Integrles Imrois. INTEGRALES IMPROPIAS L integrl f ()d se die imroi si ourre l menos un de ls hiótesis siguientes: º, o mos son infinitos. º L funión f() no está otd en el intervlo [,]. Ejemlos: d ; d d INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integrl imroi de ª eseie). Los distintos tios son: ) f ()d,) f ()d, ) f ()d ) Se R, f() funión otd e integrle en el intervlo [,] r todo. Definimos f ()d = lím f ()d. k k Si éste límite eiste, y es igul un nº finito L, se die que l integrl f ()d = L, es onvergente. Ejemlo: d Si tl límite es infinito l integrl es divergente. Ejemlo: Cundo no eiste límite se die que no eiste vlor de l integrl o ést es divergente or osilión. Ejemlo: send ) De l mism form, f() es otd e integrle en el intervlo [, ] siendo R. d Se define: f ()d = lím f ()d. k k En los sos en que, éste límite (se finito, se infinito o no eist), l integrl será (onvergente, divergente o divergente or osilión). Ejemlo: d = 3 ) Se define f ()d = f ()d f ()d. L integrl del rimer miemro de die onvergente, si eisten y son finits ms integrles del segundo miemro. Ejemlo: e d Se die divergente si l menos un de ells es no onvergente. Unidd doente de Mtemátis
Integrles Imrois. INTEGRALES DE FUNCIONES NO ACOTADAS. (Integrl imroi de segund eseie). ) Se f() un funión definid en un intervlo (,], integrle en todo intervlo [,] on < y no otd en el límite inferior del intervlo de integrión, lím f () =±. I = f()d = lím f()d ε, I es onvergente, divergente u osilnte si el límite es ε finito, infinito o no eiste, resetivmente. Ejemlo: d ) Análogmente se define l integrl en intervlo de l form [,). Se f() no otd en el límite suerior del intervlo de integrión lím f () =±; I = f()d = lím f()d ε ε, I es onvergente, divergente u osilnte si el límite es finito, infinito o no eiste, resetivmente. ) Si l funión está definid en (,) y lím f () =±; lím f () =±, siendo integrle en todo intervlo ontenido en (,) diremos que l integrl I = f()d es onvergente undo lo sen simultánemente ls integrles de f en los intervlos (,] y [,). d) f() no est otd en un unto (,). f ()d = f ()d f ()d = lim ε ε ε ε f ()d lim Unidd doente de Mtemátis f ()d en so de ser mos límites finitos l integrl del rimer miemro es onvergente, en 3 d otro so l integrl es divergente. Ejemlo: d ( ) INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS DE FUNCIONES NO ACOTADAS. (Integrl imroi de terer eseie). Se trt de un integrl on intervlo no otdo, y funión no otd en un número finito de untos. Desomonemos l integrl en sum de ls integrles de los tios nteriores. Es onvergente si tods ls integrles de los sumndos son onvergentes. Si un l menos es divergente l integrl dd es divergente. CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS
Integrles Imrois. Integrles en intervlos no otdos (ª eseie). Criterio de omrión: Sen f() y g() tles que f() g(), f()d i) Si g()d onverge, entones f()d onverge ii) Si f()d diverge, entones g()d diverge. Criterio de omrión en el límite: Sen f() y g() tles que f(), g(), y f() lím g() i) Si A R, A entones f()d y g()d onvergen o divergen simultánemente. ii) Si A= y g()d onverge, entones f()d onverge iii) Si A= y g()d diverge, entones f()d diverge 3. Corolrio: f() Se f() tl que f(), y lím / i) Si A R, A y >, entones ii) Si A R, A y, entones f()d onverge. f()d diverge. iii) Si A= y >, entones f()d onverge. iiii) Si A = y, entones f()d diverge. d onverge si > Puesto que semos que = diverge si NOTA: Criterios nálogos son válidos r Unidd doente de Mtemátis 3
Integrles Imrois. CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS Integrles de funiones no otds (ª eseie) 4. Criterio de omrión: (, ] Sen f() y g() tles que f() g(), f()d on f() no otd en = i) Si g()d onverge, entones f()d onverge ii) Si f()d diverge, entones g()d diverge 5. Criterio de omrión en el límite: (, ] Sen f() y g() tles que f(), g(), y f() lím g() i) Si A R, A entones simultánemente. f()d y g()d onvergen o divergen ii) Si A= y g()d onverge, entones f()d onverge iii) Si A= y g()d diverge, entones f()d diverge 6. Corolrio: f() y lím /( ) Se f() tl que f(), (,] i) Si A R, A y <, entones ii) Si A R, A y, entones f()d onverge. f()d diverge. iii) Si A= y <, entones f()d onverge. iiii) Si A = y, entones Puesto que semos que d ( ) f()d diverge. onverge si < = diverge si NOTA: Criterios nálogos son válidos undo f() no está otd en =. Unidd doente de Mtemátis 4
Integrles Imrois. INTEGRALES EULERIANAS ) Funión gmm de Euler Se R, >. Se () e d Γ = l funión gmm de Euler. Est integrl es onvergente y reie el nomre de integrl eulerin de ª eseie. Proieddes:.- Γ () = ( ) Γ( ).- Γ () = ( )! si N 3.- 4.- Γ = π π Γ() Γ( ) = sen ( π ), si <<. ) Funión et de Euler Se,q R,,q>. Se q (,q) ( ) d β = l funión et de Euler. Est integrl es onvergente y reie el nomre de integrl eulerin de ª eseie. Proieddes:.- β (,q) =β (q,).- π (,q) q sen os d β = Γ() Γ(q) 3.- β (,q) = Γ ( q) Unidd doente de Mtemátis 5