CAPÍTULO X ESTADÍSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA

CAPÍTULO X ESTADÍSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA 0. INTRODUCCIÓN. Los estudos hdrológcos requeren del análss de nformacón hdrometeorológca, esta nformacón puede ser de datos de precptacón, caudales, temperatura, evaporacón, nfltracón, etc. Se cuenta con datos recoplados de un perodo dsponble, s esta nformacón es organzada se analza adecuadamente proporcona una herramenta mu útl, para tomar decsones sobre el dseño de estructuras hdráulcas responder a nnumerables dudas parámetros de dseño, como se muestra en la Fgura 0. FIGURA No 0. APLICACIONES DE LA ESTADISTICA EN LA HIDROLOGIA. En el análss hdrológco se utlzan los conceptos de probabldades estadístca, porque generalmente se cuenta con escasa nformacón, cas todos los fenómenos hdrológcos tenen una alta aleatoredad, por esta razón se ve la necesdad de ntroducr este capítulo para aclarar los conceptos los métodos más utlzados en la hdrología. 0. CONCEPTOS FUNDAMENTALES PROBABILIDAD: Sea S un espaco muestral asocado a un epermento, A cualquer suceso de S, tal que A es un subconjunto de S, se dce que la probabldad de P(A) de un evento A, es un epermento aleatoro que tene Ns resultados gualmente posbles Na resultados favorables, está dado por: P( A) Na Ns Este tene que satsfacer los sguentes aomas. (Ec. 0.). 0 P(A), para todo AϵS (para todo evento A su probabldad es postva cero s el evento es mposble).. P(S)= 3. P(A UA UA 3 U UA N )=P(A +A +A 3 +.+A N )=P(A )+P(A )+P(A 3 )+.P(A N ). S A +A +A 3 + +A N, es una sere de sucesos mutuamente ecluentes.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD: Una de las formas de representar las probabldades de las varables hdrológcas son las funcones de probabldad (funcones de densdad), las funcones de probabldad acumuladas que a contnuacón se menconan. a. Funcones de probabldad dscreta: Cuando el número n de valores que puede tomar una varable aleatora X es fnto, se dce que la varable aleatora X es dscreta. A la funcón gráfca que asoca una probabldad a dcha varable aleatora X se denomna funcón de probabldad dscreta f( ) Esta funcón representa la probabldad que tomará la varable aleatora X, generalmente se representa por un gráfco de barras para cada valor de la varable aleatora X, ver Fgura 0.. FIGURA No 0. FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA b. Funcones de probabldad contnúas. Cuando el número de valores n que puede tomar una varable aleatora X es nfnto, se dce que la varable aleatora X es contnua. Este tpo de varables es más frecuente en hdrología. La funcón que asoca una probabldad a dcha varable se denomna funcón de probabldad contnua o funcón de densdad f( ). Esta funcón representa la probabldad que toma una varable aleatora X, la representacón gráfca se muestra en la Fgura 0.3 FIGURA No 0.3

3 FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUA c. Funcón de dstrbucón acumulada. S X es una varable aleatora dscreta o contnua, se defne la funcón de dstrbucón acumulada F(), como la probabldad de que la varable aleatora X tome cualquer valor menor o gual a se desgna por: F()=P(X ) (Ec. 0.) Que es conocda como probabldad de no ecedenca, o - F()= - P(X ) = P(X ) (Ec. 0.3) Que es conocdo como probabldad de ecedenca, ver Fgura 0.4 FIGURA No 0.4 PROBABILIDAD EXCEDENCIA Y NO EXCEDENCIA Tal que: P(X ) + P(X ) = (Ec. 0.4) En hdrología la varable más frecuente es una varable contnua, se analzara la funcón de dstrbucón acumulada de esta varable, que está representada por: F ( ) P( X ) f ( ) d (Ec. 0.5) En caso que la funcón empece en - De esto se deduce que: b P ( a b) F( b) F( a) f ( ) d (Ec. 0.6) a Lo que sgnfca que la probabldad de un evento a b, es gual al área que ha bajo la curva de la funcón de densdad f( ) entre =a =b, ver Fgura No 0.5

4 FIGURA No 0.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO a b Se conclue que la probabldad puntual es cero, porque el área bajo la curva es cero., como se observa en la Fgura 0.6 FIGURA No 0.6 PROBABILIDAD PUNTUAL Por otro lado se tene que el rango de F() es: 0 F() (Ec. 0.7) Es decr que la funcón de dstrbucón acumulada está en el rango de cero la undad o 00%, dependendo s se trabaja en porcentajes o decmales. La funcón de dstrbucón acumulada se representa de la sguente manera. FIGURA No 0.7 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA La Fgura No 0.7 nos permte ver el porcentaje de las observacones que están por encma (F ) o debajo (-F ) del valor con respecto al total.

5 d. Funcón de dstrbucón acumulada. El Perodo de Retorno T, se defne como el tempo o lapso promedo entre la ocurrenca de un evento gual o maor a una magntud dada, dcho de otra forma, es el ntervalo de recurrenca promedo para un certo evento. Estadístcamente el Perodo de Retorno es la nversa de la probabldad de ecedenca, es decr: (Ec. 0.8) T P( X ) O tambén puede ser representada por la probabldad de no ecedenca como se muestra a contnuacón. T P( X ) (Ec. 0.9) Otra forma de defnr Perodo de Retorno T es como sgue: Consderar por ejemplo la varable caudal mámo del año, Q ma para n años. La gráfca correspondente para una sere de 4 años será: FIGURA No 0.8 CAUDALES DIARIOS MAXIMOS La meda hstórca de esta sere de 4 años resulta 4.9 m3/s. Ahora consderar por ejemplo el valor 0 m3/s. Trazar una recta a 0 m3/s en el gráfco. Realzar el conteo de años transcurrdos entre eventos maores a 0 m3/s: Una vez que se presentó el evento Q>0 m3/s en el segundo año, transcurreron años antes de que se volvera a presentar dcho evento. Luego transcurreron 5 años, luego años, etc. Consderando varas centenas de años, el perodo de retorno T será el valor esperado de esos lapsos de tempo. Entonces en el ejemplo descrto T puede ser estmado como sgue: 5 5 6 8 5 T 3. 80años 0 Lo que sgnfca: Consderando varas centenas de años, el valor de 0 m3/s es eceddo en promedo una vez cada 3.8 años, es decr, el perodo de retorno del valor de 0 m3/s es de 3.8 años.

6 Con otras palabras, en el transcurso de un año cualquera se tene una probabldad de uno en 3.8 (o sea 6%) de que Q ma sea gual o maor a 0 m3/s. El perodo de retorno a adoptar para el dseño de una estructura hdráulca debería ser el resultado del análss costo-benefco. A maor perodo de retorno maor la obra en consecuenca más cara el benefco tambén podría ser más grande. Sn embargo la evaluacón de los benefcos es frecuentemente mu dfícl de utlzar, por lo que en la práctca se adoptaran perodos de retorno en base a la práctca usual. En la Tabla 0., se muestra perodos de retorno recomendados para el cálculo de caudales de dseño de estructuras menores. TABLA No 0. PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS MENORES FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 00. Tambén se puede entender el perodo de retorno como un coefcente de segurdad que se asgna a las dstntas estructuras, a raíz de la falta de nformacón conocmento del comportamento de las varables hdrológcas (Precptacón, Caudales), sendo una medda de segurdad ante cualquer eventualdad. TABLA No 0. PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS CIVILES EN GENERAL FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 987. Se dan a conocer otras tablas presentando perodos de retornos recomendados para dferentes tpos de estructuras cvles: La Tabla No 0. es de carácter general e nclue dversas obras, la Tabla 0.3 es eclusvo para obras hdráulcas en carreteras, la Tabla 0.4 está en funcón al tpo de área a proteger la Tabla 0.5 en para el dseño de vertederos de embalses.

7 TABLA No 0.3 PERIODO DE RETORNO PARA OBRAS HIDRAULICAS EN CARRETERAS FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 987 TABLA No 0.4 PERIODO DE RETORNO SEGÚN AREAS A PROTEGER / FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 987 TABLA No 0.5 PERIODO DE RETORNO PARA VERTEDEROS DE EMBALSE FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 987. e. Funcón de dstrbucón acumulada. Por lo común el ngenero dseña una obra para resstr una avenda de certa magntud. Se defne el resgo de fallo R de un dseño como la probabldad de que la avenda para la cual se dseña la obra sea ecedda en el transcurso de N años, esto es consderado como una stuacón de resgo, pues la obra se dseña para soportar certa avenda máma, crecentes maores podrían hacerle daño o ncluso destrurla, ponendo en resgo vdas humanas e nfraestructuras que están aguas abajo. De forma más senclla se entende por resgo de fallo a la probabldad de que un evento con un perodo de retorno de T años ocurra al menos una vez en N años. El resgo de fallo se puede escrbr como: R )) N P( X. al. menos. una. vez. en. N. años) ( P( X (Ec. 0.0) R P( X. al. menos. una. vez. en. N. años) ( ) T Dónde: T = Perodo de Retorno; N (Ec. 0.)

8 N = Años P( X ) = Probabldad de ecedenca R = Resgo de fallo o probabldad de que un evento con perodo de retorno T años ocurra al menos una vez en N años. De la msma manera se puede defnr la confabldad que vene a ser el complemento del resgo de fallo, que se defne como la probabldad de que un evento con perodo de retorno de T años no ocurra en N años, la confabldad se puede epresar de la sguente manera: P ( X ) N. cada. año. durante. N. años) P( X (Ec. 0.) N N R P( X. cada. año. durante. N) ( ) F( ) T (Ec.0.3) Tambén es posble calcular el perodo de retorno a partr del resgo de fallo del número de años, como sgue a contnuacón: T ln. R ep N (Ec. 0.4) 0.3 POSICION DE PLOTEO Y PAPEL DE PROBABILIDAD. a. Poscón de Ploteo. Tambén denomnada poscón de grafcacón, o probabldad empírca o epermental, o probabldad asgnada (probabldad acumulada epermental) La poscón de ploteo es la ubcacón de grafcacón en el papel de probabldades de los datos de una muestra. Esten varas fórmulas empírcas propuestas por dferentes autores para poder calcular dcha poscón de ploteo, éstas se muestran en la Tabla 0.6 TABLA No 0.6 PROBABILIDADES EMPIRICAS FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 00

9 Dónde: m : Numero de orden. N : Número total de datos. a : Valor entre 0 a, que depende de N de acuerdo a la Tabla No 0.7 TABLA No 0.7 VALORES DEL PARAMETRO a PARA LA FORMULA DE GRINGORTEM FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 00 La fórmula más utlzada para el cálculo de la poscón de ploteo es la de Webull. El procedmento a segur es el sguente: Una vez selecconada la fórmula empírca a utlzar, se procede a ordenar los datos de la muestra de menor a maor, después se les asgna la probabldad empírca, que es la probabldad de no ecedenca. S se ordena de maor a menor, la probabldad asgnada será la probabldad de ecedenca. Con estos datos se plotea en los respectvos papeles de probabldad. b. Poscón de Ploteo. Es la representacón gráfca de la probabldad acumulada de una dstrbucón teórca, este papel de probabldades tene las escalas de las ordenada (X) las abscsas (Probabldad) dseñadas de tal manera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una línea recta. El propósto del papel de probabldad es el de lnealzar la relacón de probabldad de tal manera que los datos grafcados se acomoden a una recta, generalmente con fnes de comparacón. Es una forma de determnar s una sere de datos está sendo representada de mejor manera por una dstrbucón de probabldades en comparacón con otras dstrbucones de probabldades teórcas. Para este propósto se hace uso de la poscón de ploteo. Este procedmento es conocdo como la prueba de bondad de ajuste gráfco, que nos srve para poder determnar s los datos se ajustan a la dstrbucón representada por el papel de probabldades. Más adelante se presentarán las pruebas de bondad de ajuste estadístco 0.4 ANÁLISIS DE FRECUENCIA DE VALORES MEDIOS En estadístca esten muchas funcones de dstrbucón de probabldad teórcas, las funcones de dstrbucón de probabldad teórcas más usadas en hdrología son las sguentes. Dstrbucón Normal Dstrbucón Log. Normal Dstrbucón Gama de 3 parámetros Dstrbucón Log. Pearson Tpo III Dstrbucón Gumbel

0 Dstrbucón Log. Gumbel. a. Dstrbucón Normal. Tambén denomnada dstrbucón gausana. Se dce que una varable aleatora X tene una dstrbucón normal, cuando su funcón de densdad de probabldad es: f ( ) X e S S (Ec. 0.5) Dónde: f() : Funcón de densdad normal de la varable : Varable ndependente X : Parámetro de localzacón, gual a la meda artmétca de. S : Parámetro de escala gual a la desvacón estándar de. e : Base del logartmo neperano Cuando la varable aleatora se dstrbue normalmente con meda denota de la sguente forma: X varanza S, se FIGURA No 0.9 FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL Para su aplcacón lo más fácl es la utlzacón de una tabla que relacone Z versus f(z) para lo cual se ha defndo la varable estandarzada como: X Z S (Ec. 0.6) Donde la funcón de densdad de Z, es denomnada funcón de densdad de la dstrbucón normal estándar o estandarzada, que tene la sguente epresón: f ( Z) Z e S (Ec. 0.7) Una característca mportante de la dstrbucón normal estándar es que tene la meda cero la varanza gual a uno. La funcón de dstrbucón acumulada de la dstrbucón normal es:

F( ) f ( ) S e S X d (Ec. 0.8) O su equvalente: F( ) F( Z) Z e Z dz (Ec. 0.9) Para el cálculo de la funcón de dstrbucón acumulada se recurre a la tabla de la le normal que está en funcón de la varable estandarzada Z. La dstrbucón normal es de gran utldad en hdrología, sendo algunas de sus prncpales aplcacones: El ajuste de dstrbucón empírca de varables hdrológcas medas anuales, mensuales, estaconales, etc., o tambén varables acumuladas anuales, mensuales, etc., que pueden ser caudales precptacón, temperatura, entre otros. Como referenca para comparar varas dstrbucones teórcas de ajuste con una dstrbucón empírca. Análss de errores aleatoros en las observacones o medcones hdrológcas. Para aplcar nferenca estadístca. Para realzar el ajuste se utlza el papel de probabldades de la le normal junto a su recta trazada analítcamente. b. Dstrbucón Log Normal. Las varables de nterés en hdrología son generalmente postvas, por lo que es usual que presenten dstrbucones de frecuenca asmétrcas, por lo que se propone aplcar una transformacón logarítmca a la varable de nterés luego utlzar el modelo de dstrbucón normal para la varable trasformada, la dstrbucón así obtenda se denomna log-normal, por ejemplo s la varable aleatora X, tene una dstrbucón log-normal, esto sgnfca que Y = lnx, tene una dstrbucón normal. Se dce que una varable aleatora X tene una dstrbucón log-normal, cuando su funcón de densdad de probabldad se defne como: Para 0<< f ( ) ln. e (Ec. 0.0) Para - << f ( ) e (Ec. 0.)

Dónde: f() : Funcón de densdad log-normal de la varable : Varable ndependente μ σ e : Meda artmétca de los logartmos naturales de : Desvacón estándar de los logartmos naturales de : ln : Base del logartmo neperano La funcón de dstrbucón acumulada de la dstrbucón log-normal se muestra a contnuacón. F( ) 0 f ( ) O su equvalente: F( ) S: f ( ) 0 ln. Z Se obtene la dstrbucón normal estándar. F( Z) Z e Z dz (Ec. 0.) ln. e d (Ec. 0.3) e d (Ec. 0.4) FIGURA No 0.0 FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION LOG NORMAL Una vez realzada la transformacón con la varable estandarzada Z, utlzar las tablas de la le normal para el cálculo de la probabldad o la funcón acumulada. La dstrbucón log-normal es de gran utldad en hdrología, sendo algunas de sus prncpales aplcacones: Como referenca para comparar varas dstrbucones teórcas de ajuste con una dstrbucón empírca. Análss de errores aleatoros en las observacones o medcones hdrológcas. Para aplcar nferenca estadístca.

3 c. Dstrbucón Gama de 3 parámetros o Pearson Tpo III. Este es una de las dstrbucones más utlzadas en hdrología, se dce que una varable aleatora X, tene una dstrbucón Gama o Pearson tpo III, s su funcón de densdad de probabldad es: ( ) 0 f ( ) e ( ) ( 0 ) (Ec. 0.5) Para: 0 ; - ; 0 ; 0 ɣ La funcón de dstrbucón acumulada de la dstrbucón Pearson tpo III es: F( ) 0 ( ) 0 e ( ) ( 0 ) (Ec. 0.6) Dónde: f() : Funcón de densdad de la varable. F() : Funcón de dstrbucón acumulada. : Varable aleatora. 0 β ɣ Γ(ɣ) : Orgen de la varable, parámetro de poscón. : Parámetro de escala. : Parámetro de forma. : Funcón gama completa. FIGURA No 0. FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION PEARSON TIPO III Para la aplcacón de esta dstrbucón, es recomendable utlzar el factor de frecuenca, donde se muestra que la maoría de las funcones de frecuencas pueden ser generadas por: _ X X K * (Ec. 0.7) Dónde: X : Varable analzada, con una probabldad dada. _ X σ K : Meda de la sere de datos. : Desvacón estándar de la sere de datos. : Factor de frecuenca defndo para cada dstrbucón.

4 Para la dstrbucón Pearson tpo III, se deberá calcular la meda, la desvacón estándar el coefcente de asmetría. Meda : X _ (Ec. 0.8) N Desvacón Estándar : ( ) X N (Ec. 0.9) Coefcente de Asmetría : C s 3 N ( X ) g ( N )( N ) 3 (Ec. 0.30) Para determnar el factor de frecuenca, es necesara la utlzacón de tablas, para lo cual es necesaro calcular el coefcente de asmetría la probabldad o período de retorno respectvo para la varable analzada. En el caso de la dstrbucón log-pearson tpo III, el procedmento es el msmo, lo únco que camba es que se deberá trabajar con los logartmos de las varables, se utlzará la msma tabla para determnar el factor de frecuenca. La dstrbucón Pearson tpo III es de gran utldad en hdrología, sendo algunas de sus prncpales aplcacones: Como referenca para comparar varas dstrbucones teórcas de ajuste con una dstrbucón empírca. Análss de errores aleatoros en las observacones o medcones hdrológcas. Para aplcar nferenca estadístca. Para realzar ajustes de dstrbucón empírca de varables hdrológcas de precptacón, caudales, temperatura, etc., tales como valores anuales, mensuales o valores acumulados anuales, mensuales. d. Dstrbucón Gumbel o de valores etremos Tpo I. La dstrbucón Gumbel es tambén llamada dstrbucón de Valores Etremos Tpo I o dstrbucón doble eponencal. Se dce que una varable aleatora X tene una dstrbucón Gumbel, cuando su funcón de densdad de probabldad se defne como: f ( ) e e (Ec. 0.3) Dónde: f() : Funcón de densdad de Gumbel de la varable. : Varable ndependente. α : Parámetro de escala. μ : Parámetro de poscón, llamado moda.

5 e : Base de logartmo neperano. FIGURA No 0. FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION GUMBEL La funcón de dstrbucón acumulada de la dstrbucón Gumbel es: F ) ( e e (Ec. 0.3) Donde F() es la funcón de dstrbucón acumulada de la le Gumbel. Una forma de calcular α μ es con las ecuacones 0.33 0.34 respectvamente, están en funcón de los parámetros de la meda (X ) la desvacón estándar (S) de la muestra. 6 S 0. 78S (Ec. 0.33) X 0. 577 (Ec. 0.34) 0.577 es la constante de Euler. La dstrbucón Gumbel o le de valores etremos tpo I, se utlza generalmente para: Realzar ajustes de dstrbucón empírcas de varables hdrológcas tales como valores de caudales mámos anuales, mensuales o precptacones mámas anuales, entre otros. Como referenca para comparar varas dstrbucones teórcas de ajuste con una dstrbucón empírca. Para efectuar nferencas estadístcas. 0.5 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE. Las pruebas de bondad de ajuste, conssten en comprobar gráfca estadístcamente, s la frecuenca empírca de la sere analzada, se ajusta a una determnada funcón de probabldad teórca selecconada a pror, con los parámetros estmados con base en los valores muestrales. Las pruebas estadístcas, tenen por objeto calfcar el hecho de suponer que una varable aleatora, se dstrbua según una certa funcón de probabldades.

6 Las pruebas de bondad de ajuste grafco más utlzado en hdrología se menconó en el acápte 0.3 con la auda del papel de probabldades. A contnuacón se detallarán las pruebas de bondad de ajuste estadístco más utlzadas en hdrología que son: Ch Cuadrado Smrnov Kolmogorov a. Prueba Ch Cuadrado X La prueba Ch-cuadrado se basa en el cálculo de frecuencas, tanto de valores observados, como valores esperados, para un número determnado de ntervalos. Esta prueba es comúnmente usada para verfcar la bondad de ajuste de la dstrbucón empírca a una dstrbucón teórca conocda, fue propuesta por Karl Pearson en 900. La epresón general de la prueba Ch-cuadrado está dada por: k c k k e e e N (Ec. 0.35) Dónde: θ : Numero de valores observados en el ntervalo de clase. e : Numero de valores esperados en el ntervalo de clase. k c : Valor calculado de Ch Cuadrado, a partr de los datos. : Numero de ntervalos de clase. Asgnando probabldades a la ecuacón anteror, es decr asgnando gual probabldad de ocurrenca a cada ntervalo de clase, se tene: c k N NP NP (Ec. 0.36) Donde: N : Número de observacones que caen dentro de los límtes de clases ajustadas del ntervalo N : Tamaño muestral P P =/k o e =P N : Probabldad gual para todos los ntervalos de clases Smplfcando la últma ecuacón se obtene la fórmula computaconal desarrollada por Markovc. c K N k N N (Ec. 0.37)

7 El valor de obtendo por la ecuacón se compara con el c C, cuo valor se determna con: Nvel de sgnfcacón : α=0.05 o α=0.0 Grados de lbertad : g.l.=k--h de la Tabla C-3 del Aneo t Donde h, es el número de parámetros a estmarse, en el caso de la le normal es. El crtero de decsón se fundamenta en la comparacón del valor calculado de Ch- Cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es: S el Ch-cuadrado calculado es menor o gual que el valor tabular, es decr:, c t entonces se acepta la hpótess que el ajuste es bueno al nvel de sgnfcacón selecconado. S el Ch-cuadrado calculado es maor que el valor tabular, es decr:, > c t entonces el ajuste es malo se rechaza la hpótess, sendo necesaro probar con otra dstrbucón teórca. Esta prueba es de fácl aplcacón, es válda sólo para ajustes a la dstrbucón normal, en la práctca se usa para cualquer modelo de ajuste. b. Prueba de Smrnov-Kolmogorov. La prueba de ajuste de Smnov-Kolmogorov, consste en comparar las dferencas estentes entre la probabldad empírca de los datos de la muestra la probabldad teórca, tomando el valor mámo del valor absoluto, de la dferenca entre el valor observado el valor de la recta teórca del modelo, es decr: D ma F( ) P( ) (Ec. 0.38) Donde: D : Estadístco de Smrnov-Kolmogorov, cuo valor es gual a la dferenca máma estente entre la probabldad ajustada la probabldad empírca F() : Probabldad de la dstrbucón teórca P() : Probabldad epermental o empírca de los datos S D 0 es un valor crítco para un nvel de sgnfcacón α, se tene que: ma F( ) P( ) 0 P o Tamben: P. D D 0 P DD. 0 (Ec. 0.39)

8 El procedmento para efectuar el ajuste, por el estadístco de Smrnov-Kolmogorov, es el sguente:. Calcular la probabldad empírca o epermental P de los datos, para esto se puede utlzar las formulas de la Tabla 0.6, de estos el mas recomendado es la fórmula de Webull, que se ndca a contnuacón: m P N Dónde: P m N (Ec. 0.40) : Probabldad empírca o epermental. : Numero de orden. : Numero de datos.. Calcular la probabldad teórca F(), utlzando la ecuacón de la funcón acumulada F() de los modelos teórcos o tablas elaboradas para tal fn. 3. Calcular las dferencas F()-P() 4. Selecconar la máma dferenca: D má. Ι F()-P() Ι 5. Calcular el valor crítco del estadístco D, es decr D 0, para un nvel de sgnfcanca α=0.05 N gual al número de datos, los valores de D 0 se muestran a contnuacón en la sguente tabla: 6. Comparar el valor del estadístco D, con el valor crítco D 0 de la Tabla C-4 del Aneo C, con los sguentes crteros de decsón: S: D<D 0 El ajuste es bueno, al nvel de sgnfcacón selecconado D D 0 El ajuste no es bueno, al nvel de sgnfcacón selecconado, sendo necesaro probar con otra dstrbucón. Esta prueba de ajuste no requere del conocmento a pror de la funcón de dstrbucón teórca, es aplcable a dstrbucones de datos no agrupados de cualquer dstrbucón teórca. Comparándola con la prueba Ch-cuadrado, no requere que la frecuenca absoluta de cada clase sea gual o maor que 5, esta no es una prueba eacta, sno una prueba apromada.