UNIDAD 14: ESTADÍSTICA INTRODUCCIÓN La presenca de la Estadístca es habtual en multtud de contextos de la vda real: encuestas electorales, sondeos de opnón, etc. La mportanca de la Estadístca en la socedad actual se releja en muchos campos: estudos médcos sobre enermedades o medcamentos; dstrbucón de las líneas de autobuses en una cudad Las meddas estadístcas srven para analzar la normacón contenda en un conjunto de datos. Estas meddas se pueden dvdr en dos grupos: las que corresponden a meddas de centralzacón y las que corresponden a meddas de dspersón. RESUMEN DE LA UNIDAD Varable estadístca cualtatva: no se pude medr Varable estadístca cuanttatva: se puede medr, y su medda se expresa medante números. 1x1 x... n xn Meda: x 1... n Medana: es un valor tal que, ordenados los datos de orma crecente, la mtad son guales o nerores a él y la otra mtad son guales o superores. Moda: es el valor de la varable o el ntervalo con mayor recuenca absoluta Desvacón meda: es la meda de los valores absolutos de las desvacones. Varanza: es la meda de los cuadrados de las desvacones de los valores respecto de la meda. Desvacón típca: es la raíz cuadrada de la varanza. -1-
OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Reconocer y Estadístca Dstncón de los derencar entre Poblacón y muestra conceptos de poblacón y muestra poblacón y muestra. Clascar las varables estadístcas Varables cuanttatva y cualtatvas Derencacón entre varables cualtatvas, Varables estadístcas dscretas y contnuas y cuanttatvas, y dentro de estas, entre dscretas y 3. Obtener la tabla estadístca asocada a un conjunto de datos 4.Calcular la recuenca absoluta y relatva de un conjunto de datos 5. Calcular las recuencas acumuladas de un conjunto de datos 6. Utlzar e nterpretar los grácos estadístcos para representar datos 7. Dstngur y calcular las meddas de centralzacón de un conjunto de datos 8. Dstngur y calcular las meddas de dspersón de un conjunto de datos Tablas estadístcas Marca de clase Frecuencas absolutas Frecuencas relatvas Frecuencas acumuladas Grácos estadístcos: dagrama de barras, hstogramas y polígono de recuencas Meddas de centralzacón: meda, moda y medana Meddas de dspersón: recorrdo, desvacón meda, varanza y desvacón típca contnuas Construccón de tablas estadístcas adecuadas al conjunto de datos Cálculo de recuencas absolutas, recuencas relatvas y porcentajes Cálculo de recuencas acumuladas Representacón de las varables estadístcas medante grácos Cálculo e nterpretacón de la meda, la moda y la medana Cálculo e nterpretacón de las meddas de dspersón de un conjunto de datos --
14 OBJETIVO 1 RECONOCER Y DIFERNCIAR ENTRE POBLACIÓN Y MUESTRA Estadístca es la cenca encargada de recoplar y ordenar datos reerdos a dversos enómenos para su posteror análss e nterpretacón. Poblacón es el conjunto de elementos en los que se estuda un determnado aspecto o característca. Muestra es una parte de la poblacón. Es mportante escoger correctamente la muestra: debe ser representatva, es decr, dar una normacón smlar a la obtenda s estudásemos toda la poblacón. Consdera tu clase como la poblacón y completa el sguente cuestonaro. Nombre:. Apelldos: Marca con una cruz la respuesta elegda y responde. Sexo: Hombre Mujer Deporte preerdo: Fútbol Baloncesto Tens Balonmano Otros Cuántos hermanos tenes? 0 1 3 o más hermanos Cuántos años tenes? 13 años 14 años 15 años 16 años más de 16 años Qué altura tenes? Cuánto pesas? Puede ocurrr que el día en que se reparta el cuestonaro alte alguen en clase o que algún alumno no conteste y, aunque nuestro objetvo sea toda la poblacón, es decr, el conjunto de los alumnos de clase, usaremos una parte de la poblacón llamada muestra, que en nuestro caso estará ormada por aquellos alumnos que hayan contestado al cuestonaro. -3-
14 OBJETIVO CLASIFICAR LAS VARIABLES ESTADÍSTICAS NOMBRE: CURSO: FECHA: Varable estadístca es toda característca o aspecto de los elementos de una poblacón o muestra. Las varables estadístcas pueden ser cuanttatvas o cualtatvas. a) Varables cuanttatvas dscretas: toman un número determnado de valores. b) Varables cuanttatvas contnuas: pueden tomar cualquer valor comprenddo entre dos datos Varables cualtatvas: no se pueden medr. En el cuestonaro del ejemplo anteror, derenca las varables cuanttatvas y cualtatvas Varable estadístca: número de hermanos, edad, peso y altura Estas varables las expresamos medante números. - Varables cuanttatvas dscretas: número de hermanos y edad - Varables cuanttatvas contnuas: peso y altura Varable estadístca cualtatva: sexo y deporte preerdo Estas varables no se expresan medante números 1. Señala en cada caso lo que corresponda. VARIABLE CUANTITATIVA CUALITATIVA Provnca de resdenca Número de vecnos de un edco Proesón de la madre Altura de un edco Número de llamadas teleóncas daras Números de prmos Tpo de músca preerda Barras de pan consumdas en una semana en un colego Consumo de gasolna por cada100km Color de pelo Talla de pantalón DISCRETA CONTINUA -4-
14 OBJETIVO 3 OBTENER LA TABLA ESTADÍSTICA ASOCIADA A UN CONJUNTO DE DATOS NOMBRE: CURSO: FECHA: Las tablas estadístcas srven para organzar los datos de una varable estadístca y estudarlos con mayor acldad. S la varable es dscreta, es decr, tenemos un conjunto de datos pequeño, se orma una tabla con dos columnas. En una de las columnas se colocan los dstntos valores de la varable, y en la otra columna, el número de veces que aparece cada uno de ellos. S la varable es contnua, se agrupan los valores en ntervalos de gual ampltud, se establece la marca de clase, que es el punto medo de cada ntervalo, y se hace el recuento de los datos. 1 Danel ha comprado 5 bolsas de palomtas, 7 caramelos, chcles de menta y 10 pruletas. Organza este conjunto de datos en una tabla S queremos recoger la normacón en una tabla, ponemos en una columna los dstntos valores de la varable: bolsa de palomtas, caramelos, chcle de menta pruletas, y en la otra el número de veces que aparece cada uno de ellos. ÁRTICULOS RECUENTO Bolsa de palomtas 5 Caramelos 7 Chcles de menta Pruletas 10-5-
Las estaturas (en cm) de 7 jóvenes son: 155,178,170,165, 173, 168, 160, 166, 176, 169, 158, 170, 179, 161, 164, 156,170, 171, 167, 151, 163, 158, 164, 174, 176, 164, 154 Forma una tabla, eectúa el recuento y obtén las marcas de clase. En este caso, la varable es contnua. Por tanto, debemos agrupar los datos en Intervalos. Para ello obtenemos la derenca entre el valor mayor y el menor: 179-151=8 Para ello obtenemos la derenca entre el valor mayor y el menor ( 6 5 30 8 que es la derenca entre el mayor y el menor). Empezamos por el valor 150 150 155 : 15'5 160 165 Marcas de clase: 165 170 155 160: 157'5 : 16'5 : 167'5 170 175: 17'5 175 180: 177`5 INTERVALO MARCA DE CLASE RECUENTO 150,155 155,160 160,165 165,170 170,175 175,180 15 5 157 5 4 16 5 6 167 5 5 17 5 6 177 5 4-6-
14 OBJETIVO 4 CALCULAR LA FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA NOMBRE: CURSO: FECHA: Frecuenca absoluta, de un conjunto de datos es el número de veces que se repte cada valor de la varable, x, en el total de los datos. Frecuenca relatva, h, es el cocente h N La recuenca relatva es sempre un número comprenddo entre 0 y 1. La suma de las recuencas absolutas es gual al número total de datos, N La suma de las recuencas relatvas es 1. Porcentaje (%) es el resultado de multplcar la recuenca relatva por 100. Las edades (en años) de 0 alumnos de un nsttuto son: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15,16, 16, 16 Obtén la tabla de recuencas y porcentajes. Comenzamos a construr la tabla. En la prmera columna colocamos los valores de la varable. En la segunda columna colocamos el número de veces que aparece cada dato. A este número se le llama recuenca absoluta. En la tercera columna colocamos el cocente entre la recuenca absoluta de cada dato y el número total de datos (0). A este número se le denomna recuenca relatva 1 6 7 h 1 0'30 h 0' 35 N 0 N 0 4 3 4 3 h 3 0'0 h 4 0' 15 N 0 N 0 En la cuarta columna colocamos el porcentaje, resultado de multplcar las recuencas relatvas por 100. x h % 13 6 0 30 30 14 7 0 35 35 15 4 0 0 0 16 3 0 15 15 SUMA 0 1 100-7-
Los resultados de un test de ntelgenca hecho a 5 alumnos ueron: 100, 80, 9, 101, 65, 7, 11, 68, 75, 93, 101, 100, 10, 97, 89, 73, 11, 114, 113, 113, 106, 84, 94, 83, 74 Obtén la tabla de recuencas y de porcentajes tomando nt4rvalos de ampltud 10. En la prmera columna colocamos los valores de la varable, tomando 6 ntervalos de ampltud 10, ya que la derenca entre los valores extremos es 11-65=56. En la segunda columna colocamos la marca de clase de cada ntervalo. En la tercera columna colocamos el número de veces que aparece cada dato. A esta recuenca se le llama absoluta. En la cuarta columna el cocente entre la recuenca absoluta de cada dato y el número total de datos (0). A este número se le denomna recuenca relatva. En la qunta columna colocamos el porcentaje, que es el resultado de multplcar la recuenca relatva por 100. INTERVALO x h % 65, 75 70 5 0 0 0 75, 85 80 4 0 16 16 85, 95 90 4 0 16 16 95,105 100 6 0 4 4 105,115 110 4 0 16 16 115,15 10 0 08 8-8-
14 OBJETIVO 5 CALCULAR LAS FRECUENCIAS ACUMULADAS NOMBRE: CURSO: FECHA: Frecuenca absoluta acumulada F de un valor x es la suma de las recuencas de todos los valores menores o guales que él. Frecuenca relatva acumulada, H de un valor x es el cocente F H, entre la recuenca absoluta acumulada y el número total de N datos. Las edades /en años) de 0 alumnos de un nsttuto son: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15,16, 16, 16 Obtén la tabla de recuencas absolutas acumuladas y recuencas relatvas acumuladas. Para obtener la recuenca absoluta acumulada de cada valor hay que sumar las recuencas absolutas de los valores menores o guales que él: F 6 F 6 7 4 17 1 1 3 1 3 F 6 7 13 F 6 7 4 3 0 1 4 1 3 4 Para obtener la recuenca relatva acumulada de un valor hay que dvdr la recuenca absoluta acumulada de cada valor entre el número total de datos: F1 1 6 F3 1 3 6 7 4 H 1 0'30 H 3 0' 85 N N 0 N N 0 F 1 6 7 F4 1 3 4 6 7 4 3 0 H 0'65 H 4 1 N N 0 N N 0 0 DATOS x FRECUENCIA ABSOLUTA ( ) FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( F ) FRECUENCIA RELATIVA ( h ) FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H ) 13 6 6 0 30 0 30 14 7 13 0 35 0 65 15 4 17 0 0 0 85 16 3 0 0 15 1-9-
14 OBJETIVO 6 UTILIZAR E INTERPRETAR LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS NOMBRE: CURSO: FECHA: Los grácos ayudan a representar áclmente la normacón que contenen las tablas estadístcas. Según sea la varable, se usa un tpo u otro de gráco. VARIABLES DISCRETAS Dagrama de barras: se usa para representar datos cualtatvos o cuanttatvos dscretos. Sobre el eje X se señalan los valores de la varable y se levantan barras de altura gual a la recuenca representada (absoluta, absoluta acumulada, relatva o relatva acumulada). Polígono de recuencas: es una línea polgonal que se obtene a partr del dagrama de barras, unendo cada extremo de una barra con el extremo de la barra sguente. VARIABLES CONTINUAS Hstograma: se usa para representar varables cuanttatvas contnuas. Se señalan sobre el eje horzontal los extremos de los ntervalos y se levantan rectángulos de altura gual a la recuenca representada. Polígono de recuencas: se obtene al unr los puntos medos de los lados superores de los rectángulos del hstograma. Otros: Dagrama de sectores, dagrama lneal, dagrama de barras múltples en componentes, pctogramas. Representa el dagrama de barras y el polígono de recuencas del conjunto de datos. x 1 3 5 7 4 1 3-10-
DIAGRAMA DE BARRAS HISTOGRAMA (Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS) -11-
DIAGRAMA DE SECTORES -1-
PICTOGRAMA El pctograma es un tpo de gráco que en lugar de barras, utlzan guras proporconadas a la recuenca. Generalmente se emplea para representar varables cualtatvas. Este tpo de gráco no permte buenas comparacones. Para realzarlo prmero se escogen guras alusvas al tema y se le asgna un valor. En caso de que una cantdad represente un valor menor, la gura aparecerá mutlada. Es un dagrama que utlza una magen o un símbolo para representar una cantdad especca -13-
14 OBJETIVO 7 DISTINGUIR Y CALCULAR LAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA: La meda, la medana y la moda se llaman meddas de centralzacón y son valores que resumen la normacón de la muestra. Dado un conjunto de datos: x, x,..., x, con recuencas 1 n,,...,, respectvamente, la meda, x es gual a: 1 n x 1 x 1 1 x...... n n x n S los datos están agrupados en ntervalos, el valor x es la marca de clase de cada ntervalo. Halla la meda del sguente conjunto de datos. x x 6 6 156 8 7 196 30 4 10 3 3 96 SUMA 0 568 568 x 8' 4 0 En la tabla de recuencas hemos añaddo una tercera columna donde se calcula el producto de cada valor por su recuenca. La medana de un conjunto de datos es el valor tal que, ordenados los datos de orma crecente, la mtad son menores que él y la otra mtad son mayores. Se representa por Me. La moda de un conjunto de datos es el valor o valores de la varable que más se repte. Se representa por Mo. El valor de la moda puede no ser únco, es decr, puede haber varas modas. Obtén la medana y la moda del sguente conjunto de datos:,, 1, 6, 4, 3 y 9. Medana: Ordenamos de orma crecente los valores 1,,, 3, 4, 6, 9. Como el número de datos es mpar, la medana es el valor central, Me=3 Moda: el valor que más se repte es, por tanto, Mo=. -14-
14 OBJETIVO 8 DISTINGUIR Y CALCULAR LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA: Las meddas de dspersón son meddas estadístcas que ndcan el mayor o menor grado de agrupamento de los valores que orman un conjunto de datos. El recorrdo, la desvacón, la desvacón meda, la varanza y la desvacón típca son meddas de dspersón. El rango o recorrdo se calcula como derenca entre el mayor valor y el menor de la varable estadístca. La desvacón respecto de la meda es la derenca entre cada valor de la varable y la meda. La suma de las desvacones sempre es cero. Las estaturas (en cm) de los jugadores de dos equpos de baloncesto son: EQUIPO A 180 165 170 173 16 EQUIPO B 168 173 171 169 169 Calcula el rango o recorrdo y la desvacón para cada uno de los equpos. Recorrdo Equpo A: 180-16=18 cm Equpo B: 173-168=5 cm Podemos observar que las meddas del equpo A están más dspersas que las del equpo B, ya que la derenca entre el mayor y el menor de las varable es mayor en el caso del equpo A. Desvacón respecto a la meda Equpo A: Meda=(180+165+170+173+16)/5=170cm 180-170=10 cm 165-170=-5 cm 170-170=0 cm 173-170=3 cm 16-170=-8 cm Equpo B: Meda=(168+173+171+169+169)/5=170 cm 168-170=- cm 173-170=3 cm 171-170=1 cm 169-170=-1 cm 169-170)=-1 cm Observamos que la suma de las desvacones es sempre cero: Equpo A: 10+(-5)+0+3+(-8)=0 Equpo B: (-)+3+1+(-1)+(-1)=0-15-
Desvacón meda (DM): es la meda de los valores absolutos de las desvacones. Varanza: es la meda de los valores absolutos de las desvacones al cuadrado ( ). Desvacón típca: es la raíz cuadrada de la varanza. Se desgna con la letra. La tabla muestra los resultados obtendos en un test de 10 preguntas. Halla la desvacón meda, la varanza y la desvacón típca. INTERVALO 0,30 30,60 60,90 90,10 x 15 1 180 45 0 900 75 10 750 105 7 735 x x x 15 5'35 36'73 1.348 0 x x x 1 1.349'0 16.188'4 45 5'35 7'35 54 0 0 54'0 1080' 4 75 5'35 '65 513 0 10 513'03 5130' 105 5'35 5'6.77 0 7.77'0 19.404' 14 SUMA 49.565 119 38 41.80 98 36'73 1 7'35 0 '65 10 5'65 7 Desvacón meda= 4' 14 49 41.80'98 Varanza= 853' 14 Desvacón típca= Varanza 853' 14 9' 1 49 http://www.vtutor.com/estadstca/descrptva/a_a.html -16-