Rev. Cub. Físa vol.3 o. (006) p.80-85 ISS: 053-968. Orgnal paper Revsta Cubana de Físa Calle I o. 30 e/ 5 y 7 Vedado, La Habana. www.fsa.uh.u/bblotea/revubf/ndex.htm El problema de los matrmonos estables on nformaón nompleta. Alejandro Lage y Roberto Mulet a Depto. Físa Teóra, Faultad de Físa, Unversdad de la Habana, lage@fsa.uh.u a) Cátedra de Sstemas Complejos Henr Ponaré, San Lázaro y L, Cudad de la Habana, Cuba, mulet@fsa.uh.u Rebdo el /06/006. Aprobado en versón fnal el //006. Sumaro. Se presenta el Problema de los Matrmonos junto a algunos resultados y algortmos. Se defne el problema on nformaón nompleta G() y se demuestran algunos teoremas que lo haen equvalente a un problema on P() nformaón nompleta G (). Basados en eso alulamos la probabldad es de enontrar al menos un estado estable en el que todos los jugadores estén asados en G(). Se alula la onetvdad rta que defne el rango ( ] de onetvdades en las que es posble asgnar matrmonos de forma estable a todos los jugadores. Abstrat. After a bref ntroduton to the Stable Marrage Problem (SMP) and to some known algorthms and results, we defne the SMP wth nomplete nformaton G(). We show that t an be turned nto an equvalent problem G () wth omplete nformaton. Ths equvalene wll be used to derve an analyt expresson for the probablty ( ) of havng at least one stable state where every player s marred n the nomplete nformaton game G(). The range of onnetvtes ( ] defnes the games wth nomplete nformaton where t s reasonable to look for a stable state where every player s marred. An analyt expresson s gven for. Palabras lave. Soal systems 89.65. s, Game theory 0.50.Le. Introduón La segunda mtad del sglo XX vvó el namento y la onsoldaón de la Teoría de Juegos omo modelo de sstemas eonómos, soales y bológos. Surgda en 944 a partr de los trabajos de John von euman, la teoría de juegos se defne hoy omo un ampo de las matemátas apladas enfoado a la desrpón de sstemas de muhos agentes on ntereses onfltvos. Su estudo ha meredo varos premos obel en Cenas Eonómas, entre ellos el de John ash, John Harsany y Renhard Selte en 994 y más reentemente el otorgado a Thomas Shellng y Robert Aumann en el año 005. Desde la déada de los 80 el ampo tambén se ha vuelto omún entre los físos, espealmente aquellos que se dedan a la modelaón de sstemas eonómos, soales o bológos -6, y a aquellos que estudan problemas de optmzaón 7-9. En este artíulo estudamos un problema de la Teoría de Juegos onodo omo el Problema de los Matrmonos Estables. Un juego se entende omo un onjunto {,, } de jugadores o agentes, ada uno de los uales tene, a su vez, un onjunto S de aones o estrategas posbles a tomar y una funón osto asoada que depende de la estratega esogda por el jugador en uestón y de la 80
esogda por los demás jugadores. Un estado del juego orresponde a una adopón de una estratega por ada jugador. Los agentes se onsderan raonales en el sentdo de que ntentarán en todo momento adoptar la estratega que mnme su funón osto. Como ourre habtualmente en la vda omún, el resultado benefoso o perjudal de las aones de ada jugador no depende sólo de la estratega esogda por él, sno tambén de aquellas que adoptaron los demás, sobre las uales no tene poder de desón. Por esto, de forma general los jugadores no tendrán una úna estratega óptma sno que la mejor de sus aones varará en dependena de las desones tomadas por los demás jugadores. Un ejemplo láso es la bolsa de valores, donde hay que dedr entre vender o omprar aones, y lo más onvenente será haer aquello que menos jugadores haen. Equlbro de ash El onepto lave de esta teoría es el de Equlbro de ash y se debe a John ash. S un estado Π s s s, donde el jugador -ésmo {,,, } esta jugando la estratega s S, es tal que todo agente está jugando la mejor de sus respuestas a las desones de los demás, entones Π es un Equlbro de ash. Tales estados perduran en el tempo pues nngún jugador se ve tentado a desvarse de su omportamento, dado que mnmza su funón osto s es la estratega que U (s,s, s,,s ) s S () U (s,s, s,,s,s ) tomando fjas las estrategas de los demás. La defnón vno aompañada de la demostraón del Teorema de ash que asegura la exstena de dhos estados (pueden ser más de uno) en ualquer juego s se nluye una defnón un poo más ampla de estratega que la dada hasta aquí. Es mportante señalar que la establdad defnda según ash es un onepto estáto y no mpla que la dnáma de los juegos onduza a estados estables en el sentdo de ash. 3 Problema de los Matrmonos Estables Este problema aborda desde el punto de vsta de la teoría de juegos la stuaón en la que dos onjuntos X e Y de gual tamaño tenen que ser dspuestos en parejas (x,y) tomando en onsderaón las opnones de ada elemento respeto a los del otro grupo. En su planteamento más ddáto los onjuntos se asoan a hombres y mujeres, y las parejas se llaman matrmonos, de lo ual le vene el nombre al problema. Una nstana de nuestro problema vene dada por:. Un onjunto,{ H de hombres y,{ M de mujeres.. Para ada jugador (hombre o mujer) exste una lsta ordenada de los elementos del otro sexo que refleja sus preferenas (ver Tabla I). Las desones de ambos sexos onssten en la eleón de una pareja. El osto x U ( M ) que, j j tene para el hombre -ésmo estar asado on la mujer j- ésma es el lugar que oupa dha mujer en su lsta de preferenas, y análogamente se defne el osto y j, para la mujer j-ésma. En todo el tratamento que sgue las lstas de preferena se onsderan ordenadas aleatoramente, de forma que no hay orrelaón entre la valoraón de dstnttos jugadores. De ser posble, ada jugador se asaría on la prmera persona en su lsta, pero la aleatoredad hará que rara vez un hombre y una mujer se tengan ambos omo los prmeros en sus lstas. Esta frustraón es una araterísta típa de los sstemas desordenados 8,9. Un estado del problema es una asgnaón de parejas Π {( H, M ),( H, ) (, )} M H M en la que todos los elementos están asados on un y sólo un elemento del sexo opuesto. En la Tabla I se muestra una nstana del problema de los matrmonos para 4. Tabla I Matres de Preferenas para los hombres y las mujeres. 4 Hombres Preferena 3 4 H M M M 3 M 4 H M 4 M 3 M M H 3 M 4 M M M 3 H 4 M 3 M M M 4 Mujeres Preferena 3 4 M H H 4 H H 3 M H 3 H H H 4 M 3 H H 4 H 3 H M 4 H H 3 H H 4 Los físos suelen dentfar la funón osto de la teoría de juegos on una energía de forma que los ntentos de mnmzar el osto de los jugadores sean ongruentes on la mnmzaón de la energía.. En el estado Π {(H,M ), (H,M 3 ), (H 3,M 4 ), (H 4,M )}, por ejemplo, el hombre H se enuentra en su mejor stuaón on una energía x x pues la, Π, mujer M es la prmera de su lsta de preferenas, mentras que M se enuentra on una energía y y pues H es el segundo de su lsta. La Π,, energía meda de los hombres y las mujeres se defne omo XΠ x,π y Y Π y Π, 8
respetvamente y la energía total de un estado omo E Π X Π + Y Π. 4 Matrmonos Estables y Equlbro de ash Dado un estado ualquera Π la pareja del hombre H y la mujer M j se llamará Inestable s:. El hombre H y la mujer M j no son un matrmono en el estado atual.. Tanto el hombre H omo la mujer M j preferrían formar pareja el uno on el otro que on sus atuales ónyuges. En el estado antes lustrado, la pareja (H,M 4 ) es una Pareja Inestable, pues H prefere a M 4 antes que a su esposa M 3, y M 4 prefere a H antes que a su esposo H 3. En la vda real esto sería sufente para que ourra el dvoro en los matrmonos a los que perteneen H y M 4 y estos formen un nuevo matrmono ganando ambos en feldad. Como ben se lustra las Parejas Inestables onduen a la reonfguraón de los estados s se onsdera a los jugadores atuando raonalmente. Un Equlbro de ash será, por tanto, un estado que no ontenga nnguna Pareja Inestable, pues nngún jugador enontrará algo mejor que haer que quedarse on su atual pareja. En otras palabras, un tal estado será estable respeto a las aones ndvduales de los jugadores, de aquí que tambén se le llame Matrmono Estable a un estado de Equlbro de ash. El problema de los matrmonos estuda la exstena y propedades de los estados de equlbro de ash. 5 Algortmo Gale Shapley Dada una nstana del problema omo la antes desrta el onjunto de los estados posbles tene! elementos, 0 de los uales, por neesdad, alguno Π es el de menor energía total 0 0 E E Π. Este estado es el que la termodnáma prede omo el de equlbro a temperatura T0. Las smulaones demuestran que de 0 forma general Π, que onde on el óptmo soal (el estado en que las personas son más feles omo promedo), no es estable según ash. Esta stuaón se repte muho en teoría de juegos y tene la prmera letura de que los óptmos soales son nestables respeto al aonar egoísta de los jugadores 6,0. Usando métodos de la físa de sstemas desordenados Mezard y Pars 8 han probado que E 0. 67, mentras que por métodos probablístas 0 se ha probado que el estado estable en que la gente es más felz omo promedo tene una energía E. En ambos asos la barra nda la promedaón de la magntud sobre el desorden ongelado, en este aso sobre el onjunto de lstas de preferena. Por otra parte dada ualquer nstana de este problema, sempre exste al menos un equlbro de ash, y por lo general exsten muhos 0,. Las propedades estadístas de estos estados y su dependena on han sdo amplamente estudadas 6,0,. En torno a este ampo hubo tambén muho trabajo de entífos de la omputaón 3,4 en el dseño de algortmos que permteran hallar de forma efente todos los estados estables en una nstana. De partular nterés es el algortmo de Gale y Shapley 3, en el que se demuestra que hay una forma muy senlla de enontrar un estado estable. La msma se basa en dvdr los sexos por roles: los hombres proponen matrmono, las mujeres esperan en asa. Todos los hombres, mentras estén solteros propondrán matrmono a las mujeres por orden de preferena en sus lstas. Las mujeres esperarán a rebr proposones y aeptarán sempre que estén solas, o que su atual ónyuge sea menos gustado que el nuevo pretendente. En este últmo aso, las mujeres dejan a un hombre por otro y el abandonado ontnúa proponendo a las mujeres de su lsta. El algortmo termna uando el últmo hombre soltero se asa. El resultado del algortmo no depende del orden en que se mplemente, y sempre ondue a un msmo estado estable según ash. En el ejemplo de la Tabla I, en el prmer paso H propondría a M y sería aeptado, H propondría a M 4 y tambén sería aeptado, H 3 propondría a M 4 que lo rehazaría pues prefere a H, y H 4 propondría a M 3 que lo aeptaría. En el segundo paso sólo queda H3 soltero quen pasa a proponer matrmono a la segunda mujer de su lsta, M, quen lo aepta y termna el algortmo dando omo resultado el estado Π ( H, M ),( H, M 4 ),( H 3, M ),( H 4, M 3) en el ual se puede omprobar que no hay nnguna pareja nestable. Se puede probar que en nngún otro estado estable nngún hombre se enuentra asado on una mujer más gustada que la que le orresponde en. Es der, Π es el estado óptmo para los hombres, mentras que, tambén se prueba, es el pésmo para las mujeres. En valor medo la energía de los hombres y las mujeres venen dadas por 8 : X log Y () log Esto demuestra que la attud atva ante la toma de desones es muho más ventajosa que la pasva. Por supuesto, uno puede nvertr el rol de los sexos en el algortmo de Gale Shapley y obtener el estado óptmo para las mujeres que es el pésmo para los hombres. S estos dos estados onden, entones la nstana en uestón tendrá solo un estado estable. S no onden pueden exstr muhos más estados ntermedos entre uno y otro. 6 Informaón nompleta Entre las muhas generalzaones que ha tendo el problema de los matrmonos, una posble es la restrón de la nformaón en el sguente sentdo: las lstas de preferenas pueden estar nompletas, de forma Π 8
que hay ertas posbles parejas (que puderan ser las mejores) de las uales no se tene rtero porque se les desonoe. La motvaón es lara: muy a nuestro pesar, sólo onoemos una pequeña fraón de las mujeres (hombres) de nuestra edad. Desde el punto de vsta eonómo el problema de los matrmonos se usa omo modelo del merado laboral, y la nformaón nompleta refleja el heho de que la adqusón de nformaón uesta tempo y reursos, por lo ual tanto los empleados omo los empleadores onoen sólo una fraón de sus opones posbles. Una prmera pregunta a haerse es ómo depende la feldad meda de la antdad de nformaón que se tene 4. S ben la ausena de nformaón puede haer que desonozamos a erta pareja on la ual estaríamos muy a gusto, tene en ambo la ventaja de redur la ompetena, pues ahora la antdad de personas que onoe a la mujer más gustada en nuestra lsta es menor. Las smulaones y los resultados analítos demuestran que sempre es preferble la abundana de nformaón, aunque venga aompañada de más ompetena 4. Otra pregunta nteresante es la dependena del número de estados estables en funón de la nformaón dsponble por los jugadores o s es posble o no tener al menos una onfguraón de equlbro de ash. Esta últma uestón es la que abordamos aquí. Llamaremos onetvdad,, a la fraón de elementos del sexo opuesto que ada jugador onoe. El aso orresponde al de nformaón ompleta, mentras que 0 es el aso en que hay un desonomento total de los elementos de sexo opuesto, y por tanto no exsten estados de nngún tpo. Para un valor fjado de, los elementos desonodos se esogen al azar on probabldad - a partr de la lsta ompleta. Una nstana del problema on nformaón 0.5 es la sguente: Aquí se han removdo la mtad de los elementos (apareen tahados) a partr de las matres de preferenas del ejemplo anteror (Tabla I). En este aso parejas omo (H,M ) no son posbles porque sus elementos no se onoen. Dremos que una pareja (H,M) es nestable s:. H y M se onoen.. Tanto H omo M se preferen mutuamente a sus atuales ónyuges. El equlbro de ash on nformaón lmtada segurá sendo el estado en el que no exsten Parejas Inestables. Queremos determnar la probabldad () de que se pueda asgnar parejas a los jugadores de forma que se obtenga un estado estable en el que todo el mundo se enuentra asado. Para alular () demostramos una equvalena entre el problema on nformaón nompleta y un problema on nformaón ompleta. Usando resultados prevos del problema on nformaón ompleta, obtenemos una expresón para ( ). Llamemos G() una nstana del problema on nformaón nompleta (ver Tabla II). Defnamos G la nstana que se obtene uando se reordena una de las matres de preferenas (la de los hombres, por ejemplo) de forma que todos los elementos desonodos se ponen después de los onodos en G(), y estos mantenen su orden relatvo omo se muestra en la Tabla III. Tabla II Instana del problema G(0.5). Los elementos desonodos apareen tahados. Hombres Preferena 3 4 H M M M 3 M 4 H M 4 M 3 M M H 3 M 4 M M M 3 H 4 M 3 M M M 4 Mujeres Preferena 3 4 M H H 4 H H 3 M H 3 H H H 4 M 3 H H 4 H 3 H M 4 H H 3 H H 4 A ada estado Π del problema G() le orresponde el msmo estado Π en el problema G en el que ahora todos los hombres están asados on una de sus prmeras mujeres, pues entre + y están ubadas las mujeres desonodas en el problema G(), que no pueden por tanto perteneer a nngún estado. En ambo s Π es un estado ualquera en G, solo será un estado en G() s umple la ondón. En ese aso dremos que Π G(). Tabla III Instana G dervada de la nstana de la Tabla II on onetvdad 0.5. La matrz de los hombres se ha reordenado y se onsdera nuevamente el aso on nformaón ompleta. Hombres Preferena 3 4 H M M 4 M M 3 H M M M 4 M 3 H 3 M 4 M 3 M M H 4 M 3 M M M 4 Mujeres Preferena 3 4 M H H 4 H H 3 M H 3 H H H 4 M 3 H H 4 H 3 H M 4 H H 3 H H 4 Probemos el sguente teorema: T0: S Π G(), entones una pareja (H,M) es nestable en G() s y solo s es nestable en G. Demostraón: otemos prmero que a los efetos de la nestabldad de una pareja solo mporta s H y M se gustan más mutuamente que lo que gustan de sus atuales ónyuges, es der, solo mporta la posón relatva en la lsta de preferenas. Hay dos asos a analzar. S los jugadores H y M se onoen en G(), entones las posones relatvas de los elementos 83 x
onodos no ambó al pasar de G() a G y por tanto tampoo amba el análss de la onvenena de formar un nuevo matrmono (H,M). S los elementos H y M no se onoen, entones nuna serán una pareja nestable en G() (ver defnón), y tampoo lo serán en G pues H está asado en el estado atual on una mujer que onoe, y por tanto oupa una de las prmeras posones en sus lstas, mentras que M está después de la posón por lo ual nuna H la preferrá a su atual pareja. LQQD. Usando el anteror teorema se pueden demostrar de forma senlla los sguentes: T: S un estado es estable en G(), lo es en G. T: S un estado Π estable en G pertenee a G(), entones tambén es un estado estable en G(). T3: S el resultado Π del algortmo Gale Shapley en G pertenee a G(), entones tambén es el resultado del algortmo Gale Shapley en G(). T4: S Π G() entones no hay nngún estado estable en G() donde todos los jugadores estén asados. El últmo teorema se demuestra por reduón al absurdo a partr de T. Supongamos que exste un estado estable Π en G(). Como Π G(), al menos un hombre en el estado Π termnó asado on una mujer que oupa una posón entre + y en su lsta en G. En el estado Π, que en vrtud de T tambén es estable en G, este hombre se enuentra on una mujer más gustada, lo ual ontrade que Π sea el óptmo para los hombres en G. LQQD. Otra forma de esrbr T4 nos será útl a la hora de alular la probabldad de que exstan estados estables on nformaón lmtada: T4 (Corolaro): El problema G() tene al menos un estado estable s y solo s el resultado del algortmo Gale Shapley en G pertenee a G(). Hemos heho una equvalena entre la exstena de estados estables en el problema on nformaón nompleta y erta propedad del estado óptmo para los hombres en el problema on nformaón ompleta dervado. Este resultado no fuera muy útl para alular () de no ser por el sguente: T5: Las propedades estadístas del problema dervado G son las msmas que la del problema de los matrmonos on nformaón ompleta y lstas de preferenas aleatoras. Esto se debe a que el reordenamento heho en las lstas de preferenas no mpla nnguna orrelaón entre las lstas. De esta forma todas las expresones obtendas para el problema de los matrmonos son valdas para los problemas dervados. En la ref. [0] se demuestra que la probabldad de enontrar un hombre on energía q en un estado estable donde las mujeres tenen una energía meda de r, es: q r r PH ( q) (3) Además, omo tamos antes, es un resultado onodo que en el estado Π las mujeres tenen omo promedo una energía r Y. Vamos a log alular la probabldad de que un hombre quede asado on una mujer que esta más allá de la posón en su lsta de preferenas omo: r r F( ) PH ( q) + (4) q + En vrtud de T4 el problema G() tendrá al menos un estado estable s todos los hombres quedan asados on una de sus prmeras opones en el estado Π de G. Esto tendrá una probabldad: P ( ) F( ) es + ( ) r r r r ( + e e ) Esta es la relaón que estábamos busando y aparee grafada en Fgura junto on el resultado numéro de las smulaones hehas para sstemas de dstntos tamaños. Fgura. Se muestra el resultado analíto obtendo en la euaón (5) junto on los resultados numéros promedados sobre 03 nstanas del problema de los matrmonos El ajuste es bastante bueno, espealmente en lo que refere al ambo de omportamento entre los sstemas on estados estables y aquellos que no lo tenen. Una forma de estmar la onetvdad ríta que defne el ambo de omportamento de los sstemas es a través de la relaón P ( ) 0. 5. Haendo algunas aproxmaones valdas para valores grandes de obtenemos: (5) 84
0.5 ( e P( ) r ) e log e Un resultado semejante obtuveron Dzerzawa y Omero onsderando en vez de nformaón nompleta el aso en que tanto hombres omo mujeres tenen una aeptaón umbral para sus parejas. Esto quere der que aunque se tenga opnón de todas las posbles parejas, es preferble quedar soltero a ompartr una relaón on una persona que está más allá de la posón en nuestra lsta, donde es el umbral de aeptaón y juega el papel de la onetvdad. El resultado de Dzerzawa y Omero es que s los hombres y mujeres ajustan su umbral al valor ríto, no mporta qué sexo tome la natva, se llega a un estado estable que es smétro en energía para hombres y mujeres. El heho de que este estado se obtenga justo para el valor ríto de la onetvdad tene tambén la mplaón de que se hae menos probable enontrar un estado estable en el que todos tengan pareja. Conlusones En el estudo del problema de los matrmonos on nformaón nompleta hemos demostrado la equvalena entre este problema y uno dervado on nformaón ompleta. Los teoremas presentados, y en espeal el T, T y T5 pueden ser de utldad en trabajos posterores sobre este modelo. Basados en T4 y T5 y usando resultados onodos del problema de los matrmonos on nformaón ompleta, obtuvmos una expresón para la probabldad () de que exstan estados estables en que todos los elementos estén asados. La forma de la funón () y el valor de obtendo permten lasfar a las nstanas G() del problema de los matrmonos on nformaón lmtada en dos grupos según > r (6) < ó. En el prmero de los asos, es mposble lograr una asgnaón estable de parejas a todos los jugadores. Tomando lteralmente el problema de los matrmonos omo modelo de las relaones de pareja en la soedad, y olvdando por un momento las sobresmplfaones del modelo, en una poblaón de Mllones de personas, donde 6M son de un sexo y 6M del otro, y alrededor de /6 de ada sexo (M) tenen una edad que no dsta más de 5 años de la nuestra, habría que onoer un promedo de log log M 90 personas del sexo opuesto o más para garantzar una asgnaón estable de parejas a ada persona. Referenas. Y.C. Zhang, Modelng Market Mehansm wth Evolutonary Games, Europhys. ews 9, 5 (998).. D. Challet and Y.-C. Zhang, Emergene of Cooperaton and Organzaton n an Evolutonary Game, Physa A 46 :407-48 (997). 3. Barbara Drossel, Bologal Evoluton and Statstal Physs, Advanes n Physs, 50 (00). 4. Y-Cheng Zhang, Happer World wth More Informaton, Physa A 99 (-) pp. 04-0, (00). 5. Paolo Lauret and Y-Cheng Zhang, Mathng games wth partal nformaton, Physa A, Volume 34, Issue -, p. 49-65 (003). 6. Alejandro Lage-Castellanos and Roberto Mulet, Physa A, 364: 389-40 (006). 7. Stephan Mertens, Random Stable Mathngs, J. Stat. Meh. P0008 (005). 8. M. Mezard and G. Pars, J. Physque Lett. 46, L-77 (985) 9. Th. M. euwenhzen, The marrage problem and the fate of bahelors, Physa A 5: 78-98 (998). 0. M.-J. Omero, M. Dzerzawa, M. Marsl and Y.-C. Zhang, J Physque I Frane 7: 73-73 (997).. M. Dzerzawa and M.J. Omero, Physa A, 87: 3-33 (000).. Robert Gbbons, A prmer n game theory, (Ed. By Harvester Wheatsheaf, London,99). 3. D. Gale and L. S. Shapley, Am. Math. Monthly 69, 9 (96). 4. D. Gusfeld and R.W. Irvng, The Stable Marrage Problem: Struture and Algorthms, The MIT Press (Cambrdge, Massahusetts; London, UK; 989). 85