El Terema de Taylr Itrducció La recta tagete La parábla tagete Ls ceicietes de u plii e térmis de sus derivadas El Terema de Taylr Cálcul de aprimacies y estimació del errr Aplicació a Máims y Míims Ejercicis prpuests 18
.1 Itrducció. E este capítul estudiarems el Terema de Taylr, el cual s permitirá aprimar pr medi de plimis las ucies más secillas del Cálcul a ucies que cumple ciertas cdicies de derivabilidad. Se partirá de que la recta tagete es la mejr de las aprimacies lieales plimis de grad u y se geeralizará a plimis de grad mayr que u. Vlver al iici 19
.. La recta tagete. Sabems que la recta tagete, cm la mejr aprimació lieal a la gráica de e las cercaías del put de tagecia,, es aquella recta que pasa pr el meciad put y tiee la misma pediete que la curva e ese put primera derivada e el put, l que hace que la recta tagete y la curva sea prácticamete idistiguibles e las cercaías del put de tagecia. Gráicamete pdems bservar que la curva se pega "suavemete" a la recta e este etr, de tal maera que "de tdas las rectas que pasa pr el put, es esta recta la que más se parece a la curva cerca del put". Nótese que cerca del put de tagecia, la curva se cmprta casi liealmete, cm se puede apreciar si hacems acercamiets a la gráica aterir 0
Acercamiet 1 Acercamiet Cm bservams e ls prblemas de dierecial, si se ecuetra "lejs" de, la recta tagete ya ucia cm aprimadr. Parece pues atural pregutars pr tra ució lieal que sirva a uestrs prpósits. La recta tagete es u plimi de grad 1, el más secill tip de ució que pdems ectrar, pr l que pdems tratar de ver si es psible ectrar u plimi de grad ds que s sirva para aprimar uestra ució e u rag más grade que la recta tagete. Vlver al iici 1
. La parábla tagete. Veams que sucede si e lugar de aprimars c ua recta tratams de hacerl c ua parábla, es decir tratems de ectrar de tdas las paráblas que pasa pr,, la que mejr aprima a la curva, es decir tratems de ectrar "la parábla tagete". P Nótese que la parábla tagete a ua curva es úica. Naturalmete a esta parábla P = a + b- + c- debems pedirle que pase pr el put, que tega la misma icliació primera derivada y la misma ccavidad que la parábla seguda derivada, es decir debems pedirle: a P = b P ' = ' c P '' = '' Cm P = a, P' = b y P'' = c, ccluims que a =, b = ' y c = 1/ ''
quedad la ecuació de la parábla que mejr aprima a la curva e las cercaías de,, cm: '' P ' E la siguiete igura, bservams gráicamete ls tres sumads de la epresió de la parábla tagete. Ls ds primers s da la altura sbre la recta tagete y añadiédle el tercer s da la altura sbre la parábla tagete Errr al aprimar '' '- Veriiquems l aterir e el cas particular de la ució cercas a 0 e, = 0 y valres de
E la tabla de abaj bservams que la parábla tagete a la gráica de e 0,1 eectivamete es ua mejr aprimació para que la recta tagete, para valres cercas a 0. 1+ 1 1.5.7188188 0.5 1.5 1.65 1.64871707 0. 1. 1.45 1.4985880757 0.1 1.1 1.105 1.10517091807 0.01 1.01 1.01005 1.010050167 0.001 1.001 1.0010005 1.00100050016 e Vlver al iici 4
.4 Ls ceicietes de u plimi e térmis de sus derivadas. U plimi de grad está cmpletamete determiad pr sus +1 ceicietes. P = a + a 1 - + a - +... + a - E l sucesiv, epresarems al plimi e ptecias de - y ectrarems sus ceicietes e térmis de las derivadas evaluadas e. P ' = a 1 + a - + a - + 4a 4 - +... + a - -1 P = a + a - + 4a 4 - +... + -1a - - P = a + 4a 4 - +... + -1-a - -... P = 1... a =! a De dde, evaluad cada ua de estas derivadas e, bteems ls ceicietes del plimi: a = P, a 1 = P ', P a,! P a,...,! P a!. y e csecuecia la epresió del plimi será: P P P P P '...... I!! Observació: E base a l aterir, pdems airmar que, dad u plimi cualquiera pdems epresarl e ptecias de - 0 para cualquier. Asimism si ccems las derivadas e u put, pdems ectrar el plimi, cm se verá e ls siguietes ejempls: Ejempl 1. Ecuetre el plimi de grad 4 que satisace: P =, P ' = 5, P = 4, P =4 y P 4 =48 Slució: Para ectrar la epresió del plimi e térmis de -, simplemete sustituims k = y = 4 e la epresió I, bteied: 5
P P P P P P '!! 4! y pr l tat el plimi buscad es: P = + 5- + - + 4 - + - 4 4 4 Ejempl. Eprese al plimi P = 7 + + 8 e ptecias de - 1. Slució: Evaluems al plimi y a sus primeras derivadas e = 1. P = 7 + +8 P1 = 16 P ' = 1 + P ' 1 = P = 4 + P 1 = 44 P = 4 P 1 = 4 Sustituims e I c =1 y =, bteied la epresió buscada: Es decir: P =16 + - 1 + 44/ - 1 + 4/6-1 P =16 + - 1 + - 1 + 7-1 Que puede cmprbarse ácilmete eectuad las peracies, para ccluir que: 7 + +8 = 16 + - 1 + - 1 + 7-1 Vlvied a la represetació I, si es u plimi, bviamete pdrá represetarse de la misma maera, si embarg e vista de que para, la recta tagete, que es u plimi de grad 1, se cumple que para cerca a : ' y gráicamete bservams que para cerca a, la ució es muy parecida a su "parábla tagete", es decir: '! surge de maera atural pregutars si para valres cercas a, se cumplirá: 6
7!...! ' y pdríams itetar verl e algus cass particulares. A P!...! ' le llamarems el POLINOMIO DE TAYLOR de grad para, e el put. E ests térmis, la recta tagete y la parábla tagete, viee sied ls plimis de Taylr para de grads 1 y respectivamete. E la siguiete tabla cmpararems a la ució epecial e última cluma c ls plimis de Taylr crrespdietes de grads 1 hasta 4. Obsérvese que la seguda cluma crrespde a la recta tagete y la tercera cluma a la parábla tagete. 1+ 1 6 1 4 6 1 4 e 1.5.666666.708.7188188 0.5 1.5 1.65 1.6458 1.648475 1.64871707 0. 1. 1.45 1.495 1.49875 1.4985880757 0.1 1.1 1.105 1.10516667 1.1051708 1.10517091807 0.01 1.01 1.01005 1.01005017 1.01005017 1.010050167 0.001 1.001 1.0010005 1.00100050000 1.00100050017 1.00100050016 Si aalizams c deteimiet la irmació prprciada pr esta tabla, verems l siguiete: 1. E cada cluma, vems que la aprimació del crrespdiete plimi de Taylr es mejr cuat más cerca se ecuetre a 0.. E cada regló, vems que para cada valr ij de, imprta si está cerca de 0, la aprimació va mejrad crme aumetams el grad del plimi de Taylr.
Ua represetació gráica de esta situació se muestra a ctiuació para ls plimis de Taylr de grad 1, y. P P1 e P El Terema de Taylr que a ctiuació euciarems si demstració, s dice que baj ciertas cdicies, ua ució puede ser epresarse cm u plimi de Taylr mas u ciert errr, es decir = P + E y además s dirá cm estimar este errr. Vlver al iici 8
9.5 El Terema de Taylr. TEOREMA DE TAYLOR. Sea ctiua e [a, b] y c derivadas hasta de rde ctiuas tambié e este iterval cerrad; supógase que +1 eiste e a,b, etces para y a,b se tiee: E!...! ' dde E = 1 1 1! c y c es u put que se ecuetra etre y. Observació: El Terema del valr medi es u cas particular del Terema de Taylr, ya que para = 0 e éste últim, teems: 0 E c E 0 = 1 1 1! c para c etre y, es decir, = + ' c - c c etre y, bie la ccida epresió para el Terema del Valr Medi: ' c.6 Las Fórmulas de Taylr y de Mac Lauri A la Epresió: E!...! ' le llamarems FORMULA DE TAYLOR DE EN, y e el cas particular de 0 = 0: E! 0...! 0 '0 0 le llamarems FORMULA DE MAC LAURIN DE. Ejempl. Ecuetre la órmula de Mac Lauri para las siguietes ucies: a = se
b = cs c = e Slució: Ectrems primer la órmula de Mac Lauri para = se. = se 0 = 0 ' = cs ' 0 = 1 = -se 0 = 0 = -cs 0 = -1 4 = se 4 0 = 0 5 = cs 5 0 = 1...... E geeral bservams que las derivadas de rde par, evaluads e cer se aula y las impares vale alteradamete 1 y -1. E csecuecia la Fórmula de mac Lauri para = se es: se! 5 5! 7 7!... 1 1 1 E 1! 1 que epresada e tació sumatria s queda cm: se k1 Aálgamete pdems ectrar que: k1 k1 1 E1 k 1! cs 4 6 1... 1 E! 4! 6!! bie: cs k k 1 E k! k0 0
0 bie e 1 e! k0...! k E k!! E Vlver al iici 1
.7 Cálcul de aprimacies y estimació del errr. A ctiuació verems algus ejempls para aprimar ua ució utilizad la órmula de Taylr c residu. Ejempl 4. Ecuetre u valr aprimad para se5º utilizad u plimi de Taylr de grad y estime el errr. Slució. Al igual que cuad utilizams la recta tagete para eectuar aprimacies, querems aprimar a la ució se e el valr de 5º, para l cual debems ccer a y sus derivadas e u put cerca a éste el cual es = /6 0º epresads e radiaes, es decir: a = se b = /6 0º e radiaes = se /6 = 0.5 ' = cs ' /6 = 0.866054 '' = -se '' /6 = -0.5 = -cs ' /6 = -0.866054 4 = se E este cas particular la órmula de Taylr s quedaría: /6 /6 /6 ' / 6 /6 /6 / 6 E!! Que sustituyed, s da la órmula de Taylr de = se e = /6 se 0.5 0.866054 / 6 0.5 / 6 0.144756 / 6 E Esta epresió s servirá para estimar valres de se para cercas a /6. 5 E particular para = /6 + 180 5 5 5 se 5º 0.5 0.866054 0.5 0.144756 E 180 180 180 se5º = 0.5 + 0.0755749-0.00190858-0.0000959 + E
se5º = 0.575751 + E E la epresió para el errr al aprimar c u plimi de grad 4 c 5 4 E = = 0.0000041sec 4! 180 El errr siempre l btedrems e térmis de u valr c etre y, si embarg cm esta idetermiada c aparece e sec, la cual se ecuetra actada etre -1 y 1, es decir se c 1 etces pdrems teer ua cta para el errr, es decir, E 0.0000041 se c 0.0000041 se c 0.0000041 y e csecuecia la aprimació se btuv c u errr que ecede de 0.0000041 Observació: E geeral si la +1 derivada de está actada pr ua cstate M e el iterval a,b que se mecia e el Terema de Taylr, es decir, si etces 1 M para e el iterval a,b E 1 c 1! 1 1 c 1 1! M 1 1!. Así pues, si al aprimar pr u plimi de grad, la siguiete derivada está actada pr M > 0, etces pdems estimar de la siguiete maera el errr. E M 1 1! Claramete vems que si - 1, cuad crece ideiidamete el umeradr de la racció aterir se acerca a cer y el demiadr tiede a iiit, pr l que la racció tederá a cer, es decir, E 0 cuad. C u pc más de aálisis, pdems ver que e geeral lim k 0 para td valr real de k! pr l que si - > 1 tambié se cumplirá que E 0 cuad. Puede bservarse e cass particulares que si está alejada de, para lgrar ua aprimació preijada muy pequeña, debems tmar u plimi de Taylr c grad muy grade. Ejempl 5. Ecuetre u valr aprimad para 8 utilizad u plimi de grad ds y estime el errr.
Slució. Ls dats a csiderar e la órmula de Taylr s: a = b = 7 1 7 = 1 1 1 ' ' 7 0. 070707 7 7 5 '' '' 7 0. 000914494 5 9 9 7 94 10 7 La órmula de Taylr, es este cas s queda: 7 7 '7 7 7 E! 1 7 7 E 7 94 y al sustituir =8, bteems: 8 =.06579789 + E. E la epresió para el errr al aprimar c u plimi de grad c 10 E = 1 8! 7 c El errr siempre l btedrems e térmis de u valr c etre 7 y 8, si embarg cm esta idetermiada c aparece e la racció de la derecha, el errr será l más grade psible cuad el demiadr sea l más pequeñ psible, lgrádse est e c = 7, es decir: E 7 10 c 10 7 8 8 0.000056 y e csecuecia la aprimació se btuv c u errr que ecede de 0.000056 Ejempl 6. Ecuetre u valr aprimad para grad y estime el errr. e utilizad u plimi de Taylr de 4
Slució. Obsérvese que e = e 0.5, es decir se s pide evaluar a la ució epecial e 0.5, el cual es u valr cerca a 0 = 0, put e que ccems a la ució epecial y a sus derivadas. Así pues ectrems la órmula de Taylr 0 0 0 '0 0 0 0 E!! para = e e = 0 y psterirmete evaluarems e = 0.5 Cm la ució epecial y tdas sus derivadas s iguales, 0 = 1, la órmula s queda: e 1!! E evaluad e = 0.5, teems: e 0.5 0.5 0.5 1 0.5 E!! e 0.5 = 1.6458 + E E = 4 c 0.5 4! Cm 4 = e, e para [0, 1], es decir la derivada está actada pr y e csecuecia 4 0.5 E = 0.007815. 4! E base a td l aterir, pdems airmar que: e 1.6458 c u errr que ecede de 8 milésimas. Observació: Nótese que la estimació del errr puede hacerse idepedietemete del cálcul de la aprimació, es decir, ates de calcular ésta pdems pregutars pr el grad del plimi de Taylr que s dé la precisió deseada. Ejempl 7. De que grad hay que tmar el plimi de Taylr para ectrar ua aprimació a e c u errr que eceda de ua diezmilésima?. 4 5
Slució. E reerecia al ejempl aterir, el errr que se cmete al utilizar u plimi de Taylr de grad es: E = 1 c 1 1! 0.5 De uev la +1-ésima derivada está actada pr, bteied: E 1 0.5 1! Para = 4, 5 0.5 E 4 = 0.00078, es decir el errr ecede de 7 diezmilésimas. 5! Para = 5, 6 0.5 E 5 = 0.000065, es decir el errr ecede de 6 ciemilésimas, 6! Pr l tat debe tmarse u plimi de grad 5. La órmula de Taylr para = e e = 0 para = 5 es: e 1!! 4! 5! E 4 5 5 y evaluad e = 0.5, bteems: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 e 1 0.5 = 1.648697917!! 4! 5! Ejempl 8. De que grad hay que tmar el plimi de Taylr para ectrar ua aprimació al úmer e de Euler c u errr que eceda de ua millésima?. Slució. Nótese que tmarems = e c = 0 y = 1, y auque 1 esté "alejad" del 0, cm las derivadas está actadas, pdems ectrar la aprimació c el grad de precisió que se desee c tal de tmar u plimi de Taylr de grad "suicietemete grade". Veams pues de que grad tedrems que tmar el plimi. El errr que se cmete al utilizar u plimi de Taylr de grad es: 1 c 1 E = 1 1! De uev la +1-ésima derivada está actada pr, bteied: 4 5 6
E 1 1! 1! Para = 5, Para = 8, Para = 9, E 5 = 0.009, es decir el errr ecede de milésimas. 6! E 8 = 0.000008, es decir el errr ecede de 8 millésimas. 9! E 9 = 0.0000008, es decir el errr ecede de 8 diezmillésimas. 10! Pr l tat debe tmarse u plimi de grad 9. La órmula de Taylr para = e e = 0 para = 9 es: e 4 5 6 1 E9!! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! E 7 8 9 9 0 9 epresad e tació sumatria: e 9 0 E! 9 y evaluad e = 1, bteems: 9 1 1 e =.7188156! 0 Vlver al iici 7
.8 Criteri de Máims y míims utilizad derivadas de rde superir El criteri de la seguda derivada para ectrar valres etrems para ua ució de ua variable, ucia cuad para u put crític, la seguda derivada evaluada e es dierete de cer, sied u valr máim si '' < 0 y u valr míim si '' > 0. Si embarg hay ucies c valres etrems e u put crític e las que tambié se aula la seguda derivada, cm se muestra e el siguiete secill ejempl: Ejempl 9. Utilice el criteri de la seguda derivada para ectrar ls valres etrems de la ució = 4. Slució: Ls puts crítics satisace ' = 4 = 0 L cual se satisace úicamete para = 0. Cm '' = 1, etces '' 0 = 0, allad el criteri de la seguda derivada. Si utilizams el criteri de la primera derivada, vems ácilmete que esta ució tiee u valr míim e = 0. A ctiuació demstrarems, utilizad el Terema de Taylr, u criteri para detectar valres etrems relativs, cuad el de la seguda derivada alla. Terema: Sea : R R c derivadas ctiuas e u iterval a,b que ctiee a y supógase que ' = 0, '' =0, = 0,..., -1 = 0 y 0; etces: 1. Si es par: a < 0 tma u máim relativ e. b > 0 tma u míim relativ e.. Si es impar, la ució alcaza u valr etrem e. Demstració: 1. Supgams primer que es par. Cm es ctiua e u iterval a, b que ctiee a y < 0, pdems ectrar u subiterval -, + a, b de tal maera sea egativa e este subiterval. Gráicamete l vems e la siguiete ilustració para la ució : a 0-0-, b 8
Csiderems e el iterval -, +, pr el Terema de Taylr: 1 1 '... E1 c E =! 1! c y c etre y! cm las primeras -1 derivadas se aula e, se tiee: c! c < 0 pr estar c etre y y a su vez ests puts e el iterval -, + dde la -ésima derivada es egativa. Al ser c < 0 y par, la epresió - c > 0 y pr l tat 0 y e! csecuecia < para tda e el iterval -, +, l cual sigiica que es el mayr de ls valres de e dich iterval, es decir alcaza u máim relativ e. La demstració de b y se deja cm ejercici. Ejempl 10. Ecuetre ls valres etrems de = 4 + 4 + 6 +4 Slució: Ectrems primer ls puts crítics: ' = 4 + 1 + 1 +4 = 0 ' = 4 + + + 1 = 4 + 1 = 0 = -1 Pr l tat el úic put crític es = -1 Tratems ahra de determiar su aturaleza: '' = 1 + 4 + 1 ''-1 = 0 = 4 + 4-1 = 0 4 = 4 4-1 = 4 Cm la primera derivada dierete de cer e -1 es la de grad 4 y 4 es par, el sig psitiv de esta cuarta derivada s dice que alcaza u míim e = -1. Vlver al iici 9
EJERCICIOS I. E cada cas ecuetre ls plimis de Taylr de grad u, grad ds, grad tres, y grad cuatr e el put que se idica., escríbals e la tabla cm P 1, P, P y P 4, y cmplete la tabla evaluad e ls puts que se idica e la cluma de la izquierda. + 1.1 + 0.9 + 0. + 0.1 + 0.01 + 0.001-1.1-0.9-0. - 0.1-0.01-0.001 P 1 P P P 4 1 e e = 0 cs e = 0 se e = /6 4 = ta e = / 5 = l e = 1 6 = arcta e = 1 40
II. Eprese e cada cas al plimi dad, e las ptecias - que se idica. 1 P = 4 + + 5 e ptecias de - P = 4 + + 5 e ptecias de - 1 P = 4 + + 5 e ptecias de + 1 4 P = 4 - +6 e ptecias de + 1 5 P = + - - 4 e ptecias de + 4 6 P = 4 e ptecias de - 1 III. Ecuetre e cada cas u plimi que satisace: 1 P0 = 7, P ' 0 =, P 0 = 8, P 0 =54 P1 = 1, P ' 1 = 5, P 1 =, P 1 =4 P- =, P ' - = 4, P - = 8, P - =66 IV. Ecuetre e cada cas la aprimació que se pide, utilizad el terema de Taylr y estime el errr. 1 6. 5 plimi de grad 6. 5 plimi de grad 8 plimi de grad 4 se 6º plimi de grad 5 se 6º plimi de grad 6 6 arcta1. plimi de grad 7 l 1.015 plimi de grad 8 l 1.8 plimi de grad 5 41
9 cs 65º plimi de grad 4 10 ta 44º plimi de grad V. Diga e cada cas de que grad hay que tmar el plimi de Taylr para bteer la aprimació deseada, y btégala. a cs º c u errr mer que 0.00001 b se 70 0 c u errr mer que 0.0001 c se 47º c u errr mer que 0.00001 d 0 c u errr mer que 0.0001 e 4 8 c u errr mer que 0.0001 8 e c u errr mer que 0.00001 g e c u errr mer que 0.000000001 h l1.9 c u errr mer que 0.00001 VI. Utilizad el Terema de Taylr, demuestre que si ' = 0 para tda real, etces es ua ució cstate. Utilizad el Terema de Taylr, demuestre que si = c cstate para tda real, etces es u plimi de grad. Vlver al iici 4