema al jefe del departamento de becas de la unversdad y éste le explca que la beca tene la característca de ser retroactva, esto sgnfca que en el momento en que el presente todos los documentos correspondentes le entregan el monto de todas las mensualdades atrasadas, mentras tanto, el dnero se deposta en una cuenta que paga el 15% de nterés anual captalzable mensualmente. Cuál será el monto total que recogerá el estudante cuando le entreguen su certfcado? Solucón: Podemos dentfcar que se trata de una anualdad certa, vencda e nmedata, estamos nteresados en saber el monto de los pagos hasta el qunto mes, en prmer lugar, necestamos conocer la tasa de nterés efectva: = 12 = 0.15 12 = 0.0125 Ahora solo resta aplcar la fórmula para encontrar el monto de la anualdad: Susttuyendo queda Al evaluar la expresón tenemos que M = 1 + n 1 M = 1 500 1 + 0.0125 5 1 0.0125 M = $7,689.85 Es el monto que recbrá s entrega su certfcado en el qunto mes. Supongamos ahora que, en el caso de una anualdad certa, vencda e nmedata, conocemos el monto, perodos y tasa de nterés, pero no conocemos la renta, para calcularla, tenemos que despejar la varable de la ecuacón:
M = 1 + n 1 = = M 1 + n 1 M 1 + n 1 Es la fórmula que utlzamos para calcular la renta. Ahora, s lo que se desconoce es la cantdad de perodos de la anualdad, la varable que tenemos que despejar en n, de la sguente manera. M = 1 + n 1 M = 1 + n 1 1 + M = 1 + n Aplcando la funcón logartmo natural en ambos membros de la ecuacón, queda: ln 1 + M ln 1 + M n = ln 1 + = n ln 1 + ln 1 + M ln 1 + = n Entonces para calcular el tempo, aplcamos la fórmula: n = ln 1 + M ln 1 + Ejemplo 6. Determne la enta. Un grupo de jóvenes queren formar una banda de ock, para ello, necestan comprar una Batería que cuesta $7,500.00 por el momento no tenen dnero, y le pden a la tenda que se las venda a crédto, el gerente les explca que no puede concederles el crédto porque no puede comprobar ngresos, entonces les propone que al fnal de cada mes entreguen una cantdad a la tenda, para
que se vaya acumulando y dentro de cnco meses cuando completen el monto, les entrega la batería. De cuánto tendrá que ser el pago s el gerente de la tenda ofrece un nterés efectvo mensual del 1%? Solucón: El ejercco nos proporcona los sguentes datos: n = 5 = 1% = 0.01 M = $7,500 Solo hace falta aplcar la fórmula para calcular la renta de la anualdad. = M 1 + n 1 Susttuyendo = 7 500 0.01 1 + 0.01 5 1 = 1 470.29 Entonces el grupo pagará la cantdad de $1,470 mensuales para tener su batería en cnco meses. Ejemplo 7. Determne el número de perodos. Un padre de famla desea comprar un fdecomso para asegurar los estudos unverstaros de su hja recén nacda. El padre calcula que su hja ngresará a la unversdad a los 19 años, y que necestará alrededor de $500,000 para cubrr los gastos de la unversdad. Para consttur el fondo el padre está dspuesto a depostar $900 mensualmente en una cuenta desde mucho tempo antes de que su hja entre a la unversdad. Con cuanta antcpacón deberá empezar a depostar en una cuenta bancara que paga 1.2% mensual, para que cuando su hja tenga 19 años, el fondo ascenda al menos a $500,000? Solucón: Es claro que se trata de una anualdad smple, vencda e nmedata; entonces procedemos al cálculo utlzando la ecuacón que dedujmos para el cómputo del número de perodos: Susttuyendo n = ln 1 + M ln 1 +
... 500 000 0.012 ln 1 + 900 n = ln 1 + 0.012 = 170.756 Es claro que no pagará un número fracconado de meses; entonces para consttur el fondo, el padre debe comenzar a pagar con 171 meses de antcpacón, que se traduce en 14 años y 3 meses, o sea, deberá depostar el prmer pago al fnal del mes en que la hja cumpla 4 años 9 meses. 5.4 Deduccón de la formula del valor actual de una anualdad smple, certa, vencda e nmedata. Suponga ahora que estamos nteresados en conoces el valor actual (valor presente) de una anualdad con n pagos constantes, con una tasa de nterés. Para conocer el valor actual de la anualdad sumamos el valor actual (de la msma manera como calculamos el captal ncal) de cada pago. Entonces, tenemos que calcular el valor de la sguente suma. C = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + + 1 + Donde C es el valor actual de la anualdad. En esta suma, los térmnos están ordenados desde el prmero hasta el últmo pago, como lo muestra la lustracón. V =(1+) -1 1 V =(1+) -2 2 V =(1+) -3 3 V =(1+) -n n... Inco t=0 Perodo 1 t=1 Perodo 2 t=2 Perodo 3 t=3 Perodo n t=n Claramente podemos ver que se trata de la suma de los prmeros n térmnos de una progresón geométrca cuyo prmer térmno es 1 + 1, y la razón es 1 + 1 ; por lo tanto, para encontrar la suma, podemos aplcar la fórmula: Susttuyendo queda S n = a 1 1 r n 1 r C = 1 + 1 1 1 + 1 1 + 1 C = 1 1 + 1 + 1 1 + 1
C = C = C = 1 1 + 1 + 1+ 1+ 1 1 + 1 + 1 1 1 + Entonces, para encontrar el valor presente de la anualdad, smplemente aplcamos la fórmula: C = 1 1 + Una manera alterna para llegar a la expresón anteror, es traer a valor presente el monto de la anualdad, es decr, podemos multplcar el monto por 1 +, y queda de la sguente manera: C = 1 + n 1 1 + C = 1 + n 1 + 1 + 1 1 + C = Que es la msma expresón que habíamos encontrado anterormente. Ejemplo 8. Determne el valor actual. Encuentre el valor actual de una sucesón de pagos anuales de $100,000 a una tasa efectva de 7% durante ses años. Solucón: Datos: = $100,000 = 7% = 0.07 n = 6 años Aplcando la fórmula para encontrar el valor actual: Susttuyendo: 1 1 + C =
6 1 1 + 0.07 C = 100 000 = $476,653.96 0.07 Es el valor presente (o valor actual) de la anualdad. Ejemplo 9. Determne el valor actual. Un empresaro, al ver un catálogo de artículos para ofcna, observa que hay un nuevo modelo de computadora que le nteresa adqurr. El catálogo anunca un plan de crédto con el que pagará sólo $390 mensuales durante 2 años, además tambén publca que están cobrando una tasa de nterés de solamente 1% mensual, sn embargo el catálogo no dce el preco de contado del equpo. Usando los datos que el empresaro tene, calcule el preco de contado de la computadora. Solucón: En esenca, lo que tenemos que calcular es el valor actual de los abonos que se pagan por el equpo. Datos: = $390 = 1% = 0.01 n = 24 meses = 2 años Utlzamos la fórmula para calcular el valor actual de una anualdad: Susttuyendo 1 1 + C = 24 1 1 + 0.01 C = 290 = 8 284.921 0.01 Entonces el valor presente del equpo de cómputo es de $8,284.92 Supongamos ahora, que conocemos el valor presente, el nterés y el número de pagos de una anualdad smple, certa, vencda e nmedata, y necestamos conocer la renta (o el pago), basta con despejar la varable. 1 1 + C = C = 1 1 +
C 1 1 + = Entonces, para calcular el valor de la renta de una anualdad, conocendo el nterés, valor actual y perodos, aplcamos la fórmula: = C 1 1 + Algunas veces es necesaro calcular el número de perodos que tendrá una anualdad, s se conocen los otros datos (valor actual, nterés y renta) para ello, tenemos que despejar la varable n de la ecuacón: 1 1 + C = C = 1 1 + C = 1 1 + C 1 = 1 + Podemos multplcar por (-1) en ambos membros de la ecuacón Aplcamos la funcón logartmo natural. 1 C = 1 + ln 1 C ln 1 C = ln 1 + = ln 1 + ln 1 C ln 1 + = n Entonces, para calcular el número de perodos de la anualdad, conocendo los demás datos aplcamos la fórmula: Ejemplo 10. Determne la renta. C ln 1 n = ln 1 +
Un banco ofrece préstamos a empresas cobrándoles una tasa de nterés de 13% anual. La empresa XX solcta un préstamo por la cantdad de $2,000,000 y va a solventar la deuda con pagos anuales durante 10 años. Cuál es la cantdad anual que tendrá que pagar la empresa XX? Solucón: Tenemos que encontrar la renta de la anualdad tenendo en cuenta los sguentes datos: Valor Actual = C = $2,000,000 n = 10 años = 0.13 Utlzamos la ecuacón: Susttuyendo = = C 1 1 + 2 000 000 0.13 = 368 579.11 1 1 + 0.13 10 Entonces los pagos anuales para amortzar la deuda serán de $368,579.11. Ejemplo 11. Determne el número de perodos. El Sr. amírez pretende comprar una televsón en una tenda que ofrece planes de crédto muy versátles, s lo paga de contado el televsor costará $19,299.00 el Sr. amírez explca al vendedor que quere pagar el televsor con abonos mensuales de no mas de $1,200.00. S la tenda ofrece un nterés mensual efectvo de 1.8%, Cuántos meses estará abonando el pago el Sr. amírez? Solucón: Prmero, vamos a suponer que todos los pagos son de $1,200; entonces procedemos a calcular el número de perodos (meses) que abonará, utlzando la sguente fórmula: Susttuyendo los valores queda C ln 1 n = ln 1 + 19 299 0.018 ln 1 1 200 n = ln 1 + 0.018 = 19.15
Obvamente no habrá perodos fracconados, entonces solo pueden ser 19 o 20 meses, s pagara 19 meses, entonces no termnaría de cubrr el costo total ya que el valor actual de 19 pagos de $1,200 es de $19,156.86 s pagara por 20 meses, entonces el valor de los pagos rebasaría el costo del aparato ya que el valor actual de 20 pagos es de $20,005.75 entonces lo que generalmente se hace es tomar en cuenta 19 pagos de $1,200 y un vgésmo pago menor a los anterores, pero, Cómo calcular ese pago?, para calcular ese pago se utlza una ecuacón de valor de la sguente forma: V. A del televsor = Valor actual de 19 pagos de 1 200 + Valor actual del 20 pago Como vmos anterormente el valor actual de 19 pagos de $1,200 es de $19,156.86 y para calcular el valor actual del 20 pago utlzamos la expresón X 1 + 20 donde X es el monto del 20 pago (lo que queremos encontrar), como =0.018. 19 299 = 19156.86 + X 1 + 20 En esta ecuacón conocemos el valor de, entonces solo resta despejar X. 19 299 = 19156.86 + X 1.018 20 133.13 = X 1.018 20 X = 133.13 1.018 20 = 190.21 En conclusón el Sr. amírez pagará $1,200 durante 19 meces y en el 20 mes pagará $190.21.