CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE. Covergeca de sucesoes de varables aleaora Covergeca cas-segura Covergeca e robabldad Covergeca e meda cuadráca Covergeca e ley ( o dsrbucó). Leyes de los grades úmeros. Teoremas líme 3. Ley débl de los grades úmeros Teorema de Chebyschev Teorema de Khche Teorema de Beroull. 4. Ley fuere de los grades úmeros Teorema de Kolmogorov. Teorema de Glveko-Caell 5. Teoremas Cerales del Líme Teorema de Movre Teorema Ceral del líme; Forma de Lyaouov Teorema Ceral del Líme ; Forma Ldeberg-Lévy Teorema Ceral del Líme ; covergeca de la dsrbucó de Posso Aédce :Correccó or covergeca dscrea-coua. Aédce. Ulzacó de covergecas e el caso de Bomal y Posso E ese caíulo os vamos a ocuar de los os de roblemas relacoados. Por u lado vamos a aalzar la jusfcacó de la esabldad de las roorcoes de realzacó de u suceso e oro a su robabldad; y, or oro vamos a aalzar dsos resulados e el líme de las dsrbucoes de robabldad. El rmer aseco se ocua las llamadas leyes de los grades úmeros, y del segudo los eoremas de covergeca, el más morae de los cuales es el eoremas cerales del líme. -.Covergeca de sucesoes de varables aleaoras. Cosderamos ua sucesó fa de varables aleaoras {X } = : {X,X,,X, } Dode cada X es ua varable aleaora co su corresodee dsrbucó de robabldad., uede darse el caso que la sucesó coverja a ua varable aleaora (líme) X, co ua dsrbucó de robabldad asocada. Por ejemlo: {X } = co X B(,) ara =,,. Así, y defdas odas las varables aleaoras que comoe la sucesó sobre el msmo esaco robablísco ; dcha sucesó odrá coverger a ua varable aleaora X de dsas maeras o os :
Covergeca cas-segura Covergeca e robabldad Covergeca e meda cuadráca Covergeca e ley ( o dsrbucó) Así : CONVERGENCIA CASI SEGURA. Ua sucesó de varables aleaoras, {X }, coverge co robabldad, o de = forma cas segura, a ua varable aleaora X ( que uede degeerar e ua cosae K) cuado se cumle que: P( lm X ) de esa forma errearemos que c. s X cuado la robabldad de que e el líme la sucesó de varables aleaoras y aquella a la que coverge sea guales es uo CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD: Ua sucesó de varables aleaoras, {X }, coverge e robabldad a ua = varable aleaora X ( que uede degeerar e ua cosae K) cuado se cumle que: lm >0 0 P o be cosderado su comlemearo lm P de esa forma errearemos que. X cuado e el líme, la robabldad de que sucesó de varables aleaoras y aquella a la que coverge dfera (e valor absoluo) e u valor mayor (equeño) es cero ( o comlemearamee). Ha de eerse e cuea e ese caso que la sucesó sólo mlca a la sucesó de las robabldades de los sucesos y o a las varables e sedo maemáco CONVERGENCIA EN MEDIA CADRÁTICA Ua sucesó de varables aleaoras, {X }, coverge e meda cuadráca a ua = varable aleaora X (que uede degeerar e ua cosae K) cuado se cumle que: lm E ( ) 0
de esa forma errearemos que m X cuado e el líme,la dsersó de la sucesó de varables aleaoras omado como orge de ésa la varable a la que coverge es 0. Es de moraca oar que uede laearse dversos os de covergecas e meda deededo del orde r del eoee (e ese caso ) CONVERGENCIA EN LEY ( O EN DISTRIBUCIÓN) Ua sucesó de varables aleaoras, {X }, coverge e ley o e dsrbucó a ua = varable aleaora X (que uede degeerar e ua cosae K) cuado se cumla algua de las sguees codcoes, e el covecmeo de que s se cumle ua se cumlrá las resaes : a) S ara oda fucó real g se verfca que : lm lm E g Eg b) S ara odo úmero real se cumle que : lme e Ee c) S ara odo ar de uos a y b ; ales que b > a se cumle que : P( a b) lm F ( b) ( a) P( a b) ( a) ( b) F F F d) S ara odo uo de X e el que las fucoes de dsrbucó de las varables de la sucesó sea couas, se cumlrá que: lm F( ) F( ) de esa forma errearemos que d X cuado e el líme el comorameo de la fucó de dsrbucó de la sucesó de varables aleaoras y la de aquella a la que coverge so guales. Ese relacoes de mlcacó (demosrables) ere los dversos os de covergeca : Así La covergeca e meda cuadráca mlca la covergeca e robabldad, o sedo cero (geeralmee) el comorameo verso : Luego m X s. X o La covergeca cas segura mlca la covergeca e robabldad, o sedo cero (geeralmee) el laeameo verso : Luego c s X. s. X o 3
La covergeca e robabldad mlca la covergeca e dsrbucó, o sedo cero (geeralmee) el laeameo coraro : Luego X. s d X o Esquemácamee quedaría : Covergeca cas segura Covergeca e robabldad Covergeca e dsrbucó Covergeca e meda cuadráca.- Leyes de los grades úmeros. Teoremas líme Recbe el ombre de leyes de los grade úmeros aquellas que are del comorameo asóco de la varable ; que o es ora cosa que el valor medo de las varables que comoe ua sucesó ; Así s esamos ae ua sucesó {X } = esablecemos que... el comorameo de da lugar a las deomadas leyes de los grades úmeros, de maera que s la covergeca es e "robabldad", la forma e la que se elce esa, dará lugar a ua ley débl de los grades úmeros. S la covergeca que se da es e forma "cas segura" la ley que a la que de lugar se coocerá como ley fuere de los grades úmeros. Y, or úlmo, s la covergeca a que da lugar el laeameo lo es e "dsrbucó", y además esa es ormal, dará lugar a lo que coocemos como eoremas cerales del líme. Covergeca e robabldad ----- ley débl de los grades úmeros Covergeca cas segura ---mlca-- Covergeca e robabldad -- ley fuere de los grades úmeros. Covergeca el dsrbucó (ormal) ----eoremas cerales del líme 4
3.- Ley débl de los grades úmeros Elcado lo aes cado; Ua sucesó de varables aleaoras {X } = cumle la ley débl de los grades úmeros s dada ua sucesó de cosaes {C } =... la varable se verfca que c es decr se cumla que lm P c udédose errear como que ara u valor muy alo de (e el líme) o debe esr dferecas ere el valor medo de ua sucesó y ua deermada cosae. Dero de la ley débl de los grades úmeros se uede esablecer alguos eoremas moraes y que eucamos s demosrar. Teorema de Chebyschev Paredo del laeameo geeral, es decr que dada ua sucesó {X } =... Tal que cocreamos el eorema de Chebyshev hace verfcar que E o lo que es lo msmo Dado que se odría comrobar que lm P E 0 e el lme la robabldad de que haya dferecas ere la varable valor medo de la sucesó y el valor eserado de la varable valor medo de dcha sucesó es cero ; como caso arcular que ayuda a comreder esa suacó mejor edríamos que : s las varables aleaoras de la sucesó ee odas la msma dsrbucó, la varable (valor medo de la sucesó) coverge e robabldad a la meda de la dsrbucó comú, Teorema de Khche El eorema se basa e las msmas codcoes de arda que el de Chebyshev, cdedo además e que las varables que forma la sucesó ha de ser deedees y odas co ua msma y comú dsrbucó de robabldad ; s así ocurre se uede demosrar que : sedo la meda comú a las varables que forma la sucesó Evdeemee, y or lo eucado, uede omarse ese eorema como el caso arcular (ya cado) del eorema de Chebyshev 5
Es osble geeralzar el eorema de Kche ara odos los momeos ordaros y o sólo ara la meda co lo que edremos que : a r r es decr la varable momeo ordaro de orde r de la sucesó coverge e robabldad al momeo de orde r de la dsrbucó comú a odas las varables que forma la sucesó. Teorema de Beroull. Co el msmo laeameo que el aeror, es decr ; Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } =... Y esablecedo ua ueva varable Y sedo,e ese caso, las varables que forma la sucesó dcoómcas de arámero El eorema de Beroull laea que lm P o de ora maera 0 Es decr, que la varable meda de la sucesó de dcoómcas de arámero coverge e robabldad al arámero comú a odas ellas De oro modo odríamos laear la sucesó de () dcoómcas de arámero como ua bomal y así: la sucesó {X } sería ua B(X,, ) dode la varable =... aleaora aeror sería, ahora, la razó frecuecal de éos o frecueca relava del suceso, X/ ; de esa maera el eorema de Beroull os dría que: lm P X 0 ó lo que es lo msmo X es decr, "la razó frecuecal de éos coverge e robabldad a la robabldad de éo de ua bomal" Para demosrarlo armos de la coocda desgualdad de Chebyshev, así: k 0 P( k k ) hacedo k k q y dado que coocemos que e la bomal = q y q 6
edremos que : P( ) dvdedo or (los membros del rmer érmo) y desejado edríamos: edremos que () P P P fo y demuesra que q q o lo que es lo msmo q y dado que el valor mámo de q=0,4 y que evdeemee ede a 0 cuado ede a 4 X Como curosdad,se ha esablecdo e () ua coa de robabldad que os erme calcular la robabldad máma co la que dferrá e ua deermada cadad la "razó frecuecal de éos" y la "robabldad de éo" de ua bomal. Así, y como ejemlo, os laeamos; S os laeamos que la robabldad sea feror a 0,0, ara el hecho de que, al lazar ua moeda co el ámo de cosegur caras, la dfereca ere las que ha saldo y las que debera haber saldo (la mad) sea sueror al %,. Cuáas veces debemos de lazar la moeda? Nos laeamos coocer (úmero de lazameos), desejado de () Tedremos 650 veces lazaremos ara que 4P 4 0, 0,0 la dfereca ere el úmero de caras que ha de salr (35) y las que verdaderamee saldrá, sea mayor del % (mas, meos 5 caras),co ua robabldad feror a 0,. Es coveee, or úlmo, recsar, que el eorema de Beroull demuesra la esabldad de las frecuecas relavas de éo eoro a la robabldad de éo, o asegurado que sea la verdadera robabldad de éo la dervada de las frecuecas relavas de éo 4.-Ley fuere de los grades úmeros Ua sucesó {X } se comora u obedece la ley fuere de los grades s = esedo dos sucesoes de cosaes {a } = y {b } = 7
La ueva varable... e combacó co las sucesoes de c. s. cosaes 0 b a Relevaemee, sea a... la suma de cosaes cada ua de ellas la meda de cada ua de las varables de la sucesó {X } = Y: b Teemos, además que a... Dado que... y... or lo que : a b a.. Así c s 0 Elcádose de maera más smle la ley fuere de los grades úmeros. Dero de la ley fuere de los grades úmeros se uede esablecer alguos eoremas moraes y que eucamos s demosrar. Teorema de Kolmogorov. Dada ua sucesó de varables aleaoras deedees {X } = co medas Y varaza : esablecédose que : se cumle que ese ley fuere de los grades úmeros ; así o be c. s. Por lo que la varable aleaora meda de ua sucesó coverge de maera cas segura a la meda de las medas de las varables que forma la sucesó. 8
Teorema de Glveko-Caell S cosderamos ua muesra como ua sucesó de varables aleaoras {X } = que rocede de ser u subcojuo de la oblacó, omada ésa como ora sucesó de amaño mayor (mámo-comlea-segura). Evdeemee co la msma fucó de robabldad ara odas las varables de la sucesó (muesra) ; el eorema de Glveko- Caell os dca que la fucó de dsrbucó de robabldad comú a las varables de la sucesó muesra, coverge de maera "cas segura" a la verdadera fucó de dsrbucó de la oblacó, así : S deomamos DI a las mámas dferecas que uede esr ere los valores que roorcoa ua fucó de dsrbucó (muesra-sucesó) y ora (fucó de muesra oblacó dsrbucó de la oblacó) su ( ) edremos DI que se cumle que P 0 lmdi F DI.. c s F luego 0 5.- Teoremas cerales de líme La que odemos deomar famla de los eoremas líme ee como uo de arda la sguee suacó : S esamos ae ua sucesó de varables aleaoras {X } = Y esablecemos que... se cumlrá que: E d N 0, e dode D fo : D es la desvacó íca y ee carácer de ora, maera odemos decr que la fcada de la varable aleaora suma de varables aleaoras de ua sucesó coverge e "dsrbucó" a ua ormal 0,. Teorema de Movre Es el rmer eorema ceral del líme, hsórcamee hablado(756). Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } = De maera que cada ua de ellas ega ua dsrbucó B, dode =q=0,5 (Movre rodujo la resrccó =q=0,5, que o es ecesara ras la geeralzacó del eorema or Lalace) E se esablece que la ueva varable sucesó d N0, D q 9
Lo demosraremos medae la covergeca de la F.G.M. Así la F.G.M de las varables de la sucesó (bomales) X será del o: ( ) e q e cosecueca la F.G.M. de la sucesó será : e ( ) e q Pudédose robar que lm e que es la F.G.M. de la N[0,] Del eorema de Movre-Lalace se deduce fáclmee que ua dsrbucó bomal uede aromarse a ua dsrbucó ormal de meda y desvacó íca q cuado eda a fo Teorema Ceral del líme; Forma de Lyaouov Se raa de la rmera (90) demosracó rgurosa de u eorema ceral del líme,auque como djmos aes la forma de Movre es aeror es solo válda ara el caso de dsrbucoes bomales. Así Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } = deedees de maera que las varables edrá de medas y varazas : E y que: La sucesó defda como : coverge e dsrbucó a ua N[0,] Teorema Ceral del líme ; Forma Ldeberg-Lévy D edremos E cero modo es u caso arcular de la forma de Lyaouov dado que las remsas revas so más resrcvas ; así 0
Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } deedees y co la msma = dsrbucó de maera que las varables edrá la msma meda y varaza : E y D edremos que: La sucesó defda como : coverge e dsrbucó a ua N[0,] de dode N ; : es decr, que s sumamos u gra úmero de varables aleaoras deedees e gualmee dsrbudas, co la msma meda y varaza ; esa suma se dsrburá ormalmee co meda veces la meda comú y, desvacó íca raíz cuadrada de veces la desvacó íca comú Para demosrar ese eorema vamos arobar que la F.G.M. de ede a la F.G.M. de ua dsrbucó Normal reducda cuado ede a fo ; eso es : lm w e ara ello cosderamos las uevas varables ales que : ara =,,3,... de maera que w como odas las X so esocáscamee deedees y esá décamee dsrbudas, las w ambé será deedees y e cosecueca edrá la msma dsrbucó ; así y e cosecueca la F.G.M. de será: rmero : ( ) ( ) w desarrollado e sere edremos: w ( ) ( E e w ) w or lo que debemos obeer w ( ) E w w
0 w E E E w w dado que : E y w E edremos que ( ) E s omamos límes cua ede a fo la fucó es u fésmo de orde sueror a lm ( ) y or ao : lm E lm e que es la eresó de la F.G.M. de la Normal (0;). Esa demosracó es sólo valda ara el caso e el que las F.G.M. esa ; s o fuera así ulzaríamos de maera aáloga las fucoes caraceríscas. Del roo eorema ceral del líme e forma Ldeberg-Lévy se fere, lo que odríamos deomar su versó e meda ; así Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } deedees y co la msma = dsrbucó de maera que las varables edrá la msma meda y varaza : E y D y eemos la sucesó : es decr, la meda de la sucesó ; y dado que coocemos or Ldeberg- Lévy que : La sucesó defda como : coverge e dsrbucó a ua N[0,] luego ara la ueva sucesó edremos que: La sucesó defda como : N[0,] coverge e dsrbucó a ua
de dode d N ; : es decr, que la meda arméca de u gra úmero de varables aleaoras deedees e gualmee dsrbudas, co la msma meda y varaza ; se dsrburá ormalmee co meda la meda comú y, desvacó íca, la desvacó íca comú dvdda or raíz de. La gra moraca de esa covergeca y forma del eorema, radca e su alcabldad e la relacó muesra-oblacó, y así odemos esablecer que : "sea cual fuere la dsrbucó de la oblacó, s eraemos ua muesra aleaora de sufcee amaño, y de forma que las eraccoes sea deedees ere sí; la meda de esa muesra ede a ua ormal, co meda la meda de la oblacó, y desvacó íca, la desvacó íca de la oblacó dvdda or la raíz del amaño muesral". Teorema ceral del líme ; covergeca de la dsrbucó de Posso Realmee se raa de u caso arcular de alcacó del T.C.L. forma Ldeberg-Lévy ; la arculardad resde e que las varables aleaoras que forma la sucesó so o se dsrbuye segú ua Posso de arámero. El hecho de que lo raemos aquí radca e su uldad y raccdad, y así: Dada ua sucesó de varables aleaoras {X } = dode X Posso() or lo que la meda comú es y su varaza comú, ambé E alcacó del TCL edremos que La sucesó defda como : coverge e dsrbucó a ua N[0,] Dado que la dsrbucó de Posso cumle el eorema de adcó ara el arámero, edremos que: J j desvacó íca será j J de dode cooceremos que j J j d or lo que N0, j j j De dode se deduce que ua dsrbucó de Posso cuado coverge a ua ormal co meda y desvacó íca raíz de Aédce : Correccó or covergeca dscrea-coua y la ede a fo 3
Hemos comrobado cómo es osble que ceras dsrbucoes dscreas (bomal, Posso, ec..) coverja a ora dsrbucó, rcalmee la ormal,que es de carácer couo. El hecho de ulzar la dsrbucó ormal (fucó de dsrbucó) (coua) ara la cosecucó de robabldades que are de u escearo real dscreo hace que e ocasoes las robabldades calculadas o se ajuse o arome correcamee a las que hubésemos obedo s alcar la covergeca. Es, or ello,que es ecesaro realzar uas equeñas correccoes que deomamos de covergeca dscrea -coua. Ilusremos dchas correccoes co u ejemlo: Suogamos que la varable aleaora X sgue ua Posso de arámero =00 y reedemos calcular la robabldad de que X ome valores ferores o guales a 95 ; sería 95 X (00) P( 95) e sedo dcho resulado realzado! drecamee el valor 0,33974 dado que os ecoramos co ua Posso de =00 odemos alcar la covergeca Posso-Normal y así X N00; 00 or lo que la robabldad edda, quedaría : 95 00 P ( 95) P P 0,5 cuyo valor es 0,309 0 se observa que ambos valores dscrea ; s be, claro esá, esamos ulzado ua aromacó, las dferecas ere valores arece ecesvas y uede mejorarse. El error comedo arece esar e la dfereca de ulzacó dscrea-coua. E la ulzacó de la dsrbucó de Posso esaba cludo el valor 95, e el caso de la ormal o se llegaba a dcho valor, recsamee or su carácer couo. Suogamos e ua gráfco ambas acuacoes, e el gráfco de la sguee ága: Queda, como se observa, ua zoa que o coemla la fucó coua or ello,e ese caso, es coveee amlar la zoa ara la que se va a calcular su suerfce(robabldad) omado o 95 s o 95,5, de esa maera quedaría cluda la robabldad hasa el valor 95 clusve, así: 95,5 00 P ( 95) P P 0,45 cuyo resulado es 0,36, mucho más 0 rómo al verdadero valor s alcar covergeca. 4
Gráfco aromacó dscrea / coua Aédce. Ulzacó de covergecas e el caso de Bomal y Posso Para aclarar la ulzacó de las covergecas e los casos de dsrbucoes de Posso y Bomal ; ya que coocemos el eorema de Movre, la covergeca de la dsrbucó de Posso y la aerormee coocda Bomal-Posso, esablecemos los sguees creros y osbldades. a) S 50 y < 0, la dsrbucó Bomal odrá aromarse be or la Posso b) Semre que el arámero se grade y o sea equeña ( >0,) debemos aromar or la dsrbucó ormal c) S es equeño ero el roduco q es grade ( q>5) será referble la aromacó Normal a la aromacó or Posso 5