Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Coocimietos previos Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes coteidos: Valor absoluto y cocepto de distacia e y e. Represetació cartesiaa de putos del plao. Lugares geométricos: ecuació de la recta, circuferecia y elipse. Represetació gráfica, suma y diferecia de vectores e el plao. Fucioes expoeciales. Propiedades y operacioes elemetales. Fucioes logarítmicas. Propiedades y operacioes elemetales. Fucioes poliómicas. Fórmula del biomio de Newto. Poliomios. Trigoometría: medidas de águlos, fucioes seo, coseo y tagete y relacioes trigoométricas básicas. 1. SISTEMAS NUMÉRICOS Resume teórico Los diferetes cojutos de úmeros surge por ecesidades prácticas de dar setido a alguas operacioes algebraicas. Figura 1.- Diferetes cojutos de úmeros. Pág.1
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I. DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Si cosideramos la ecuació x 1 0, observamos que o existe igú úmero real que la verifique. Co objeto de dar solució a esta ecuació vamos a defiir u cojuto de úmeros que amplíe a los úmeros reales. Defiició (Números complejos).- A los elemetos de se les llama úmeros complejos y al cojuto de úmeros complejos le deotamos e lo sucesivo por. ( ab, )/ ab, Cada úmero complejo a, b, ab, que recibe el ombre de afijo de. puede idetificarse co el puto P de coordeadas Figura.- Represetació de los úmeros complejos Forma biómica de u complejo.- El complejo a, b forma biómica, como a bi se represeta e Defiició (Cojugado).- Sea a bi u úmero complejo. Se defie el cojugado de, y se represeta por, como el úmero complejo a bi. Pág.
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Figura 3.- Opuesto y cojugado PROPIEDADES.- Se verifica las siguietes propiedades: (i) (ii) w w (iii) w w (iv) es u úmero real positivo. Defiició (Parte real e imagiaria).- Si a bi es u úmero complejo se defie la parte real de, Re( ), y la parte imagiaria, Im( ), como Re( ) a Im( ) b i 3.- MÓDULO Y ARGUMENTO Defiició (Módulo).- Si ( a, b) es u úmero complejo se defie el módulo de,, como: a b Iterpretació geométrica del módulo (Distacia).- Sea los complejos x yi, 0 x0 y0i, el valor de 0 represeta la distacia etre los afijos de los complejos y 0. Pág.3
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I De la iterpretació geométrica del módulo se deduce que la igualdad 0 r la verifica todos los putos ( x, y ) del plao, cuya distacia al puto ( x0, y 0) es igual a r. Elevado la igualdad aterior al cuadrado se obtiee la ecuació de la circuferecia de cetro ( x0, y 0) y radio r. 0 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) xx y y xx y y r Defiició (Argumeto).- Sea u úmero complejo co afijo P. El águlo medido e radiaes que forma el vector OP co la direcció positiva del eje real se llama argumeto del úmero complejo, Arg. Figura 4.- Represetació del módulo y argumeto de u úmero complejo PROPOSICIÓN.- Si es u úmero complejo y su argumeto se cumple: Re( ) Im( ) cos se Llamaremos valor pricipal del argumeto al compredido etre y : arg. Formas de u complejo e fució de su módulo y de su argumeto: o Forma polar: r o Forma trigoométrica: r(cos ise ) i o Forma expoecial re, siedo e i cos ise (Fórmula de Euler) Pág.4
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I 4.- OPERACIONES ELEMENTALES SUMA Y DIFERENCIA o forma biómica w( abi) ( a bi ) ( aa) ( b b) i PRODUCTO o forma biómica: w ( a bi) ( a bi) ( aabb) ( ab ab) i o forma módulo-argumeto o polar: si r y w r etoces se cumple que w i( ) o forma expoecial: w rr e rr Figura 5. Represetació del producto de úmeros complejos Pág.5
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I COCIENTE Cosideramos y w dos úmeros complejos siedo w distito de cero. El cociete 1 / w se reduce al producto de co el iverso de w: w. w o forma biómica: Para calcular el cociete de y w se debe multiplicar el umerador y deomiador por el cojugado del deomiador, co ello el cociete se reduce a a bia bi a bi aa bb ab ab i w abi abi abi a b a b o forma polar: si r y w r, se tedrá r w r o forma expoecial: r e w r i( ) 5.- FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició (Fució expoecial).- Sea a bi, defiimos la fució expoecial como abi a e e e (cosb ise b) PROPIEDADES.- Si w, se cumple las siguietes propiedades (i) (iv) e e e e (ii) w w e (v) 0 e 1 (iii) ee 1 Re e e arg e (vi) Im abi a (vii) Ree Ree e cosb (viii) Im Im a bi a e e e seb Pág.6
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I 6.- POTENCIAS Y RAÍCES ENÉSIMAS DE COMPLEJOS POTENCIAS ENTERAS Si el expoete "" es u úmero etero Etoces re r e i i (cos se ) cos se r i r i A esta expresió se la cooce co el ombre de fórmula de Moivre. RAÍCES ENÉSIMAS Aálogamete, 1/ 1/ 1/ k k r(cos ise ) r cos ise, k 0,1, ( 1) Figura 6.- Represetació gráfica de las raíces cuartas de 16 /. 7.- LAS FUNCIONES POLINÓMICAS. RAÍCES. Defiició (Grado y coeficiete director).- Sea el poliomio p( ) a0 a1a a co a 0 Pág.7
Grados E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Al úmero atural se le llama grado del poliomio o ulo y al coeficiete a coeficiete director. Defiició (Raí de u poliomio).- Se dice que u úmero complejo 0 es raí del poliomio p( ) si p ( ) a a a a 0. 0 0 1 0 0 0 PROPOSICIÓN.- El úmero complejo 0 es raí del poliomio p ( ) si y solamete si dicho poliomio es divisible por ( 0 ). PROPOSICIÓN.- Sea p( ) a0 a1a a co a 0 y ai. Etoces si 0 es ua raí compleja tambié lo es su cojugada. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.- U poliomio p( x) a0 a1xax ax co coeficietes e ( a i ) se puede escribir de la forma px ( ) a( x ) ( x ) ( x ) r k1 k k 1 r siedo k1 k kr ( k i es la multiplicidad de la raí i ). Pág.8