UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LECTURA 3 GENERACIÓN DE SEÑALES CURSO SIGLA LABORATORIO DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ELO 385 PROFESOR RODRIGO HUERTA CORTÉS AYUDANTE ALEJANDRO HERRERA Valparaíso, 3 de febrero de 004
Itroducció Ua señal se defie como ua catidad que varía co el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables idepedietes. Matemáticamete, se describe ua señal como ua fució de ua o más variables idepedietes. Eiste casos e los que la relació fucioal es descoocida o demasiado complicada como para teer utilidad práctica. Por ejemplo, ua señal de vo o se puede describir fucioalmete mediate epresioes simples. E geeral u segmeto de vo puede represetarse co u alto grado de eactitud como la suma de varias fucioes simples de diferetes características. La iteció de esta lectura es poder mostrar y caracteriar tato las señales e tiempo cotiuo como e tiempo discreto a través de ua serie de defiicioes, las cuales será de utilidad para futuros coceptos tales como geeració de señales, filtros digitales, FFT, etc. RHC 004
Osciladores Digitales. Oscilador digital bicuadrático (Biquad) U oscilador digital siusoidal es u tipo de resoador digital cuyos polos (complejos cojugados) se ecuetra sobre la circuferecia uitaria. El oscilador digital es u sistema de segudo orde cuya fució de trasferecia es: R si( H ( ) = R cos( ω ω0 ) 0 ) + R (.) Para que los polos esté ubicados e la circuferecia uitaria es ecesario que R =. Co ello se logra que el sistema represetado por (.) oscile co ua frecuecia ϖ o. A partir de la trasformada Z iversa de la ecuació (.) se puede llegar a la respuesta geeral a impulso de (.), la cual tiee la forma: h( ) = R si( ω0) u( ) (.) La deducció completa de la obteció de (.) a partir de (.) es la que se describe a cotiuació. A partir de la relació trigoométrica: Es posible reescribir (.) utiliado (.3): jω j [ e 0 ω e ] si( ω 0 0 ) = (.3) j jω 0 0 [ ] ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] 0 jω jω jω e e u R e u R e u R 0 h( ) = (.4) j j Por propiedad de la trasformada Z: Así, supoiedo que, es posible escribir: H ( ) [ a u ) ] =, a Z ( > (.5) a jω 0 jω0 j R e R e (.6) = RHC 004 3
Desarrollado (.6) se obtiee: H R e j ( R e + R e jω = 0 jω0 ( ) jω0 jω0 )( R e ) (.7) Lo que fialmete, luego de las simplificacioes correspodietes, lleva a la ecuació (.) Gráficamete, (.) puede ser sitetiado como se observa e la figura. Notar que para que el sistema oscile sólo se requiere que se aplique u impulso a la etrada. si (w o ) (-) + cos (w o ) y() + Z - - Z - Figura : Oscilador digital siusoidal. Coocido como oscilador Biquad Dode ω o recibe el ombre de frecuecia ormaliada. A partir de u oscilador digital es posible sitetiar varios tipos de señales, etre las cuales se puede destacar: AM FM Scramble (aleatoria). RHC 004 4
. Oscilador Digital e cuadratura Eiste aplicacioes dode la utiliació de señales e cuadratura es ecesaria. Para geerarlas se puede recurrir a la siguiete idetidad geométrica: cos( ϕ + θ ) = cos( ϕ)cos( θ ) si( ϕ)si( θ ) si( ϕ + θ ) = cos( ϕ)si( θ ) + si( ϕ)cos( θ ) (.) Esta idetidad es coocida como forma acoplada. El acoplamieto es evidete ya que cada ecuació o sólo utilia los valores pasados si que los valores producidos por la otra ecuació. Aquí θ es iterpretado como el paso e águlo e cada iteració, y su elecció geerará ua fució de frecuecia θf s /π, dode f s es la frecuecia de muestreo. Matricialmete la idetidad (.) puede ser escrita como ˆ ˆ cos( θ ) = si( θ ) si( θ ) cos( θ ) (.) Esta matri se puede iterpretar de la siguiete forma. El vector columa de la derecha cotiee valores atiguos de la salida, los cuales al ser multiplicados por la matri de rotació, se obtiee los uevos valores de las salidas. Luego, para la siguiete iteració los uevos valores obteidos e la última iteració so usados como los valores atiguos e esta iteració. A partir de la ecuació matricial. es posible obteer el diagrama de bloques que represeta al oscilador e cuadratura. E la figura se muestra su estructura. RHC 004 5
cos (w o ) si (w) + Z - ^ - si (w o ) cos (w) + Z - ^ Figura : Oscilador acoplado e cuadratura. (Coupled-stadard quadrature) Co las codicioes iiciales apropiadas es posible hacer que éste comiece a oscilar. Las características más importates de este oscilador so sus salidas e cuadratura y la amplitud de ambas, la cual es la misma. E geeral, eiste varios tipos de osciladores que puede ser obteidos a partir de (.) y geeraliados como se observa a cotiuació: ˆ ˆ a = c b d (.3) Esta geeraliació requiere de dos importates restriccioes para que el sistema se comporte como u oscilador. Estas so: ad bc = a + d < (.4) La primera restricció dice que el determiate de la matri debe ser. La seguda restricció dice que la matri tiee valores propios complejos. Estas restriccioes so coocidas como el criterio de oscilació de Barkhause. A partir de este criterio y u estudio más acabado de los valores propios de la matri de rotació es posible llegar a determiar codicioes para que el oscilador diseñado tega la misma amplitud y esté e cuadratura. Para que el oscilador tega salidas e cuadratura sólo es ecesario que a = d, y para que tega la misma amplitud b = -c. RHC 004 6
Así, por ejemplo, vemos que la matri siguiete poseerá salidas e cuadratura pero de distita amplitud: ˆ ˆ 0.95 = 0.0975 La figura 3 muestra las salidas del oscilador: 0.95 (.5) Figura 3: Oscilador digital e cuadratura. Diseño para distitas amplitudes. E la tabla siguiete se muestra los diferetes tipos de osciladores que se puede obteer a partir del efoque matricial, co sus codicioes y propiedades: Tabla : Propiedades de los osciladores digitales recursivos Oscilador Igual Salidas e Amplitud cuadratura k = Matri de Rotació Biquad SI NO cos(θ) k 0 Digital Waveguide NO SI cos(θ) k k k + k Equi-amplitude-staggered k k SI NO si(θ/) update k Quadrature-staggered update NO SI cos(θ) k k k Coupled-stadard quadrature SI SI si(θ) E el laboratorio sólo se implemetará el primero y el último de la tabla. RHC 004 7 k k k k
Digitales A partir de u oscilador digital es posible geerar señales de distito tipo. A cotiuació se preseta alguas de ellas.. Modulació de amplitud (AM) Ua señal de frecuecia portadora modulada e amplitud tiee la forma geeral: [ + mf ( t) ] cos( ω ) S( t) = Ac s ct (3.) ω c dode f c = es la frecuecia de la portadora y f s ( t) < es la señal de iformació. π m es deomiado ídice de modulació. Ua señal AM geerada digitalmete puede ser realiada a través de la utiliació de u oscilador siusoidal más la adició de ua señal etera cualquiera que cumpla co la restricció ates señalada... Modulació e frecuecia (FM) La epresió de ua señal portadora siusoidal modulada e frecuecia tiee la forma: ( t + K f ( ) De la epresió aterior, se puede observar que la máima desviació de frecuecia de la señal portadora será: RHC 004 8 S FM ( t) = Ac cos ω c f ) d (3.) dode f(t) es ua señal de iformació, K f : costate del sistema y ω c es la frecuecia agular de la señal portadora portadora. Para simplicidad e el aálisis, se supodrá como señal de iformació u too puro, esto es: Etoces, la señal modulada toma la forma La frecuecia istatáea de la señal portadora es f ( t) = AM cos( ω M t) (3.3) A M S FM ( t) = Ac cos ω ct + K f si( ω M t) (3.4) ω M ω i = ω c + k f *f(t) [rad/seg] ω i = ω c + k f *A m cos(ω m t) f i = f c + (k f *A m /*p) cos(ω m t) [H]
df = (k f *A m )/(π) [H] o bie df = f d *A m f d : costate de desviació de frecuecia e [H/V]. Se defie el ídice de modulació de ua señal modulada e frecuecia como: ß = df/f m ó ß = (f d *A m )/f m Fialmete, la señal portadora modulada e frecuecia toma la forma: ( ω t + βsi( ω )) S FM ( t) = Ac cos c M t.3. Geeració de secuecia aleatoria (scrambler) Para geerar ua secuecia aleatoria, se suele usar u circuito deomiado scrambler. E la figura siguiete se muestra u ejemplo del método señalado para secuecia de máimo largo 5 3 (poliomio primitivo irreductible + + ): Figura 6: Esquema de u geerador de úmeros biarios aleatorios. Dode Y = X Y 3 Y5 RHC 004 9